微積分基礎形成性考核作業一~四?一、選擇題1.函數\(y=\frac{1}{\sqrt{x2}}\)的定義域是（）A.\(x\gt2\)B.\(x\geq2\)C.\(x\lt2\)D.\(x\leq2\)答案：A解析：要使根式有意義，則根號下的數大于零，即\(x2\gt0\)，解得\(x\gt2\)。

2.下列函數中，（）是奇函數。A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=x+1\)答案：B解析：奇函數滿足\(f(x)=f(x)\)。對于\(y=\sinx\)，\(\sin(x)=\sinx\)，所以是奇函數。

二、填空題1.已知函數\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)，則\(f(1)=\)______。答案：0解析：當\(x=1\)時，\(x\lt0\)，代入\(f(x)=x+1\)，得\(f(1)=1+1=0\)。

2.函數\(y=\ln(x+1)\)的反函數是______。答案：\(y=e^x1\)解析：由\(y=\ln(x+1)\)，解出\(x\)得\(x=e^y1\)，所以反函數是\(y=e^x1\)。

三、解答題1.求函數\(y=\frac{x^21}{x1}\)的定義域，并化簡函數。解：要使函數有意義，則分母不為零，即\(x1\neq0\)，解得\(x\neq1\)，所以定義域為\(\{x|x\neq1\}\)。

化簡函數：\(y=\frac{x^21}{x1}=\frac{(x+1)(x1)}{x1}=x+1\)（\(x\neq1\)）。

2.已知函數\(f(x)=2x^23x+1\)，求\(f(2)\)，\(f(1)\)。解：當\(x=2\)時，\(f(2)=2\times2^23\times2+1=86+1=3\)。

當\(x=1\)時，\(f(1)=2\times(1)^23\times(1)+1=2+3+1=6\)。

《微積分基礎》形成性考核作業二

一、選擇題1.當\(x\to0\)時，\(\sinx\)與\(x\)相比是（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.等價無窮小D.同階但不等價無窮小答案：C解析：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，所以\(\sinx\)與\(x\)是等價無窮小。

2.函數\(y=x^3\)在區間\([1,1]\)上的最大值是（）A.1B.0C.1D.2答案：C解析：對\(y=x^3\)求導得\(y^\prime=3x^2\geq0\)，函數單調遞增，所以在\(x=1\)處取得最大值\(1^3=1\)。

二、填空題1.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\)______。答案：\(e^2\)解析：根據重要極限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)，\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{2}{x})^{\frac{x}{2}}]^2=e^2\)。

2.函數\(y=x^22x+3\)的單調遞增區間是______。答案：\((1,+\infty)\)解析：對\(y=x^22x+3\)求導得\(y^\prime=2x2\)，令\(y^\prime\gt0\)，即\(2x2\gt0\)，解得\(x\gt1\)，所以單調遞增區間是\((1,+\infty)\)。

三、解答題1.求極限\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}\)。解：\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x1)}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)。

2.求函數\(y=x^33x^2+5\)的極值。解：對\(y=x^33x^2+5\)求導得\(y^\prime=3x^26x\)，令\(y^\prime=0\)，即\(3x^26x=0\)，\(3x(x2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。

當\(x\lt0\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數單調遞增；當\(0\ltx\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數單調遞減；當\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數單調遞增。

所以當\(x=0\)時，取得極大值\(y(0)=5\)；當\(x=2\)時，取得極小值\(y(2)=2^33\times2^2+5=1\)。

《微積分基礎》形成性考核作業三

一、選擇題1.若\(f(x)\)的一個原函數是\(e^{x}\)，則\(f^\prime(x)=(\)\)A.\(e^{x}\)B.\(e^{x}\)C.\(e^{x}+C\)D.\(e^{x}+C\)答案：B解析：已知\(f(x)\)的一個原函數是\(e^{x}\)，則\(f(x)=(e^{x})^\prime=e^{x}\)，所以\(f^\prime(x)=(e^{x})^\prime=e^{x}\)。

2.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=(\)\)A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.3答案：A解析：根據定積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq1\)），\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}(1^30^3)=\frac{1}{3}\)。

二、填空題1.\(\int\frac{1}{x}dx=\)______。答案：\(\ln|x|+C\)解析：這是基本積分公式。

2.已知\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)F(a)\)，這個公式叫做______。答案：牛頓萊布尼茨公式

三、解答題1.計算定積分\(\int_{0}^{2}(2x+1)dx\)。解：\(\int_{0}^{2}(2x+1)dx=[x^2+x]_0^2=(2^2+2)(0^2+0)=6\)。

2.求不定積分\(\int(3x^22x+1)dx\)。解：\(\int(3x^22x+1)dx=3\times\frac{1}{3}x^32\times\frac{1}{2}x^2+x+C=x^3x^2+x+C\)。

《微積分基礎》形成性考核作業四

一、選擇題1.微分方程\(y^\prime=2x\)的通解是（）A.\(y=x^2+C\)B.\(y=2x^2+C\)C.\(y=x+C\)D.\(y=2x+C\)答案：A解析：對\(y^\prime=2x\)兩邊積分，\(y=\int2xdx=x^2+C\)。

2.微分方程\(y^{\prime\prime}+y=0\)的特征方程是（）A.\(r^2+1=0\)B.\(r^21=0\)C.\(r+1=0\)D.\(r1=0\)答案：A解析：對于二階常系數齊次線性微分方程\(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0\)，其特征方程為\(r^2+pr+q=0\)，這里\(p=0\)，\(q=1\)，所以特征方程是\(r^2+1=0\)。

二、填空題1.已知函數\(y=x^3\)，則\(dy=\)______。答案：\(3x^2dx\)解析：\(dy=y^\primedx=(x^3)^\primedx=3x^2dx\)。

2.微分方程\(y^\prime2y=0\)的通解是______。答案：\(y=Ce^{2x}\)解析：特征方程為\(r2=0\)，解得\(r=2\)，所以通解是\(y=Ce^{2x}\)。

三、解答題1.求微分方程\(y^\prime=x^2\)滿足初始條件\(y|_{x=0}=1\)的特解。解：對\(y^\prime=x^2\)兩邊積分得\(y=\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)。

把\(x=0\)，\(y=1\)代入上式得\(1=\frac{1}{3}\times