關于離散數學函數第1頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日第一節函數的基本概念一、函數的定義二、特種函數第2頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日一、函數的定義1、函數2、函數的定義域3、函數的值域4、陪域5、函數相等6、函數的圖和矩陣表示7、縮小和擴大(略)第3頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日1、函數函數是滿足任意性和唯一性的二元關系。f:X→Y對任意的x

X都存在唯一的y

Y<x，y>

fy=f(x)，任意性唯一性函數映射原像像點第4頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日函數舉例設X={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3}判斷下列關系是否是函數？f1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x2,y3>,<x3,y1>,<x4,y3>}f2={<x1,y1>,<x2,y1>,<x3,y1>,<x4,y2>}f3={<x1,y1>,<x3,y2>,<x4,y3>}第5頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答f1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x2,y3>,<x3,y1>,<x4,y3>}不是函數。∵x2對應兩個不同的像點y2和y3∴不滿足唯一性。第6頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答f2={<x1,y1>,<x2,y1>,<x3,y1>,<x4,y2>}是函數滿足任意性和唯一性。第7頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答f3={<x1,y1>,<x3,y2>,<x4,y3>}不是函數。∵原像x2沒有像點∴不滿足任意性。第8頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日2、函數的定義域函數f:X→Y定義域Df第9頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日3、函數的值域函數f:X→Yf(X)是f的值域由像點組成的集合Rf＝f(X)

Y第10頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日4、陪域函數f:X→Y陪域第11頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定義域、值域及陪域舉例f:X→YX={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3,y4,y5,y6}第12頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日函數舉例判斷下列關系中哪個能構成函數？(1)f1={<x1,x2>|x1,x2

N,x1+x2<10}(2)f2={<x1,x2>|x1,x2R,x22=x1}(3)f3={<x1,x2>|x1

N,x2為非負整數,x2為小于等于x1的素數的個數}第13頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(1)f1={<x1,x2>|x1,x2

N,x1+x2<10}不能構成函數。(1)不滿足任意性:Df={1,2,3,4,5,6,7,8}≠N(2)不滿足唯一性：f1(1)=1,f1(1)=2,…f1(1)=8第14頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(2)f2={<x1,x2>|x1,x2R,x22=x1}不能構成函數。(1)不滿足任意性:Df=R+≠R(2)不滿足唯一性：一個x1對應兩個不同的x2例如：22=4,(-2)2=4第15頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(3)f3={<x1,x2>|x1

N,x2為非負整數,x2為小于等于x1的素數的個數}能構成函數。滿足任意性和唯一性：對于任意的一個自然數x1，小于x1的素數個數是唯一的。例如:f3(1)=0:小于1的素數不存在；

f3(2)=1:小于2的素數有1個：1

f3(3)=2:小于3的素數有2個：1,2

f3(4)=3:小于3的素數有3個：1,2,3第16頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日5、函數相等函數f和函數g相等函數f:A→B，g:C→DA=CB=D對所有x∈A和x∈C都有f(x)=g(x)f=g第17頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日函數相等舉例設f:A→B,g:C→D,h:E→FA=C=E={1,2,3},B=D={a,b,c},F={a,b,c,d}f(1)=a,f(2)=a,f(3)=ch(1)=a,h(2)=a,h(3)=cg(1)=a,g(2)=a,g(3)=cf=gf≠hB≠Fg≠hD≠F第18頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日6、函數的圖和矩陣表示圖Gf：f(x)=y<x,y>∈f從x有一條到y的有向弧矩陣Mf：每一行有且僅有一個元素為“1”。化簡的Mf：二列矩陣第一列：Df第二列：Rf第19頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日函數的圖和矩陣表示舉例X={a,b,c,d,e}Y={α,β,γ,δ,ε}f={<a,α>,<b,γ>,<c,γ>,<d,ε>,<e,β>}求：Df、Rf、Gf、Mf、簡化的MfDf=X={a,b,c,d,e}Rf={α,β,γ,ε}

Y第20頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答X={a,b,c,d,e}Y={α,β,γ,δ,ε}f={<a,α>,<b,γ>,<c,γ>,<d,ε>,<e,β>}第21頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日舉例X={a,b,c}Y={0,1}問：存在多少個從X到Y的二元關系？存在多少個從X到Y的函數？第22頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答X

Y={<a,0>,<a,1>,<b,0>,<b,1>,<c,0>,<c,1>}|X

Y|=6關系是笛卡爾乘積的子集|ρ(X

Y)|=26結論：存在26個從X到Y的二元關系第23頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答函數是滿足任意性和唯一性的二元關系結論：存在|Y||X|=23個從X到Y的函數。第24頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日結論則: |BA|=|B||A|BA:從A到B的所有可能的函數的集合BA={f|f:A→B}第25頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日7、縮小和擴大(略)f:X→YA

X(1)g:A→Yg=f∩(A

Y)稱g是函數f的縮小，并記作f/A(2)若g是f的縮小，則f是g的擴大。由定義可知：Dg

Dfg

f縮小即原有的對應關系不變，但定義域縮小。第26頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日縮小和擴大舉例設A={-1，0，1}f:A2→B(1)寫出f的全部序偶；(2)求Rf;(3)寫出f/{0,1}2中的全部序偶。第27頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日f的全部序偶和Rf(1)A2=A

A={-1,0,1}

{-1,0,1}={<-1,-1>,<-1,0>,<-1,1>,<0,-1>,<0,0>,<0,1>,<1,-1>,<1,0>,<1,1>}f(<-1,-1>)=0,f(<-1,0>)=-1,f(<-1,1>)=-2,f(<0,-1>)=1,f(<0,0>)=0,f(<0,1>)=-1f(<1,-1>)=2,f(<1,0>)=1,f(<1,1>)=0f={<<-1,-1>,0>,<<-1,0>,-1>,<<-1,1>,-2>,<<0,-1>,1>,<<0,0>,0>,<<0,1>,-1>,<<1,-1>,2>,<<1,0>,1>,<<1,1>,0>}(2)Rf={-2,-1,0,1,2}第28頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日{0,1}2

Rf中的全部序偶f/{0,1}2=f∩({0,1}2

Rf

){0,1}2={0,1}

{0,1}={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}Rf={-2,-1,0,1,2}{0,1}2

Rf={<<0,0>,-2>,<<0,0>,-1>,<<0,0>,0>,<<0,0>,1>,<<0,0>,2>,<<0,1>,-2>,<<0,1>,-1>,<<0,1>,0>,<<0,1>,1>,<<0,1>,2>,<<1,0>,-2>,<<1,0>,-1>,<<1,0>,0>,<<1,0>,1>,<<1,0>,2>,<<1,1>,-2>,<<1,1>,-1>,<<1,1>,0>,<<1,1>,1>,<<1,1>,2>}第29頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日f/{0,1}2中的全部序偶f/{0,1}2=f∩({0,1}2

Rf

)={<<-1,-1>,0>,<<-1,0>,-1>,<<-1,1>,-2>,<<0,-1>,1>,

<<0,0>,0>,<<0,1>,-1>,<<1,-1>,2>,<<1,0>,1>,<<1,1>,0>}

∩{<<0,0>,-2>,<<0,0>,-1>,<<0,0>,0>,<<0,0>,1>,<<0,0>,2>,<<0,1>,-2>,<<0,1>,-1>,<<0,1>,0>,<<0,1>,1>,<<0,1>,2>,<<1,0>,-2>,<<1,0>,-1>,

<<1,0>,0>,<<1,0>,1>,<<1,0>,2>,<<1,1>,-2>,<<1,1>,-1>,<<1,1>,0>,<<1,1>,1>,<<1,1>,2>}={<<0,0>,0>,<<0,1>,-1>,<<1,0>,1>,<<1,1>,0>}第30頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日縮小的舉例X={a1,a2,a3,x4,x5}Y={y1,y2,y3,y4,y5}A={a1,a2,a3}f={<a1,y1>,<a2,y2>,<a3,y5>,<x4,y4>,<x5,y3>}求：f/A第31頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答f/A={<a1,y1>,<a2,y2>,<a3,y5>}第32頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日二、特種關系1、滿射函數2、內射函數3、單射函數4、雙射函數5、恒等函數第33頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日1、滿射函數函數f:X→Y若f(X)=Rf=Y值域＝陪域f是滿射函數映滿的映射f是滿射函數對任意的y

Y，在X中必有原像x與之對應f(x)=y像點的集合第34頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日滿射舉例A={a,b,c,d}B={1,2,3}f:A→Bf(a)=f(b)=1,f(c)=3,f(d)=2∵Rf={1,2,3}=B∴f是滿射函數。第35頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日2、內射函數函數f:X→Y若Rf

Yf是內射函數映入的映射第36頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日3、單射函數函數f:X→Y對任意x1，x2∈Xx1≠x2f(x1)≠f(x2)如果原像不同,則像點不同或f(x1)=f(x2)X1=x2如果像點相同,則原像相同則f是單射函數一對一的映射第37頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日內射、單射舉例A={a,b}B={2,4,6}f:A→Bf(a)=2,f(b)=4∵Rf={2,4}

B∴f是內射函數且f也是單射函數。第38頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日4、雙射函數函數f:X→Yf是滿射的f是單射的f是雙射函數一對一映滿的映射第39頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日5、恒等函數函數Ix:X→X對于所有的x∈X:Ix={<x,x>|x∈X}恒等函數雙射函數第40頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日特種函數舉例(1)f1(x)=x2(2)f2(x)=2x(3)f3(x)=x3(4)f4(x)=x3-x2-5x+6問以上4個函數各是什么函數？第41頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(1)f1(x)=x2∴f1不是滿射函數；∵f1(x)=f1(–x)=x2∴f1不是單射函數；∵Rf1為正實數集合，不是實數集合第42頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(2)f2(x)=2x不是滿射函數。是單射函數第43頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(3)f3(x)=x3是單射函數是滿射函數是雙射函數第44頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(4)f4(x)=x3-x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)是滿射函數不是單射函數第45頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日第二節函數的合成和合成函數的性質一、合成函數的定義二、反函數第46頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日一、合成函數的定義函數f:X→Y函數g:Y→Zg?f={<x,z>|x∈X∧z∈Z∧(

y)(y∈Y∧y=f(x)∧z=g(y))}f和g的合成函數復合函數函數f和g合成的書寫格式:關系R和S合成的書寫格式:R?Sg?f從左到右從右到左<x,y>∈f<y,z>∈g第47頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理函數f:X→Y函數g:Y→Zg?f:X→Z是函數(g?f)(x)=g(f(x))x

X第48頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明顯然g?f是從X到Z的關系(1)任意性：f是函數:對任意的x

X存在yY，使得<x,y>fg是函數:對任意的y

Y存在zZ，使得<y,z>g<x,y>f<y,z>g<x,z>g?f由復合關系的定義：對于每一個x

X，都存在Z中的某個像點z與之對應Dg?f＝X第49頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明（續）(2)唯一性：<x,z1>

g?f<x,z2>

g?f假設且z1

≠z2<x,z1>

g?f存在y1Y<x,y1>

f<y1,z1>

g<x,z2>

g?f存在y2Y<x,y2>

f<y2,z2>

gy1

＝y2＝yz1

＝z2＝z第50頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日合成函數舉例設X={1,2,3},Y={p,q},Z={a,b},f={<1,p>,<2,p>,<3,q>},g={<p,b>,<q,b>}求g?f。g?f={<1,b>,<2,b>,<3,b>}第51頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理函數的合成運算是可結合的，即：h?(g?f)=(h?g)?ff:X→Yg:Y→Zh:Z→W第52頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明設：<x,y>f，<y,z>g，<z,w>h<x,y>f<y,z>g<x,z>g?f<z,w>h<x,w>h?(g?f)<y,z>g<z,w>h<y,w>h?g<x,y>f<x,w>(h?g)?f<x,w>是任意的h?(g?f)=(h?g)?f第53頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日合成函數滿足結合律的圖解表示fghg?fh?gh?(g?f)(h?g)?f第54頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日合成函數舉例設R為實數集合,對x∈R有：f(x)=x+2,g(x)=2x,h(x)=3x;求g?f，h?(g?f)，f?f，g?g，f?g，(h?g)?f第55頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答合成函數不滿足交換律g?f(x)=g(f(x))=g(x+2)=2(x+2)h?(g?f)(x)=h(g?f(x))=h(2(x+2))=6(x+2)f?f(x)=f(f(x))=f(x+2)=(x+2)+2=x+4g?g(x)=g(g(x))=g(2x)=4xf?g(x)=f(g(x))=f(2x)=2x+2=2(x+1)(h?g)?f(x)=(h?g)(f(x))=(h?g)(x+2)=6(x+2)h?g(x)=h(g(x))=h(2x)=6x合成函數滿足結合律第56頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日函數合成運算結合律的推廣f1:X1→X2,f2:X2→X3,…,fn:Xn→Xn+1fn?fn-1?…?f2?f1:X1→Xn+1若：f1=f2=…=fn

X1=X2=…=Xn+1，則：fn=f?f?f?…?f:X→X第57頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日等冪函數函數f:X→Xf2=ff?f等冪函數第58頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理 設函數f:X→Y,g:Y→Z,g?f是一個復合函數，則：(1)若g和f是滿射的,則g?f是滿射的.(2)若g和f是單射的,則g?f是單射的.(3)若g和f是雙射的,則g?f是雙射的.第59頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明（1）對于任意的z∈Z存在x∈X,使得：<x,z>∈g?f對于任意的z∈Zg是滿射的存在一個y∈Y，使得g(y)=zf是滿射的對于y∈Y，必有x∈X，使得f(x)=yz=g(y)=g(f(x))=g?f(x)<x,z>∈g?fg?f是滿射函數第60頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明（2）x1≠x2

g?f(x1)≠g?f(x2)x1≠x2

f是單射的f(x1)≠f(x2)y1≠y2g是單射的g(y1)≠g(y2)g(f(x1))≠g(f(x2))g?f(x1)≠g?f(x2)g?f是單射的第61頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理 設函數f:X→Y,g:Y→Z,g?f是一個復合函數，則：(1)若g?f是滿射的,則g是滿射的.(2)若g?f是單射的,則f是單射的.(3)若g?f是雙射的,則g是滿射的，f是單射的.第62頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明（2）x1≠x2

f(x1)≠f(x2)x1≠x2

g?f是單射的g?f(x1)≠g?f(x2)g(f(x1))≠g(f(x2))g(y1)≠g(y2)函數的唯一性y1≠y2f(x1)≠f(x2)f是單射的第63頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理設函數f:X→Y,IX是X上的恒等函數，IY是Y上的恒等函數，則

f=f?IX=IY?f第64頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明設:x

Xy

YIX(x)=xIY(y)=yf?IX

(x)=f(IX

(x))=f(x)f?IX=fIY?f(x)=IY

(f(x))=f(x)IY?f=f第65頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理函數f:X→Y

f-1:f的逆關系，則：f-1是從Y到X的函數

f是雙射函數第66頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日舉例:f不是滿射函數設函數f:X→YX={a,b,c}Y={1,2,3,4}f={<a,1>,<b,2>,<c,3>}f的逆關系f-1={<1,a>,<2,b>,<3,c>}，不滿足函數的任意性不是函數第67頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日舉例:f不是單射函數設函數f:X→YX={a,b,c}Y={1,2}f={<a,1>,<b,1>,<c,2>}f的逆關系f-1={<1,a>,<1,b>,<2,c>}，不滿足唯一性不是函數第68頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日2、反函數 設f:X→Y是雙射函數，則:f的逆關系稱f的反函數注意：只有雙射函數才有反函數。f-1第69頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明(1)f:X→Y

則f-1:

Y→X假設f不是滿射函數，則:與函數的任意性相矛盾RfYRf=Df-1Df-1Y第70頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明(2)假設f不是單射函數，則：x1≠x2f(x1)＝f(x2)＝yf(x1)＝yf(x2)＝yf-1(y)＝x1f-1(y)＝x2原像像點像點與函數的唯一性相矛盾第71頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理設f:X→Y是一雙射函數,則:f的反函數f-1:

Y→X也是一個雙射函數。第72頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明(1)f-1是從

Y到X的函數；(2)f-1是滿射函數；(3)f-1是單射函數；第73頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明：f-1是從

Y到X的函數f是雙射函數f是滿射函數對任意的y

Y必存在x

X<x,y>f<y,x>f-1

Df-1＝Yf-1是滿足任意性的f是雙射函數f是單射函數對任意的y

Y恰有一個的x

X<x,y>f僅有一個x

X<y,x>f-1f-1是滿足唯一性的第74頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明：

f-1是滿射函數∵Rf-1=∴f-1是滿射函數Df=X第75頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明：f-1是單射函數假設f-1不是單射函數，即：y1≠y2但是有

f-1(y1)＝f-1(y2)

f是函數f-1(y1)＝x1f-1(y2)＝x2x1

＝x2

f(x1)＝f(x2)

y1＝y2與假設相矛盾∴f-1是單射函數第76頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理若f:X→Y是雙射函數,則(f-1)-1=f。證明：對任意的<x,y>

(f-1)-1

<y,x>

f-1

<x,y>

f∴(f-1)-1=f第77頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理函數f:X→Y反函數f-1:Y→Xf-1?f=IXf?f-1=IY證明：設f(x)=yf-1(y)=xf-1?f(x)=f-1(f(x))=f-1(y)=x∴f-1?f=IXf?f-1

(y)=f(f-1

(y))=f(x)=y∴

f?f-1=IY第78頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日舉例f:X→YX={0,1,2}Y={a,b,c}f={<0,c>,<1,a>,<2,b>}求：f-1?f，f?f-1第79頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答f-1={<c,0>,<a,1>,<b,2>}(f-1?f)(0)=f-1(f(0))=f-1(c)=0(f-1?f)(1)=f-1(f(1))=f-1(a)=1(f-1?f)(2)=f-1(f(2))=f-1(b)=2∴

f-1?f={<0,0>,<1,1>,<2,2>}=IX

第80頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(f?f-1)(a)=f

(f-1(a))=f(1)=a(f?f-1)(b)=f

(f-1(b))=f(2)=b(f?f-1)(c)=f

(f-1(c))=f(0)=c∴

f?f-1={<a,a>,<b,b>,<c,c>}=IYf-1={<c,0>,<a,1>,<b,2>}第81頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理f:X→Yg:Y→Z(g?f)-1=雙射函數?g-1f-1第82頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明f:X→Yg:Y→Zg?f:X→Z(g?f)-1:Z→X對任意的<z,x>

(g?f)-1

<x,z>

g?f(y)(yY∧<x,y>f∧<y,z>g)(y)(yY∧<y,x>f-1∧<z,y>g-1)(y)(yY∧<z,y>g-1∧<y,x>f-1)

<z,x>

f-1?g-1第83頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日舉例X={1,2,3}FX:從X到X上的所有雙射函數組成的集合求：FX的所有函數及其反函數。第84頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}=IXf2={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f3={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f4={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}∴FX={f1,f2,f3,f4,f5,f6}f1-1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}=f1f2-1={<1,1>,<2,3>,<3,2>}=f2f3-1={<1,2>,<2,1>,<3,3>}=f3f4-1={<1,3>,<2,2>,<3,1>}=f4f5-1={<2,1>,<3,2>,<1,3>}=f6f6-1={<3,1>,<1,2>,<2,3>}=f5第85頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(續)?f1f2f3f4f5f6f1f1f2f3f4f5f6f2f2f1f6f5f4f3f3f3f5f1f6f2f4f4f4f6f5f1f3f2f5f5f3f4f2f6f1f6f6f4f2f3f1f5若|X|＝n,則X上雙射函數的個數為n!f3

?f2={<1,2>,<2,3>,<3,1>}=f5第86頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日舉例|X|=m|Y|=n問：存在滿射函數、單射函數、雙射函數的必要條件是什么？m≥nm≤nm=n第87頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日第三節二元運算一、基本概念二、二元運算的性質三、二元運算中的特異元素第88頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日一、基本概念1、二元運算2、n元運算3、二元運算的封閉性第89頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日1、二元運算X:集合f:X2→X的映射f為X中的二元運算解釋：一個運算符聯系著兩個運算分量f(<x,y>)=z 運算符運算分量運算分量運算結果xfy=zx,y,z∈Xz∈X封閉性第90頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日2、n元運算X:集合f:Xn→X的映射f為X中的n元運算運算的階<x1,x2,…,xn>f=xx1,x2,…,xn,x

X第91頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日3、二元運算的封閉性注意：任意一個二元運算必須滿足封閉性A:集合f:A2→B的映射B

A二元運算是封閉的第92頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日二元運算舉例設A={x|x=2n,nN}問：乘法運算是否封閉？對加法運算呢？乘法運算：對于任意的2r、2s

A2r

2s=2r+s

A∴乘法運算在A上封閉；加法運算：21+22=6

A∴加法運算在A上不封閉；第93頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日舉例判斷乘法運算是否在下列各N的子集上封閉？(1)A1={0,1}(2)A2={1,2}(3)A3={x|x為素數}(4)A4={x|x為偶數}(5)A5={x|x為奇數}√×√√×2

2=4

A22

3=6A3第94頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理*:X中的二元運算S1

XS2

X*在S1和S2上是封閉的*在S1∩S2上也封閉第95頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明對任意的兩個元素x,y

S1∩S2

x,y

S1∧x,y

S2*在S1和S2上封閉

x*y

S1∧x*y

S2

x*y

S1∩S2

*在S1∩S2上也封閉第96頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日二、二元運算的性質1、封閉性（通性）2、交換性3、可結合性4、可分配性5、吸收律第97頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日1、封閉性（通性）*:X中的二元運算對于任意的x,y∈Xx*y∈X在集合X上滿足封閉性第98頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日2、交換性*:X中的二元運算對于任意的x,y∈Xx*y=y*x*運算是可交換的第99頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日3、可結合性*:X中的二元運算對于任意的x,y,z∈Xx*y*z=x*(y*z)=(x*y)*z*運算是可結合的第100頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日二元運算性質舉例 設Q是有理數集合，Q上的二元運算定義為：

a*b=a+b-ab a,b∈Q問*是否可交換？可結合？第101頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答(1)交換性：b*a=b+a-ba=a+b-ab=a*b∴*運算滿足交換律第102頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日(2)結合性：a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc(a*b)*c=(a+b-ab)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-ac-bc+abc=a*(b*c)∴*運算滿足結合律解答第103頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日二元運算性質舉例 A是非空集合，*是A上的二元運算，并定義為：a*b=b,證明*是可結合的。a*(b*c)*是可結合的(a*b)*c=c=a*c=b*c=c第104頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日4、可分配性*,△

:X中的二元運算對于任意的x,y,z∈Xx*(y△z)=(x*y)△(x*z)(y△z)*x=(y*x)△(z*x)*對△可分配第105頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日5、吸收律*,△

:X中的可交換的二元運算對于任意的x,y∈Xx*(x△y)=x△(x*y)=xx*和△滿足吸收律第106頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日二元運算性質舉例 在N上定義兩個二元運算*和△，對任意的x,y∈N，有：

x*y=max(x,y)x△y=min(x,y)驗證：*和△滿足吸收律。第107頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日解答x*(x△y)=x*(min(x,y))=max(x,min(x,y))=x>yx=yx<ymax(x,y)=max(x,x)=max(x,x)=xxxx△(x*y)=x△(max(x,y))=min(x,max(x,y))=x>yx=yx<ymin(x,x)=xmin(x,x)=xmin(x,y)=x*和△滿足吸收律第108頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日三、二元運算中的特異元素1、幺元e（左幺元el、右幺元er）2、零元θ（左零元θl、右零元θr）3、逆元（左逆元xl、右逆元xr）4、等冪元5、可約的（可消去的）6、由運算表求特異元素第109頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日1、幺元e（左幺元el、右幺元er）*

:X中的二元運算(

x)(→)x∈X(

el

)(∧)el∈Xel*x=x左幺元(

x)(→)x∈X(

er

)(∧)er∈Xx*er=x右幺元第110頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理*

:X中的二元運算如果X對運算*同時存在el和erel=er=e(

x)(→)x∈X(

e)(∧)e∈Xx*e=xe*x=幺元單位元素e若存在則必唯一第111頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明(1)el=er=ex*e=e*x=xel*er

el是*的左幺元=erer是*的右幺元=el=ex*e=e*x=xx第112頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日∴e是*唯一的幺元(2)幺元是唯一的證明(續)假設e′是*的另一個幺元e≠e′e*e′=ee*e′=e′e′是幺元e是幺元e=e′第113頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日幺元舉例 問實數集合R上的加法運算和乘法運算的幺元各是什么？實數集合R上的加法運算：幺元是0實數集合R上的乘法運算：幺元是1第114頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日2、零元θ（左零元θl、右零元θr）*

:X中的二元運算(

x)(→)x∈X(

θl

)(∧)θl∈Xθl*x=θl左零元(

x)(→)x∈X(

θr

)(∧)θr∈Xx*θr=θr右零元第115頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理*

:X中的二元運算如果X對運算*同時存在θl和θrθl=θr=θ(

x)(→)x∈X(

θ)(∧)θ∈Xx*θ=θθ*x=零元θ若存在則必唯一第116頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日零元舉例 問實數集合R上的加法運算和乘法運算的零元各是什么？實數集合R上的加法運算：實數集合R上的乘法運算：無零元零元是0第117頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日3、逆元（左逆元xl、右逆元xr）*

:X中的二元運算*運算存在幺元ex∈X(

xl)(∧)xl

∈Xexl

*x=x的左逆元左可逆的(

xr)(∧)xr

∈Xex*xr

=x的右逆元右可逆的x是左可逆的x是右可逆的x是可逆的第118頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日定理*

:X中的二元運算*運算存在幺元e*運算可結合元素x∈X是可逆的xl=xr=x-1x的逆元x-1若存在則必唯一第119頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明(1)左逆元等于右逆元xl*x*xr*是可結合的=(xl*x)*xrxl*x=e=e*xr=xrxl*x*xr*是可結合的=xl*(x*xr)x*xr=e

=xl*e=xlxl=xr第120頁，共138頁，星期日，2025年，2月5日證明(2)xl=xr=x-1唯一幺元e的逆元是其本身，零元不可逆假設x1-1和x2-1是x的兩個逆元x1-1

≠x2