試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【贏在中考·黃金8卷】備戰2025年中考數學模擬卷（北京專用）黃金卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：100分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單選題（本大題共8題，每題2分，共16分.下列各題四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題卡的相應位置上.）1．當前隨著新一輪科技革命和產業變革孕育興起，新能源汽車產業正進入加速發展的新階段．如圖圖案是我國的一些國產新能源車企的車標，圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】A、該圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、該圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，符合題意．故選：D．2．如圖，直線a∥b，將直角三角板的60°角的頂點放在直線b上，若∠1＝57°，則∠2的度數是（）A．57° B．33° C．27° D．23°【答案】C【分析】由平行線的性質可得∠3＝∠1＝57°，∠A＝30°，則利用三角形的外角性質可求得∠4＝27°，再利用對頂角相等即可求∠2的度數．【詳解】解：如圖，由題意得∠A＝30°，∵，∠1＝57°，∴∠3＝∠1＝57°，∴∠4＝∠3-∠A＝27°，∴∠2＝∠4＝27°．故選：C．【點睛】本題考查三角板中的角度計算，平行線的性質，三角形外角的性質．利用數形結合的思想是解題關鍵．3．已知有理數，在數軸上對應點的位置如圖所示，那么下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了利用數軸比較數的大小，有理數絕對值的性質，乘法和加法計算，解題的關鍵是掌握相關法則并應用．【詳解】解：由數軸可知：，∴，故選：D．4．已知關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由方程有實數根即△＝b2﹣4ac≥0，從而得出關于m的不等式，解不等式即可得答案．【詳解】∵關于的一元二次方程有實數根，∴△＝b2﹣4ac≥0，即[-(2m-1)]2-4m2≥0，解得：m≤，【點睛】本題主要考查根的判別式，對于一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)，判別式△=b2﹣4ac，當△>0時，方程有兩個不相等得實數根；當△=0時，方程有兩個相等得實數根；當△<0時，方程沒有實數根；熟練掌握一元二次方程的根與判別式間的關系是解題的關鍵．5．四個完全相同的球上分別標有數字，，0，5，從這4個球中任意取出一個球記為a，放回后，再取出一個記為b，則能被5整除的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．根據題意列出圖表得出所有等可能的情況數，找出符合條件的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．【詳解】解：列表如下：0532005532510一共有16種情況，其中點能被5整除的有6種情況，點能被5整除的概率．故選：A．6．2024年12月12日是南水北調東中線一期工程全面通水十周年．截至12日，該工程已累計調水超過767億立方米．數據767億立方米用科學記數法表示為（

）A．立方米 B．立方米C．立方米 D．立方米【答案】C【分析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．【詳解】解：767億立方米立方米立方米，故選：C．7．如圖，課本上給出了小明一個畫圖的過程，這個畫圖過程說明的事實是（

）

A．兩個三角形的兩條邊和夾角對應相等，這兩個三角形全等B．兩個三角形的兩個角和其中一角的對邊對應相等，這兩個三角形全等C．兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應相等，這兩個三角形不一定全等D．兩個三角形的兩個角和夾邊對應相等，這兩個三角形不一定全等【答案】C【分析】根據全等三角形的判定進行判斷即可．【詳解】解：根據作圖可知：兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應相等，其中角的對邊不確定，可能有兩種情況，故三角形不能確定，所以兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應相等，這兩個三角形不一定全等，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解題的關鍵．8．如圖，在菱形中，，為對角線的交點．將菱形繞點逆時針旋轉得到菱形，兩個菱形的公共點為，，，．對八邊形給出下面四個結論，正確的是（

）A．對于任意，該八邊形都是正八邊形B．存在唯一的，使得該八邊形為正八邊形C．對于任意，該八邊形都有外接圓D．存在唯一的，使得該八邊形有內切圓【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質、全等三角形的性質與判定、旋轉的性質等知識點，掌握菱形的性質與判定是解題的關鍵．如圖：延長和，連接，根據菱形的性質可得，；根據旋轉的性質可得點一定在對角線上，且，，再證明可得，同理可得，再說明當時，，即存在唯一的，使得該八邊形為正八邊形，據此即可解答．【詳解】解：如圖：延長和，連接，∵菱形，，∴，，∵菱形繞點O逆時針旋轉得到菱形，∴點一定在對角線上，且，，∴，∵，∴，∴，同理可證：，∵，∴，∴，同理可得：，∴該八邊形各邊長都相等；當時，，即∵，∴，∴，同理可得：，∴當，八邊形各內角相等，故②正確．故選：B．二、填空題（本大題共8題，每題2分，共16分.）9．如果在實數范圍內有意義，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據二次根式有意義的條件，被開方數為非負數，列不等式求解即可得出結果．【詳解】由題意得：3-4x≥0，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的意義和性質，注意掌握①概念：式子（a≥0）叫二次根式，②性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．10．分解因式：．【答案】（a-b）（x+1）（x-1）【分析】根據提公因式法，可得平方差公式，根據平方差公式，可得答案．【詳解】解：原式=（a-b）（x2-1）=（a-b）（x+1）（x-1）．故答案為：（a-b）（x+1）（x-1）.【點睛】本題考查了因式分解，提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意分解要徹底．11．關于x的方程＝3的解為．【答案】x＝2【分析】此題考查解分式方程的方法和步驟：第一步，分式兩邊同乘以最簡公分母（2x﹣5），將分式方程化為整式方程x﹣5＝3（2x﹣5）；第二步，解整式方程，得x＝2；第三步：將x＝2代入（2x﹣5）驗根，從而得到x＝2為分式方程的解．【詳解】方程兩邊同乘以(2x﹣5)，得x﹣5＝3(2x﹣5)解得x＝2經檢驗，x＝2為原方程的解．故答案為x＝2．【點睛】本題考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程求解，求出x的值后不要忘記檢驗.12．已知點，都在反比例函數的圖象上．若，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查反比例函數的圖象上點的特征，掌握反比例函數圖象上點的坐標之積等于是解題的關鍵．因為、都在反比例函數的圖象上，可知，，把已知代入可求得的值．【詳解】解：點，都在反比例函數的圖象上，，，，且，．故答案為：．13．隨著創建“生態文明城市”活動的開展，某市燈光秀的展演吸引了無數市民及外地游客，某校數學學習小組調查了用于光影秀的10000只燈泡．為了解這10000只燈泡的使用壽命，從中隨機抽取了50只燈泡進行檢測，獲得了它們的使用壽命（單位：小時），數據整理如下：使用壽命燈泡只數51012176根據以上數據，估計這10000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數量為只．【答案】4600【分析】本題考查了利用樣本估計總體，熟練掌握利用樣本估計總體的方法是解題關鍵．利用10000乘以使用壽命不小于2200小時的燈泡所占百分比即可得．【詳解】解：（只），即估計這10000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數量為4600只，故答案為：4600．14．如圖，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑，若∠D=35°，則∠COA的度數是．【答案】70°【分析】在同圓和等圓中，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，求解即可．【詳解】解：由題意可得：．故答案是70°．【點睛】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是掌握圓周角定理．15．如圖，四邊形和均為正方形，連接交于點，點恰好為中點，若，則的長為．【答案】2【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．根據正方形的性質可證，得到，則，由點恰好為中點，，則，設，則，由，解得，由此即可求解．【詳解】解：∵四邊形和均為正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵點恰好為中點，∴，∴，∴，設，則，∴，解得，，∴，故答案為：2．16．車間里有五臺車床同時出現故障．已知第一臺至第五臺修復的時間如下表：車床代號ABCDE修復時間（分鐘）1663059若每臺車床停產一分鐘造成經濟損失10元，修復后即可投入生產，現只有一名修理工，且每次只能修理一臺車床，則下列三個修復車床的順序：①；②；③中，經濟損失最少的是（填序號），最少為元．【答案】①1380【分析】本題考查了有理數的混合運算，要經濟損失最少，就要使總停產的時間盡量短，顯然先修復時間短的即可，找出方案是解題的關鍵．【詳解】解：要經濟損失最少，就要使總停產的時間盡量短，然先修復時間短的，即按5、6、9、16、30分鐘順序修復，即線路①；此時經濟損失為元，故答案為：①；1380．三、解答題（本大題共12題，第17-19題、第22-23題、第25題每題5分，第20-21題、第24題、第26題每題6分，第27-28題每題7分，共68分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17．計算：．【答案】【分析】利用算術平方根的意義，絕對值的意義，特殊角的三角函數值和零指數冪的意義化簡運算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了實數的運算，算術平方根的意義，絕對值的意義，特殊角的三角函數值和零指數冪的意義，熟練掌握上述法則與性質是解題的關鍵．18．解不等式組：．【答案】【分析】先求出每個不等式的解集，再根據夾逼原則求出不等式組的解集即可．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個不等式的解集是解題的關鍵．19．已知，求代數式的值．【答案】1【分析】本題考查了分式的化簡求值，涉及完全平方公式，熟練正確知識點是解題的關鍵．先將變形為，再將代數式化簡為，再代入求值即可．【詳解】解：，∵∴，∴，∴代數式的值為1．20．如圖，在中，，中線，交于點，，分別是，的中點，連接，，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當，時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由是的中位線，則且，由是的中位線，則且，推出且，由一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形即可證；（2）由（1）可得點O是的中點，點分別是的中點，結合，可得，根據，易得，則，由勾股定理求出，最后利用勾股定理可求得的長．【詳解】（1）證明：∵點D是的中點，點E是的中點，∴是的中位線，則且，，分別是，的中點，∴是的中位線，且，且，四邊形是平行四邊形．（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴點O是的中點，，點分別是的中點，，，，，，，點D是的中點，，．【點睛】本題考查了平行四邊形判定與性質、勾股定理的應用、三角形中位線性質、解直角三角形等知識點，解題的關鍵是靈活運用這些知識點．21．某市對七年級綜合素質測評中的審美與藝術進行考核，規定如下：考核綜合評價得分（滿分100分）由測試成績（滿分100分）和平時成績（滿分100分）兩部分組成，其中測試成績占80%，平時成績占20%，孔明同學的測試成績和平時成績兩項得分之和為185分，而綜合評價得分為91分，則孔明同學測試成績和平時成績各得多少分？【答案】孔明同學測試成績為90分，則平時成績為95分．【分析】設孔明同學測試成績為x分，則平時成績為（185﹣x）分，根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果【詳解】解：設孔明同學測試成績為x分，則平時成績為（185﹣x）分，根據題意得：80%x+20%（185﹣x）＝91，解得：x＝90，∴185﹣90＝95，答：孔明同學測試成績為90分，則平時成績為95分．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，弄清題意是解本題的關鍵．22．如圖，在平面直角坐標系中，過點的直線與直線相交于點．(1)求直線的表達式；(2)當時，對于x的每一個值，一次函數的值大于函數的值，直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一次函數圖象與幾何變換，一次函數與系數的關系，數形結合是解題的關鍵．（1）先求解，再利用待定系數法求解即可；（2）當時，，當過時，可得：，再結合圖象分析即可．【詳解】（1）解：∵過點，∴，解得：，∴，∵直線過點，，∴，解得：，∴直線的表達式為；（2）當時，，如圖，當過時，∴，解得：，如圖，∴當時，對于x的每一個值，一次函數的值大于函數的值，n的取值范圍為；23．我市某中學八年級舉行“中國夢·校園好聲音”歌手大賽，其中八年級（1）、八年級（2）班派出的名選手的比賽成績如圖所示：(1)根據圖，完成表格：中位數（分）眾數（分）平均數（分）班班(2)請問，哪個班參加比賽選手的成績比較整齊？為什么？【答案】(1)表見詳解(2)八（1）班參加比賽選手的成績比較整齊，理由見詳解【分析】（1）根據條形統計圖給出的數據，把這組數據從小到大排列，找出最中間的數求出中位數，再根據眾數、平均數的定義即可得出答案；（2）根據方差的公式計算可得出兩個班的方差，根據平均數和方差，再進行比較即可得出答案．【詳解】（1）解：∵八（1）的成績分別是，把這組數據從小到大排列為，∴這組數據的中位數是分，眾數是分，平均數分；∵八（2）的成績分別是，把這組數據從小到大排列為，∴這組數據的眾數是90分，填表如下：中位數（分）眾數（分）平均數（分）班班（2）解：八（1）班參加比賽選手的成績比較整齊；理由如下：八（1）的成績的方差為；八（2）的成績的方差；∵兩個班的平均分相同，均為，八（1）班的方差小，，∴八（1）班選手的成績總體上較整齊．【點睛】此題考查了平均數、中位數、方差．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．24．如用，在中，平分，交于點F，交外接圓于點E．過點E作的切線交延長線于點D．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用角平分線的定義，圓周角定理和垂徑定理得到，利用圓的切線的性質定理得到，再利用同垂直與第三條直線的兩直線互相平行的性質解答即可；（2）利用等腰三角形的性質，平行線的性質和圓周角定理得到，，再利用相似三角形的判定與性質解答即可得出結論．【詳解】（1）解：證明：連接，如圖，平分，，，．為的切線，．；（2）由（1）知：，，，，，．，．，，，，，．【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質定理，平行線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，添加輔助線．25．如圖，二次函數y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的圖象過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），記為L．將L沿直線x＝3翻折得到“部分拋物線”K，點A，C的對應點分別為點A'，C'．(1)求a，b，c的值；(2)畫出“部分拋物線”K的圖象，并求出它的解析式；(3)某同學把L和“部分拋物線”K看作一個整體，記為圖形“W”，若直線y＝m和圖形“W”只有兩個交點M，N（點M在點N的左側）．①直接寫出m的取值范圍；②若△MNB為等腰直角三角形，求m的值．【答案】(1)a、b、c的值分別為1、﹣2、﹣3(2)y＝x2﹣10x+21（x≥3）；圖見解析(3)①m＞0或m＝﹣4；②5【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，列方程組并且解該方程組求出a、b、c的值即可；（2）由（1）得原拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，將其配成頂點式y＝（x﹣1）2﹣4，則翻折后得到的拋物線的頂點為（5，﹣4），再根據軸對稱的性質，可求出“部分拋物線”K的解析式為y＝x2﹣10x+21（x≥3）；（3）①先求出K與L的公共點為B（3，0），再結合圖象，確定m的取值范圍是m＞0或m＝﹣4；②按m＞0和m＝﹣4兩種情況分類討論，當m＞0時，先求出直線BM的解析式，再將其與L的解析式組成方程組，求出點M的縱坐標即為m的值；當m＝﹣4時，則△MNB不是等腰直角三角形．【詳解】（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴a、b、c的值分別為1、﹣2、﹣3．（2）由（1）得，L的解析式為y＝x2﹣2x﹣3（x≤3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，﹣4），∴將拋物線y＝（x﹣1）2﹣4沿直線x＝3翻折得到的拋物線的頂點坐標為（5，﹣4），∴翻折后的拋物線為y＝（x﹣5）2﹣4，即y＝x2﹣10x+21，∵K與L關于直線x＝3對稱，∴“部分拋物線”K的解析式為y＝x2﹣10x+21（x≥3）．

畫出“部分拋物線”K的圖象如圖1所示：（3）由得，∴K與L的公共點為B（3，0），①如圖2，當直線y＝m在點B上方，由直線y＝m與圖形W只有兩個交點M、N，∴m＞0；如圖3，當直線y＝m′在點B下方，直線y＝m經過L、K的頂點M（1，﹣4）、N（5，﹣4），此時直線y＝m與圖形W只有兩個交點M、N，∴m＝﹣4，綜上所述，m＞0或m＝﹣4．②如圖2，m＞0，△MNB為等腰直角三角形，設BM交y軸于點D，M（x，x2﹣2x﹣3），∵BM＝BN，∠MBN＝90°，∴∠BMN＝∠BNM＝45°，∵MN∥x軸，∴∠OBD＝∠BMN＝45°，∵∠BOD＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OB＝OD＝3，∴D（0，3），設直線BM的解析式為y＝kx+3，則3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直線BM的解析式為y＝﹣x+3，∵點M在直線y＝﹣x+3上，∴M（x，﹣x+3），∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+3，解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合題意，舍去），∴M（﹣2，5），∴m＝5；如圖3，m＝﹣4，∵BM2+BN2＝2BM2＝2×[（3﹣1）2+（0+4）2]＝40，MN2＝（5﹣1）2＝16，∴BM2+BN2≠MN2，∴此時△MNB不是等腰直角三角形，綜上所述，m的值是5．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、等腰直角三角形、待定系數法等知識點，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．26．已知拋物線．(1)若，求拋物線的對稱軸和頂點坐標；(2)若拋物線過點，且對于拋物線上任意一點都有，若是這條拋物線上不同的兩點，求證：．【答案】(1)拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為；(2)．【分析】本題考查了二次函數的圖像和性質，熟練掌握二次函數頂點式以及二次根式的性質是求解的關鍵．（1）將的值代入可求出二次函數解析式，再化成頂點式，即可求出對稱軸和頂點坐標；（2）根據題意可得為拋物線的頂點，可求出的值，再求出函數解析式，是拋物線上的點，分別用含的式子表示出和，進而求出，通過配方式，可證明結論．【詳解】（1）解：，∴拋物線的解析式為，∴∴拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為．（2）∵拋物線過點，且對于拋物線上任意一點都有，∴為拋物線的頂點，∴拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，∴拋物線的解析式為，∵是拋物線上不同的兩點，∴，∴，又∵，∴，∴．27．已知，點，分別在射線，上，將線段繞點順時針旋轉得到線段，過點作的垂線交射線于點.

(1)如圖1，當點在射線上時，求證：是的中點；(2)如圖2，當點在內部時，作，交射線于點，用等式表示線段與的數量關系，并證明?！敬鸢浮?1)見詳解(2)，理由見詳解【分析】（1）先根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求得，則，故，再根據等角的余角相等即可得到，故，最后等量代換出，即點是的中點；（2）在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，可證明，則，，則，根據平行線的性質以及等腰三角形的性質得到，則，而，故可等量代換出．【詳解】（1）證明：連接，

由題意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點是的中點；（2）解：，在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵是的中點，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的內角和，外角定理，平行線的性質，直角三角形的性質，熟練掌握這些知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．28．P是內一點，過點P作的任意一條弦，我們把的值稱為點P關于的