江西省撫州市南豐縣第一中學2024-2025學年高三上學期期末考試數學試卷考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三（1）班試卷標題：江西省撫州市南豐縣第一中學2024-2025學年高三上學期期末考試數學試卷。一、選擇題（共10題，每題5分）要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=\lnx+ax^2$（$a$為常數），若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,0)$B.$[0,+\infty)$C.$(-\infty,-\frac{1}{2}]$D.$(-\frac{1}{2},+\infty)$2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，則$a_6+a_7+a_8$的值為（）A.30B.40C.50D.603.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)$的值為（）A.1B.2C.3D.44.已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1=2$，$a_3=8$，則$q$的值為（）A.2B.4C.8D.165.已知函數$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$，則$f(x)$的定義域為（）A.$\{x|x\neq2\}$B.$\{x|x\neq0\}$C.$\{x|x\neq1\}$D.$\{x|x\neq-2\}$6.已知函數$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，若$f(x)$在$x=2$處取得極值，則$f'(2)$的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在7.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，則$a_6+a_7+a_8$的值為（）A.30B.40C.50D.608.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)$的值為（）A.1B.2C.3D.49.已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1=2$，$a_3=8$，則$q$的值為（）A.2B.4C.8D.1610.已知函數$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$，則$f(x)$的定義域為（）A.$\{x|x\neq2\}$B.$\{x|x\neq0\}$C.$\{x|x\neq1\}$D.$\{x|x\neq-2\}$二、填空題（共5題，每題5分）要求：直接寫出答案。11.已知函數$f(x)=\lnx+ax^2$（$a$為常數），若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍為______。12.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，則$a_6+a_7+a_8$的值為______。13.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)$的值為______。14.已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1=2$，$a_3=8$，則$q$的值為______。15.已知函數$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，若$f(x)$在$x=2$處取得極值，則$f'(2)$的值為______。三、解答題（共30分）16.（10分）已知函數$f(x)=\lnx+ax^2$（$a$為常數），若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，求實數$a$的取值范圍。17.（10分）已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，求$a_6+a_7+a_8$的值。18.（10分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，求$f'(1)$的值。四、證明題（共20分）19.（10分）已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，證明$a_6+a_7+a_8=30$。20.（10分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，證明$f'(1)=3$。五、應用題（共20分）21.（10分）某工廠生產一批產品，每天生產的產品數量為等差數列，第一天的生產量為10件，第五天的生產量為30件，求該工廠每天平均生產的產品數量。22.（10分）某商店銷售一批商品，每天銷售的商品數量為等比數列，第一天的銷售量為20件，第三天的銷售量為80件，求該商店每天平均銷售的商品數量。六、綜合題（共20分）23.（10分）已知函數$f(x)=\lnx+ax^2$（$a$為常數），若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，求實數$a$的取值范圍。24.（10分）已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，求$a_6+a_7+a_8$的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D。由題意知$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，當$x>0$時，$f'(x)>0$，即$2ax+\frac{1}{x}>0$，化簡得$2ax^2+1>0$，因為$x^2>0$，所以$a>-\frac{1}{2x^2}$，由于$x>0$，所以$a\geq-\frac{1}{2}$，故選D。2.B。由等差數列的性質知$S_5=5a_1+10d$，$S_8=8a_1+28d$，代入$S_5=50$，$S_8=80$，解得$a_1=10$，$d=5$，所以$a_6+a_7+a_8=3a_1+18d=3\times10+18\times5=90$，故選B。3.A。由$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，因為$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，所以$x=1$是$f(x)$的拐點，故$f(x)$在$x=1$處取得極值，$f'(1)=3$，故選A。4.B。由等比數列的性質知$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=2$，$a_3=8$，解得$q=2$，故選B。5.A。函數$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$的定義域為$\{x|x\neq2\}$，故選A。6.D。由$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，得$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$，因為$f'(x)$在$x=2$處不存在，所以$f(x)$在$x=2$處取得極值，故$f'(2)$不存在，故選D。7.B。同第2題。8.A。同第3題。9.B。同第4題。10.A。同第5題。二、填空題11.$a\geq-\frac{1}{2}$。由$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，當$x>0$時，$f'(x)>0$，即$2ax+\frac{1}{x}>0$，化簡得$2ax^2+1>0$，因為$x^2>0$，所以$a>-\frac{1}{2x^2}$，由于$x>0$，所以$a\geq-\frac{1}{2}$。12.90。由等差數列的性質知$S_5=5a_1+10d$，$S_8=8a_1+28d$，代入$S_5=50$，$S_8=80$，解得$a_1=10$，$d=5$，所以$a_6+a_7+a_8=3a_1+18d=3\times10+18\times5=90$。13.3。由$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，因為$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，所以$x=1$是$f(x)$的拐點，故$f(x)$在$x=1$處取得極值，$f'(1)=3$。14.2。由等比數列的性質知$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=2$，$a_3=8$，解得$q=2$。15.不存在。由$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，得$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$，因為$f'(x)$在$x=2$處不存在，所以$f(x)$在$x=2$處取得極值，故$f'(2)$不存在。三、解答題16.求解$a$的取值范圍。由$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，當$x>0$時，$f'(x)>0$，即$2ax+\frac{1}{x}>0$，化簡得$2ax^2+1>0$，因為$x^2>0$，所以$a>-\frac{1}{2x^2}$，由于$x>0$，所以$a\geq-\frac{1}{2}$。17.求解$a_6+a_7+a_8$的值。由等差數列的性質知$S_5=5a_1+10d$，$S_8=8a_1+28d$，代入$S_5=50$，$S_8=80$，解得$a_1=10$，$d=5$，所以$a_6+a_7+a_8=3a_1+18d=3\times10+18\times5=90$。18.求解$f'(1)$的值。由$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，因為$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，所以$x=1$是$f(x)$的拐點，故$f(x)$在$x=1$處取得極值，$f'(1)=3$。四、證明題19.證明$a_6+a_7+a_8=30$。由等差數列的性質知$S_5=5a_1+10d$，$S_8=8a_1+28d$，代入$S_5=50$，$S_8=80$，解得$a_1=10$，$d=5$，所以$a_6=a_1+5d=10+5\times5=35$，$a_7=a_1+6d=10+6\times5=40$，$a_8=a_1+7d=10+7\times5=45$，因此$a_6+a_7+a_8=35+40+45=120$。20.證明$f'(1)=3$。由$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，因為$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，所以$x=1$是$f(x)$的拐點，故$f(x)$在$x=1$處取得極值，$f'(1)=3$。五、應用題21.求解每天平均生產的產品數量。由等差數列的性質知$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=10$，$a_5=30$，解得$d=5$，所以$a_2=a_1+d=10+5=15$，$a_3=a_1+2d=10+2\times5=20$，$a_4=a_1+3d=10+3\times5=25$，$a_5=a_1+4d=10+4\times5=30$，因此每天平均生產的產品數量為$\frac{a_2+a_3+a_4+a_5}{4}=\frac{15+20+25+30}{4}=22.5$。22.求解每天平均銷售的商品數量。由等比數列的性質知$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=20$，$a_3=80$，解得$q=2$，所以$a_2=a_1q=20\times2=40$，$a_4=a_1q^3=20\times2^3=160$，$a_5=a_1q^4=20\times2^4=640$，因此每天平均銷售的商品數量為$\frac{a_2+a_4+a_5}{3}=\frac{40+160+640}{3}=280$。六、綜合題23.求解$a$的取值范圍。由$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，當$x>0$時，$f'(x)>0$，即$2ax+\frac{1}{x}>0$，化簡得$2ax^2+1>0$，因為$x^2>0$，所以$a>-\fra