第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁山西省2024?2025學年高二上學期1月期末數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．若3，，27成等差數列，則（

）A．9 B．15 C． D．2．過點且與直線垂直的直線的方程是（

）A． B．C． D．3．如圖，在三棱柱中，分別是棱的中點，則（

）A． B．C． D．4．已知圓與圓的交點為，則直線的方程為（

）A． B． C． D．5．已知函數，則（

）A． B． C． D．6．已知等比數列的前項和為，若，則（

）A．9 B．8 C．7 D．67．已知函數在定義域內單調遞增，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．為了促進科技探究學習與競技的巧妙融合，在實踐中激發創新意識和研究精神，某市舉辦青少年機器人設計大賽．在比賽中有一個追逐項目，如圖，在平面直角坐標系中，直線為競技區與安全區的分界線，機器人甲在點處，機器人乙在競技區內的點處，點在第一象限，且直線的傾斜角為．已知機器人甲的速度是機器人乙的3倍，機器人甲、乙可以向任意方向直線前進，機器人甲、乙同時出發，若要保證機器人甲在競技區（含直線）內一定能追上機器人乙，則線段長度的最大值是（

）A． B．2 C． D．1二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線，則（

）A．雙曲線的實軸長為8 B．雙曲線的虛軸長為3C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的漸近線的斜率為10．給出定義：若函數在上可導，即存在，且導函數在上也可導，則稱在上存在二階導函數，記．若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數”．下列函數中在定義域上是“下凸函數”的是（

）A． B．C． D．11．已知數列滿足，數列滿足，設中不在中的項按從小到大的順序構成新數列，記的前項和為，則（

）A． B．是等比數列C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數，則．13．已知等差數列的前項和為，且，，則取得最小值時，．14．在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點，圓，過圓的圓心的直線與拋物線交于點，與圓交于點，其中在第一象限，若，則直線的斜率為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．16．已知函數的圖象在點處的切線與直線平行．(1)求的值；(2)求函數在區間上的極值與最值．17．如圖，平面平面，四邊形是正方形，．(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．18．已知橢圓的左、右頂點分別為，且，橢圓的焦距為4．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點（不在軸上）是橢圓上不同的兩點．①求直線的斜率之積；②若直線的斜率是直線的斜率的3倍，試判斷直線是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．19．已知函數（為自然對數的底數，），函數的極值點為0．(1)求的值；(2)證明：對；(3)已知數列的前項和，證明：．

參考答案1．【答案】B【詳解】若3，，27成等差數列，則，解得.故選：B.2．【答案】D【詳解】直線的斜率為，因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即.故選：D.3．【答案】C【詳解】.故選：C.4．【答案】B【詳解】∵，，∴兩圓方程相減得，，化簡得.故選：B.5．【答案】D【詳解】設，則，∴，即，∴.故選：D.6．【答案】C【詳解】設等比數列的公比為，由，顯然，則，即，所以，所以.故選：C.7．【答案】A【詳解】函數定義域為，，因為函數在定義域內單調遞增，所以,所以在恒成立，所以設，所以單調遞減；單調遞增；所以，所以.故選：A.8．【答案】B【詳解】設，因為在第一象限，且直線的傾斜角為，所以，設機器人甲在點處追上機器人乙，由機器人甲的速度是機器人乙的3倍，得，所以，化簡可得，所以點在以為圓心，為半徑的圓上.若要保證機器人甲在競技區（含直線）內一定能追上機器人乙，則圓在競技區（含直線）內，即直線與圓相切或相離，又點到直線的距離，所以，解得或，當時，在安全區，不滿足要求，所以，即長度的最大值是2.故選：B.9．【答案】AD【詳解】由得雙曲線中，∴，∴實軸，虛軸，故A選項正確，B選項錯誤；離心率，故C選項錯誤；漸近線方程，則斜率為，故故D選項正確.故選：AD.10．【答案】ABC【詳解】A.定義域為，，，故A正確.B.定義域為，，，故B正確.C.定義域為，，，故C正確.D.定義域為，，，當時，，故D錯誤.故選：ABC.11．【答案】AC【詳解】對于A：由，可得：，所以：，所以，正確，對于B：所以，即是首項為2，公比為2的等比數列，所以，所以則，不是等比數列，錯誤；對于C：數列的第106項為213，又，，，，，，，所以，所以的前項和為，C對，D錯；故選：AC12．【答案】/0.25【詳解】∵，∴，∴.故答案為：.13．【答案】9【詳解】由可得，其中為公差，由可得，因此，根據等差數列的性質得：當時，；當時，.因此當時，取得最小值，故答案為：.14．【答案】或【詳解】因為拋物線經過點，所以，所以，圓的圓心為，半徑為，設直線的斜率為，則直線的方程為，代入可得，設、，則，所以，所以，所以，所以，所以，即得解得.故答案為：或.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數列的公差為，由，得，由，得，所以，所以．（2）由（1）知，所以16．【答案】(1)(2)極小值為，極大值為，最大值為12，最小值為．【詳解】（1）由，得，．所以．因為函數的圖象在點處的切線與直線平行，所以，即，解得．（2）由（1），得，令，解得，或．當變化時，的變化情況如下表所示：100單調遞減單調遞增單調遞減因此，當時，有極小值，且極小值為，當時，有極大值，且極大值為．又，所以函數在區間上的最大值為12，最小值為．17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因為四邊形是正方形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知平面，又平面，所以，又四邊形是正方形，所以，所以兩兩垂直．以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，所以，設平面的法向量為，則令，得，所以平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則，令，得，，所以平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．18．【答案】(1)(2)①；②恒過點．【詳解】（1）由，得，解得，設橢圓的焦距為，由焦距為4，得，解得，又，所以橢圓的標準方程為；（2）①由題意，得，設，由在橢圓上，得，即，所以，即直線的斜率之積為．②設，若直線的斜率為0，則關于軸對稱，所以，又直線的斜率是直線的斜率的3倍，所以，即，由不在軸上，得，與矛盾，所以直線的斜率不為0．設直線的方程為，由，得，所以，且，由①知，又，所以，所以，即，化簡，得，將代入上式并化簡，得即，解得或，當時，與矛盾，舍去，當時，滿足所以直線恒過點．19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由，得，因為函數的極值點為0，所以，解得．若，當時，單調