題型105類排列組合二項式定理的解題技巧（特殊元素（位置）、定序倍縮、分組分配、三項式、二項式乘積）技法01技法01特殊元素（位置）的應用及解題技巧技法02定序倍縮法的應用及解題技巧技法03平均分組分配及部分平均分組分配的應用及解題技巧技法04三項展開式的應用及解題技巧技法05二項式乘積的應用及解題技巧本節導航技法01特殊元素（位置）的應用及解題技巧對于有附加條件的排列組合問題，一般采用先考慮滿足特殊的元素或位置，再考慮其它元素或位置，常在小題中考查，需強加練習.首先，要明確題目中的特殊元素或位置，如某個特定數字、顏色、形狀等，或者是某個特定的位置，如首位、末位等。這些特殊元素或位置往往對排列組合的結果產生決定性影響。其次，根據特殊元素或位置的性質，靈活運用排列組合的基本原理進行求解。例如，如果特殊元素不能相鄰，則可以采用插空法；如果特殊元素必須相鄰，則可以將它們看作一個整體進行排列，然后再考慮整體與其他元素的排列。此外，還需要注意題目中的其他條件，如元素的總數、不同元素的數量等，這些條件也會對排列組合的結果產生影響。在解題過程中，要綜合考慮所有條件，靈活運用各種技巧進行求解。通過大量練習和積累，可以逐漸掌握特殊元素（位置）的應用技巧，提高解題能力和效率（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種思路點撥：本題主要解決有位置限制且存在相鄰元素的排列問題。破題點在于合理運用捆綁法和插空法，并結合排列組合的計數原理計算可得。思路詳解：因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B1．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．思路詳解：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數顯然是，根據古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B2．（2024·江西新余·模擬預測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（

）種.A． B． C． D．思路詳解：采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙排最左端的有種，然后加上甲在中間和乙在最左端的有種，則共有種排法.故選：D.3．（2024·浙江杭州·三模）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高從低到高，互不相同，將他們排成相對身高為“高低高低高”或“低高低高低”的隊形，則甲、丁不相鄰的不同排法種數為（

）A．12 B．14 C．16 D．18思路詳解：依據題意，分兩種情況討論，情況一：高低高低高依次對應1-5號位置，規定甲在號位，則乙在1號位或4號位，而甲，丁不相鄰，當乙在1號位時，此時為乙甲戊丙丁，共1種，當乙在4號位時，此時有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2種，易得倒序排列和正序排列種數相同，故本情況共6種，情況二：低高低高低依次對應1-5號位置，假設戊在2號位，若丁在1號位，此時有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2種，若丁在4號位，此時有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2種，易得倒序排列和正序排列種數相同，故本情況共8種，故符合題意的情況有種，故B正確.故選：B.1．（2024·安徽合肥·模擬預測）甲乙丙丁戊5名同學坐成一排參加高考調研，若甲不在兩端且甲乙不相鄰的不同排列方式的個數為（

）A．36種 B．48種 C．54種 D．64種【答案】A【分析】利用間接法，先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數，結合排列數運算求解.【詳解】先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數，所以總數為種，故選：A.2．（2024·浙江金華·三模）在義烏，婺劇深受民眾喜愛.某次婺劇表演結束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右邊的不同排法總數是（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【分析】間接法，先求出小生和老生不相鄰的情況，再減去老旦排在最右邊的情況，即可得解.【詳解】首先按照小生和老生不相鄰的要求共有種排法，其中老旦排在最右邊情況，左側4個位置，先排花旦、正旦有，由此所成的3個空中將小生、老生插入有，所以排法有種，所以滿足題意的不同排法總數是.故選：C3．（2024·安徽池州·模擬預測）植樹節這天，某學校組織5名學生依次給樹木澆水，其中甲和乙是好朋友，必須相鄰，丙不在第三位，則不同的澆水順序的種數為（

）A．30 B．36 C．40 D．42【答案】C【分析】分丙在第一或第五位，在第二位或第四位，兩種情況，求出澆水順序，相加得到答案.【詳解】若丙在第一或第五位，甲乙進行捆綁，內部可以全排列，甲乙看作一個整體，和剩余的兩個學生進行全排列，故不同的澆水順序有種，若丙在第二位或第四位，甲乙進行捆綁，內部可以全排列，且甲乙只能有兩個位置可以選擇，再將剩余的兩為同學進行排列，則不同的澆水順序有種，則不同的澆水順序共有種．故選：C技法02定序倍縮法的應用及解題技巧定序倍縮法是一種在排列組合問題中常用的技巧，尤其在處理具有特定順序要求的元素排列時顯得尤為有效。該方法的核心在于，當某些元素需要按照特定順序排列時，我們可以通過“倍縮”這些元素來考慮其排列方式，從而簡化問題。掌握這一技巧對于提高排列組合問題的解題能力具有重要意義。對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進行排列，然后用總排列數Aeq\o\al(n,n)除以m個順序一定的元素之間的全排列數Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法種eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).某學習小組、、、、、、七名同學站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數為（

）A． B． C． D．思路點撥：本題是元素存在相鄰關系和位置特定順序要求的排列問題，關鍵在于綜合運用捆綁法和倍縮法來求解。思路詳解：由題意可知，與相鄰，則將與捆綁，然后要求在的左邊，在的右邊，由捆綁法和倍縮法可知，不同的排法種數為種.故選：C.1．某次數學競賽獲獎的6名同學上臺領獎，若甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，則不同的上臺順序種數為（

）．A．20 B．120 C．360 D．720思路詳解：因為甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，所以不同的上臺順序種數為.故選：B.2．今有2個紅球，3個黃球，同色球不加以區分，將這5個球排成一行，則不同的排法種數為（

）A． B． C． D．思路詳解：因為5個球有種排法，因為同色球不加以區分，2個紅球有種排法，3個黃球排有種排法，所以共有種排法．故選：D．1．用組成沒有重復數字的七位數，若的順序一定，則符合條件的七位數有（

）個A．840 B．210 C．640 D．410【答案】A【分析】根據倍縮法求解定序問題.【詳解】組成沒有重復數字的七位數，共有個，的順序有個，所以所求的個數有，故選：.2．習近平總書記在全國教育大會上發表重要講話，稱教育是國之大計，黨之大計．哈九中落實講話內容，組織研究性學習．在研究性學習成果報告會上，有A、B、C、D、E、F共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A、C、D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數為（

）A．100 B．120 C．300 D．600【答案】A【分析】優先排B元素，然后根據A、C、D順序確定用除法可得.【詳解】先排B元素，有5種排法，然后排剩余5個元素共，由于A、C、D順序確定，所以不同的排法共有.故選：A技法03平均分組分配及部分平均分組分配的應用及解題技巧這類問題在排列組合中較為常見，其核心在于理解“平均”與“部分平均”的概念。平均分組即指將元素均等地分配到各個組中，不考慮組內的排列順序；而部分平均分組則是在平均分組的基礎上，允許部分組內的元素數量有所不同，但仍需遵循一定的分配規則。常在小題中考查，需強加練習。平均分組、部分平均分組1．對不同元素的分配問題(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數)，避免重復計數．(2)對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．（2024·江西宜春·模擬預測）將6名志愿者安排到4個不同的社區進行創文共建活動，要求每個社區至少安排1名志愿者，則不同排法共有（

）A．480種 B．1560種 C．2640種 D．640種思路點撥：本題是排列組合中的分組分配問題，解題關鍵在于先合理分組，再將分好的組進行全排列分配到不同社區，同時要注意分組時的重復情況。思路詳解：解：先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區即可，若志愿者人數依次為3，1，1，1，則不同的安排方法種數為：種；若志愿者人數依次為2，2，1，1，則不同的安排方法種數為：種，故不同的安排方法共有種．故選：B．1．每年的5月25日是全國大中學生心理健康日．某高校計劃在這一天開展有關心理健康的宣傳活動，現計劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講，則不同的排法總數為（

）A．540 B．120 C．90 D．60思路詳解：先將6位老師平均分成三組，再將三組分配即可.【詳解】將6位老師平均分成三組，共有種可能，三組老師分別到三個不同的班級進行宣講，每個班級都有老師宣講，則有種排法．故選：C.2．洛陽市牡丹文化節期間，5名志愿者準備到3個博物館參加志愿服務，若每個博物館至少接受1名志愿者，則不同的分配方案有（

）A．90種 B．150種 C．240種 D．300種思路詳解：將5名志愿者分為1，2，2，則有種分法，將5名志愿者分為1，1，3，則有種分法，則不同的分配方案有種.故選：B.3．某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學分別報名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步個項目，每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，且甲不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種思路詳解：滿足條件的報名方法可分為兩類：第一類：甲單獨參加某項比賽，先安排甲，由于甲不能參加跳遠，故甲的安排方法有種，再將余下人，安排到與下的三個項目，由于每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，故滿足條件的報名方法有,所以甲單獨參加某項比賽的報名方法有種，第二類：甲與其他一人一起參加某項比賽，先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項目，有種方法，再安排余下三人，有種方法，所以甲不單獨參加某項比賽的報名方法有種，所以滿足條件的不同的報名方法共有種方法.故選：C.1．在打結計時賽中，現有5根繩子，共有10個繩頭，每個繩頭只打一次結，且每個結僅含兩個繩頭，所有繩頭打結完畢視為結束．則這5根繩子恰好能圍成一個圈的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可以把問題看做10個繩頭平均分成5組，按平均分組問題求總的基本事件，再求恰好能圍成一個圓的基本事件數，結合古典概型計算.【詳解】10個繩頭，每個繩頭只打一次結，且每個結僅含兩個繩頭，所有的打結方式有：種.其中恰好能圍成一個圈的打結方式有：種.所以5根繩子恰好能圍成一個圈的概率為：.故選：D【點睛】方法點睛：（1）10個繩頭打結，按要求，每次打結都減少2個繩頭，所以可以把問題看成平均分組來解決.（2）恰好圍成一個圓時，先選1根繩子，不能兩端打結，只能從其余的8個繩頭選1個打結，完成后，這段繩子不能兩端打結，再從其余的6個繩頭選1個…，最后這段繩子兩端打結.2．運動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個場地參加志愿服務，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法種數為（

）A．72 B．96 C．114 D．124【答案】C【分析】根據題意，先將5人分為三組并分配到各個場地，再計算得出甲乙不在同一個場地的情況即可求解.【詳解】將5名志愿者分為1，2，2，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法有種.將5名志愿者分為1，1，3，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法有種.故不同的安排方法共有種.故答案為：C.3．有6本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為（

）A．1440種 B．1560種 C．1920種 D．5760種【答案】B【分析】先進行分組，有和兩種情況，利用排列組合知識分別求出兩種情況下的情況數，再相加求出答案.【詳解】先將6本書進行分為4組，每個學生至少一本，有和兩種情況，其中分為的情況有種，分為的情況有種，故不同的分法種數為.故選：B4．現有包含兩本書的六本不同的書，分給甲?乙?丙三個人，要求每人至少一本，其中兩本書被分給甲的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將六本書先分組再分配，按照三組本數為，和三種情況討論可得總分法.每種情況下優先分甲可得滿足條件的分法，然后由古典概型概率公式可得.【詳解】第一類，將六本書分成三組，然后分給三人共有種，其中滿足條件的分法：先將兩本分給甲，然后將4本書分成兩組分給乙、丙，共有種；第二類，將六本書分成三組，然后分給三人共有種，其中滿足條件的分法：先從4本書中取2本連同分給甲，剩下的分給乙、丙，共有種；第三類，將六本書分成三組，然后分給三人共有種，其中滿足條件的分法：1）甲得2本：將分給甲，然后將剩余4本分成兩組分給乙、丙，共有種；2）甲得3本：先從4本書中取1本連同分給甲，再將剩余3本分成兩組分給乙、丙，共有.綜上，將六本不同的書，分給甲?乙?丙三個人，共有種，滿足條件的分法有種.所以，兩本書被分給甲的概率為.故選：C技法04三項展開式的應用及解題技巧三項展開式在模擬題中經常考查，通常涉及到求系數，需強加練習。三項展開式的解題技巧是不要用二項式定理去解兩次，而應該從數學意義的角度看做多少個式子相乘，直接當做排列組合求解，可秒解。（2024·福建福州·模擬預測）展開式中的常數項為.（用數字作答）思路點撥：本題是求多項式展開式中常數項的問題，關鍵在于根據多項式乘法原理，對展開式中得到常數項的不同情形進行分類討論。思路詳解：展開式中得到常數項的方法分類如下：（1）4個因式全取-1，相乘得到常數項.常數項為；（2）4個因式中有1個取，則再取1個，其余因式取，相乘得到常數項.常數項為；（3）4個因式中有2個取，則再取2個，相乘得到常數項.常數項為，合并同類項，所以展開式中常數項為.故答案為：49.1．（2024·江西·模擬預測）的展開式中的系數為．思路詳解：由題設，含的項為,故其系數為．故答案為：672.2．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數為（

）A． B． C． D．思路詳解：，項對應，，項對應系數為，故展開后系數為.故選：D.1．的展開式中的系數為.【答案】【分析】分析找到滿足題意的項，化簡即可得到結果．【詳解】根據題意，展開式中的項為則的系數為：故答案為：.2．（2024·江西新余·模擬預測）設為虛數單位，則的展開式中，項的系數為：（結果用復數表示）.【答案】【分析】利用二項式定理展開.【詳解】將的次數分成5份，符合題意的有：0，0，1，1，1和0，0，0，1，2兩種，，，故系數為：.故答案為：技法05二項式乘積的應用及解題技巧二項式乘積在高考和模擬題中經常考查，通常涉及到求系數，需強加練習。二項式乘積的解題技巧是先相乘，再結合二項式定理的通項公式求解即可。（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數為（用數字作答）．思路點撥：本題是求多項式展開式中特定項系數的問題，關鍵在于將給定式子變形，再利用二項式展開式的通項公式來確定特定項的系數。思路詳解：因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數為-28故答案為：-281．（2024·山西長治·模擬預測）的展開式中的系數是（

）A．﹣10 B．0 C．10 D．30思路詳解：依題意可知，含的項是，所以的系數是.故選：C2．（2024·江西·一模）的展開式中的常數項為（

）A．147 B． C．63 D．思路詳解：二項式展開式中項分別為，所以的展開式中的常數項為．故選：C3．（2024·河南許昌·模擬預測）的展開式中，其中不含的項為.思路詳解：由二項式定理可得展開式的通項為，所以多項式的展開式中不含x的項分別為：和.故答案為：和.1．（2025·浙江·模擬預測）展開式中的系數為.【答案】30【分析】求出二項式的展開式的項和項即可得解.【詳解】二項式的展開式中，項為，項為，因此展開式中項為，所以所求系數為30.故答案為：302．（2024·重慶·模擬預測）的展開式中的各項系數和為243，則該展開式中的系數為.【答案】【分析】令求出，然后求出展開式中的常數項和含的項，分別與因式中的項相乘可得.【詳解】令可得，解得，的展開式中通項，，分別令，得，所以展開式中的常數項和含的項分別為，所以展開式中的系數為.故答案為：3．（2024·貴州遵義·模擬預測）在多項式的展開式中，的系數為32，則.【答案】【分析】首先展開得，再分別計算兩部分含的系數，即可求解.【詳解】，中含的系數為，中含的系數為，所以中的系數為，所以，得故答案為：4．（2025·江西新余·一模）的展開式中的系數為36，則的值為.【答案】【分析】根據題意結合二項展開式的通項公式運算求解.【詳解】因為的二項展開式為，令，可得；令，可得；可得，所以，解得：，故答案為：一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（

）種A．186 B．264 C．284 D．336【答案】D【分析】先考慮A和B不相鄰的排法，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，相減后得到答案.【詳解】先考慮A和B不相鄰的排法，將C、D、E、F四個人進行全排列，有種情況，C、D、E、F四個人之間共有5個空，選擇2個排A和B，有種情況，故有種選擇，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，先從兩端選擇一個位置安排C，有種情況，再將D、E、F三個人進行全排列，有種情況最后D、E、F三個人之間共有4個空，選擇2個排A和B，有種情況，故有種情況，則要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的安排有種情況.故選：D2．（2025·甘肅白銀·模擬預測）某高校有8名研究生要去小興安嶺采集植物樣本，其中男生6人，女生2人，將這8人分成兩組，若要求每組至少2人，且兩名女生不單獨成組，則不同的分組方案共有（

）A．240種 B．158種 C．126種 D．118種【答案】D【分析】由題意，分組方案有4，4和3，5及2，6三種情況，利用組合計算每種情況，即可求解.【詳解】根據題意，分3種情況討論：①分為4，4的兩組時，不會出現兩名女生單獨成組情況，有種分組方法；②分為3，5的兩組時，有種分組方法；③分為2，6的兩組時，有種分組方法，其中有1種兩名女生單獨成組情況，則有27種符合條件的分組方法，故共有種分組方法.故選：D3．（2024·廣西貴港·模擬預測）2024年4月6號岳陽馬拉松暨全國半程馬拉松錦標賽（第三站）開賽，比賽結束后，其中5男3女共8位運動員相約在賽道旁站成前后兩排合影，每排各4人，若男運動員中恰有2人左右相鄰，則不同的排列方法共有（

）A．732種 B．2260種 C．4320種 D．8640種【答案】D【分析】依題意只能一排3男1女，另一排2男2女，且相鄰的2位男運動員在“3男1女”這一排中，按照先選人，再排列，相鄰問題用捆綁法，最后按照分步乘法計數原理計算可得．【詳解】根據題意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相鄰的2位男運動員在“3男1女”這一排中．先確定“3男1女”這一排，5男選3人，3女選1人，所選3男選2人相鄰，與余下的1男安排在1女的兩側，排列方法有種，再確定“2男2女”這一排，2男先排好有，2女相鄰并放在2男之間有種，或2女放在2男成排的兩空有種方式，排列方法有種，因此，不同的排列方法總數為．故選：D4．（2024·內蒙古包頭·三模）一個小型聯歡會要安排1個詩詞朗誦類節目，2個獨唱類節目，2個歌舞類節目，則同類節目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種【答案】B【分析】利用間接法，首先將五個節目全排列，減去獨唱類節目相鄰，再減去歌舞類節目相鄰，最后加上獨唱類節目相鄰且歌舞類節目也相鄰的情況即可.【詳解】依題意五個節目全排列有種排法；若獨唱類節目相鄰，則有種排法；若歌舞類節目相鄰，則有種排法；若獨唱類節目相鄰且歌舞類節目也相鄰，則有種排法；綜上可得同類節目不相鄰的安排方式共有種.故選：B5．（2024·遼寧·模擬預測）現有含甲在內的5名游客來到江西旅游，分別準備從井岡山、廬山、龍虎山這3個5A級景區中隨機選擇1個景區游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個景區均有人選擇，則這5名游客不同的選擇方案種數為（

）A．52 B．72 C．76 D．100【答案】D【分析】分類討論與甲為一組的人數情況，結合分組分配問題的解法即可得解.【詳解】若甲1個人一組，則其他兩組人數分別為1，3或2，2，則不同的選擇方案有種；若甲和另外1個人兩人一組，則其他兩組人數為1，2，則不同的選擇方案有種；若甲和另外2個人三人一組，則其他兩組人數為1，1，則不同的選擇方案有種；所以共有種選擇方案.故選：D.6．（2024·廣東·模擬預測）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【答案】D【分析】將甲、乙兩人看成一個人，根據n個不同元素圍成的環狀共有種排法求解.【詳解】因為由于環狀排列沒有首尾之分，將n個不同元素圍成的環狀排列剪開看成n個元素排成一排，即共有種排法，由于n個不同元素共有n種不同的剪法，則環狀排列共有種排法.甲、乙兩人相鄰而坐，可將此2人當作1人看，即5人圍一圓桌，有種坐法，又因為甲、乙2人可換位，有2!種坐法，故所求坐法為種.故選：D7．（2024·陜西西安·模擬預測）的展開式的常數項為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用的展開式的通項公式，得的展開式的項為或，即可求出結果.【詳解】因為的展開式的通項公式為，所以的展開式的項為或，令時，，令時，，所以的展開式的常數項為，故選：A.8．（2024·北京大興·三模）在的展開式中，x的系數為（

）A．9 B．15 C． D．【答案】A【分析】利用二項式展開式的通項公式即可得解.【詳解】易知，的展開式中，沒有x項；因為的展開式的通項為：，令，即，所以展開式中，x的系數為；又因為的展開式的通項為：，令，即，所以展開式中，x的系數為；綜上，在的展開式中，x的系數為，故選：A.二、填空題9．（2025·廣東肇慶·二模）在的展開式中，所有項的系數和為.【答案】【分析】令，可得所有項的系數和.【詳解】令，可得所有項的系數和為.故答案為：.10．（2025·山東濰坊·模擬預測）的展開式的第8項是．【答案】【分析】根據二項式定理求出展開式中的第8項，由此即可求解．【詳解】因為的展開式的通項公式，令，則，所以展開式的第8項是.故答案為:.11．（2024·江西·模擬預測）的展開式中的系數為．【答案】-105【分析】根據，而二項式的展開式的通項，所以分別計算，最后合并即可求出答案．【詳解】解：因為，而二項式的展開式的通項，．所以的展開式中的項為，其系數為-105，故答案為：-105．12．（2024·江西宜春·模擬預測）在的展開式中，項的系數是．【答案】380【分析】由題意，利用二項式定理求出各項中的系數即可.【詳解】展開式的通項公式為，又，其中中含的項為，中含項為，中不含項，故系數為，故答案為：380.13．（2024·河北·模擬預測）已知的展開式中各項系數和為8，則展開式中常數項為.【答案】【分析】