1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試1．選擇題(本題滿分42分，每小題7分，每小題答對得7分，答錯(cuò)得0分不答得1分)⑴設(shè)－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集為()A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z}B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ，n∈Z}C．{x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ，n∈Z}D．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z}⑵設(shè)x為復(fù)數(shù)，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么()A．M={純虛數(shù)}B．M={實(shí)數(shù)}C．{實(shí)數(shù)}eq\o(\s\up3(),\s\do3())Meq\o(\s\up3(),\s\do3()){復(fù)數(shù)}D．M={復(fù)數(shù)}⑶設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足eq\b\lc\{(\a\ac(a2－bc－8a+7=0，,b2+c2+bc－6a+6=0．))那么，a的取值范圍是()A．(－∞，+∞)B．(－∞，1]∪[9，+∞)C．(0，7)D．[1，9]⑷如果四面體的每一個(gè)面都不是等腰三角形，那么其長度不等的棱的條數(shù)最少為()A．3B．4C．5D．6⑸平面上有一個(gè)點(diǎn)集和七個(gè)不同的圓C1，C2，…，C7，其中圓C7恰好經(jīng)過M中的7個(gè)點(diǎn)，圓C6恰好經(jīng)過M中的6個(gè)點(diǎn)，…，圓C1恰好經(jīng)過M中的1個(gè)點(diǎn)，那么M中的點(diǎn)數(shù)最少為()A．11B．12C．21D．28⑹邊長為a、b、c的三角形，其面積等于eq\f(1,4)，而外接圓半徑為1，若s=eq\r(a)+eq\r(b)+eq\r(c)，t=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)，則s與t的大小關(guān)系是A．s>tB．s=tC．s<tD．不確定2．填空題(本題滿分28分，每小題7分)：本題共有4個(gè)小題，每小題的答案都是000到999的某一個(gè)整數(shù)，請把你認(rèn)為正確的答案填在上．⑴在底面半徑為6的圓柱內(nèi)，有兩個(gè)半徑也為6的球面，其球心距為13，若作一平面與這二球面相切，且與圓柱面交成一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長軸長與短軸長之和是．⑵已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=eq\f(1,2)x的解的個(gè)數(shù)是．⑶設(shè)f(x)=eq\f(4x,4x+2)，那么和式f(eq\f(1,1001))+f(eq\f(2,1001))+f(eq\f(3,1001))+…+f(eq\f(1000,1001))的值等于；⑷設(shè)x、y、z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足方程4eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))－682eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))+256=0，那么x+y+z的最大值與最小值的乘積等于．

第二試1．(本題滿分17分)已知實(shí)數(shù)列a0，a1，a2，…，滿足ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)求證：對于任何自然數(shù)n，P(x)=a0Ceq\a(0,n)(1-x)n+a1Ceq\a(1,n)x(1-x)n-1+a2Ceq\a(2,n)x2(1-x)n-2+…+an-1Ceq\a(n－1,n)xn-1(1-x)+anCeq\a(n,n)xn是一次多項(xiàng)式．(本題應(yīng)增加條件：a0≠a1)2．(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為R，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是⊿ABC的三條高的充要條件是S=eq\f(R,2)(EF+FD+DE）．式中S是三角形ABC的面積．3．平面直角坐標(biāo)系中，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請?jiān)O(shè)計(jì)一種染色方法將所有的整點(diǎn)都染色，每一個(gè)整點(diǎn)染成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得⑴每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上；⑵對任意白色A、紅點(diǎn)B和黑點(diǎn)C，總可以找到一個(gè)紅點(diǎn)D，使得ABCD為一平行四邊形．證明你設(shè)計(jì)的方法符合上述要求．

1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試1．選擇題(本題滿分42分，每小題7分，每小題答對得7分，答錯(cuò)得0分不答得1分)⑴設(shè)－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集為()A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z}B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ，n∈Z}C．{x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ，n∈Z}D．{x|(2n－1)π－θ<x<2nπ+θ，n∈Z}解：－eq\f(π,2)<θ<0，在(－π，0)內(nèi)滿足sinx<a的角為－π－θ<x<θ，由單位圓易得解為D．⑵設(shè)x為復(fù)數(shù)，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么()A．M={純虛數(shù)}B．M={實(shí)數(shù)}C．{實(shí)數(shù)}eq\o(\s\up3(),\s\do3())Meq\o(\s\up3(),\s\do3()){復(fù)數(shù)}D．M={復(fù)數(shù)}解：即(z－1)2－(z－1)(eq\o(\s\up5(－),z)－1)=0，(z－1)(z－eq\o(\s\up5(－),z))=0，z=1或z=eq\o(\s\up5(－),z)，總之，z為實(shí)數(shù)．選B⑶設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足eq\b\lc\{(\a\ac(a2－bc－8a+7=0，,b2+c2+bc－6a+6=0．))那么，a的取值范圍是()A．(－∞，+∞)B．(－∞，1]∪[9，+∞)C．(0，7)D．[1，9]解：①×3+②：b2+c2－2bc+3a2－30a+27=0，(b－c)2+3(a－1)(a－9)=0，1≤a≤9．選D．b2+c2+2bc－a2+2a－1=0，(b+c)2=(a－1)2，b+c=a－1，或b+c=－a+1．⑷如果四面體的每一個(gè)面都不是等腰三角形，那么其長度不等的棱的條數(shù)最少為()A．3B．4C．5D．6解：取等腰四面體，其棱長至多2種長度．棱長少于3時(shí)，必出現(xiàn)等腰三角形．選A．⑸平面上有一個(gè)點(diǎn)集和七個(gè)不同的圓C1，C2，…，C7，其中圓C7恰好經(jīng)過M中的7個(gè)點(diǎn)，圓C6恰好經(jīng)過M中的6個(gè)點(diǎn)，…，圓C1恰好經(jīng)過M中的1個(gè)點(diǎn)，那么M中的點(diǎn)數(shù)最少為()A．11B．12C．21D．28解：首先，C7經(jīng)過M中7個(gè)點(diǎn)，C6與C7至多2個(gè)公共點(diǎn)，故C6中至少另有4個(gè)M中的點(diǎn)，C5至少經(jīng)過M中另外1個(gè)點(diǎn)，共有至少7+4+1=12個(gè)點(diǎn)．⑹邊長為a、b、c的三角形，其面積等于eq\f(1,4)，而外接圓半徑為1，若s=eq\r(a)+eq\r(b)+eq\r(c)，t=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)，則s與t的大小關(guān)系是A．s>tB．s=tC．s<tD．不確定解：△=eq\f(1,2)absinC=eq\f(abc,4R)，由R=1，△=eq\f(1,4)，知abc=1．且三角形不是等邊三角形．∴eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)≥eq\f(1,\r(ab))+eq\f(1,\r(bc))+eq\f(1,\r(ca))=eq\f(\r(a)+\r(b)+\r(c),\r(abc))=eq\r(a)+eq\r(b)+eq\r(c)．(等號不成立)．選C．2．填空題(本題滿分28分，每小題7分)：本題共有4個(gè)小題，每小題的答案都是000到999的某一個(gè)整數(shù)，請把你認(rèn)為正確的答案填在上．⑴在底面半徑為6的圓柱內(nèi)，有兩個(gè)半徑也為6的球面，其球心距為13，若作一平面與這二球面相切，且與圓柱面交成一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長軸長與短軸長之和是．解：易得cosα=eq\f(6,6.5)=eq\f(12,13)，于是橢圓長軸=13，短軸=12．所求和=25．⑵已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=eq\f(1,2)x的解的個(gè)數(shù)是．解：f(f(x))=|1－2|1－2x||=eq\b\lc\{(\a\ac(1－4x，(0≤x≤\f(1,4)),4x－1，(\f(1,4)≤x≤\f(1,2)),3－4x，(\f(1,2)≤x≤\f(3,4)),4x－3，(\f(3,4)≤x≤1)))同樣f(f(f(x)))的圖象為8條線段，其斜率分別為±8，夾在y=0與y=1，x=0，x=1之內(nèi)．它們各與線段y=eq\f(1,2)x(0≤x≤1)有1個(gè)交點(diǎn)．故本題共計(jì)8解．⑶設(shè)f(x)=eq\f(4x,4x+2)，那么和式f(eq\f(1,1001))+f(eq\f(2,1001))+f(eq\f(3,1001))+…+f(eq\f(1000,1001))的值等于；解f(x)+f(1－x)=eq\f(4x,4x+2)+eq\f(41－x,41－x+2)=eq\f(4x,4x+2)+eq\f(4,4+24x)=1．⑴以x=eq\f(1,1001)，eq\f(2,1001)，eq\f(3,1001)，…，eq\f(500,1001)代入⑴式，即得所求和=500．⑷設(shè)x、y、z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足方程4eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))－682eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))+256=0，那么x+y+z的最大值與最小值的乘積等于；解：令2eq\s\up6(eq\r(5x+9y+4z))=t，則得，t2－68t+256=0，(t－64)(t－4)=0，t=4，t=64．eq\r(5x+9y+4z)=25x+9y+4z=4，9(x+y+z)=4+4x+5z≥4，x+y+z≥eq\f(4,9)；4(x+y+z)=4－x－5y≤4，x+y+z≤1x+y+z∈[eq\f(4,9)，1]；eq\r(5x+9y+4z)=65x+9y+4z=36，9(x+y+z)=36+4x+5z≥36，x+y+z≥4；4(x+y+z)=36－x－5y≤36，x+y+z≤9．故，所求最大值與最小值的乘積=eq\f(4,9)9=4．第二試1．(本題滿分17分)已知實(shí)數(shù)列a0，a1，a2，…，滿足ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)求證：對于任何自然數(shù)n，P(x)=a0Ceq\a(0,n)(1-x)n+a1Ceq\a(1,n)x(1-x)n-1+a2Ceq\a(2,n)x2(1-x)n-2+…+an-1Ceq\a(n－1,n)xn-1(1-x)+anCeq\a(n,n)xn是一次多項(xiàng)式．(本題應(yīng)增加條件：a0≠a1)證明：由已知，得ai+1－ai=ai－ai－1，故{ai}是等差數(shù)列．設(shè)ai－ai－1=d≠0．則ak=a0+kd．于是P(x)=a0Ceq\o(\s\up7(0),n)(1-x)n+a1Ceq\o(\s\up7(1),n)x(1-x)n-1+a2Ceq\o(\s\up7(2),n)x2(1-x)n-2+…+an-1Ceq\a(n－1,n),n)xn-1(1-x)+anCeq\o(\s\up7(n),n)xn=a0Ceq\o(\s\up7(0),n)(1-x)n+(a0+d)Ceq\o(\s\up7(1),n)x(1-x)n-1+(a0+2d)Ceq\o(\s\up7(2),n)x2(1-x)n-2+…+(a0+(n－1)d)Ceq\o(\s\up7(n－1),n)xn-1(1-x)+(a0+nd)Ceq\o(\s\up7(n),n)xn=a0[Ceq\o(\s\up7(0),n)(1-x)n+Ceq\o(\s\up7(1),n)x(1-x)n-1+Ceq\o(\s\up7(2),n)x2(1-x)n-2+…+Ceq\o(\s\up7(n－1),n)xn-1(1-x)+Ceq\o(\s\up7(n),n)xn]+d[Ceq\o(\s\up7(1),n)x(1-x)n-1+2Ceq\o(\s\up7(2),n)x2(1-x)n-2+…+(n－1)Ceq\o(\s\up7(n－1),n)xn-1(1-x)+nCeq\o(\s\up7(n),n)xn](由kCeq\o(\s\up7(k),n)=nCeq\o(\s\up7(k－1),n－1))=a0(1－x+x)n+ndx[Ceq\o(\s\up7(0),n－1)(1-x)n-1+Ceq\o(\s\up7(1),n－1)x(1-x)n-2+…+Ceq\o(\s\up7(n－2),n－1)xn-2(1-x)+Ceq\o(\s\up7(n－1),n－1)xn－1]=a0+ndx(1－x+x)n－1=a0+ndx=a0+(an－a0)x．此為一次多項(xiàng)式．證畢．2．(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為R，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是⊿ABC的三條高的充要條件是S=eq\f(R,2)(EF+FD+DE)．式中S是三角形ABC的面積．證明連OA，則由C、E、F、B四點(diǎn)共圓，得AFE=C，又在⊿OAB中，OAF=(180-2C)/2=90-C，∴OA⊥EF．∴SOEAF=EF·eq\f(OA,2)=eq\f(R,2)·EF，同理，SOFBD=eq\f(R,2)·DF，SODCE=eq\f(R,2)·DE，故得S=eq\f(R,2)(EF+FD+DE)．