6.2.1向量的加法運算第六章

平面向量及其6.2平面向量的運算整體感知[學習目標]

1．理解并掌握向量加法的概念．2．掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則進行兩個向量的加法運算．3．了解向量加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性．[討論交流]

預習教材P7－P10的內容，思考以下問題：問題1．在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則？問題2．向量加法的運算律有哪兩個？[自我感知]經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．探究建構探究1向量加法的三角形法則探究問題1某次列車從濟南西站途經天津南站到達北京南站，這次列車的位移如何表示？你能從這個問題出發，給出求解向量之和的一種方法嗎？

兩個向量和

【教用·微提醒】

運用向量加法的三角形法則作圖時要“首尾相接，再首尾連”．

√

探究2向量加法的平行四邊形法則探究問題2圖①表示橡皮條ME在兩個力F1和F2的作用下，沿MC方向伸長了EO；圖②表示橡皮條ME在一個力F的作用下，沿相同方向伸長了相同的長度EO．從力學的觀點分析，力F與F1，F2之間的關系如何？你能從這個問題出發，給出求解向量之和的另一種方法嗎？[提示]

F＝F1＋F2．從這個問題出發，我們可以給出求解向量之和的另一種方法——平行四邊形法則．

提醒：平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和．對角線【鏈接·教材例題】例1

如圖6.2-5，已知向量a，b，求作向量a＋b．

[典例講評]

2．(1)如圖①所示，求作向量a＋b；(2)如圖②所示，求作向量a＋b＋c．

反思領悟

求作和向量的方法[學以致用]

2．(源自人教B版教材)如圖：(1)以A為始點，作出a＋b；(2)以B為始點，作出c＋d＋e．[解]

(1)如圖所示；(2)如圖所示．探究3共線向量的加法與向量加法的運算律探究問題3請結合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，探索|a＋b|與|a|，|b|之間存在的關系．[提示]

(1)當向量a與b不共線時，a＋b的方向與a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|．(2)當a與b同向時，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|．(3)當a與b反向時，若|a|>|b|，則a＋b的方向與a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b的方向與b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|．探究問題4等式a＋b＝b＋a成立嗎？(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)呢？試結合向量加法的運算法則證明．

[新知生成]1．|a＋b|與|a|，|b|之間的關系一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b中有一個是__向量或a，b是方向____的非零向量時，等號成立．2．向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝______．(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋_______．3．對于零向量與任意向量a，規定0＋a＝a＋_____＝_____．零

相同b＋a(b＋c)0a

反思領悟

向量加法運算律的意義和應用原則(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據，能實現恰當利用向量加法法則運算的目的．(2)應用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．[學以致用]

3．(源自人教B版教材)已知|a|＝3，|b|＝4，求|a＋b|的最大值和最小值，并說明取得最大值和最小值時a與b的關系．

探究4向量加法的實際應用【鏈接·教材例題】例2長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．如圖6.2-8，一艘船從長江南岸A地出發，垂直于對岸航行，航行速度的大小為15km/h，同時江水的速度為向東6km/h．(1)用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；(2)求船實際航行的速度的大小(結果保留小數點后一位)與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到1°)．

[典例講評]

4．(源自蘇教版教材)在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船在靜水中的速度為25km/h．渡船要垂直地渡過長江，其航向應如何確定？

反思領悟

利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟[學以致用]

4．(源自北師大版教材)如圖，在一場足球比賽中，中場隊員在點A位置得球，將球傳給位于點B的左邊鋒，隨即快速直向插上．邊鋒得球后看到對方后衛上前逼搶，于是將球快速橫傳至門前，球到達點C時前插的中場隊員正好趕到，直接射門得分．設BC＝30m，∠ABC＝37°．(取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)求中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移；(2)這一過程中中場隊員的位移與球的位移是否相等？

243題號1應用遷移

√

23題號14

√23題號413．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為________．13

[因為|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值為13．]13243題號1

201．知識鏈：(1)向量加法的三角形法則．(2)向量加法的平行四邊形法則．(3)向量三角不等式．(4)向量加法的運算律．2．方法鏈：數形結合法．3．警示牌：應用向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，應用平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點．回顧本節知識，自主完成以下問題：1．兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？其運算法則有哪些？[提示]兩個向量相加不是兩個向量的模相加，向量相加要考慮大小及方向，其運算法則有三角形法則和平行四邊形法則．2．應用三角形法則應注意哪些問題？[提示]

使用三角形法則求兩個向量的和時，應注意“首尾相連，起點指終點”，即首尾相連的兩個向量的和對應的向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點．3．應用平行四邊形法則應注意哪些問題？[提示]

平行四邊形法則只適用于求不共線的兩個向量的和．基本步驟可簡述為：共起點，兩向量所