矩陣的合同變換?摘要：本文詳細(xì)介紹了矩陣的合同變換，包括合同變換的定義、性質(zhì)、判定方法以及在二次型化簡(jiǎn)等方面的應(yīng)用。通過對(duì)合同變換相關(guān)知識(shí)的系統(tǒng)闡述，幫助讀者深入理解這一重要的矩陣變換概念及其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的作用。

一、引言矩陣的合同變換在數(shù)學(xué)中具有重要地位，它與二次型的化簡(jiǎn)、線性空間的分類等諸多問題密切相關(guān)。在實(shí)際應(yīng)用中，如物理學(xué)中的力學(xué)問題、工程學(xué)中的優(yōu)化設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，也經(jīng)常會(huì)用到矩陣的合同變換。深入研究矩陣的合同變換，有助于我們更好地理解和解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題以及實(shí)際應(yīng)用中的相關(guān)模型。

二、合同變換的定義設(shè)\(A\)，\(B\)是\(n\)階方陣，如果存在可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，則稱矩陣\(A\)與\(B\)合同，記作\(A\simeqB\)，而變換\(A\toC^TAC\)稱為合同變換。

例如，已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)，\(C=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(C^T=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\)。

計(jì)算\(C^TAC\)：\[\begin{align*}C^TAC&=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&2\\3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&3\\3&6\end{pmatrix}\end{align*}\]所以\(A\)與\(\begin{pmatrix}1&3\\3&6\end{pmatrix}\)合同。

三、合同變換的性質(zhì)1.反身性：對(duì)于任意\(n\)階方陣\(A\)，有\(zhòng)(A\simeqA\)。證明：取\(C=I\)（單位矩陣），則\(I^TAI=A\)，所以\(A\)與自身合同。2.對(duì)稱性：若\(A\simeqB\)，則\(B\simeqA\)。證明：因?yàn)閈(A\simeqB\)，所以存在可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC=B\)。兩邊同時(shí)左乘\((C^T)^{1}\)，右乘\(C^{1}\)，可得\(((C^T)^{1})^TB(C^T)^{1}=A\)。而\(((C^T)^{1})^T=(C^{1})^T\)，令\(D=C^{1}\)，則\(D^TBD=A\)，所以\(B\simeqA\)。3.傳遞性：若\(A\simeqB\)，\(B\simeqC\)，則\(A\simeqC\)。證明：因?yàn)閈(A\simeqB\)，存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^TAP=B\)；又因?yàn)閈(B\simeqC\)，存在可逆矩陣\(Q\)，使得\(Q^TBQ=C\)。將\(P^TAP=B\)代入\(Q^TBQ=C\)中，得到\(Q^T(P^TAP)Q=C\)，即\((PQ)^TA(PQ)=C\)。因?yàn)閈(P\)，\(Q\)可逆，所以\(PQ\)可逆，所以\(A\simeqC\)。

四、合同變換與二次型二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（其中\(zhòng)(A\)為對(duì)稱矩陣，\(X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\)）經(jīng)過可逆線性變換\(X=CY\)（\(C\)可逆）后，變?yōu)閈(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(CY)^TA(CY)=Y^T(C^TAC)Y\)。

例如，二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\)，其矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)。

取可逆線性變換\(X=CY\)，其中\(zhòng)(C=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，則變換后的二次型矩陣為\(C^TAC=\begin{pmatrix}1&3\\3&6\end{pmatrix}\)，新的二次型為\(g(y_1,y_2)=y_1^2+6y_1y_2+6y_2^2\)。

通過合同變換，可以將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形是只含平方項(xiàng)的二次型，其形式簡(jiǎn)單，便于研究二次型的性質(zhì)，如正定性、負(fù)定性等。

五、合同變換與矩陣的秩合同變換不改變矩陣的秩。設(shè)\(A\simeqB\)，即存在可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC=B\)。因?yàn)閈(C\)可逆，所以\(r(C)=n\)（\(n\)為矩陣的階數(shù)）。根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)，\(r(C^TAC)\leqr(A)\)。又因?yàn)閈(C^T\)，\(C\)可逆，所以\(r(B)=r(C^TAC)\geqr(A)\)。綜上可得\(r(A)=r(B)\)。

例如，已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，通過初等變換可化為\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)，其秩為\(1\)。

若存在可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，則\(r(B)=r(A)=1\)。

六、合同變換的判定方法1.基于定義：直接根據(jù)合同變換的定義，找到可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，來判斷\(A\)與\(B\)是否合同。例如，對(duì)于矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)和\(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)。設(shè)\(C=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，則\(C^T=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)。計(jì)算\(C^TAC\)：\[\begin{align*}C^TAC&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}=B\end{align*}\]所以\(A\)與\(B\)合同。2.利用二次型：將矩陣\(A\)，\(B\)看作二次型的矩陣，通過將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形來判斷。對(duì)于二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_2^2\)，其矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)。另一個(gè)二次型\(g(x_1,x_2)=2x_1^2+x_2^2\)，其矩陣\(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)。分別對(duì)兩個(gè)二次型進(jìn)行合同變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，發(fā)現(xiàn)它們的正、負(fù)慣性指數(shù)相同（\(A\)的正慣性指數(shù)為\(2\)，負(fù)慣性指數(shù)為\(0\)；\(B\)的正慣性指數(shù)為\(2\)，負(fù)慣性指數(shù)為\(0\)），所以\(A\)與\(B\)合同。3.借助矩陣的秩和正慣性指數(shù)：兩個(gè)\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等且正慣性指數(shù)相等。例如，矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，\(r(A)=3\)，正慣性指數(shù)\(p=2\)。矩陣\(B=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，計(jì)算其行列式\(\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\neq0\)，所以\(r(B)=3\)。再求\(B\)的特征值，\(\vert\lambdaIB\vert=\begin{vmatrix}\lambda2&1&0\\1&\lambda2&0\\0&0&\lambda+1\end{vmatrix}=(\lambda+1)(\lambda^24\lambda+3)=(\lambda+1)(\lambda1)(\lambda3)\)，正特征值為\(\lambda_1=3\)，\(\lambda_2=1\)，所以正慣性指數(shù)\(p=2\)。因?yàn)閈(r(A)=r(B)=3\)且正慣性指數(shù)相同，所以\(A\)與\(B\)合同。

七、合同變換在二次型化簡(jiǎn)中的應(yīng)用1.配方法對(duì)于二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\)。首先對(duì)\(x_1\)進(jìn)行配方：\[\begin{align*}f(x_1,x_2,x_3)&=(x_1+x_2+2x_3)^2x_2^24x_3^22x_2x_3\\&=(x_1+x_2+2x_3)^2(x_2^2+2x_2x_3+4x_3^2)+4x_3^24x_3^2\\&=(x_1+x_2+2x_3)^2(x_2+x_3)^2\end{align*}\]令\(\begin{cases}y_1=x_1+x_2+2x_3\\y_2=x_2+x_3\\y_3=x_3\end{cases}\)，即\(\begin{cases}x_1=y_1y_2y_3\\x_2=y_2y_3\\x_3=y_3\end{cases}\)，則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形\(f=y_1^2y_2^2\)。從合同變換角度看，原二次型矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&1\\2&1&5\end{pmatrix}\)，通過可逆線性變換矩陣\(C=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)，使得\(C^TAC=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)。2.正交變換法對(duì)于二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_24x_1x_38x_2x_3\)。其矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&2&2\\2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}\)。求\(A\)的特征值：\(\vert\lambdaIA\vert=\begin{vmatrix}\lambda2&2&2\\2&\lambda5&4\\2&4&\lambda5\end{vmatrix}=(\lambda1)^2(\lambda10)\)，特征值為\(\lambda_1=10\)，\(\lambda_2=\lambda_3=1\)。求對(duì)應(yīng)的特征向量：當(dāng)\(\lambda=10\)時(shí)，\((10IA)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}8&2&2\\2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0\)，解得特征向量\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\)，單位化得\(\eta_1=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\)。當(dāng)\(\lambda=1\)時(shí)，\((IA)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}1&2&2\\2&4&4\\2&4&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0\)，解得基礎(chǔ)解系\(\xi_2=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\xi_3=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\)，正交化得\(\beta_2=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\beta_3=\begin{pmatrix}\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}\\1\end{pmatrix}\)，再單位化得\(\eta_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\eta_3=\frac{1}{3\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\)。令正交矩陣\(Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}\\\frac{2}{3}&0&\frac{5}{3\sqrt{5}}\end{pmatrix}\)，則二次型通過正交變換\(X=QY\)化為標(biāo)