《第十一章三角形》專題復習（一）三角形的高、中線與面積問題

問題探究思考問題1

見兩垂直用面積法【教材第9頁習題11.1第8題改編】如圖，在△

ABC

中，

AB

＝2，

BC

＝

4，

CE

⊥

AB

于點

E

，△

ABC

的高

AD

為6，

CE

的長為多少？

【變式1】如圖，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

＝4，

P

是

BC

邊上任一點，

PD

⊥

AB

，

PE

⊥

AC

，

D

，

E

為垂足.若△

ABC

的

面積為6，問：腰

AB

上的高是多少？

PD

＋

PE

的值能否確定？若

能確定，值是多少？

解：腰

AB

邊上的高是3；

PD

＋

PE

的值能確定，且

PD

＋

PE

＝3.

AB

邊上的高＝面積×2÷

AB

＝6×2÷4＝3.如圖，連接

AP

.

由圖，可得

S△

ABC

＝

S△

ABP

＋

S△

ACP

.

∵

PD

⊥

AB

，

PE

⊥

AC

，

AB

＝

AC

＝4，△

ABC

的面積為6，

∴

PD

＋

PE

＝3.【變式2】如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，若

AC

邊上的高

BD

＝4，

P

為

BC

上一點，

PE

⊥

AC

于點

E

，

PF

⊥

AB

于點

F

，求

PE

＋

PF

的值.解：如圖，連接

AP

.

又∵

AB

＝

AC

，∴

BD

＝

PE

＋

PF

.

∵

BD

＝4，∴

PE

＋

PF

＝4.根據變式1和變式2你得到的結論是：

?

?等腰三角形底邊上任意一點到兩

腰的距離和等于一腰上的高.

問題2

中線等分三角形的面積王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配

給兩個兒子，則圖中他所作的線段

AD

應該是△

ABC

的(

B

)A.

角平分線B.

中線C.

高D.

任意一條線B【變式1】在如圖1至圖3中，△

ABC

的面積為

a

，如圖1，延長△

ABC

的邊

BC

到點

D

，使

CD

＝

BC

，連接

DA

，若△

ACD

的面積為

S1，則

S1

＝

(用含

a

的代數式表示).

a

【解析】∵

BC

＝

CD

，即

AC

是△

ABD

的中線，∴

S△

ABC

＝

S△

ACD

.

又∵

S△

ABC

＝

a

，∴

S△

ACD

＝

a

，即

S1＝

a

.【變式2】如圖2，延長△

ABC

的邊

BC

到點

D

，延長邊

CA

到點

E

，使

CD

＝

BC

，

AE

＝

CA

，連接

DE

，若△

DEC

的面積為

S2，則

S2＝

.

(用含

a

的代數式表示).2a

【解析】如圖，連接

AD

.

∵

EA

＝

AC

，∴

AD

是△

ECD

的中線.∴

S△

EAD

＝

S△

ACD

.

由【變式1】得

S△

ACD

＝

a

，則

S△

EAD

＝

S△

ACD

＝

a

，∴

S2＝2

a

.【變式3】在圖2的基礎上延長

AB

到點

F

，使

BF

＝

AB

，連接

FD

，

FE

，得到△

DEF

(如圖3)，此時，我們稱△

ABC

向外擴展了一次，若

陰影部分的面積為

S3，則

S3＝

(用含

a

的代數式表示).【解析】由變式2，得

S2＝2

a

，同理可得

S△

AEF

＝

S△

BFD

＝

S△

DEC

＝2

a

，則

S3＝6

a

.6

a

【變式4】應用：如圖4，去年李叔叔在面積為10

m2的△

ABC

空地上栽

種了某種花卉，今年他準備擴大種植規模，把△

ABC

向外進行兩次擴

展，擴展的區域面積共為多少平方米？解：擴展1次，

S△

DEF

＝7

S△

ABC

＝7×10＝70(m2).擴展2次，

S△

MGH

＝7

S△

DEF

＝7×70＝490(m2).∴擴展的區城面積共為490－10＝480(m2).

專題進階小練1.

如圖所示，已知

AD

，

AE

分別是△

ABC

的高和中線，

AB

＝6

cm，

AC

＝8

cm，

BC

＝10

cm，∠

CAB

＝90°.試求：(1)

AD

的長；

(2)△

ABE

的面積.

2.

如圖所示，在△

ABC

中，

AD

是

BC

邊上的中線，

E

是

AD

的中點.若

S△

AEC

＝3

cm2，則

S△

ABC

為多少？解：∵

E

是

AD

的中點，即

CE

是△

ADC

的中線，∴

S△

ADC

＝2

S△

AEC

＝2×3＝6(cm2).∵

AD

是△

ABC

的中線，∴

S△

ABC

＝2

S△

ADC

＝2×6＝

12(cm2).3.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AC

上的高

BD

＝4，

AB

＝10，

BE

是△

ABC

的中線，

F

為

BC

上的三等分點.求點

F

到

AC

邊的距離.

解：解：如圖，連接

CD

.

∵

N

是

AC

的中點，

∴

S△

ADN

＝

S△

CDN

.

同理

S△

ABN

＝

S△

CBN

.

設

S△

ADN

＝

S△

CDN

＝

a

.∵△

ABC

的面積是

m

，

∴

S△

CDM

＝3

S△

BDM

，

S△

ACM

＝3

S△

ABM

.

《第十一章三角形》專題復習（二）“8字形”與“飛鏢形”模型類型1

8字形1.

圖中有“8字”

ABCD

，“8字”

和“8字”

?.ABED

EBCD

2.

如圖，

AD

，

BC

相交于點

O

，得到一個“8字”

ABCD

，求證：∠

A

＋∠

B

＝∠

C

＋∠

D

.

證明：∵∠

A

＋∠

B

＋∠

AOB

＝180°，∠

C

＋∠

D

＋∠

COD

＝180°，∠

AOB

＝∠

COD

，∴∠

A

＋∠

B

＝∠

C

＋∠

D

.

類型2

飛鏢形4.

如圖，則∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝

?°.180

【解析】

方法1：如圖，設

BC

和

DE

交于點

F

，則∠

BFE

＝∠1＋∠

E

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

E

.

∵∠

BFE

＝∠

DFC

，∴∠

DFC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

E

.

又∵∠

D

＋∠

C

＋∠

DFC

＝180°，∴∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝180°.方法2：如圖，根據外角的性質，得∠1＝∠

A

＋∠

B

，∠2＝∠

C

＋∠

D

.

∵∠1＋∠2＋∠

E

＝180°，∴∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝180°.5.

如圖，則∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝

?°.6.

如圖，則∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝

?°.180

180

【解析】如圖，延長

EA

交

CD

于點

F

，設

EA

和

BC

交于點

G

.

根據外角的性質，得∠

GFC

＝∠

D

＋∠

E

，∠

FGC

＝∠

BAE

＋∠

B

，∵∠

GFC

＋∠

FGC

＋∠

C

＝180°，∴∠

BAE

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝180°.7.

如圖是一個六角星，其中∠

BOD

＝70°，則∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＋∠

F

＝

?°.140

【解析】∵∠

BOD

＝70°，∴∠

AOE

＝∠

BOD

＝70°.∴∠

A

＋∠

C

＋∠

E

＝∠

AOE

＝70°，∠

B

＋∠

D

＋∠

F

＝∠

BOD

＝70°.∴∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＋∠

F

＝70°＋70°＝140°.8.

如圖，你知道∠

BOC

＝∠

B

＋∠

C

＋∠

A

的奧秘嗎？請你用學過的

知識予以證明.證明：如圖，延長

BO

交

AC

于點

D

.

則∠

BOC

＝∠

BDC

＋∠

C

.

又∵∠

BDC

＝∠

A

＋∠

B

，∴∠

BOC

＝∠

B

＋∠

C

＋∠

A

.

《第十一章三角形》專題復習（三）三角形的角平分線問題探究思考問題1

“兩內角”平分線問題在△

ABC

中.

(1)如圖1，若

BP

，

CP

分別平分∠

ABC

，∠

ACB

，則∠

P

與∠

A

的數量

關系是什么？請說明理由.

延伸如圖3，

P

是△

ABC

內一點，且∠

BPC

＝133°，∠

ABP

，∠

ACP

的10等分線分別交于點

G1，

G2，…，

G9，若∠

BG1

C

＝70°，直

接寫出∠

A

的度數.解：∠

A

＝63°.

解得∠

A

＝63°.問題2

“一內角一外角”平分線問題如圖，在△

ABC

中，

BD

平分∠

ABC

，

CD

平分△

ABC

的外角∠

ACE

，

BD

，

CD

相交于點

D

.

(1)若∠

A

＝86°，求∠

D

的度數；

(2)若∠

A

＝α，求∠

D

的度數(用含α的式子表示).

問題3

“兩外角”平分線問題如圖，在△

ABC

中，

BD

，

CD

分別平分△

ABC

的外角∠

CBF

，∠

BCE

，

BD

，

CD

相交于點

D

.

若∠

A

＝70°，則∠

D

＝

?°.55

思考如圖，

BP

，

CP

分別平分∠

ABC

，∠

ACB

，它們相交于點

P

，你能直接運用∠

BPC

與∠

A

的關系得出∠

D

與∠

A

的關系嗎？

請說明理由.

《第十一章三角形》單元檢測試卷（一）一、選擇題(共10題.每題4分，共40分)1.

已知三角形三條邊的長分別是2，3和

a

，則

a

的取值范圍是(

D

)A.

2＜

a

＜3B.

0＜

a

＜5C.

a

＞2D.

1＜

a

＜5D2.

用透明三角尺作△

ABC

的邊

BC

上的高，下列三角尺的擺放位置正確

的是(

A

)A3.

【教材第16頁習題11.2第2題改編】在一個三角形的每個頂點處各取

一個外角，這三個外角中，銳角的個數最多有(

A

)A.

1個B.

2個C.

3個D.

不能確定A4.

如圖，在以下三角形中，外角中沒有∠

AEB

的三角形是(

B

)A.

△

AED

B.

△

ABE

C.

△

AEF

D.

△

AEC

B5.

下列圖形中，是直角三角形的是(

B

)B6.

如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其

折射光線與一束經過光心

O

的光線相交于點

P

，點

F

為焦點.若∠1＝

155°，∠2＝30°，則∠3的度數為(

C

)A.

45°B.

50°C.

55°D.

60°C7.

在△

ABC

中，∠

A

＝50°，∠

B

＝30°，點

D

在

AB

邊上，連接

CD

，若△

ACD

為直角三角形，則∠

BCD

的度數為(

D

)A.

60°B.

10°C.

45°D.

10°或60°D8.

如圖1，

M

是鐵絲

AD

的中點，將該鐵絲首尾相接，折成△

ABC

，且

∠

B

＝30°，∠

C

＝100°，如圖2，下列說法中，正確的是(

C

)A.

點

M

在

AB

上B.

點

M

在

BC

的中點處C.

點

M

在

BC

上，且距點

B

較近，距點

C

較遠D.

點

M

在

BC

上，且距點

C

較近，距點

B

較遠C9.

如圖，將三角形紙片

ABC

沿

DE

折疊，當點

A

落在四邊形

BCED

的外

部時，測量得∠1＝50°，∠2＝152°，則∠

AEC

的度數為(

C

)A.

7°B.

6.5°C.

6°D.

5.5°C10.

如圖，△

ABC

的三邊長均為整數，且周長為22，

AM

是邊

BC

上的

中線，△

ABM

的周長比△

ACM

的周長大2，則

BC

長的可能值有

(

A

)A.

4個B.

5個C.

6個D.

7個A二、填空題(共4題.每題5分，共20分)11.

當人們把空調安裝在墻上時，一般都會用如圖所示的方法固定，這

種方法運用的數學知識是

?.三角形的穩定性12.

若△

ABC

的三邊長分別是

a

，

b

，

c

，且(

a

－

b

)2＋｜

b

－

c

｜＝0，

則△

ABC

的形狀是

?.13.

如圖，一塊試驗田的形狀是三角形(設其為△

ABC

)，管理員從

BC

邊上的一點

D

出發，沿

D

→

C

→

A

→

B

→

D

的方向走了一圈回到

D

處，

則管理員從出發到回到原處他的身體轉過

?°.等邊三角形360

14.

如圖，在△

ABC

中，∠

A

＝

m

°，∠

ABC

和∠

ACD

的平分線交于

點

A1，得∠

A1；∠

A1

BC

和∠

A1

CD

的平分線交于點

A2，得∠

A2；…∠

A2

012

BC

和∠

A2

012

CD

的平分線交于點

A2

013，則∠

A2

013＝

?°.

三、解答題(共4題，共40分)15.

(8分)如圖，在△

ABC

中，

AD

是中線，

AB

＋

AC

＝14，△

ABD

的周長比△

ACD

的周長大4.(1)求

AB

，

AC

的長；解：(1)∵

AD

是△

ABC

的中線，∴

BD

＝

CD

.

∴△

ABD

的周長－△

ADC

的周長＝(

AB

＋

AD

＋

BD

)－

(

AC

＋

AD

＋

CD

)＝

AB

－

AC

＝4，即

AB

－

AC

＝4.

①又

AB

＋

AC

＝14，②①＋②，得2

AB

＝18，解得

AB

＝9.②－①，得2

AC

＝10，解得

AC

＝5.∴

AB

和

AC

的長分別為9，5.(2)求△

ABC

周長的取值范圍.解：(2)∵

AB

＝9，

AC

＝5，∴

AB

－

AC

＜

BC

＜

AB

＋

AC

，即9－5＜

BC

＜9＋5.∴4＜

BC

＜14.∴4＋9＋5＜

AB

＋

BC

＋

AC

＜14＋9＋5.∴18＜△

ABC

的周長＜28.16.

(8分)夕夕同學要證明“任意一個三角形的內

角和一定等于180°”是正確的，她的想法是利用平行線的性質與平角

的定義來證明.下面夕夕已經寫出了已知和求證，請你按夕夕的想法完

成證明.如圖，已知：△

ABC

.

求證：∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝180°.證明：如圖，過點

A

作

DE

∥

BC

.

∵

DE

∥

BC

，∴∠

B

＝∠

DAB

，∠

C

＝∠

EAC

.

∵∠

DAB

＋∠

BAC

＋∠

EAC

＝180°，∴∠

BAC

＋∠

B

＋∠

C

＝180°.17.

(12分)如圖，在△

ABC

中，

CD

是

AB

邊上的高，∠

A

＝∠

DCB

.

(1)如圖1，判斷△

ABC

的形狀，并說明理由；(1)解：△

ABC

是直角三角形.理由：∵在△

ABC

中，

CD

是高，∴∠

CDA

＝90°.∴∠

A

＋∠

ACD

＝90°.又∵∠

A

＝∠

DCB

，∴∠

DCB

＋∠

ACD

＝90°，即∠

ACB

＝90°.∴△

ABC

是直角三角形.(2)如圖2，

AE

是∠

BAC

的平分線，

AE

，

CD

相交于點

F

，若∠

BAC

＝

40°，求證：∠

CFE

＝∠

CEF

.

(2)證明：∵

AE

是∠

BAC

的平分線，∴∠

DAF

＝∠

CAF

.

∵∠

FDA

＝90°，∠

ACE

＝90°，∴∠

DAF

＋∠

AFD

＝90°，∠

CAE

＋∠

CEA

＝90°.∴∠

AFD

＝∠

CEA

.

∵∠

AFD

＝∠

CFE

，∴∠

CFE

＝∠

CEA

，即∠

CFE

＝∠

CEF

.

18.

(12分)已知△

ABC

的面積是60，請完成下列問題：(1)如圖1，若

AD

是△

ABC

的邊

BC

上的中線，則△

ABD

的面積

.

△

ACD

的面積；(填“＞”“＜”或“＝”)＝

【解析】如圖1，過點

A

作

AH

⊥

BC

于點

H

.

∵

AD

是△

ABC

的邊

BC

上的中線，∴

BD

＝

CD

.

∴

S△

ABD

＝

S△

ACD

.

20

(3)如圖3，

AD

∶

DB

＝1∶3，

CE

∶

AE

＝1∶2，請你計算四邊形

ADOE

的面積，并說明理由.解：如圖，連接

AO

.

∵

AD

∶

DB

＝1∶3，

∵

CE

∶

AE

＝1∶2，

設

S△

ADO

＝

x

，

S△

CEO

＝

y

，則

S△

BDO

＝3

x

，

S△

AEO

＝2

y

，

《第十一章三角形》單元檢測試卷（二）

與三角形有關的線段1.

如圖，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的道理是(

D

)A.

兩點之間，線段最短B.

垂線段最短C.

兩直線平行，內錯角相等D.

三角形具有穩定性D2.

已知六組三條線段的比：①2∶3∶4；②1∶2∶3；③2∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥6∶8∶10.其中可構

成三角形的有(

C

)A.

1組B.

2組C.

3組D.

4組C3.

如圖，△

ABC

三邊上的中線

AD

，

BE

，

CF

交于點

G

，若

S△

ABC

＝

24，則圖中陰影部分的面積是

?.8

4.

在△

ABC

中，

AB

＝8，

AC

＝1.

(1)

BC

的取值范圍為

?.(2)若

BC

是整數，則

BC

的長為

；△

ABC

是

三角形(按邊

分類).(3)已知

AD

是△

ABC

的中線，若△

ACD

的周長為10，則三角形

ABD

的

周長為

?.7＜

BC

＜9

8

等腰17

思路點撥5.

在△

ABC

中，(1)若△

ABC

為等腰三角形，且周長為16，一邊長為6，則另兩邊長分別

為

?；

若腰長為6，則三邊長分別為6，4，6，∴另兩邊長分別為6，4；若

底邊長為6，則三邊長分別為5，5，6，∴另兩邊長分別為5，5.6，4或5，5

(2)若∠

B

＝∠

C

＝36°，

D

為邊

BC

上一點，連接

AD

，當△

ADC

為等

腰三角形時，∠

ADB

的度數為

?；72°或108°

(3)若∠

B

＝80°，∠

C

＝60°，

CE

是△

ABC

的角平分線，

D

是射線

CE

上一點，連接

DB

，當△

BDC

為直角三角形時，∠

DBA

的度數為

?；(4)若∠

B

＝∠

C

，

BD

是

AC

邊上的高，∠

ABD

＝40°，則∠

C

的度數

為

?.20°或10°

65°或25°

[結論]在解決以上問題的過程中都需要“分類討論”，具體為：(1)因等腰三角形中

不確定，需“分類討

論”；(2)因等腰三角形中

不確定，需“分類討論”；(3)因直角三角形中

不確定，需“分類討論”；(4)“高”的問題因

不確定，需“分類討論”.已知邊為腰長還是底邊長已知角為頂角還是底角直角頂點三角形的形狀

與三角形有關的角

A.

銳角三角形B.

直角三角形C.

鈍角三角形D.

無法確定【解析】設∠

A

＝

x

°，則∠

B

＝2

x

°，∠

C

＝3

x

°.由∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝180°，得

x

＋2

x

＋3

x

＝180，∴

x

＝30，故∠

C

＝30°×3＝90°.∴△

ABC

是直角三角形.B7.

如圖，已知

P

是射線

ON

上一動點(不與點

O

重合)，∠

O

＝30°，若△

AOP

為鈍角三角形，則∠

A

的取值范圍是(

D

)A.

0°＜∠

A

＜60°B.

90°＜∠

A

＜180°C.

0°＜∠

A

＜30°或90°＜∠

A

＜130°D.

0°＜∠

A

＜60°或90°＜∠

A

＜150°D【解析】∠

O

＝30°，若∠

A

為鈍角，則90°＜∠

A

＜180°－30°，即90°＜∠

A

＜150°；若∠

A

為銳角，則0°＜∠

APN

＜90°.∵∠

APN

＝∠

O

＋∠

A

，∴∠

A

＋30°＜90°.∴0°＜∠

A

＜60°.綜上，∠

A

的取值范圍為0°＜∠

A

＜60°或90°＜∠

A

＜150°.8.

如圖，在△

ABC

中，∠

A

＝80°，

E

，

F

分別是

AC

，

AB

上的點，點

D

在

BC

的延長線上，連接

DE

，

DF

，其中∠

BFD

＝α，∠

DEC

＝β，則∠

EDF

＝

(用含α，β的代數式表示).80°＋β－α

【解析】∵α是△

AFH

的一個外角，∴α＝∠

A

＋∠

AHF

.

∵∠

A

＝80°，∴∠

AHF

＝α－80°.∵β是△

DEH

的一個外角，∴β＝∠

EDF

＋∠

DHE

.

∵∠

DHE

＝∠

AHF

，∴β＝∠

EDF

＋∠

AHF

.

∴β＝∠

EDF

＋α－80°.∴∠

EDF

＝80°＋β－α.9.

如圖，已知∠

MON

＝40°，

OE

平分∠

MON

，

A

，

B

，

C

分別是射

線

OM

，

OE

，

ON

上的動點(點

A

，

B

，

C

不與點

O

重合)，連接

AC

交

射線

OE

于點

D

.

設∠

OAC

＝

x

.(1)如圖1，若

AB

∥

ON

，則①∠

ABO

的度數是

.②當∠

BAD

＝

∠

ABD

時，

x

＝

；當∠

BAD

＝∠

BDA

時，

x

＝

?.20°

120°

60°

(2)如圖2，若

AB

⊥

OM

，則是否存在這樣的

x

的值，使得△

ADB

中有

兩個相等的角？若存在，求出

x

的值并畫出相應的圖形；若不存在，請

說明理由.

分以下兩種情況：①當點

D

在線段

OB

上時，若∠

BAD

＝∠

ABD

，如圖1所示，則

x

＝∠

OAB

－∠

BAD

＝∠

OAB

－∠

ABO

＝90°－70°＝20°；若∠

BAD

＝∠

BDA

，如圖2所示，

若∠

ADB

＝∠

ABD

，如圖3所示，則

x

＝∠

OAB

－∠

BAD

＝90°－(180°－2∠

ABO

)＝90°－(180°－

2×70°)＝50°；

多邊形及其內角和10.

如圖，△

HFG

的邊

FH

，

FG

分別經過五邊形

ABCDE

的兩個相鄰

的頂點

E

，

D

，點

F

在五邊形內.已知∠

HFG

＝70°，∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝280°，則∠1＋∠2＝(

D

)A.

180°B.

170°C.

160°D.

150°D11.

游戲中有數學智慧.找起點游戲規定：從起點走五段相等直路之后

回到起點，要求每走完一段直路后向右邊偏行，以下選項正確的是

(

A

)A.

每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B.

每段直路要短C.

每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D.

每段直路要長第11題圖A

第11題圖12.

如圖，正十邊形與正方形共邊

AB

，延長正

方形的一邊

AC

與正十邊形的一邊

ED

，兩線交于點

F

，設∠

AFD

＝

x

°，則

x

的值為(

B

)A.

15B.

18C.

21D.

24第12題圖B【解析】如圖，延長

AB

交

DF

于點

H

，

∴∠

AHF

＝∠

HBD

＋∠

HDB

＝72°.∵∠

BAC

＝90°，∴∠

AFD

＝90°－∠

AHF

＝18°，即

x

＝18.第12題圖13.

將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，

其俯視圖如圖1，正六邊形的邊長為2，且各有一個頂點在直線

l

上.兩側

螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中

間正六邊形的一邊與直線

l

平行，有兩邊分別經過兩側正六邊形的一個

頂點.(1)求圖1中∠β的度數；解：(1)∵正六邊形的每個內角為120°，∴∠β＝360°－120°×2＝120°.(2)求圖2中∠α的度數.解：(2)如圖.根據中間正六邊形的一邊與直線

l

平行及多邊形外角和，得∠

ACB

＝

180°－120°＝60°，∠

BAC

＝∠α＝90°－60°＝30°.《第十一章三角形》單元檢測試卷（三）一、選擇題(共12題，每題3分，共36分)1.

木工要做一個三角形木架，現有兩根木條的

長度分別為12

cm和5

cm，則第三根木條的長度不能是(

A

)

A.

6

cmB.

9

cmC.

13

cmD.

16

cm2.

如圖，一只手握住了一個三角形的一部分，則這個三角形是(

D

)A.

鈍角三角形B.

直角三角形C.

銳角三角形D.

以上都有可能AD3.

如圖，在△

ABC

中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，

則下列說法中，正確的是(

B

)A.

AD

是△

ABE

的中線B.

AE

是△

ABC

的角平分線C.

AF

是△

ACE

的高線D.

AE

是△

DAF

的中線B4.

把

n

邊形變為(

n

＋

x

)邊形，內角和增加了180°，則

x

的值為(

A

)A.

1B.

2C.

3D.

4【解析】由題意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝180°，解得

x

＝1.A5.

如圖，在3×3的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點

A

，

B

，

C

都在格點上，則△

ABC

的面積為(

C

)B.

3D.

4

C6.

科技館為某機器人編寫了一段程序，如果這個機器人在平地上按照

圖中所示的程序行走，那么該機器人所走的總路程為(

C

)A.

6

mB.

8

mC.

12

mD.

不能確定C【解析】由題意知，機器人從點

A

出發再回到點

A

時，走過的路線可圍

成一個正多邊形，∵每次左轉30°，即這個正多邊形的每個外角為30°，∴這個正多邊形的邊數為360°÷30°＝12.∴它第一次回到出發點

A

時，一共走了12×1＝12(m).7.

如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

C

＝110°，與∠

BAD

，∠

ABC

相鄰

的外角都是110°，則與∠

ADC

相鄰的外角α的度數是(

D

)A.

90°B.

85°C.

80°D.

70°【解析】∵在四邊形

ABCD

中，∠

C

＝110°，∴與∠

C

相鄰的外角度數為180°－110°＝70°.∴α＝360°－70°－110°－110°＝70°.D8.

一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3＝50°，則

∠1＋∠2的度數是(

B

)A.

90°B.

100°C.

130°D.

180°B【解析】如圖可知，∠

BAC

＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，∠

ABC

＝180°－60°－∠3＝120°－50°＝70°，∠

ACB

＝180°－60°－

∠2＝120°－∠2.∵在△

ABC

中，∠

BAC

＋∠

ABC

＋∠

ACB

＝180°，∴90°－∠1＋70°＋120°－∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝100°.9.

若三角形三個外角的比為3∶4∶5，則這個三角形是(

B

)A.

銳角三角形B.

直角三角形C.

等腰三角形D.

鈍角三角形【解析】設三角形的三個外角的度數分別為3

x

，4

x

，5

x

，則3

x

＋4

x

＋5

x

＝360°，解得

x

＝30°.∴3

x

＝90°，4

x

＝120°，5

x

＝150°，相應的內角分別為90°，60°，30°.∴這個三角形是直角三角形.B10.

等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則它的底角度數是

(

B

)A.

65°B.

65°或25°C.

25°D.

50°B【解析】當該等腰三角形為銳角三角形時，如圖1，可求得其頂角為50°，

當該等腰三角形為鈍角三角形時，如圖2，

可求得頂角的外角為50°，則頂角為180°－50°＝130°，

綜上所述，該等腰三角形的底角為65°或25°.11.

如圖所示，將正五邊形

ABCDE

的點

C

固定，并按順時針方向旋

轉，要使新五邊形A'B'CD'E'的頂點D'落在直線

BC

上，則旋轉角度為

(

B

)A.

108°B.

72°C.

54°D.

36°第11題圖B【解析】∵正五邊形的外角＝360°÷5＝72°，∴將正五邊形

ABCDE

的點

C

固定，并按順時針方向旋轉，則旋轉72°，可使得新五邊形

A'B'CD'E'的頂點D'落在直線

BC

上.第11題圖12.

如圖是由10把相同的折扇組成的“蝶戀花”(圖1)和“梅花”圖案

(圖2)(圖中的折扇無重疊)，則“梅花”圖案中的五角星的五個銳角均為

(

D

)A.

36°B.

42°C.

45°D.

48°第12題圖D【解析】如圖，連接圖中五角星的各個頂點，組成正五邊形.∵五邊形的內角和＝(5－2)×180°＝540°，

∵扇形中心角度為120°，

∴剩下頂角為108°－2×30°＝48°.第12題圖二、填空題(共4題，每題3分，共12分)13.

在以下生活現象中：①自行車的三角形車架；②校門口的自動伸縮

柵欄門；③照相機的三腳架；④長方形門框的斜拉條.利用了三角形的

穩定性的有

(填序號).①③④

14.

如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

＝50°，∠

ACB

＝78°，

BD

平分∠

ABC

交

AC

于點

D

，則∠

BDC

的度數為

?°.77

15.

一塊板材如圖所示，測得∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，根據需要，∠

ADC

為140°，師傅說板材不符合要求且只能改動∠

A

，則可將∠

A

(填“增加”或“減少”)

?°.第15題圖減少5

【解析】如圖，延長

CD

交

AB

于點

E

.

∵∠

ADC

＝∠

A

＋∠

CEA

，∠

CEA

＝∠

B

＋∠

C

，∴∠

ADC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

.

∵∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，∴∠

ADC

＝20°＋90°＋35°＝145°.∵∠

ADC

需為140°，∴可將∠

A

減少5°.第15題圖16.

我們定義：在一個三角形中，如果一個角的度數

是另一個角度數的3倍，這樣的三角形我們稱之為“和諧三角形”.如：

三個內角分別為105°，40°，35°的三角形是“和諧三角形”.概念

理解：如圖，∠

MON

＝60°，在射線

OM

上找一點

A

，過點

A

作

AB

⊥

OM

交

ON

于點

B

，則∠

ABO

的度數為

，△

AOB

(填

“是”或“不是”)“和諧三角形”.30°

是第16題圖【解析】∵

AB

⊥

OM

，∴∠

OAB

＝90°.∵∠

MON

＝60°，∴∠

ABO

＝180°－90°－60°＝30°.在△

AOB

中，∠

OAB

＝90°，∠

ABO

＝30°，即∠

OAB

＝3∠

ABO

，

∴△

AOB

是“和諧三角形”.第16題圖三、解答題(共52分)17.

(6分)已知

n

邊形的內角和θ＝(

n

－2)×180°.(1)甲同學說：“θ能取360°”；而乙同學說：“θ也能取630°”.甲、

乙同學的說法對嗎？若對，求出邊數

n

；若不對，請說明理由；解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，∴甲同學的說法對，乙同學的說法不對.∵360°÷180°＋2＝2＋2＝4.∴甲同學說的邊數

n

是4.(2)若

n

邊形變為(

n

＋

x

)邊形，發現內角和增加了360°，用列方程的方

法確定

x

.解：(2)依據題意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝360°，解

得

x

＝2.∴

x

的值是2.18.

(6分)如圖，在△

ABC

中，∠

B

＝∠

C

，

D

，

E

分別是

BC

，

AC

上

的點，連接

DE

，∠1＝∠2，∠

BAD

＝40°，求∠

EDC

的度數.解：∵∠1是△

DEC

的外角，∴∠1＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠

ADC

是△

ABD

的外角，∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BAD

.

∴∠

B

＋∠

BAD

＝∠2＋∠

EDC

，即∠

B

＋40°＝∠

C

＋2∠

EDC

.

又∵∠

B

＝∠

C

，∴2∠

EDC

＝40°.∴∠

EDC

＝20°.19.

(8分)如圖，用釘子把木棒

AB

，

BC

和

CD

分別在端點

B

，

C

處連接

起來，并讓木棒

AB

，

CD

可以分別繞端點

B

，

C

轉動，用橡皮筋把

AD

連接起來，設橡皮筋

AD

的長是

x

cm.(1)若

AB

＝5

cm，

CD

＝3

cm，

BC

＝11

cm，求

x

的最大值和最小值；解：(1)當

AB

繞點

B

逆時針轉到與

BC

共線，

CD

繞點

C

順時針轉到與

BC

共線時，

x

為最大值，即

x

＝

AB

＋

BC

＋

CD

＝5＋11＋3＝19(cm)；當

AB

繞點

B

順時針轉到與

BC

共線，

CD

繞點

C

逆時針轉

到與

BC

共線時，

x

為最小值，即

x

＝

BC

－

AB

－

CD

＝

11－5－3＝3(cm).(2)在(1)的條件下要圍成一個四邊形，你能求出

x

的取值范圍嗎？解：(2)如果要使

AB

，

BC

，

CD

，

AD

圍成一個四邊形，

那么

AB

，

BC

，

CD

三根木棒不能共線，∴

x

的取值范圍

為3＜

x

＜19.20.

(9分)如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

B

＝∠

D

＝90°，

AE

平分∠

BAD

，

CF

平分∠

BCD

，則

AE

與

CF

有怎樣的位置關系？請說明理由.解：

AE

∥

CF

.

∴∠

EAD

＝∠

CFD

.

∴

AE

∥

CF

.

21.

(11分)如圖是甲、乙、丙三位同學折紙的示意圖.(1)甲折出的

AD

是