甘肅省酒泉市2024-2025學年高二上學期1月期末考試數學試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的荅案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：選擇性必修第一冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等差數列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數列的性質可求得的值.【詳解】在等差數列中，，故.故選：C.2.拋物線的準線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據拋物線方程求出準線即可.【詳解】拋物線的準線方程是.拋物線，則，所以準線方程是.故選：D.3.過點且方向向量為的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據方向向量得到直線的斜率，從而得到直線的方程.【詳解】因為直線的方向向量為，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線方程為.故選：D4.為了解雙減政策的執行情況，某地教育主管部門安排甲、乙、丙三個人到兩所學校進行調研，每個學校至少安排一人，則不同的安排方法有（）A.6種 B.8種 C.9種 D.12種【答案】A【解析】【分析】先分組，再分配即可.【詳解】由題意，將3人分成2組，其中一組2人，有種，

再分配到兩所學校，有種，

故共有種安排方法.故選：A.5.若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.[3，5]【答案】C【解析】【分析】利用平行線間距離公式根據圓上滿足題意的點的個數即可求得結果.【詳解】如圖所示：

設與直線l行且與直線l之間的距離為1的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，即.故選：C6.已知等比數列滿足，公比，則（）A.32 B.64 C.128 D.256【答案】B【解析】【分析】根據等比數列的性質計算可得.【詳解】因為，公比，所以.故選：B7.已知橢圓與直線交于兩點，若點為線段的中點，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設點，利用題設條件得出利用點差法得到，代入結論整理得直線的斜率，即可求出直線的方程.【詳解】設點，因點為線段中點，則（*）又在橢圓（即）上，則①，②，由，可得，將（*）代入，化簡得，即，可知直線的斜率為，故直線的方程為：，即.故選：B.8.已知直線與軸和軸分別交于，兩點，且，動點滿足，則當，變化時，點到點的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，兩點坐標，根據得到，再結合可得到軌跡為動圓，求得該動圓圓心的方程，即可求得答案.【詳解】由，得，由，得，由，得，設，則，即，因此點的軌跡為一動圓，設該動圓圓心為，即有，則代入，整理得：，即軌跡的圓心在圓上（除此圓與坐標軸的交點外），點與圓上點連線的距離加上圓C的半徑即為點到點的距離的最大值，所以最大值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則的值可以是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BC【解析】【分析】利用組合數的計算即可求解【詳解】因為，所以或，解得或.故選：BC.10.已知數列的首項為，前項和為，且，則（）A.數列是等比數列 B.是等比數列C. D.數列的前項和為【答案】BCD【解析】【分析】利用遞推公式，結合，即可判斷選項AB，根據數列的通項公式即可判斷選項C，結合對數運算求出，利用等差數列前項和公式即可判斷選項D.【詳解】因為，所以，兩式相減得，，即，令，則，所以數列從第項起是等比數列，則，A錯，又，C正確；又，所以，且，所以是以為首項，為公比的等比數列，B正確；且，所以，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，則數列的前項和為，D正確.故選：BCD11.將圓上任意一點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的，得到橢圓，若該橢圓的兩個焦點分別為，長軸兩端點分別為，則（）A.橢圓的標準方程為B.橢圓上恰有四個點，使得C.若點是橢圓上任意一點（與不重合），則內切圓半徑的最大值為D.若點是橢圓上任意一點（與不重合），在延長線上，是的角平分線，過作垂直MN，垂足為，則線段OQ（為坐標原點）的長為定值4【答案】BCD【解析】【分析】A選項：根據圖象的變換即可求解；B選項：根據焦點三角形在短軸端點處張角最大即可判斷；C選項：根據內切圓半徑與三角形面積的關系即可求解；D選項：根據橢圓光學性質判斷出外角平分線即為切線，根據幾何關系得到，從而得到直線和直線方程，聯立求得點坐標，即可求解.【詳解】由題意得，橢圓的方程為，即，A錯誤；當點為上下頂點時，最大，此時，，所以橢圓上恰有四個點，使得，B正確；因為的周長為定值，設內切圓半徑為，則，所以，C正確；由橢圓的光學性質可知，為橢圓在點處的切線，且.設點，則直線的方程為，直線的方程為，聯立兩直線方程，得，所以，所以為定值，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，的系數為______.（用數字作答）【答案】【解析】【分析】寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【詳解】展開式的通項為（其中且），令，解得，所以，所以的系數為.故答案為：13.圓與圓相交于A、B兩點，則兩圓公共弦AB所在直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】兩圓方程作差即可得到公共弦方程.【詳解】圓，即，圓心為，半徑；圓，即，圓心，半徑，又，所以，所以兩圓相交，則兩圓方程作差得到，即公共弦所在直線的方程為.故答案為：14.定義：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項加上它的前一項所得的和都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等和數列，這個常數叫做等和數列的公和.已知數列是等和數列，，，則公和為_______________.【答案】7【解析】【分析】根據題意分析可知數列是以2為周期的周期數列，結合周期性分析求解.詳解】由題意可知：（公和），則，可得，可知數列是以2為周期的周期數列，可得，，所以公和.故答案：7.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設數列的前項和.（1）求數列的通項公式；（2）求的最大值及對應的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據作差計算可得；（2）根據二次函數的性質計算可得.【小問1詳解】因為，當時，當時，，所以，經檢驗時也符合上式，所以；【小問2詳解】因為，所以當時，取最大值，，，即，．16.已知直線過點.（1）若直線與直線垂直，求的方程；（2）若直線在兩坐標軸上的截距之和為零，求直線的方程；（3）若直線與圓相切，求的方程.【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）設直線為，代入點的坐標，求出的值，即可得解；（2）分直線的截距均為與均不為兩種情況討論，利用待定系數法計算可得；（3）首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.【小問1詳解】設直線的方程為，則，解得，所以直線的方程為；【小問2詳解】若直線的截距均為，則設直線的方程為，所以，解得，所以直線的方程為，即；若直線的截距均不為，則設直線的方程為，所以，解得，所以直線的方程為，即；綜上可得直線的方程為或；【小問3詳解】圓，即，則圓心為，半徑；當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則，解得，所以直線的方程為，綜上可得直線的方程為或.17.（1）已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，求證：；（2）若方程表示雙曲線，求的取值范圍，并說明該方程表示的雙曲線有共同的焦點；（3）求到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡方程，并指出軌跡表示什么曲線.【答案】（1）證明見詳解；（2）；說明見詳解；（3）答案見詳解；【解析】【分析】（1）設直線方程為，聯立方程組，根據根與系數的關系，即可得到，再結合拋物線的方程，即可證得.（2）根據雙曲線的標準方程及其性質即可求解.（3）根據求軌跡方程的方法，設點列式化簡即可求解.【詳解】（1）由拋物線，可得其焦點為，由題意可設直線方程為，聯立方程組，因為在拋物線內部，所以直線與拋物線必有兩交點，則是方程的兩個實數根，所以，因為，所以，所以.（2）若方程表示雙曲線，則，所以的取值范圍，若該方程表示焦點在軸的雙曲線則雙曲線焦點為，若該方程表示焦點在軸的雙曲線則雙曲線焦點為不存在，所以該方程表示的雙曲線有共同的焦點，并且焦點在軸上.（3）根據題意，設兩個定點的坐標分別為，設Px,y是平面上任意一點，則,即①方程①就是所求點的軌跡方程，接下來探討軌跡表示什么曲線，當時，曲線方程為，即，這是線段的垂直平分線；當時，①式可化為配方得，這是圓的標準方程，曲線表示圓.18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且焦點到漸近線的距離為1．（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線的右頂點為，，過坐標原點的直線與交于E，F兩點，與直線AB交于點，且點E，M都在第一象限，的面積是面積的倍，求直線的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先表示出雙曲線的漸近線方程，依題意可得，由點到直線的距離公式求出，再由求出、，即可得到雙曲線方程；（2）設，，，，由題意可知，，聯立直線與的方程求出，聯立直線與雙曲線的方程求出，依題意可得，即可求出.【小問1詳解】雙曲線的漸近線為，又一條漸近線方程為，所以，又焦點到漸近線的距離為1，即，所以，又，所以，，則雙曲線的方程為；【小問2詳解】由（1）可得，，則直線的方程為，設，，，，由題意可知，，由的面積是面積的倍，可得，即，所以，由，消去，可得，解得，由，消去，可得，解得，由，可得，解得或（舍去），當時，，符合題意，所以直線的斜率為.19.已知正實數，為常數，且，無窮數列的各項均為正整數，且對任意正整數，恒成立.（1）證明：無窮數列為等比數列；（2）若，，求的通項公式及數列的前項和；（3）若，求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2），（3）【解析】