第1頁/共1頁海淀區高一年級練習數學2024.07學校__________班級__________姓名__________考生須知1．本試卷共6頁，共三道大題，19道小題．滿分100分．考試時間90分鐘．2．在試卷上準確填寫學校名稱、班級名稱、姓名．3．答案一律填涂或書寫在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結束，請將本試卷交回．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.若復數滿足，則的虛部為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡，再判斷其虛部.【詳解】因為，所以，所以的虛部為.故選：A2.已知向量，，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據向量坐標公式求夾角余弦值即可.【詳解】由題設.故選：B3.函數的部分圖象如圖所示，則其解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由最小值求得，由求得，再結合最小值點和周期求得．【詳解】由圖象知，所以，則或，又，所以，，，，，又，，已知，所以，所以，故選：D．4.若，且，則（）A. B. C. D.7【答案】D【解析】【分析】根據正弦得到正切值，利用正切差角公式計算出答案.【詳解】因為，所以，又，所以，故，所以.故選：D5.在中，點D滿足，若，則（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據平面向量的三角形法則即可得解【詳解】如圖，因為在中，，所以，又，所以,所以，故選：B.6.已知，則下列直線中，是函數對稱軸的為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】舉例說明判斷ABD；利用軸對稱的意義判斷C.【詳解】依題意，，解得，對于A，，，則函數的圖象關于不對稱，A不是；對于B，，，則函數的圖象關于不對稱，B不是；對于C，，即，，則函數的圖象關于對稱，C是；對于D，，，則函數的圖象關于不對稱，D不是.故選：C7.在平面直角坐標系xOy中，點，點，其中．若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先的坐標，然后求出模長，然后結合輔助角公式化簡，建立關于的方程，解方程即可得解.【詳解】因為平面直角坐標系xOy中，點，點所以所以又所以，即所以，又因為所以，即，故選：A.8.在中，已知．則下列說法正確的是（）A.當時，是銳角三角形 B.當時，是直角三角形C.當時，是鈍角三角形 D.當時，是等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根據邊長應用正弦定理計算分別判斷各個選項.【詳解】對于A:因為由正弦定理,當時，是鈍角三角形,當時，是鈍角三角形,A選項錯誤；對于B:因為,由,所以是直角三角形,B選項正確；對于C:因為,由當時，,是銳角三角形,C選項錯誤；對于D:因為,由,,,因為，所以不是等腰三角形,D選項錯誤；故選：B.9.已知是非零向量，則“”是“對于任意的，都有成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據充分條件、必要條件的定義及數量積的運算律判斷即可.【詳解】因為是非零向量，若，則，所以，所以對于任意的，都有成立，故充分性成立；若對于任意的，都有成立，則，即，所以，所以，所以，故必要性成立；所以“”是“對于任意的，都有成立”的充要條件.故選：C10.定義域為的函數的圖象的兩個端點分別為．點是的圖象上的任意一點，其中，點N滿足向量，點O為坐標原點．若不等式恒成立，則稱函數在上為k函數．已知函數在上為k函數，則實數k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出兩個端點，設的橫坐標為，縱坐標為，進一步確定，從而求出，求出，得到答案.【詳解】在上的兩個端點分別為，設的橫坐標為，縱坐標為，則，故，，故，，所以，當時，等號成立，故實數k的取值范圍為.故選：B二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.知復數z滿足，則__________，__________．【答案】①.；②..【解析】【分析】根據復數的運算法則，及共軛復數的定義即可求解【詳解】因為，所以；所以的共軛復數，故答案為：，12.在中，，P滿足，則____________．【答案】0【解析】【分析】根據已知及數量積運算律，即可求解.【詳解】由題意可知，.故答案為：13.在中，若，則k的一個取值為__________；當時，__________．【答案】①.（答案不唯一）②.1【解析】【分析】根據正弦定理，可以進行邊化角，然后得到，根據，可得k的取值，又，即可得到的具體值.【詳解】因為，由正弦定理可得，，又，所以，所以，又，取，所以，所以當時，，故答案為：，1.14.一名學生想測算某風景區山頂上古塔的塔尖距離地面的高度，由于山崖下河流的阻礙，他只能在河岸邊制定如下測算方案：他在河岸邊設置了共線的三個觀測點A，B，C（如圖），相鄰兩觀測點之間的距離為200m，并用測角儀器測得各觀測點與塔尖的仰角分別為,,,根據以上數據，該學生得到塔尖距離地面的高度為__________m．【答案】【解析】【分析】首先根據幾何關系表示邊長，再根據余弦定理求解.【詳解】由題意可知，，，，，設，則，，，根據，則，解得：所以塔尖距離底面的高度為米.故答案為：15已知函數，給出下列四個結論：①對任意的，函數是周期函數；②存在，使得函數在上單調遞減；③存在，使得函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；④對任意的，記函數的最大值為，則．其中所有正確結論的序號是__________．【答案】①②③【解析】【分析】根據周期函數的定義可以證明①，取時可以判斷②，取時可以判斷③、④.【詳解】對于①，令，則，所以對任意的，函數是周期函數，故①正確；對于②，當時，，所以所以，當時，即，因為，所以，易知在上單調遞減，即存在，使得函數在上單調遞減，故②正確；對于③，當時，令，即，易知定義域為R.因為所以圖象關于軸對稱；又因為，所以為奇函數，圖象關于原點中心對稱，所以存在，使得函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；故③正確；對于④，假設④為假命題，則它的否定：“存在，記函數的最大值為，則”為真命題，由③知，當時，所以，所以，存在，函數的最大值為，則，所以假設成立，即④為假命題，故答案為：①②③.三、解答題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數．（1）求的值和的零點；（2）求的單調遞增區間．【答案】（1），的零點為；（2）的單調遞增區間為.【解析】【分析】（1）先應用誘導公式及兩角和差化簡，再根據正弦函數的對稱中心求出零點即可；（2）應用正弦函數單調區間求解即可.【小問1詳解】令，所以．所以的零點為【小問2詳解】因為的單調遞增區間為所以．所以所以函數的單調遞增區間為17.已知．（1）求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；（2）利用向量的運算律，將轉化為關于的二次函數，然后求出最值即可.【小問1詳解】因為，，因為所以，【小問2詳解】由（1）知，，因為所以當時，的最小值為18.在中，．（1）求A的大小；（2）若，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求最長邊上高線的長．條件①：；條件②：的面積為；條件③：．注：如果選擇條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）；（2）答案見解析，最長邊上高線長.【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化簡求值；（2）若選擇條件①，方法一，根據正弦定理和余弦定理求三邊，判斷最長邊，再根據幾何關系求高，方法二，根據邊長和角，根據大角對大邊，直接判斷最長邊，再求高；若選擇條件②，根據面積求，再根據余弦定理求邊長，再求最長邊的高；如選擇條件③，根據正弦定理，判斷是否存在.【小問1詳解】因，所以所以，所以，因為，所以舍所以，則；【小問2詳解】選擇①因為，由正弦定理代入，得法一：由余弦定理代入得所以所以或（舍），所以邊最長，邊上的高線法二：因為，所以，所以，所以，所以為最長邊邊上高線選擇②因為所以因為，由余弦定理所以所以或所以最長邊上的高線，若選擇③，，根據正弦定理，，則，不成立，此時不存在.19.已知n維向量，給定，定義變換；選取，再選取一個實數x，對的坐標進行如下改變：若此時，則將同時加上x．其余坐標不變；若此時，則將及同時加上x，其余坐標不變．若a經過有限次變換（每次變換所取的i，x的值可能不同）后，最終得到的向量滿足，則稱a為k階可等向量．例如，向量經過兩次變換可得：，所以是2階可等向量．（1）判斷是否是2階可等向量？說明理由；（2）若取1，2，3，4的一個排序得到的向量是2階可等向量，求；（3）若任取的一個排序得到的n維向量均為k階可等向量．則稱為k階強可等向量．求證：向量是5階強可等向量．【答案】（1）是2階可等向量，理由見解析；（2）5；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據的定義即可求解，（2）根據的定義即可求解，，即可結合是2階可等向量求解，（3）根據是階可等向量，等價于是階可等向量，即可根據變換求證.【小問1詳解】是2階可等向量．例如經過兩次變換可得：【小問2詳解】設進行一次變換后得，當時，當時，當時，當時，綜上，我們得到．因為是2階可等向量，即所以．所以【小問3詳解】任取的一個排序，記為．注意到，是階可等向量，等價于是階