大招5向量與“四心”大招總結四心的概念:外心:三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心).內心:三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點(或內切圓的圓心).垂心:三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(通常用表示).重心:三角形的重心是三角形三條中線的交點.與三角形的“四心”有關的一些常見的重要的向量關系式:(1)設,則向量必平分,該向量必通過的內心;(2)設,則向量必平分的鄰補角;(3)設,則向量必垂直于邊,該向量必通過的垂心;(4)中,一定過的中點,通過的重心;(5)點是的外心;(6)點是的重心;(7)點是的垂心(移項證明);(8)點是的內心(其中為三邊);(9)的外心、重心、垂心共線,即;(10設為所在平面內任意一點,為的重心,為的內心,則有,并且重心,內心,.推論(結合奔馳定理):內有一點.1．如果點是的重心:.2．如果點是的內心:.3．如果點是的外心:.4．如果點是的垂心:.三、向量四心問題重心:(1)定義:三條中線的交點(2)若為的重心,則(3)若為的重心,為平面內任意一點,則重心坐標公式:(4)若為的重心,分別為的中點,則(5)重心滿足:外心:(1)定義:外接圓圓心,是三條中垂線的交點(2)為的外心,則(3)分別為的外心、垂心,則(4)外心滿足(5)為銳角的外心,則明:根據奔馳定理得到:內心:(1)定義:為內心,則內切圓圓心,是三條角平分線的交點,到三邊距離相等.(2)(3)內切圓半徑公式:面積法(4)為內心,則,即證明:的高都是根據奔馳定理得到:垂心:(1)定義:為垂心,則為三條垂線的交點(2)垂心滿足:.(3)為的垂心,則(4)為非直角的三角形的垂心,則(5)為的垂心,則證明(3):所以同理:,所以:證明(5):同理可得所以:(4)是非直角的垂心證明:(1)如圖為三角形的垂心,且在三角形內部時,同理得所以由奔馳定理可得:(2)當三角形為鈍角時,在三角形外部..所以.所以典型例題已知是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足,則點的軌跡一定通過的()A.外心B.內心C.重心D.垂心解：,設它們等于,而表示與共線的向量,而點是的中點,所以的軌跡一定通過三角形的重心.故選C.已知是平面上的一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足,則動點的軌跡一定通過的()A.內心B.垂心C.重心D.外心解：設的中點為,兩端同時點乘,得在的垂直平分線上,即經過的外心.故選.例3.是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足,,則點的軌跡一定通過的()A.外心B.內心C.重心D.垂心解：分別表示向量方向上的單位向量,的方向與的角平分線重合,又可得到,向量的方向與的角平分線重合,點的軌跡一定通過的內心,故選.例4.已知三個不共線的向量滿足,則為的()A.內心B.外心C.重心D.垂心解：在上取點,在延長線上取點,使得,則,以為鄰邊作平行四邊形,則平行四邊形是菱形,,過作的平行線交于點在直線上,,由菱形的性質可知為的角平分線,故在的角平分線上,同理可得:在的平分線上在的角平分線上,是的內心故選.例5.(2021-番禺區校級模擬)已知是平面上不共線的三點,為外心,動點滿足:且,則的軌跡一定通過的()A.內心B.垂心C.重心D.邊的中點解:取的中點,則而三點共線,點的軌跡一定不經過的重心.故選D.例6.(2021秋-萊蕪區校級月考)已知為所在平面內一點,若,則A.B.C.10D.5解:設的點為的中點為的中點為,則,,即為的外心,所以..故選B.例7.(2021秋?東安區校級期末)已知,點為所在平面內的點,且,則點為的()A.內心B.外心C.重心D.垂心解：同理是的外心.故選B.例8.已知平面內,,則解：依題,在以為圓心的圓上.又,則,設,則又故例9.已知是銳角的外心,.若,則）A.B..C.3D.解設外接圓的半徑為,若,,,,即,即,故,故,故故,即故,即,故選自我檢測1.是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足,,則的軌跡一定通過的()A.外心B.垂心C.內心D.重心答案：令為的中點,則,于是有點共線,即點的軌跡通過的重心.故選D.2.是所在平面上一點,若,則是的()A.外心B.內心C.里心D.垂心答案：,則由得:,即,同理,即的垂心,故選D.3.已知是所在平面上的一點,若(其中是所在平面內任意一點),則點是的()A.外心B.內心C.重心D.垂心答案：由得,即,即,即.再設為的單位向量,為的單位向量,所以,所以.則說明在的角平分線上,同理可得也在的平分線上,故為的內心.故選B.4.已知的三內角所對邊的長依次為為該三角形所在平面內的一點,若,則是的()A.內心B.重心C.垂心D.外心答案：已知,延長交于,根據向量加法得:代人已知得:,因為與共線,所以可設,上式可化為,由于與共線,與不共線,所以只能有,由可知:與的長度之比為,所以由內角平分線定理的逆定理可得為的平分線,同理可證的延長線也是角平分線.故為的內心.故選.5.已知是平面內一點,且,則是的()A.垂心B.外心C.重心D.內心答案：是平面內一點,且,可得:,所以是的外心.故選B.6.已知為所在平面內一點,且滿足,則點的軌跡一定通過的()A.外心B.內心C.重心D.垂心答案：由,得即,則是的垂心.故選D.7.已知點在所在平面內,且.，,則點依次為的()A.里心、外心、垂心B.里心、外心、內心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內心答案：到三角形三個頂點的距離相等,是三角形的外心,根據所給的四個選項,第一個判斷為外心的只有兩個選項,只要判斷第三個條件可以得到三角形的什么心就可以,,同理得到另外兩個向量都與相對應的邊垂直,得到是三角形的垂心,故選.8.已知點是的內心(三個內角平分線交點)、外心(三條邊的中垂線交點）、重心(三條中線交點)、垂心(三個高的交點)之一,且滿足,則點一定是的()A.內心B.外心C.重心D.垂心答案：設為的中點,可得點滿足.向量,移項得-(,即,得.結合為的中點,可得在的垂直平分線上,又點是的內心、外心、重心和垂心之一,結合三角形外接圓的性質,得點是的外心,故選B.9.已知非零向量滿足,且,則的形狀是()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等邊)三角形D.等邊三角形答案：分別為單位向量,的角平分線與垂直,三角形為等邊三角形.故選D.10.已知點為線段上一點,為直線外一點,是的平分線,為上一點,滿足,則的值為()A.2B.3C.4D.5答案：是的平分線,又滿足,即,所以在的角平分線上,由此得是的內心,過作于為圓心,為半徑,作的內切圓,如圖,分別切于,在直角三角形中,,所以.故選B.11.(2021春-寧遠縣校級月考)已知的三個頂點及所在平面內一點,若,且實數滿足,則A.B.3C.D.2答案：取的中點的中點,則三點共線,同理三點共線,是的重心,.故選B.12.(2021-天津一模)已知點是內一點,滿足,若1,則的最小值是()A.B.C.D.答案：因為點是內一點,滿足是的重心,.故選C.13.過的重心的直線交于點,若,則的值為答案：依題意,設的重心為,則故由“奔馳定理”,可得.即.因為,即.所以同理由,得又,故解得14.(2021-和平區一模)在中,是的中點,,點在上且滿足,則等于A.B.C.D.答案：如圖,因為是的中點,根據向量加法的幾何意義,,又,所以.故選A.15.(2021秋-清河區校級期中)設為的內心,當時,,則的值為答案：由題意,以所在直線為軸,的垂直平分線為軸建立坐標系,則,則因為點在的平分線上,所以與及的單位向量的和向量共線.設這個和向量為,則的單位向量,它與的單位向量相等,設,由此得方程,解方程得(另一負根不合題意,舍去).所以.又,故,即,解得故答案為:16.(2021秋-壽縣校級月考)設的外心為,重心為,取