第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江西省金太陽高一3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知α是鈍角三角形中最大的角，則α2是(

)A.第一象限角 B.第三象限角 C.第四象限角 D.小于60°2.已知集合A={x∈N|x3<30}，B={x|x(x?1)>0}，則A∩B=A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{2,3} D.{2}3.已知某扇形的弧長為5，圓心角為2rad，則該扇形的面積為(

)A.52 B.252 C.544.“α?β=π2”是“cosα+sinA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.函數(shù)f(x)=tan(2x?π4A. B.

C. D.6.已知a=cos(sin1)，b=A.b>0>a B.b>a>0 C.a>0>b D.a>b>07.如圖，用A，B，C，D四個(gè)不同的元件連接成一個(gè)工作系統(tǒng)，當(dāng)元件A正常工作，且B，C，D三個(gè)元件中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，該系統(tǒng)正常工作.已知元件A正常工作的概率為12，元件B，C，D正常工作的概率均為13，且這四個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立，則該系統(tǒng)正常工作的概率為(

)

A.2354 B.1954 C.23278.函數(shù)f(x)=3sin(πx?π3A.13 B.1 C.2 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間(0,π2)上單調(diào)遞增的是A.y=|sinx| B.y=?|cosx| C.10.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π8對(duì)稱

B.為了得到函數(shù)g(x)=2cos(2x+π3)+2的圖象，可將f(x)的圖象向右平移7π24個(gè)單位長度

C.f(x)在11.若對(duì)任意x∈I，存在M∈(0,+∞)，使得|f(x)|≤M|x|，則稱f(x)是I上的“邊界函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)=xsinxx2+1是R上的“邊界函數(shù)”

B.f(x)=sinx是(π4,π2)上的“邊界函數(shù)”

C.f(x)=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在0°～360°范圍內(nèi)，終邊與?3213.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，則tan(π2+α)+14.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱，且當(dāng)x>y>2時(shí)，不等式x+?f(4?y)>y+f(4?x)恒成立，其中f(4)=0，則不等式f(x)>4?x的解集為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πx?2πA0200(1)將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出f(x)的解析式;(2)若f(α)=13，f(β)=2516.(本小題12分)

某校為了解學(xué)生的綜合素養(yǎng)情況，從該校學(xué)生中隨機(jī)地抽取了40名學(xué)生作為樣本，進(jìn)行綜合素養(yǎng)測評(píng)，將他們的得分(滿分：100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共六組.根據(jù)他們的得分繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從得分低于60分的樣本中隨機(jī)地選取2個(gè)樣本，求這2個(gè)樣本的得分在同一組的概率;(2)若在[80,90)內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為86分，方差為10，在[90,100]內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為92分，方差為6，求在[80,100]內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)和方差．17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，直線x=1(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(3)若方程f(x)=1在(0,α)內(nèi)恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求α的取值范圍．18.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ln1+ax(1)求a的值．(2)求不等式f(sin(3)已知函數(shù)g(x)=x[f(x)?1].設(shè)g(x)=m，g(x)+1xg(x)=n，證明：19.(本小題12分)

如圖，正五角星ABCDE的外接圓O與地面相切于M，五角星形水車ABCDE繞軸心O按逆時(shí)針(箭頭方向)勻速旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A離地面的垂直高度f(t)(單位：米)與旋轉(zhuǎn)時(shí)間t(單位：秒)滿足關(guān)系式f(t)=10sin(ωt+π10)+10(ω>0,t≥0).已知當(dāng)t=0時(shí)，AC與地面平行(此時(shí)A在C的右側(cè))(1)求圓O的半徑和f(t)的解析式．(2)若存在正實(shí)數(shù)ti(i=1,2,3,?,2025)滿足t1<t(3)若在水車ABCDE的每個(gè)頂點(diǎn)處加裝一個(gè)澆水桶，當(dāng)某澆水桶距離地面的垂直高度為10(1+sinπ5)米時(shí)，水車停止旋轉(zhuǎn)60秒便于該澆水桶進(jìn)行澆水作業(yè)，其余時(shí)間段均按原始方式勻速旋轉(zhuǎn)，求從0秒到參考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.C

6.D

7.B

8.B

9.ABD

10.AD

11.ABD

12.327°13.2314.(0,2)∪(4,+∞)

15.解：(1)表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充如下：ωx+φ0ππ3π2πx?π2π7π5πA020?20f(x)=2sin(x+π3).

(2)由(1)可知f(α)=2sin(α+π3)=13，則sin(α+π16.解：(1)由圖可知，10×(0.005+0.020+0.025+0.030+2a)=1，解得a=0.010，

則在[40,50)內(nèi)的樣本容量為40×10×0.005=2，將這2個(gè)樣本分別記為A1，A2，在[50,60)內(nèi)的樣本容量為40×10×0.010=4，將這4個(gè)樣本分別記為B1，B2，B3，B4．

從中隨機(jī)地選取2個(gè)，可知樣本空間Ω={A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,17.解：(1)由題可知，f(x)的最小正周期T=4×(43?13)=4，則ω=2πT=π2，

則13×π2+φ=2k1π，k1∈Z，即φ=?π6+2k1π，k1∈Z.

因?yàn)閨φ|<π2，所以φ=?π6．

又f(0)=3，所以Acos(?π6)=32A=3，得A=2．

故f(x)=2cos(πx2?π18.(1)解：由題可得f(12)=ln(a+2)+1，f(2)=ln(a+12)+1，

則f(12)?f(2)=ln(a+2)?ln(a+12)=lna+2a+12=ln2，

所以a+2a+12=2，解得a=1．

(2)解：由(1)可知，f(x)=ln1+xx+1，x∈(?∞,?1)∪(0,+∞).

易知函數(shù)y=1+xx=1x+1在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

故根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)=ln1+xx+1在(0,+∞)上單調(diào)遞減．

因?yàn)閟inx∈[?1,1]，所以由19.(1)解：如圖1，設(shè)A在O的水平方向的射影為H，連接OA，OM．

由五角星的性質(zhì)易知∠AOH=18°=π10．

設(shè)圓O的半徑為r米，則AH=OAsin∠AOH=rsinπ10，且OM=r，

則f(0)=AH+OM=rsinπ10+r=10(1+sinπ10)，解得r=10．

因?yàn)辄c(diǎn)A首次到達(dá)至高點(diǎn)需用時(shí)12秒，且∠AOB=72°=2π5，

所以O(shè)A每旋轉(zhuǎn)一周需要60秒，則ω=2π60=π30，

從而f(t)的解析式為f(t)=10sin(π30t+π10)+10(t≥0)．

(2)證明：因?yàn)棣?0×12+π10=π2，所以f(t)在(0,12)上單調(diào)遞增．

由三角函數(shù)的圖象可知，在一個(gè)最小正周期內(nèi)，最多有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)a，b，使得f(a)=f(b)成立

由f(t)的最小正周期為60，可得當(dāng)t1≠12+30k，k∈Z時(shí)，t2025=20242×60+t1=60720+t1>60720;

當(dāng)t1=12+30k，k∈Z時(shí)，t2025=2024×60+t1>60720．

故t2025>60720．

(3)解：由題可知，當(dāng)水車完成一周旋轉(zhuǎn)時(shí)，每個(gè)澆水桶都要進(jìn)行兩次澆水，