7.3復數的三角形式【考點梳理】考點一：復數的三角表示 考點二：復數的輻角考點三：復數的乘、除運算的三角表示及及其幾何意義 考點四：復數三角表示綜合問題【知識梳理】知識點一、復數的三角形式的概念1.復數的輻角(1)定義：以x軸的非負半軸為始邊、向量所在的射線(起點是原點O)為終邊的角θ叫作復數z=a+bi的輻角。(2)輻角主值[0，2)內的輻角θ的值叫作復數z=a+bi的輻角主值，記作argz，即0≤argz<2。非零復數與它的模和輻角主值一一對應。(3)常用的有關輻角主值的結論當aR+時arga=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。2.復數相等兩個非零的復數相等，當且僅當它們的模與輻角主值分別相等。3.復數的三角形式復數z=a+bi可以用復數的模r和輻角θ來表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作復數z的三角形式，而a+bi叫作復數z的代數形式。知識點二、復數的三角形式的乘除法1.復數的乘法與乘方把復數，分別寫成三角形式(cosθ2+isin。則。這就是說，兩個復數相乘，其積的模等于這兩個復數的模的積，其積的輻角等于這兩個復數的輻角的和.上面的結果可以推廣到n個復數相乘：=。因此，如果就有[。這就是說，復數的次冪的模等于這個復數的模的n次冪，它的輻角等于這個復數的輻角的n倍。2.復數的除法設則z?除以z?的商：)]。這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差?！绢}型歸納】題型一：復數的三角表示1．（24-25高一下·上海·期末）復數的三角形式是（

）A．； B．；C．； D．.【答案】C【分析】根據兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角，通過計算得到答案.【詳解】，故選：C.2．（2024高一下·全國·專題）復數的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由復數的三角形式定義以及誘導公式即可求解.【詳解】.故選：D.3．（2023高一下·上?！ｎ}）的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用復數三角形式的意義求解即得.【詳解】，故B正確；經檢驗，ACD都錯誤.故選：B題型二：復數的輻角4．（23-24高一下·福建泉州·階段）復數的輻角主值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據復數的輻角主值的定義進行求解.【詳解】因為，所以的輻角主值為.故選：C5．（22-23高一·全國）的輻角主值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據復數的三角形式，對選項逐一分析判斷即可.【詳解】對于A，若輻角主值為，則，不可能為，故A錯誤；對于B，若輻角主值為，則，不可能為，故B錯誤；對于C，若輻角主值為，則，當時，，故C正確；對于D，由于輻角主值的范圍為，不可能為，故D錯誤.故選：C.6．（21-22高一·全國）設，則復數的輻角主值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據復數三角形式下的乘除運算及輻角的定義即可求解．【詳解】解：，因為，所以，所以，所以該復數的輻角主值為．故選：B.題型三：復數的乘、除運算的三角表示及及其幾何意義7．（22-23高一·全國）計算的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據復數的三角運算公式運算即可.【詳解】因為所以，所以，故選：B.8．（24-25高一下·全國）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用復數運算的三角表示化簡可得結果；【詳解】（1）原式．（2）原式．9．（24-25高一下·全國）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】復數化為三角形式，按三角形式的乘除運算法則，即可求解.【詳解】（1）．（2）原式．題型四：復數三角表示綜合問題10．（2024高一下·上海）已知，且，若．(1)求復數的三角形式，并且復數的輻角主值；(2)求．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）直接利用三角變換可得復數的三角形式及輻角主值.（2）設，結合求得，再由復數代數形式的乘除運算化簡，然后利用復數模的計算公式求解．【詳解】（1），則；（2）設，而，則，又，于是，則，解得，，即，因此，所以．11．（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）已知：①任何一個復數都可以表示成的形式.其中是復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角，叫做復數的三角形式.②方程（為正整數）有個不同的復數根；(1)求證：；(2)設，求；(3)試求出所有滿足方程的復數的值所組成的集合.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據題意，由復數的四則運算代入計算，即可證明；（2）根據題意，將復數化為復數的三角形式，然后結合三角形式的運算，代入計算，即可得到結果；（3）根據題意，由復數的三角形式的運算代入計算，結合終邊相同的角的集合，即可得到結果.【詳解】（1）證明：.（2）依題意，，所以.（3）設，則，因此，解得，由終邊相同的角的意義，取，則對應的依次為，因此對應的依次為，所以所求的集合是.12．（23-24高一下·重慶）任意一個復數z的代數形式都可寫成復數三角形式，即，其中i為虛數單位，，.棣莫弗定理由法國數學家棣莫弗（1667～1754）創立.設兩個復數用三角函數形式表示為：，，則：.如果令，則能導出復數乘方公式：.請用以上知識解決以下問題.(1)試將寫成三角形式；(2)試應用復數乘方公式推導三倍角公式：；；(3)計算：的值.【答案】(1)(2)推導過程見解析(3)【分析】（1）求出復數的模，根據復數的三角形式，即可求得答案；（2）設模為1的復數為，利用復數的乘方運算，結合復數的相等以及同角的三角函數關系化簡，即可推得結論；（3）由（2）的結論結合恒等變換推出，繼而得，，再結合，化簡，即可求得答案.【詳解】（1）由于，故，則；（2）設模為1的復數為，則，由復數乘方公式可得，故；（3）首先證明：；由于，則，則，故，則可得，，所以.【高分達標】一、單選題13．（24-25高一下·全國）復數經過n次乘方后，所得的復數等于它的共軛復數，則n的值等于（

）A．3 B．12 C． D．【答案】C【分析】用共軛復數的概念，以及復數的三角表示即可.【詳解】由題意，得，由復數相等的定義，得解得，．故選：C14．（23-24高二下·江蘇南京·期中）在復平面內，常把復數和向量進行一一對應．現把與復數對應的向量繞原點O按逆時針方向旋轉，所得的向量對應的復數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復數乘法的幾何意義可知，根據復數的三角表示可得旋轉后對應的復數為.【詳解】根據題意可知，復數對應的向量繞原點O按逆時針方向旋轉可得，即所得的向量對應的復數為.故選：A15．（2024高一下·全國·專題練習）設復數的輻角的主值是，則的輻角的主值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據復數的除法運算及復數的輻角的主值的定義即可得解.【詳解】因為，所以的輻角的主值為.故選：D.16．（2024高一下·全國·專題練習）（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據復數的四則運算求解即可.【詳解】，由于，所以，.故選：A.17．（2024高一下·全國·專題練習）復數的輻角的主值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據輻角主值的定義求解.【詳解】.∵，∴，，∴.∵輻角的主值的取值范圍為，∴復數z的輻角的主值為.故選：C.18．（2024高一下·全國·專題練習）復數化為代數形式為（

）A．i B．C． D．【答案】D【分析】直接代入三角函數值即可運算求解.【詳解】.故選：D.19．（2024·內蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由棣莫弗公式化簡結合復數的幾何意義即可得出答案.【詳解】，在復平面內所對應的點為，在第二象限.故選：B.20．（2024·陜西商洛·模擬預測）法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發現了棣莫弗定理：設兩個復數，，則.設，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【分析】變形復數，根據題中定義進行計算，即可判定.【詳解】，所以,所以的虛部為.故選:B.二、多選題21．（2024高一下·全國·專題練習）在復平面內，已知正三角形ABC的頂點A，B對應的復數為2＋i，3＋2i，則頂點C對應的復數可能是（

）A．＋i B．＋iC．＋i D．＋i【答案】CD【分析】根據題意，得到對應的復數為，得到對應的復數為或或，結合＝＋，即可求解.【詳解】由正的頂點對應的復數為，可得對應的復數為，則對應的復數為，或，所以對應的復數為或，即或.故選：CD．22．（2024高一下·全國·專題練習）下列命題中正確的是（

）A．復數的輻角的主值是，則的輻角的主值是B．復數的輻角的主值是，則的輻角的主值是C．復數，的輻角的主值分別是，，則的輻角的主值是D．復數，的輻角的主值分別是，，且，則的輻角的主值是【答案】BD【分析】輔角的主值的取值范圍是，若，，即可判斷；由，即可判斷；因為，即可判斷；，為輻角的主值，可判斷.【詳解】設，，則，若，，則的輻角的主值為，不正確；，的輻角的主值為，正確；設，，，，，若，則的輻角的主值為，不正確；，所以的輻角的主值是，正確.故選：.23．（2024高一下·全國·專題練習）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據復數三角形式的乘除運算法則求解即可.【詳解】因為，，，所以，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，所以，故D錯誤，故選：AC.24．（2024高一下·全國·專題練習）下列說法正確的是（

）A．復數的輻角的主值為B．復數的輻角的主值為C．復數的代數形式為D．復數的三角形式為【答案】AC【分析】根據輻角主值的定義可判斷AB的正誤，根據代數形式和三角形式的轉化規則可判斷CD的正誤.【詳解】對于A，因為，故的輻角的主值為，故A正確；對于B，而，故的輻角的主值不是，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故，故D錯誤.故選：AC.25．（23-24高三下·貴州·階段練習）已知復數，滿足，，且，則（

）A． B．C．若，則 D．【答案】ACD【分析】由，平方后可推出，即可判斷D，由此可判斷C；根據復數的乘法以及模的計算公式可判斷A；根據復數的加法以及模的計算公式可判斷B；【詳解】由題意知復數，滿足，，且，則，故，即，得，故，D正確；，得，A正確；由于，故，B錯誤；由以上D的分析可知，若，則，故，C正確；故選：ACD26．（2023高三·全國·專題練習）把復數與對應的向量分別按逆時針方向旋轉和后，重合于向量且模相等，已知，則復數的代數形式和它的輻角分別是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由題意可知，，求出，再求出所對應的坐標，可得輻角.【詳解】由題意可知，又，則，可知對應的坐標為，則它的輻角主值為，故可以作為復數的輻角的是，，當時，.故選：BD.三、填空題27．（23-24高一下·甘肅臨夏·期末）計算：．【答案】【分析】由復數的除法與乘方運算求解即可.【詳解】.故答案為：28．（23-24高一下·福建寧德·階段練習）歐拉公式（i為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”，根據歐拉公式可知，若表示復數z，則.【答案】1【分析】根據歐拉公式結合誘導公式化簡后可求出其模.【詳解】由題意得，所以.故答案為：129．（23-24高一下·江蘇淮安·期末）歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式將復數、指數函數與三角函數完美聯系起來的一個公式，e是自然對數底數，i是虛數單位，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，被譽為“數學中的天橋”．利用歐拉公式解決問題，；關于x的方程，的解為．【答案】；或或或或或或或或．【分析】將代入歐拉公式，可以求出，將2x看成一個整體，利用三角恒等變換可得，結合可以求出結果．【詳解】由題意，；由，得，則，即，即，即，即，解得或，又，，故或或或或或或或或，故x的取值集合為故答案為1，或或或或或或或或．30．（23-24高一下·河南洛陽·期末）已知：①任何一個復數都可以表示成的形式．其中是復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復數的輻角，叫做復數的三角形式．②被稱為歐拉公式，是復數的指數形式．③方程（n為正整數）有個不同的復數根．（1）設，則；（2）滿足方程的復數的值所組成的集合為．【答案】【分析】（1）根據給定的定義，轉化為復數的三角形式求解即得.（2）設，利用指數運算，結合定義求得，進而求出得解.【詳解】（1）依題意，，所以.（2）設，則，因此，，解得，由終邊相同的角的意義，取，則對應的依次為，因此對應的依次為，所以所求的集合是.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對已知條件的理解辨析，以及復數乘法的計算.四、解答題31．（24-25高一下·全國·課后作業）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】直接利用復數的三角表示的運算法則結合三角恒等變換計算得到答案.【詳解】（1）原式．（2）原式．32．（24-25高二上·江西宜春·階段練習）已知復數，且為純虛數（是的共軛復數）.(1)設復數，求；(2)復數在復平面內對應的點在第一象限，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由為純虛數，可得，從而得，再根據模的公式求解即可；（2）化簡得，再根據題意列出不等式組求解即可.【詳解】（1）解：因為，則，所以為純虛數，所以，解得.所以，因此.（2）解：因為，則，因為復數在復平面內對應的點位于第一象限，則，解得.因此實數的取值范圍是.33．（