PAGE42PAGE小學數學北師版五年級下冊第一課九連環(一)一、起源與發展九連環流傳千年而不衰，征服了無數中外愛好者，是中華民族傳統文化中的一顆璀璨明珠。與七巧板、華容道、魯班鎖并稱為我國古代四大智力玩具。九連環在英語里的名稱是TheChineseRings，或TheChineseRingsPuzzle。其最早可追溯到先秦時代，在《戰國策·齊策》中有這樣一則故事：秦王曾派使者送給齊國王后一個玉連環，并且問：“齊國有不少聰明人，能否解開這玉連環？”這當然是在故意刁難齊國君臣，以顯示秦國的強大。王后遍示群臣，竟沒有人能解開。最后齊國的王后只好“引椎椎破之”，當然，這種以毀壞性的方式只能算是無奈之舉，本質上不能算作解開。因關系到兩國外交上的體面，齊國王后雖然不知道解法，也不肯在秦使面前認輸，所以才想出了這么一招。在明清時期，上至士大夫，下至販夫走卒，大家都很喜歡它。很多著名文學作品都提到過九連環，《紅樓夢》中就有林黛玉巧解九連環的記載。圖1在國外，數學家卡爾達諾在公元1550年已經提到了九連環。后來，數學家華利斯對九連環做了精辟的分析。格羅斯也深入研究了九連環，用二進制數給了它一個十分完美的答案。19世紀的格羅斯經過運算，證明解開九連環共需要三百四十一步，到目前為止還沒有其它更為便捷的答案。解九連環不但難度大，而且操作相當復雜，即使是熟手，也需6-8分鐘(目前最快紀錄可在3分鐘左右)。十連環的話，需要682步，20到40分鐘才能解開。假如做成三十三連環，即使你夜以繼日，不吃不喝，一步不錯，一世也解不開它，因為要走57億步，約需180年才能解開。二、結構與特點九連環主要是由一個框架和九個圓環組成：每個圓環上連有一個直桿，而這個直桿則在后面一個圓環內穿過，九個直桿的另一端用一塊木板或圓環相對固定，以解開為勝。圖2古代貴族階層玩的豪華九連環圖3九連環三、功能與特點九連環可以從小就培養青少年對數學的興趣，寓教其中，讓學生理解數學多么奧妙，多么有趣。（一）解九連環還有三大功能：1.培養學生打破思維定勢，從多角度多渠道去看事物，容易找出新的解決辦法。2.培養學生注意力、耐心、和信心。3.培養學生的好奇、好問、好動、好玩的好習慣。(二)連環類玩具有三大特點：1.挑戰性。任何一種連環的解法都具有較高的難度，有的難度極高，甚至令人覺得根本不可能解開。因此解連環就具有強大的挑戰性，強烈地吸引著人們的好奇心和征服欲。2.規律性。智力玩具都有其內在的規律，連環類玩具的規律性則特別強，必須按照特定的程序，有條不紊地操作，才能最終解開。3.趣味性。伴隨著挑戰性和規律性而來的是趣味性。蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要則特別強烈。”因此，人們對智力玩具具有天生的愛好，都想探索它、研究它、發現其中的奧妙，兒童更是如此。挑戰性越強就越能吸引人，發現規律的過程往往令人心醉神迷。（三）九連環的妙用1.當作門鎖法國人早就把九連環用來代替鎖，以防盜賊;英國人則最早于18世紀，用于農舍防盜。2.應用于魔術表演魔術表演中，經常能看到環環相扣、美輪美奐的表演。圖4魔術表演3.留客古時候商人們都稱“九連環”為“留客計”。因為九連環游戲過程的長時間性，所以被古人經常用作留住客人的手段。第二課九連環(二)九連環的具體組成與結構九連環由兩部分組成，一部分稱作“釵”（桿、柄都可），

另一部分主要是由九個環構成的，如下圖。這九個環，按照從左到右依次稱為第一個到第九個環，或1號環到9號環。最靠近釵把的那個環叫9號環。每個環上都又套著一個帶環桿的小環，1號環的環桿穿過2號環，2號環的環桿穿過3號環，……環桿的另一端通過底板，實際上被連接在一起，從而使9個圓環形成疊錯扣連的關系。九連環的奧妙就是由它的這種結構引起的。釵1環2環3環4環5環6環7環8環9環環底板圖5環與環桿環桿與底板圖6圖7二、九連環的基本結構認識按照和釵的關系，每個環都有兩個狀態：在釵上或在釵下，簡稱在上和在下。圖8中的九個環都在釵上，而圖9中的九個環都在釵下。我們用九個數字表示九個環的狀態，0表示在釵下，1表示在釵上。如001100010表示從左到右第3，4，8三個環狀釵上，其余的環在釵下。圖8九個環都在釵上，表示為111111111圖9九個環都在釵下，表示為000000000

所謂玩九連環，或者說解九連環，就是把原來不在釵上的環套在釵上，我們稱為某環“上去”或者“上”某環；或者相反，使原來在釵上的環不再在釵上，我們稱為某環“下來”，或者“下”某環。一般玩九連環，就是當九個環都不在釵上時，把九個環都上上去；或者當九個環都在釵上時，把它們都下下來，也就是從在狀態000000000到狀態111111111，或者相反。當然，也可以有其他過程，即從某一個狀態到另一個狀態。

玩九連環，習慣左手拿環的部分，右手拿釵，如圖10。

圖10玩九連環，右手在反復往返動作，而左手手指在不停的做著把環套上或卸下的動作，正是活動左手的運動。大家都知道，活動左手可以開發右腦，這也是的九連環的一個作用。三、九連環的四個規則

試著玩幾下，就可以發現九連環有三個基本動作，其中只改變一個環的狀態的（每次只能把一個環上或者下）有以下兩個動作：基本動作①．任何時候可以改變1號環的狀態，即：當1號環在上的時候，可以下1號環；當1號環在下的時候，可以上1號環。注意這兩個動作只能進行其一。

下面幾圖表示了這個動作。

開始狀況0000000001號環上升把1號環從釵中間向上穿過釵稍后移，1號環向下傾斜使釵從1號環中穿過至此，1號環上去了，狀態變為100000000。如果是反過來進行，就是下1號環。我們把上或下1號環都稱作動作P。基本動作②．可以改變”第一個在上的環”的下一個環（指右邊的一個環，如果右邊沒有環，當然不能做此動作）的狀態。注意這里“第一個在上的環”并不是“1號環”。例如，當僅有1號環在上時即狀態100000000，這1號環就是第一個在上的環，可以改變它右面即2號環的狀態：原來在上可以下，原來在下可以上。又如當僅有5號環和8號環在上時即狀態000010010，第一個在上的環就是5號環，此時可以改變6號環的狀態：原來在上可以下，原來在下可以上。操作方法如下圖。

狀態000010010，即僅有5號和8號環在上6號環升高，從拆中穿過6號環降低,釵前移穿過5，6號環

至此，6號環上去了，狀態變為000011010。當然，如果是反過來進行，就是下這第二個在上的環。我們把上或下第二個在上的環都稱作動作Q。

注意，所有環都在下的狀態000000000，或者僅有最后一個環（第九個環）在上的狀態000000001，是不能做動作Q的，因為前者沒有第一個在上的環，后者第一個在上的環右面沒有環了。其他狀態都可以做這個動作。

同時改變兩個環的狀態，僅有一個動作：

3.簡化動作

1號2號環狀態相同時可以同時改變狀態，即當1號2號環都在上時可以一次操作同時下來；當1號2號環都在下時可以一次操作同時上去。操作與僅1號環上或下相似，見下面圖示。

狀態000000000第1，2號環上升由釵中穿過釵后移第1,2號環向下傾斜，釵從中穿過，成為狀態110000000同時上或下1號2號環稱作動作R。當然，如果1，2號環有一個在上而另一個在下，不能進行動作R。

這樣，任何狀態都可以進行動作P；除了狀態000000000和000000001外，都可進行動作Q；狀態00*******或11*******可以進行動作R。九連環只有這三個基本動作可以一次進行，其他動作都是相繼進行這三個動作。

有一個重要的限制。每種動作如果連續進行兩次，例如PP，那就是剛上了1號環，又下1號環；或者剛下了1號環，又上1號環。又如QQ，那就是剛上了第二個在上的環，緊跟著又下這個環；或者是剛下了第二個在上的環，緊跟著又上這個環。再如RR，是剛下了第1，2號環，又上這兩個環；或者剛上了第1，2號環，又下這兩個環。這都是剛剛向目標前進了一步，又原路后退一步，白費了功夫，而九連環的狀態沒有改變。反之，只要不連續做同一個動作，就不會原路退回。因此，在實際玩九連環時，應該規定：

4.不重復規則

動作P、Q、R都不可連續重復做兩次。

以上四點，就是九連環的玩法的全部依據，可以稱為四個規則。第三課九連環(三)九連環的解法掌握了九連環的基本原則以后，我們可以學習九連環的解法了。為此，我們先看一個各環上、下的可能性。對于1號環，由于沒有別的環的環桿約束它，所以可以自由上下，這是沒有疑問的。對于2號環，由于1號環的環桿從其中穿過，受到約束，所以它可以同1號環“隨動”，即隨同1號環一起上下。如果2號環要單獨下，則1號環必須留在釵上，否則的話，由于1號環的桿是穿過2號環的，而1號環已經從釵上脫下，它的環桿已在釵外，這將阻止2號環在左移過柄釵后返回，重新從兩根橫桿中間落下，也就是說無法下環。因此2號環單獨下的必要條件是1號環留在柄釵上。至于上2號環時，1號環在釵上還是釵下均可，1號環在釵下時由于1號環的環桿是穿過2號環的，在2號環上時，將連帶著把1號環也帶到內側橫杠上方“浮”著，只要把它推過釵端即可。對于3號環的下，我們看到，若1，2號環同時在釵上，則1號環的環桿將阻止3號環左移過柄釵，而若1，2號環均在釵下，則2號環的環桿將阻止3號環左移過柄釵從兩個橫杠中落下，都是無法實現的，因此，只有當1號環在釵下，而2號環在釵上是，3號環才能下。反之亦然。往下，

對4號環、5號環……的上下，就都同3號環類似了，也就是，只有當它前面緊鄰的一個環在釵上，再前面的所有環都在柄下時，這個環才有可能上下。用數學方法表達的話，其規則是：如果只有n號環在釵上，則n+1號環就可以從釵上取下或裝上。因此，如果想要取下9號環，則8號環必須在釵上，而1-7號環又都必須在釵下；如果取下7號環，則6號環必須在釵上，而小于6號的環都應先取下；如果取下5號環，則4號環必須在釵上而先要將1-3號環取下……這樣，在玩九連環時要把9個環都從釵上取下，第一步應取下1號環，而不可將1、2號環同時取下。總結：九連環的每個環互相制約，只有第一環能夠自由上下。要想下/上第n個環，就必須滿足兩個條件（第一個環除外）：第n-1個環在架上；n-1個環前面的環全部不在架上。一句話概括：后一個環要上或下，則前面要有且只有與它相鄰的那個環。解法的本質：解n連環，就是先解一個n-2連環，再解最后一個環，再上n-2連環，再解n-1連環；每一個環的上法：從桿的中間上穿并從手柄的頂端套入；每一個環的下法：從桿的頂端解套并從手柄的中間下放。下面，給出取下九連環的全過程。其中12上、12下指的是1號環和2號環同時上下，這算一步。基本練習（一）第1環：自由上下（1上1下）1～2環：同上同下（12上12下）基本練習（二）1～3環下法：1下3下1上12下基本練習（三）1～3環上法：12上1下3上12上問題與思考：12環在上，3能否拿下？12環在下，3能否上去？3在什么情況下可以自由上下？回答：3的前面有且只有2時，才能自由上下。結論：后一個環要上或下，則前面要有且只有與它相鄰的那個環。基本練習（四）1～4環下法：12下4下12上1下3下1上12下基本練習（五）1～4環上法：12上1下3上1上12下4上12上歸納與總結：1～4環下環全部過程：12環下，4環下。12環上，1～3環下。1～4環上環全部過程：1～3環上，12環下。4環上，12環上。結論：4的前面有且只有3時，才能自由上下。基本練習（六）1～5環下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下基本練習（七）1～5環上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上歸納與總結：1～5環下環全部過程：1～3環下，5環下。1～3環上，1～4環下。1～5環上環全部過程：1～4環上，1～3環下，5環上。1～3環上。結論：5的前面有且只有4時，才能自由上下五、比一比賽一賽看誰先完成1～5環的下環過程看誰先完成1～5環的上環過程六、挑戰看誰最快能達到以下狀態：1、3、5在下，2、4在上。1、3、5在上，2、4在下。1、2、4在上，3、5在下。1、2、4在下，3、5在上。第四課九連環(四)一、復習與鞏固復習與鞏固（一）1～5環下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下復習與鞏固（二）1～5環上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上復習與鞏固（三）1～5環下環全部過程：1～3環下，5環下。1～3環上，1～4環下。1～5環上環全部過程：1～4環上，1～3環下，5環上。1～3環上。結論：5的前面有且只有4時，才能自由上下。二、基本練習基本練習（一）下1-7環過程：1～5環下，7環下。1～5環上，1～6環下基本練習（二）上1-7環過程：1～6環上，1～5環下，7環上。1～5環上。歸納與總結1～7環下環全部過程：1～5環下，7環下。1～5環上，1～6環下。1～7環上環全部過程：1～6環上，1～5環下，7環上。1～5環上。結論：7的前面有且只有6時，才能自由上下。三、比一比賽一賽看誰先完成1～7環的下環過程看誰先完成1～7環的上環過程四、問題與思考思考：當環的總數是奇數時，要全部上下應如何操作？結論：奇數個環時，應依次取下最前面的奇數環。例：要下7連環應先下1、3、5環。思考：當環的總數是偶數時，要全部上下應如何操作？結論：偶數個環時，應依次取下最前面的偶數環。例：要下6連環應先下2、4環。五、比一比賽一賽看誰先完成1～6環的下環過程看誰先完成1～6環的上環過程六、挑戰看誰最快能達到以下狀態：（一）1、3、5、7在下，2、4、6在上。（二）3、5、7在上，2、4、6在下。（三）1、4、7在下，2、3、5、6在上。（四）1、4、7在上，2、3、5、6在下。第五課九連環(五)一、復習與鞏固復習與鞏固（一）1～5環下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下復習與鞏固（二）1～5環上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上復習與鞏固（三）——歸納與總結：1～5環下環全部過程：1～3環下，5環下。1～3環上，1～4環下。1～5環上環全部過程：1～4環上，1～3環下，5環上。1～3環上。結論：5的前面有且只有4時，才能自由上下。復習與鞏固（四）下1-7環過程：1～5環下，7環下。1～5環上，1～6環下。復習與鞏固（五）上1-7環過程：1～6環上，1～5環下，7環上。1～5環上。復習與鞏固（六）——歸納與總結：1～7環下環全部過程：1～5環下，7環下。1～5環上，1～6環下。1～7環上環全部過程：1～6環上，1～5環下，7環上。1～5環上。結論：7的前面有且只有6時，才能自由上下。二、基本練習基本練習（一）下1-9環過程：1～7環下，9環下。1～7環上，1～8環下。基本練習（二）上1-9環過程：1～8環上，1～7環下，9環上。1～7環上。歸納與總結1～9環下環全部過程：1～7環下，9環下。1～7環上，1～8環下1～9環上環全部過程：1～8環上，1～7環下，9環上。1～7環上。結論：9的前面有且只有8時，才能自由上下。三、比一比賽一賽看誰先完成1～9環的下環過程看誰先完成1～9環的上環過程問題與思考：當環的總數是奇數時，要全部上下應如何操作？結論：奇數個環時，應依次取下最前面的奇數環。例：要下7連環應先下1、3、5、7環。問題與思考：當環的總數是偶數時，要全部上下應如何操作？結論：偶數個環時，應依次取下最前面的偶數環。例：要下6連環應先下2、4、6環。四、比一比賽一賽看誰先完成1～9環的下環過程看誰先完成1～9環的上環過程問題與思考：要全解開或全套上，下一步分別是什么？要全解開或全套上，下一步分別是什么？五、挑戰看誰最快能達到以下狀態：（一）2、4、6、8在下，1、3、5、7、9在上。（二）2、4、6、8在上，1、3、5、7、9在下。（三）1、2、3、4、5在上，6、7、8、9在下。（四）2、4、5、7、8在下，1、3、6、9在下。（五）2、4、7在下，1、3、5、6、8、9在上。第六課九連環(六)給出取下九連環的全過程。其中12上、12下指的是1號環和2號環同時上下，這算一步。下1，(1號環下）下3，上1下12（2，3號環下）下5，上12下1上3上1下12下4上12下1下3上1下12（4，5環下）下7，上12下1上3上1下12上4上12下1下3上1下12上5上12下1上3上1下12下4上12下1下3上1下12下6上12下1上3上1下12上4上12下1下3上1下12下5上12下1上3上1下12下4上12下1下3上1下12（6，7號環下）下9，上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上6上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12下5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上7、上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12下6、上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12下5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12（至此釵上剩7，8號環）下8上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上6上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12下5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12(至此釵上剩6，7號環）下7，上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12(至此釵上剩5，6號環）下6上12下1上3上1下12上4上12下1下3、上1下12(至此釵上剩4，5號環）下5上12下1上3上1下12(至此釵上剩3，4號環）下4，上12下1(至此釵上剩2，3號環）下3，上1(至此釵上剩1，2號環）下21。(結束，9個環全部解下）把9個環都裝上去的過程上12下1上3，上1下12上4，上12下1下3、上1下12上5，

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上12下1上3，上1。分組練習下九連環與上九連環，練習速度。第七課九連環(七)九連環中的數學解一連環需要1步，解二連環需要2步，由此可知，解三連環需要5步，解四連環需要10步，解五連環需要21步，解六連環需要42步，解七連環需要85步，解八連環需要170步，解九連環需要341步，解十連環需要682步……以此類推。九連環中的數學——九連環與N次方進一步的研究可以發現，傳