內蒙古赤峰市2025屆高三下學期3·20模擬考試數學試題一、單選題1．如圖，向量對應的復數是，則的值為（

）A．6 B． C．13 D．2．已知集合，其中表示不超過的最大整數，，則（

）A． B．C． D．3．已知向量和滿足與的夾角為，則（

）A． B．2 C． D．4．已知銳角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．5．在平面內，兩定點、之間的距離為，動點滿足，則點軌跡的長度為（

）A． B． C． D．6．某學校有兩家餐廳，王同學第一天去兩個餐廳的概率分別是和，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為，則王同學第二天去餐廳的概率為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，用一個與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個橢圓面，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：直線l是兩平面與的交線，則下列向量可以為直線l的方向向量的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知數列的前項和為，且，若，則（

）A． B．是公差為2的等差數列C． D．10．已知函數，則（

）A．是周期為的函數B．與函數是同一函數C．是的一條對稱軸D．在區間上的取值范圍是11．數學里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數形結合的思想方法.比如形狀酷似“星星”的曲線（如圖所示），則下列關于曲線的說法正確的有（

）A．周長大于25B．共有4條對稱軸C．圍成的封閉圖形面積小于14D．圍成的封閉圖形內能放入圓的最大半徑為1三、填空題12．展開式的常數項為.13．銳角中，分別為角所對的邊，且，若，則周長的取值范圍是.14．已知函數在上的最大值比最小值大，則.四、解答題15．為了研究某市高三年級學生的性別和身高的關聯性，隨機抽取了200名高三年級學生，整理數據得到如下列聯表，并畫出身高的頻率分布直方圖：性別身高合計低于不低于女20男50合計200(1)根據身高的頻率分布直方圖，求列聯表中的，的值；(2)依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“高三年級學生的性別”與“身高是否低于”有關聯？(3)將樣本頻率視為概率，在全市不低于的學生中隨機抽取6人，其中不低于的人數記為，求的期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．已知函數.(1)求在點處的切線方程；(2)若函數有兩個極值點，求的取值范圍.17．已知數列中，.(1)若依次成等差數列，求；(2)若，證明數列為等比數列，并求數列的前項和.18．如圖所示，三棱柱中，平面平面，，，點為棱的中點，動點滿足.(1)當時，求證：；(2)若平面與平面所成角的正切值為，求的值.19．已知點為圓上任意一點，點，線段的垂直平分線交直線于點，設點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與曲線相切，且與直線分別交于點.（i）證明：點為線段的中點；（ii）求的取值范圍.題號12345678910答案CDDBACDBACDAD題號11答案ABC12．6013．14．115．（1）由圖，低于的學生有人，則不低于170cm的學生有人.從而，；（2）零假設為：性別與身高沒有關聯，計算可得根據的獨立性檢驗，推斷不成立，因此該市高三年級學生的性別與身高是否低于170cm有關聯；（3）樣本中抽中不低于175cm的頻數為人樣本中抽中不低于175cm的頻率為將樣本頻率視為概率，在全市不低于170cm的學生中隨機抽取6人，其中不低于175cm的人數記為，則.16．（1）函數的定義域為，，故，，所以，在點處切線方程為，即.（2）函數的定義域為，且，有兩個極值點等價于有兩個不等正根，即有兩個不等正根，設，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，如下圖所示：當時，直線與函數的圖象有兩個交點，設這兩個交點的橫坐標分別為、，由圖可知，當或時，，則，當時，，則，所以，函數的增區間為、，減區間為，此時，函數的極大值點為，極小值點為，故當時，有兩個極值點，綜上，的取值范圍為.17．（1），又依次成等差數列，所以，即，解得.（2）證明：因為，且，所以是首項為1，公比為2的等比數列，可得，則，.18．（1）方法一：由可得，，即，即.如圖：當時，在中，，，，因為，所以，又，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.又在平行四邊形中，，，為中點，所以，，平面，所以平面.又平面，所以.方法二：（向量方法）因為平面平面，平面平面，所以過作于，則平面；連接，因為，所以.在中，，，.所以，則，.，當時，..所以.（2）如圖，由（1）得：兩兩垂直，故可以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立如圖所示坐標系.平面中，，.，設平面的法向量為：，則,令，則；平面中，由（1）可知，，設，因為，，所以.，設平面的法向量為，則,令，則；由題意，設平面與平面所成角為，且，則.，解得.即平面與平面所成角的正切值為時，的值為.19．（1）為的垂直平分線上一點，則..點的軌跡為以為焦點的雙曲線，且故點的軌跡方程為.（2）（i）設，雙曲線的漸近線方程為①，②當直線的斜率存在時，設過點且與相切的直線的方程為，與雙曲線聯立由