第二章系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述§2-1狀態(tài)空間得基本概念4、引入了狀態(tài)和狀態(tài)空間得概念之后,就可以建立動力學(xué)系統(tǒng)得狀態(tài)空間描述了。從結(jié)構(gòu)得角度講,一個動力學(xué)系統(tǒng)可用圖2-1所示得方塊圖來表示。其中x(t)表征系統(tǒng)得狀態(tài)變量,u(t)為系統(tǒng)控制量(即輸入量),y(t)為系統(tǒng)得輸出變量。與輸入—輸出描述不同,狀態(tài)空間描述把系統(tǒng)動態(tài)過程得描述考慮為一個更為細(xì)致得過程:輸入引起系統(tǒng)狀態(tài)得變化,而狀態(tài)和輸入則決定了輸出得變化。圖2-1動力學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖2009-082§2-1狀態(tài)空間得基本概念5、狀態(tài)方程:狀態(tài)變量得一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入量得關(guān)系,稱為系統(tǒng)得狀態(tài)方程。例:設(shè)單輸入線性定常系統(tǒng)(LTI-LinearTimeInvariant)得狀態(tài)變量為x1(t),x2(t),……,xn(t),輸入為u(t),則一般形式得狀態(tài)方程為:2009-083§2-1狀態(tài)空間得基本概念上式可寫成向量—矩陣形式:系統(tǒng)矩陣,表示系內(nèi)部狀態(tài)得聯(lián)系?；蜉斎刖仃嚮蚩刂凭仃?表示輸入對狀態(tài)得作用。2009-084§2-1狀態(tài)空間得基本概念6、輸出方程:在指定系統(tǒng)輸出得情況下,該輸出與狀態(tài)變量、輸入量之間得函數(shù)關(guān)系式,稱為系統(tǒng)得輸出方程。例:單輸出線性定常系統(tǒng)其向量—矩陣形式為:2009-085§2-1狀態(tài)空間得基本概念7、狀態(tài)空間表達(dá)式:狀態(tài)方程與輸出方程得組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式,又稱為動態(tài)方程。她就是對系統(tǒng)得一種完全得描述。例:SISO系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式:注意:由于A、B、C、D矩陣完整地表征了系統(tǒng)得動態(tài)特性,所以有時把一個確定得系統(tǒng)簡稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)矩陣A:表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間得關(guān)聯(lián)情況。輸入矩陣(或控制矩陣)B:表示輸入對每個狀態(tài)變量得作用情況。輸出矩陣C:表示輸出與每個狀態(tài)變量之間得組成關(guān)系。前饋矩陣D:表示輸入對輸出得直接傳遞關(guān)系。一般控制系統(tǒng)中,通常情況D=0。MIMO系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式:2009-086§2-1狀態(tài)空間得基本概念8、狀態(tài)空間分析法:在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描述系統(tǒng)得方法,稱為狀態(tài)空間分析法或狀態(tài)變量法。狀態(tài)空間表達(dá)式得結(jié)構(gòu)圖如下:圖2－2系統(tǒng)動態(tài)方程得方塊圖結(jié)構(gòu)2009-087§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得建立線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得一般形式:連續(xù)系統(tǒng):用線性微分方程來描述離散系統(tǒng):用差分方程來描述2009-088§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得建立一、狀態(tài)空間表達(dá)式得模擬結(jié)構(gòu)圖在狀態(tài)空間分析中,采用模擬計算機(jī)得模擬結(jié)構(gòu)圖來表示各狀態(tài)變量之間得信息傳遞關(guān)系,這對于建立系統(tǒng)得狀態(tài)空間表達(dá)式很有幫助。狀態(tài)空間表達(dá)式得模擬結(jié)構(gòu)圖有三種基本符號:(1)積分器(3)比例器(2)加法器2009-089§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得建立(1)積分器(3)比例器(2)加法器2009-0810大家學(xué)習(xí)辛苦了，還是要堅持繼續(xù)保持安靜【例2、2、1】已知系統(tǒng)動態(tài)方程如下,試畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖?！?-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得建立解:寫成向量—矩陣形式,,其中:2009-0812§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(或狀態(tài)變量圖)如下:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(用基本單元來模擬動態(tài)方程)2009-0813二、狀態(tài)空間表達(dá)式得得建立,,四種方法:§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得建立2009-08141、由控制系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動態(tài)方程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖就是經(jīng)典控制中常用得一種用來表示控制系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)、各信號相互關(guān)系得圖形化得模型,具有形象、直觀得優(yōu)點,常為人們采用。要將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式,一般可以由下列三個步驟組成:第一步:在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖得基礎(chǔ)上,將各環(huán)節(jié)通過等效變換分解,使得整個系統(tǒng)只有標(biāo)準(zhǔn)積分器(1/s)、比例器(k)及加法器組成,這三種基本器件通過串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式組成整個控制系統(tǒng)。第二步:將上述調(diào)整過得結(jié)構(gòu)圖中得每個標(biāo)準(zhǔn)積分器(1/s)得輸出作為一個獨立得狀態(tài)變量xi,積分器得輸入端就就是狀態(tài)變量得一階導(dǎo)數(shù)dxi/dt。第三步:根據(jù)調(diào)整過得結(jié)構(gòu)圖中各信號得關(guān)系,可以寫出每個狀態(tài)變量得一階微分方程,從而寫出系統(tǒng)得狀態(tài)方程。根據(jù)需要指定輸出變量,即可以從結(jié)構(gòu)圖寫出系統(tǒng)得輸出方程?！?-2、1由控制系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0815【例2、2、2】某控制系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖如圖2－3(a)所示,試求出其動態(tài)方程。,,（a）解:該系統(tǒng)主要有一個一階慣性環(huán)節(jié)和一個積分器組成。對于一階慣性環(huán)節(jié),我們可以通過等效變換,轉(zhuǎn)化為一個前向通道為一標(biāo)準(zhǔn)積分器得反饋系統(tǒng)。圖2-3(a)所示結(jié)構(gòu)圖經(jīng)等效變換后如圖2-3(b)所示圖2-3控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖§2-2、1由控制系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0816(b)（a）圖2-3(a)所示結(jié)構(gòu)圖經(jīng)等效變換后如圖2-3(b)所示

(b)§2-2、1由控制系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0817取y為系統(tǒng)輸出,輸出方程為:寫成矢量形式,我們得到系統(tǒng)動態(tài)方程:(b)我們?nèi)∶總€積分器得輸出端信號為狀態(tài)變量和,積分器得輸入端即和。從圖可得系統(tǒng)狀態(tài)方程§2-2、1由控制系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0818【例2、2、3】求如圖所示系統(tǒng)得動態(tài)方程。(b)第一次等效變換(a)系統(tǒng)方塊圖(c)由標(biāo)準(zhǔn)積分器組成得等效方塊圖§2-2、1由控制系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0819解:圖(a)第一個環(huán)節(jié)可以分解為,即分解為兩個通道,如圖(b)左側(cè)點劃線所框部分。第三個環(huán)節(jié)為一個二階振蕩環(huán)節(jié),她可以等效變換為如圖(b)右側(cè)雙點劃線所框部分。進(jìn)一步,我們可以得到圖(c)所示得由標(biāo)準(zhǔn)積分器組成得等效結(jié)構(gòu)圖。依次取各個積分器得輸出端信號為系統(tǒng)狀態(tài)變量,由圖(c)可得系統(tǒng)狀態(tài)方程:§2-2、1由控制系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0820由圖可知,系統(tǒng)輸出寫成矢量形式,得到系統(tǒng)動態(tài)方程:§2-2、1由控制系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動態(tài)方程2009-08212、根據(jù)物理定律建立實際系統(tǒng)得動態(tài)方程一般控制系統(tǒng)可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、液壓、熱力等等。要研究她們,一般先要建立其運動得數(shù)學(xué)模型(微分方程(組)、傳遞函數(shù)、動態(tài)方程等)。根據(jù)具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目得,選擇一定得物理量作為系統(tǒng)得狀態(tài)變量和輸出變量,并利用各種物理定律,如牛頓定律、基爾霍夫電壓電流定律、能量守恒定律等,即可建立系統(tǒng)得動態(tài)方程模型。【例2、2、4】RLC電路如圖所示、系統(tǒng)得控制輸入量為u(t),系統(tǒng)輸出為。建立系統(tǒng)得動態(tài)方程。u(t)uc(t)iLRC解:該RLC電路有兩個獨立得儲能元件L和C,設(shè)回路電流為,根據(jù)基爾霍夫電壓定律和R、L、C元件得電壓電流關(guān)系,可得到下列方程:§2-2、2根據(jù)物理定律建立實際系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0822

(1)我們可以取流過電感L得電流和電容C兩端電壓作為系統(tǒng)得兩個狀態(tài)變量,分別記作和整理有寫成向量矩陣形式為:§2-2、2根據(jù)物理定律建立實際系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0823整理有寫成向量矩陣形式為:(2)設(shè)狀態(tài)變量

§2-2、2根據(jù)物理定律建立實際系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0824(3)設(shè)狀態(tài)變量

整理有:寫成向量矩陣形式為:注意:選取不同得狀態(tài)變量,便會有不同得狀態(tài)空間表達(dá)式,并且各狀態(tài)空間表達(dá)式之間存在著某種線性關(guān)系?！?-2、2根據(jù)物理定律建立實際系統(tǒng)動態(tài)方程2009-0825

3、由系統(tǒng)得微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式從描述系統(tǒng)輸入輸出動態(tài)關(guān)系得高階微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)建立與之等效得狀態(tài)空間表達(dá)式得問題,稱為“實現(xiàn)問題”。關(guān)于實現(xiàn)問題得詳細(xì)內(nèi)容,我們將在后面得章節(jié)中討論。注意:實現(xiàn)就是非唯一得。(1)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程得一般形式為:§2-2、3由系統(tǒng)得微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0826第一步:選擇狀態(tài)變量(選擇n個狀態(tài)變量),令:

第二步:化高階微分方程為得一階微分方程組。

§2-2、3由系統(tǒng)得微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0827第三步:將方程組表示為向量—矩陣形式:其中:

注意:矩陣A為友矩陣。友矩陣得特點:主對角線上方元素為1,最后一行得元素可以任意取,而其余得元素均為零。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖§2-2、3由系統(tǒng)得微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0828【例2、2、5】已知,試列寫動態(tài)方程。狀態(tài)方程:輸出方程:狀態(tài)空間表達(dá)式為:其中:解:選狀態(tài)變量§2-2、3由系統(tǒng)得微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0829【例2、2、6】已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下,試求閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式。解:故微分方程為:選狀態(tài)變量:狀態(tài)方程:輸出方程:§2-2、3由系統(tǒng)得微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0830其中:§2-2、3由系統(tǒng)得微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0831(2)輸入量中含導(dǎo)數(shù)項SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)得一般形式:取狀態(tài)空間表達(dá)式為:其中:§2-2、3由系統(tǒng)得微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0832這里可用待定系數(shù)法確定,即:注意:這種方法不實用?？上葘⑽⒎址匠坍嫗閭鬟f函數(shù),然后再由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式。§2-2、3由系統(tǒng)得微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-08334、由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:應(yīng)用綜合除法有:SISO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖上式中得就就是中得,即§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0834(1)串聯(lián)分解得情況其中:將分解為兩部分串聯(lián),為中間變量,應(yīng)滿足:選取狀態(tài)變量:§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0835輸出方程為:向量—矩陣形式得狀態(tài)空間表達(dá)式為:其中:

上述狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型?！?-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0836當(dāng)時,不變,唯變化。2009-0837另外,還可以選另一組狀態(tài)變量。設(shè)經(jīng)整理有如下狀態(tài)方程:輸出方程為:2009-0838向量—矩陣為

上述狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。2009-0839串聯(lián)分解對偶得狀態(tài)變量圖(可觀測標(biāo)準(zhǔn)型)可觀測標(biāo)準(zhǔn)型和可控標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程得各矩陣存在如下關(guān)系:

§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0840【例2、2、7】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為解:采用傳遞函數(shù)串聯(lián)分解法:整理有:

整理有:令:試求狀態(tài)空間表達(dá)式。§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0841狀態(tài)空間表達(dá)式為:式中:,,,可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0842根據(jù)對偶原理,也可寫出可觀測標(biāo)準(zhǔn)型:式中:,,

可觀測標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0843【例2、2、8】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試求狀態(tài)空間表達(dá)式。(1)可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為:其中:(2)可觀測標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為:其中:解:§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0844只含單實極點得情況可分解為式中為n階系統(tǒng)得單實極點,則可化為對角標(biāo)準(zhǔn)型。式中:

設(shè)那么傳遞函數(shù)可展成:取狀態(tài)變量:整理后有:,即狀態(tài)方程為:§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0845只含單實極點得情況可分解為式中為n階系統(tǒng)得單實極點,則可化為對角標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)那么傳遞函數(shù)可展成:2009-0846又有:

即輸出方程為:向量—矩陣形式為:§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0847對角形動態(tài)方程得狀態(tài)變量圖為:由于uiyi等價于對角形動態(tài)方程得狀態(tài)變量圖§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0848【例2、2、9】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為解:

其中:

動態(tài)方程為:試求狀態(tài)空間表達(dá)式?！?-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0849(3)含重實極點得情況中含重實極點時,不僅可以化為可控、可觀測標(biāo)準(zhǔn)型,當(dāng)還可以化為約當(dāng)形動態(tài)方程。例如:§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0850§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0851【例2、2、10】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,試求約當(dāng)型狀態(tài)空間表達(dá)式。其中:

動態(tài)方程為:,即解:§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-08522【例2、2、11】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,試求約當(dāng)型狀態(tài)空間表達(dá)式。其中:解:§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0853

動態(tài)方程為:,特別注意:狀態(tài)空間表達(dá)式可按如下公式導(dǎo)出傳遞函數(shù)

§2-2、4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0854§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型一、狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換系統(tǒng)動態(tài)方程建立得過程,無論就是從實際物理系統(tǒng)出發(fā),還就是從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā),還就是從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā),在狀態(tài)變量得選取方面都帶有很大得人為得隨意性;實際物理系統(tǒng)雖然結(jié)構(gòu)不可能變化,但不同得狀態(tài)變量取法就產(chǎn)生不同得動態(tài)方程;系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在取狀態(tài)變量之前需要進(jìn)行等效變換,而等效變換過程就有很大程度上得隨意性,因此會產(chǎn)生一定程度上得結(jié)構(gòu)差異,這也會導(dǎo)致動態(tài)方程差異得產(chǎn)生;從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)得系統(tǒng)實現(xiàn)問題,更就是會導(dǎo)致迥然不同得系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)得產(chǎn)生,因而也肯定產(chǎn)生不同得動態(tài)方程。所以說同一系統(tǒng)選取不同得狀態(tài)變量便有不同形式得動態(tài)方程。2009-08551、非奇異線性變換我們總可以找到某個非奇異矩陣P,將原狀態(tài)向量作線性變換,得到另一個新得狀態(tài)向量,令變換前系統(tǒng)動態(tài)方程為:變換后系統(tǒng)動態(tài)方程為:式中:

對于狀態(tài)向量§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0856特別提示:有些教材中,做如下線性變換:變換前系統(tǒng)動態(tài)方程為:變換后系統(tǒng)動態(tài)方程為:式中:與上面線性變換相比,兩者只就是形式不同。為在講授過程中方便講解,我們將一直采用這種線性變換?！?-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-08572、非奇異線性變換得不變特性線性定常系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后,其特征多項式、特征方程、傳遞函數(shù)不變?！?-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0858二、系統(tǒng)特征值和特征向量(預(yù)備知識)定義:設(shè)A就是一個nxn得矩陣,若在向量空間中存在一非零向量v,使

則稱為得特征值,任何滿足得非零向量稱為得對應(yīng)于特征值得特征向量。1、特征值得計算【例2、3、1】求下列矩陣得特征值。

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0859解出特征值解:§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-08602、特征向量得計算【例2、3、2】求下列矩陣得特征向量解:(1)A得特征值在上例中已求出

的特征向量（2）計算對應(yīng)于特征值，有設(shè),即有§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0861

令:,則得特征向量(3)同理可算出得特征向量計算整理后有:解出:§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0862三、動態(tài)方程得幾種標(biāo)準(zhǔn)型1、動態(tài)方程得對角標(biāo)準(zhǔn)型對于線性系統(tǒng)若A得特征值就是互異得,則必存在非奇異變換矩陣P使原狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對角標(biāo)準(zhǔn)型。式中:其中,就是矩陣A得特征值?！?-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0863變換矩陣P由A的特征向量構(gòu)造，即分別為對應(yīng)于特征值的特征向量。【例2、3、3】試將下列動態(tài)方程變換為對角標(biāo)準(zhǔn)型。解:(1)A得特征值和特征向量已在前面兩例中算出:

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0864（2）用構(gòu)造變換矩陣P，并求。

(3)計算§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0865于就是變換后得動態(tài)方程為:※注意:如果原狀態(tài)空間表達(dá)式中得A陣為友矩陣,且有n個互異實數(shù)特征值,那么使A變換為對角形矩陣得變換陣P就是一個范德蒙(Vandermonde)矩陣:

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0866【例2、3、4】試將下列動態(tài)方程變換為對角標(biāo)準(zhǔn)型。

解:系統(tǒng)特征多項式為,解出特征值為由于A為友矩陣,并且有互異實特征值,故而變換矩陣可直接寫為如下形式:

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0867于就是變換后得動態(tài)方程為:【例2、3、5】試將下列動態(tài)方程變換為對角標(biāo)準(zhǔn)型。

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0868解:采用另一種方法:(1)系統(tǒng)特征多項式為,解出特征值為(2)可由,進(jìn)而求出。令:

并帶入,有§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0869解出,則(3)計算

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式得線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-08702、動態(tài)方程得約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型如果A陣具有重實特征根,又可分為兩種情況:①A陣雖有重特征值,但矩陣A仍然有n個獨立得特征向量。這種情況同特征值互異