第20講重難點(diǎn)拓展：二次函數(shù)綜合之七種存在性問題

題型一：等腰三角形存在性題型二：直角三角形存在性

題型三：等腰直角三角形存在性題型四：平行四邊形的存在性問題

題型五：菱形的存在性問題題型六：矩形的存在性問題

題型七：正方形存在性問題

BQ??

一、等腰三角形存在性

根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：(1)AB=BC；(2)BC=CA；(3)

CA=AB.但根據(jù)實(shí)際圖形的差異，其中某些情況會(huì)不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2

個(gè)甚至更多的解，在解題時(shí)需要尤其注意.

工、知識(shí)內(nèi)容：

在用字母表示某條線段的長度時(shí)，常用的方法有但不僅限于以下幾種：

(1)勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長度表示出第三邊；

(2)兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(xl,yl)、B(x2,y2)

2、解題思路：

(1)利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)式；

(2)根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程(多為分式或根式方程)

(3)解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根.

二、直角三角形存在性

在考慮AABC是否為直角三角形時(shí)，很顯然需要討論三種情況：①/A=90°；②NB=90°；③/

C=90°.在大多數(shù)問題中，其中某兩種情況會(huì)較為簡(jiǎn)單，剩下一種則是考察重點(diǎn)，需要用到勾股定

理。

以函數(shù)為背景的直角三角形存在性問題

1、知識(shí)內(nèi)容：

在以函數(shù)為背景的此類壓軸題中，坐標(biāo)軸作為一?個(gè)“天然”的直角存在，在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到，作

出垂直于坐標(biāo)軸的直線來構(gòu)造直角。另外，較困難的情況則需要用到全等或者勾股定理的計(jì)算來確

定直角三角形.

2、解題思路：

第1頁共72頁

(1)按三個(gè)角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論；

(2)計(jì)算出相應(yīng)的邊長等信息；

(3)根據(jù)邊長與已知點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

三、平行四邊形的存在性問題

1.要先明確定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，常以定點(diǎn)為對(duì)角線和邊進(jìn)行分類；

2.三定一動(dòng)，有三種情況，可借助平移，全等、中點(diǎn)公式等知識(shí)確定坐標(biāo)..(坐標(biāo)平移規(guī)律:左減右加變x

上加下減變y如何平移?可先確定其中兩點(diǎn)的變化作參照，以此變化確定)

3.兩定兩動(dòng)：以定線段作邊或?qū)蔷€，確定分類;常借助對(duì)應(yīng)邊相等、坐標(biāo)間關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式建等式求

解

常見設(shè)問：已知A、B,求另外兩點(diǎn)C、D與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形

分類討論：

當(dāng)AB為邊時(shí)，找AB平行且等于的CD利用距離建立數(shù)量關(guān)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，AB的中點(diǎn)即為對(duì)角線的交點(diǎn)，結(jié)合圖形的對(duì)稱性，圍繞對(duì)角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之

和分別相等進(jìn)行求解，列出兩個(gè)二元一次方程組來求解.

4.三動(dòng)點(diǎn)或四動(dòng)點(diǎn):往往有不變特征，如兩邊始終平行，滿足相等即可

四、菱形的存在性問題(常為含60°角的菱形)

通常有兩大類：

1.已知三個(gè)定點(diǎn)探究菱形時(shí)，分別以三個(gè)定點(diǎn)中的任意兩個(gè)定點(diǎn)確定線段為要探究的菱形的對(duì)角線畫出

所有菱形，結(jié)合題干要求找出滿足條件的菱形；

2已知兩個(gè)定點(diǎn)去探究菱形時(shí)，以兩個(gè)定點(diǎn)連線所成的線段作為要探究菱形的對(duì)角線或邊長畫出符合題意的

菱形，結(jié)合題干要求找出滿足條件的菱形：

3.計(jì)算:建立類似平行四邊形的存在性問題來解

五、矩形的存在性問題

等價(jià)于直角三角形的存在性問題

(其特點(diǎn)往往是2定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn))，通過構(gòu)造一線三等角模型或勾股定理，可以求出其中一個(gè)

頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性求出另一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。

分類的依據(jù)往往是以已知兩點(diǎn)所在線段為邊或?qū)蔷€進(jìn)行分類討論。

六、正方形存在性問題

正方形是菱形和矩形特征的集結(jié)，因此同時(shí)采取菱形或矩形存在性問題解決的方法去求點(diǎn)的

坐標(biāo)。

￡}@??

＞題型歸納

第2頁共72頁

題型一：等腰三角形存在性

[例1](2023?廣東汕頭?汕頭市潮陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考二模)如圖，拋物線了=-1/+加工+〃與x軸交于42兩

點(diǎn)，與歹軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)。，已知/(-l,0),C(0,2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)￡是線段8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與反C重合)，過點(diǎn)E作尤軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)

動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CD8F的面積最大？求出四邊形CD8尸的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△尸CD為等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存

在，請(qǐng)說明理由.

13

(l)y=——X2+—x+2

iq

⑵當(dāng)x=2時(shí)，四邊形COB廠的面積最大，最大值為此時(shí)石(2,1)

⑶存在，滿足條件的尸點(diǎn)坐標(biāo)為8京;

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)根據(jù)拋物線解析式得出對(duì)稱軸為直線x=|,進(jìn)而得出。[jo],3(4,0),求得直線8C的解析式為

y=—gx+2,設(shè)尸[x,—]x?+—x+2^(0<x<4),則￡卜—^x+2),進(jìn)而得出EF,根據(jù)四邊形CDBF的

面積=SE+S.BCD，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)先利用勾股定理求得CZ)=:，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分尸。=CD和PC=CD,PC=P。結(jié)合坐標(biāo)與

2

圖形求解即可.

【詳解】(1)將”(TO),“0,2)代入拋物線解析式得

----m+n-0

<2,

〃=2

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3

解得加=—,〃=2

2

iQ

拋物線解析式為y=-jx2+jx+2

3

(2)拋物線的對(duì)稱軸為直線工=-一＞=]

--x22

2

.?.嗚0：*4,0)

設(shè)直線的解析式為y=b+"將反。點(diǎn)坐標(biāo)代入得

j4/c+b=0

[b=2

fT1

解得2

b=2

，直線8c的解析式為y=-;x+2

設(shè)尸(x,-3f+1工+2)0＜》＜4),則—_x+2]

:.EF=-"+-x+2-I—x+2|

2212J

12c

——x+2x

2

/.S&BCF=萬x4義1-~—R+2x)——?+4.

X

四邊形CDBF的面積=S.BCF+S.BCD

=-x2+4x+—x2x|4|

2I2)

=-%2+44%+—5

2

1Q

當(dāng)x=2時(shí)，四邊形CD5廠的面積最大,最大值為此時(shí)￡(2,1)

第4頁共72頁

當(dāng)CP=CD時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為［I，4

當(dāng)尸C=PD時(shí),設(shè)嗚加）

25

解得：m=§則尸點(diǎn)坐標(biāo)為

16

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，等腰三角形的定義，熟練掌握

二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，拋物線＞=-/+樂+。的頂點(diǎn)為D,其圖象交x軸于/,

8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為8（1,0）.

（1）求拋物線的解析式;

第5頁共72頁

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，求出以

為腰時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）拋物線解析式為y=T，_2x+3

（2）存在，符合條件的點(diǎn)M有3個(gè)，其坐標(biāo)分別為-1,舊）或卜1,-舊）或（-1,1）

【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為“（-1,加），分兩種情況討論：①當(dāng)=時(shí)；②當(dāng)=時(shí)，即可求解.

【詳解】（1）解：：拋物線y=-f+bx+c過點(diǎn)8（1,0）,C（洋3）,

fc=3（c=3

???代入得”啟n解得八o

[-l+6+c=0[6=-2

二拋物線解析式為>=-/-2》+3.

（2）解：存在；

由（1）得：拋物線解析式為>=-*-2》+3,

b

???對(duì)稱軸X—五

當(dāng)y=0時(shí)，解得x=-3或1,

二點(diǎn)/的坐標(biāo)為工（-3,0）,

?.,點(diǎn)C坐標(biāo)為。（0,3）,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為“（-1,相），

由勾股定理，得2。2=32+32=18,

=（-3+l）2+m2=m2+4,

CM2=I2+（3-m）-=m2-6m+10,

?；AM為等腰三角形的腰，

①當(dāng)=時(shí)，即"/+4=18.解得加=±Ji7,

.??M（T研，A/2（-1,-714）；

②當(dāng)4A/=CA/時(shí)，即加之+4=-6加+io,解得加=1,

???M（T，I）；

綜上，符合條件的點(diǎn)M有3個(gè)，其坐標(biāo)分別為或“211，-E）或河3（-1，1）；

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求解析式、三角形問題，掌握解題方法是關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023春?湖北武漢?九年級(jí)校考期中）如圖，拋物線y=a/+c與X軸于4,5兩點(diǎn)，交y軸于

點(diǎn)C,/（TO）.

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yi

A1/0\\1

圖1I圖2\

(1)直線>=屈+出過4C兩點(diǎn)，

①如圖1,求拋物線的解析式；

②如圖1,將直線4C向右平移，/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為5,且8M=2/C,以氏17為一邊作等腰三角形求N

的坐標(biāo)；

(2)如圖2,M為拋物線第一象限上任意一點(diǎn)，直線四交y軸于點(diǎn)X,若應(yīng)(O〃+OG)=l,求。的值.

【答案】⑴①0；②N點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)或(0,不+26)或(0，26-療)或(-3,0)或(0,岳)或(0,_小)

(2)〃=-

4

【詳解】(1)解：①???直線3/=屈+6過A,C兩點(diǎn),

C(0,V3),

將A、。點(diǎn)坐標(biāo)代入V="2+。，

a+c=0

c=6'

a=—A/3

解得

c=VJ

???拋物線的解析式為也;

②當(dāng)y=0時(shí)，一島2+6=0,

解得X=1或%=一1,

???B(L0),

??,將直線ZC向右平移，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為3,

A平移后的直線BM的解析式為y=&-B

vC(0,V3),4(T,0),

:.AC=2f

?;BM=2AC,

...BM=4,

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過點(diǎn)"作MG，x軸交于點(diǎn)G，

NCAO=NMBG,

AO=\,co=5

ZCAO=60°,

A/G=273，BG=2,

：.M(3,2揚(yáng)，

當(dāng)3"=皿=4時(shí)，N(5,0)或(0,而+26)或(0,273-77)；

當(dāng)即/=3N=4時(shí)，N(-3,0)或(0,小)或(0,-715)；

綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)或(0,77+26)或(0，26-5)或(TO)或(0,小)或(0,-小)；

(2)解：va+c=0,

設(shè)直線的解析式為歹=丘+6,

kt+b=at2-a

-k+b=0

k=a(l-t)

解得

b=—

???直線的解析式為y=〃(1一。%+。。一。，

同理可得直線BM的解析式為y=-〃(1+t)x+a(l+1),

G(0,a-at),H(0,a+at),

C(OH+OG)=\,

??+at+a—at)=1,

解得4=-I.

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【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直

角三角形等，有一定的綜合性，難度適中.

【變式1-3]（2023?重慶渝中?重慶巴蜀中學(xué)校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-2x-3班

3

（2）點(diǎn)尸是直線3C下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過尸作尸8c于點(diǎn)。，求線段尸。的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將拋物線沿射線3C平移痛個(gè)單位得到新拋物線了，新拋物線與原拋物線歹交于點(diǎn)。，將△/C。沿

直線3c平移得到△HC。'（不與△4C。重合），若以點(diǎn)B,D,0為頂點(diǎn)的三角形是以8。為腰的等腰三

角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)0的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)0坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

【答案】（1）18

9A/6RR,/3A/31573

（2）0。最大=》，止匕時(shí)尸———

\,上最大&124

⑶4卜3月,-2月）或（6-3行,2百-3/）或（G+3近,26+372）

【分析】（1）分別令尤=0和y=o解方程可得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再用三角形面積公式求出面積即可；

（2）過點(diǎn)尸作PN〃y軸交3c于點(diǎn)N,數(shù)形結(jié)合思想找到PN和尸。的數(shù)量關(guān)系，求P。最大值轉(zhuǎn)化為求尸N

最大值問題，利用配方法求最值即可；

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把圖象的平移轉(zhuǎn)化為水平和左右平移，則向下平移百個(gè)單位長度，向左平移

百個(gè)單位長度，得出新拋物線解析式，求出兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)△/C。向下平移。個(gè)單位長度，

向左平移。個(gè)單位長度，則?卜月-a,-a）,C'（-a1-V3-?）,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立關(guān)于。的方程求

解，即可解答.

【詳解】⑴解：當(dāng)x=0時(shí)，了=-36，

2

當(dāng)歹=。時(shí)，^-x-2x-3y[3=0,解得：玉=-6，x2=3A/3,

^（-73,0）,2（3石,0）,C（0,-36），

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4B=3A/3一卜代)=4#),0C=36，

S=-ABOC=-X4A/3X3A/3=18；

￡.ADRC22,

(2)解：過點(diǎn)尸作尸N〃丁軸交于點(diǎn)N,

:.OB=OC,

/OCB=/OBC=45。,

?.?7W〃y軸,

.\ZQNP=45°,

QPQ"BC,

/.42PQ=PN,則當(dāng)尸N最大時(shí)，尸。也最大,

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,

3G'解得Im=l

n=—35/3

直線8c的解析式為y=x-30，

設(shè)pjx,^^x2-2x-,N(x,x—3V3j,

PN=x-3行-1gx2-2x-3目=-4-及I學(xué)，

當(dāng)乂=述時(shí),PN最大，則耍當(dāng)N=gx*手,

2

線段P。的最大值為半，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(3)VZOCB=ZOBC=^5°,

，將拋物線沿射線3c平移八個(gè)單位得到新拋物線，

即原拋物線向下平移百個(gè)單位長度，向左平移百個(gè)單位長度,

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:原拋物線尸。*_2X_3G=F（X-V^『-V3,

二新拋物線y=3（x-百+可一475-V5-5/3,

4—x2-2X-3A/3=—X2-5A/3,

33

解得x=百，

.'.。（月,-46）,

???設(shè)AACO向下平移。個(gè)單位長度,向左平移。個(gè)單位長度,

則A'（Y-Q,-Q）,_a）,

???5（373,0）,

:.BD?=（36-喻+先用=60,

A'D-=1百-a-國+[a+4可="_4豉+60,

A'B2=1百-a-3百『+。2=2/+8百。+48,

①當(dāng)4。=30時(shí)，

2a°—4A/3O+60=60,

fl=0（舍去）或0=26，

???點(diǎn)/的坐標(biāo)為卜3省,-26）；

②當(dāng)48=3。時(shí)，

2a2+8y/3a+48=60，

a=—2A/3+3V2或a=—2-s/3—3^2,

點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（百-3五,26-3也）或（G+32G+3V2）；

綜上所述：點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（-3V3-2^/3）或（6-372,273-3吟或（6+30,26+3吟.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)最值，等腰三角形

的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型二：直角三角形存在性

【例2】（23-24九年級(jí)下?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖，拋物線了="2+及-4a（"0）經(jīng)過/（-1,0）、C（0,4）

兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)8,連接/C,BC.在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得由點(diǎn)M,A,C構(gòu)成

的△兒ZZC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第11頁共72頁

要注意分類求解，避免遺漏.

先求出了=一/+3》+4=-1》一|]+亨，得到拋物線對(duì)稱軸為x=g,設(shè)點(diǎn)則/屈2=手+/,

0Q

CM2=(m-4y+^,AC2=7,再分三種情況分別列方程，解方程即可得到答案.

【詳解】解：拋物線了=亦2+樂一4°(.*0)經(jīng)過/(-1,0)、C(0,4)兩點(diǎn),

a-b-4a=0

-4a=4

a-—1

解得

b=3

???拋物線的解析式為歹=-/+3x+4

.*y—-x2+3x+4=-x-|

3

???拋物線對(duì)稱軸為％=

2

設(shè)點(diǎn)而點(diǎn)/(TO)、C(0,4),

則/回2=1|，+1]+加2=*+加2+(-4)2=(m-4)2+^-,AC2=(-l-O)2+(O-4)2=17,

,CA/2=Q_0^|m

75Q

①當(dāng)■是斜邊時(shí)，一+m2=(m-4)9+—+17

4v74

29

解得：m=—；

o

0Q75

②當(dāng)CM是斜邊時(shí)，(加-4)+—=----Fm2+17

解得，加=-"|;

O

③當(dāng)/C是斜邊時(shí)，—+m2+(m-4)2+-=17

4''4

第12頁共72頁

53

同理可得：冽='或冽=1；

22

綜上’點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(I/或或['I)或(|，|)

a

【變式2-1](2023春?甘肅金昌?九年級(jí)統(tǒng)考期中)平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=。(無-ly+g與x軸交于

A,5(4,0)兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)A,。的坐標(biāo)；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使ABC尸是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在,

請(qǐng)說明理由；

⑶如圖，點(diǎn)M是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接NW,OM,是否存在點(diǎn)M使/M+最小，若存在，請(qǐng)

求出點(diǎn)/的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

1o

【答案】⑴尸[(f+jA(-2,0),C(0,4)

(2)存在,P(l,5),(1,-3),(1,2+療),(1,2-V7)

O1O

⑶存在，A/(|,苓)

9

【詳解】⑴解：將5(4,0)代入尸心-ly+q,

91

即0=9〃H—,解得：a=—，

22

179

19

令x=0,則y=_/+/=4,

1a

令y=o,貝『一(》一1)9一+二=0,

2、72

解得：X]=4,—2=-2,

/(-2,0),C(0,4)

(2)解：存在點(diǎn)P,使ABCP是直角三角形，

第13頁共72頁

ia

Vv=--(x-l)2+-,對(duì)稱軸為直線x=l,

設(shè)尸(L"),

?.?8(4,0),C(0,4),

BC2=42+42=32,5P2=(4-l)2+n2,PC2=12+(4-n)2

①當(dāng)Z8C尸=90°時(shí)，BP2=BC1+PC2,

：.(4-1『=32+12+(4-W)2

解得："=5

②當(dāng)ZCBP=90°時(shí)，尸=BC2+BP\

：,12+(4-M)2=(4-1)2+M2+32

解得：n=-3

③當(dāng)ZBPC=90°時(shí)，BC2=BP2+PC2,

32=(4-1)2+M2+12+(4-W)2

解得：〃=2-V7或〃=2+e.

綜上所述：P(l,5),(1,-3),(1,2+5)，(1,2-4)

(3)存在點(diǎn)M使+最小，理由如下：

作。點(diǎn)關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)。，連接交8C于點(diǎn)連接8。,

AM+OM=AM+QM>AQ,

當(dāng)A、M、。三點(diǎn)共線時(shí)，+有最小值,

?.?5(4,0),C(0,4),

OB=OC,

ZCBO=45°,

由對(duì)稱性可知N08M=45。，

s.BQLBO,

：.2(4,4),

第14頁共72頁

設(shè)直線AQ的解析式為歹=kx+b,

1-2左+6=0

'[4k+b=4'

\k=-

解得:，

b=上

[3

24

二直線/Q的解析式>=（無+g,

設(shè)直線3c的解析式為y=%x+4,

/.4加+4=0,

/.m=-l,

二.直線BC的解析式為y=-x+4,

y=-x+4

聯(lián)立方程組24,

y=—x+—

I33

.8

x=—

解得12，

g）；

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)求解析式，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段長的最值問

題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，拋物線yuaY+fcv+c與x軸交于/（-行,0）、BQA/IO）兩

點(diǎn)，與V軸交于CQ2）點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式：

（2）證明：28c為直角三角形：

（3）在拋物線上除C點(diǎn)外，是否還存在另外一個(gè)點(diǎn)P,使是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo):

若不存在，請(qǐng)說明理由.

第15頁共72頁

【答案】=-Lx2尤+2

22

（2）見解析

（3）存在，（夜,2）

【分析】（1）將A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求解即可；

（2）由（1）得到邊48,AC,8C的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理來判定。8C為直角三角形；

（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得另一點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】⑴解：尸加+bx+c與x軸交于對(duì)-也0）、網(wǎng)20,0）兩點(diǎn)，與了軸交于C（0,2）點(diǎn),

［亞）a->f2b+c=0

<倒a+2V^6+c=0,

c=2

1

a=——

2

hV2

解得：?

c=2

，拋物線的解析式為y=-#+今+2；

（2）解：；N卜亞,0）、5（2V2,0）,C（0,2）,

AC=^（-V2-0）2+（O-2）2=而，

5C=^（2A/2-0）2+（°-2）2=273>

/3=，亞_2旬2+（0-0）2=36,

AB2=AC2+BC2，貝1J乙4cB=90°,

：.^ABC是直角三角形；

（3）解：存在，

當(dāng)尸C〃x軸，即P點(diǎn)與C點(diǎn)是關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，而C點(diǎn)坐標(biāo)為（。,2）,

V=2,

才巴歹=2代入y=一；12+2^%+2得：-i-x2+^-x+2=2,

第16頁共72頁

X]=0,X2=V2.

；.尸點(diǎn)坐標(biāo)為（"2}

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，兩點(diǎn)間的

距離公式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了="2+區(qū)+°(。20)與工

軸相交于/,8兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,直線歹=履+”("0)經(jīng)過8,C兩點(diǎn)，已知川1，0),C(0,3),且

BC=5.

(1)試求出點(diǎn)3的坐標(biāo).

(2)分別求出直線8C和拋物線的解析式.

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得以區(qū)C,尸三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴(4,0)

⑵蚱-八+3,蚱，②-"x+3

-444

3+2忖或。3-2娓'

(3)存在,

第17頁共72頁

【分析】(1)由0C=3,BC=5,可由勾股定理求08,進(jìn)而得點(diǎn)8坐標(biāo);

(2)用待定系數(shù)法即可求解函數(shù)解析式；

(3)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為分三類討論：①當(dāng)/尸。3=90。時(shí)；②當(dāng)NPBC=90。時(shí)；③當(dāng)4尸。=90。時(shí),

分別建立勾股定理方程求解點(diǎn)P坐標(biāo)即可.

【詳解】(1)解：：點(diǎn)。(0,3),即OC=3.

BC=5,

在Rt^BOC中，根據(jù)勾股定理得OB=^BC2-OC2=4，

即點(diǎn)2坐標(biāo)為(4,0).

(2)把3(4,0)、。(0,3)分別代入丁=丘+〃中，

[4k+n=0k=——

得。，解得4.

i[n=3

3

???直線3C解析式為尸-白+3；

4

把4(1,0)、8(4,0)、C(0,3)分另I」代入；；="2+服+0得

一3

CL=一

。+6+。=0

<16。+46+。=0,解得<6=一竺.

c=3々

ic=3

a1s

???拋物線的解析式是歹一3.

44

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)尸，使得以8C,尸三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，理由如下:

a1s

??,拋物線的解析式是廣三2—?x+3,

44

拋物線對(duì)稱軸為直線X=-￡=：.

2a2

設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為[■!，").

①當(dāng)/尸C2=90°時(shí)，BP-=BC1+PC1.

'：BP2=^4-1^|+加2'pc2=+(^-3)2,

BC2=25,

.?.(4-+%2=U+(m-3/+25,

第18頁共72頁

解得：in=，

故點(diǎn)4G引;

②當(dāng)/PBC=90°時(shí)，＜PC2=PB-+BC2.

VPC2=+(m-3)2,PB1=|^4-+加2，3c2=25,

；?+(m-3)2=^4-1-^+m2+25,

解得：m=-2,

故點(diǎn)心g，-2)

③當(dāng)Z8PC=90。時(shí)，BC2=BP2+PC2.

?/PC2=+(m-3)2,PB2=|^4-|J+療,BC?=25,

,25=(4-g]+m2+^+(m-3)2.

解7曰3+2-\/63-2A/6

用牛付：m,=------，m.=-------，

1222

.f53+2屈(53-2屈、

I22JI22)

ST或（|,3+力需」力.

綜上所述，使得ABC尸為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

【點(diǎn)睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了勾股定理及其逆定理,待定系數(shù)法求解析式，分類討論的數(shù)學(xué)思

想，難度不大.第（3）問特別注意分類討論思想的運(yùn)用.做到不重不漏.

題型三：等腰直角三角形存在性

【例3】（2024?四川眉山?中考真題）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與無軸交于點(diǎn)/（-3,0）和點(diǎn)3,與〉軸交

于點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)。在拋物線上.

AA

MTMT

備用圖

（i）求該拋物線的解析式；

第19頁共72頁

（2）當(dāng)點(diǎn)。在第二象限內(nèi)，且A/CD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）在直線3c上是否存在點(diǎn)P,使尸。是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）拋物線的解析式為》=TY2X+3

（2）0的坐標(biāo)為（-1,4）或（一2,3）

⑶尸的坐標(biāo)為（。3或人卜]—，三卜

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；

（2）過。作。K〃f軸交/C于K,求出直線/C解析式，根據(jù)5/8=；。長-卜-%|=3列式求解；

（3）先求出點(diǎn)/,2坐標(biāo)，再求出直線8C解析式，過尸作尸軸于N,過。作軸于分以

下情況分別討論即可：①P與C重合，。與A重合時(shí)；②當(dāng)尸在第一象限，。在第四象限時(shí)；③當(dāng)P在第

四象限，。在第三象限時(shí)；④當(dāng)P在第四象限，。在第一象限時(shí).

【詳解】（1）解：把/（一3,0）,。（0,3）代入了=-2+法+0得：

J-9-36+c=0

[c=3'

（b=-2

解得2，

[c=3

,拋物線的解析式為P=-X2-2X+3；

（2）解：過。作。軸交/C于K,如圖：

由/(TO),C(O,3)得直線/C解析式為尸x+3,

設(shè)。-2/+3),則K(f,f+3),

:.DK=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t,

?.?△/CD的面積為3,

:.^DK-\XA-XC\=3,即;(_?一3(卜3=3,

解得f=-1或/=-2,

第20頁共72頁

.:。的坐標(biāo)為(-1,4)或(-2,3)；

(3)解：在直線3C上存在點(diǎn)P,使△0尸。是以尸。為斜邊的等腰直角三角形，理由如下:

在y=f2_2x+3中，令y=0得0=_/_2彳+3,

解得x=-3或尤=1,

.?./(-3,0),5(1,0),

由8(1,0),。(0,3)得直線8。解析式為歹=-3》+3,

設(shè)尸(加,-3〃?+3),D^n,-n2-2M+3),

過戶作PN_Ly軸于N,過。作軸于M,

@-：OA=OC=3,

..?當(dāng)尸與C重合，。與A重合時(shí)，尸。是等腰直角三角形，如圖:

此時(shí)尸(0,3)；

②當(dāng)P在第一象限，。在第四象限時(shí),

尸。是以尸。為斜邊的等腰直角三角形,

ZDOM=90°-ZPON=ZOPN,

ZDMO=90°=ZPNO,

:.^.DOM^OPN(AAS),

DM=ON,OM=PN,

[n=-3m+3

\n2+2n-3=m'

第21頁共72頁

25+V19325-V193

m=m=

1818

解得一（n小于0,舍去）或?

-7-V193-7+Vl^

n=n=

66

:i+3=325一炳+3=一7+灰

186

小?…（25-V193-7+7193^1

廠.尸的坐標(biāo)為［---,---J；

③當(dāng)尸在第四象限，。在第三象限時(shí)，如圖:

?.?△O尸。是以尸。為斜邊的等腰直角三角形,

:.OD=OP,APOD=90°,

/DOM=90°-/PON=ZOPN,

???ZDMO=90°=ZPNO,

之△OTW(AAS),

/.PN=OM,ON=DM,

m=n2+2n-3

同理可得

3m-3=-n

25+V^I25-曬i

m=m=

18~18

解得一或，（大于0,舍去），

-7-4^-7+Vi^

n=n=

66

■3加+3=-3/5+g+3=一7一屬

186

鉆―J25+阿-7-麗）

P的坐標(biāo)為［—--,——-——J；

④當(dāng)尸在第四象限，。在第一象限，如圖:

第22頁共72頁

v△ODD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，

/.OD=OP,APOD=90°,

...ZDOM=90°-/PON=ZOPN，

???ZDMO=900=ZPNO,

：.ADOM^AOPN(AAS),

/.PN=OM,ON=DM,

\m=—n2-In+3

[3m-3=n'

11

m=一

fm=09

解得。(舍去)或＜

\n=-32

n=—

綜上所述，尸的坐標(biāo)為(0,3)或［生爛，］普卜［"修，士普

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計(jì)算、特殊三

角形存在性問題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］(2023?四川?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=af+6x+4的圖

象與x軸交于點(diǎn)/(-2,0),5(4,0),與V軸交于點(diǎn)C.

圖I

(1)求拋物線的解析式;

第23頁共72頁

(2)已知E為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線對(duì)稱軸/上一點(diǎn)，以B,E,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,

且N8FE=90。，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,尸為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接/P交V軸于點(diǎn)連接BP并延長交y軸于點(diǎn)N,在點(diǎn)產(chǎn)

運(yùn)動(dòng)過程中，OM+goN是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴yn-jf+x+d

⑵廠(1,1)或尸。,一5)或尸。,一3)

(3)OM+；ON=6,理由見解析

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)先求得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,設(shè)/與x交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作瓦)，/于點(diǎn)。，證明AOPG絲AGBF,

設(shè)廠(/，加)，貝!|。￡=1+加，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,進(jìn)而得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，

求得加的值，同理可求得當(dāng)點(diǎn)尸在x軸下方時(shí)的坐標(biāo)；當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，求得另一個(gè)解，進(jìn)而即可求

解；

(3)設(shè)尸(sj),直線/P的解析式為了=公+九8P的解析式為y=gx+〃，求得解析式，然后求得。M,ON,

即可求解.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)4(-2,0),2(4,0),代入尸西+6x+4

/QJ4。-26+4=0

得［16。+46+4=0

a=—1

解得：＜2,

b=\

拋物線解析式為y=-ix2+x+4；

(2);?點(diǎn)/(-2,0),5(4,0),

.??拋物線的對(duì)稱軸為直線/：》=二±^=1,

2

如圖所示，設(shè)/與x交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作即，/于點(diǎn)。

第24頁共72頁

??,以8,E,廠為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且NBFE=9U。,

???EF=BF,

丁ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

&DFEAGBF,

：.GF=DE,GB=FD,

設(shè)廠（1,加），則DE=m,DG=DF+FG=GB+FG=3+m

￡（1+加,3+加）,

???5點(diǎn)在拋物線》=-3/+%+4上

3+m=--（1+m

2V

解得：m=-3（舍去）或加=1,

???尸（U）,

如圖所示，設(shè)/與x交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作瓦），/于點(diǎn)。

??,以3,E,b為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且/3尸￡=90。，

EF=BF,

9：ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

???小DFEWGBF,

：.GF=DE,GB=FD,

第25頁共72頁

設(shè)廠(I,加)，則。E=加，DG=DF+FG^GB+FG=3-m

E(1-3),

E點(diǎn)在拋物線y=-;/+x+4上

19

m-3=(1-m)+(l-m)+4

解得：m=3(舍去)或冽=-5,

...尸(1,-5),

當(dāng)￡點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，如圖所示，

VAB=6,4/8/是等腰直角三角形，且/友屯=90。,

GF=-AB=-3

2

此時(shí)尸(0,-3),

綜上所述，尸(1,1)或尸(1,-5)或b(1,-3)；

(3)設(shè)尸直線/P的解析式為>=公+/,8P的解析式為V=gx+〃，

?.?點(diǎn)/(-2,0),5(4,0),尸(sj),

b2d+/=0j4g+A=0

[sd+f=t'\sg+h=t

s+2

解得：

2t4/

h=

s+24-s

.??直線”的解析式為尸'xt+23t，BP的解析式為了=—tx+34/,

s+2s+2s-44-s

對(duì)于了=--—尤H■——?當(dāng)x=0時(shí)，y=——>即

s+2s+2s+2Is+2)

t4/4f(4/)

對(duì)于了=二尤+3,當(dāng)無=。時(shí)，7=:一，即N°,產(chǎn)，

5-44-5■4-514-sJ

第26頁共72頁

?.?尸(S,。在拋物線上，貝U=-gs2+s+4=-；(s-4Xs+2)

⑵

OM+-ON=+=

2s+224—s—s?+2s+8

-6(s-4)(s+2)

=6

-(s-4)(s+2)

(W+’ON為定值6.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函

數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè))已知拋物線＞="2+為+3經(jīng)過點(diǎn)尸(1,-2)和點(diǎn)°(-4,3)

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)將該拋物線平移，所得拋物線經(jīng)過點(diǎn)/(3,0),且與y軸交于點(diǎn)反如果以點(diǎn)4O,8為頂點(diǎn)的三角形是

等腰直角三角形，那么應(yīng)將拋物線怎樣平移？為什么？

【答案】(l)y=f2-4x+3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,7)；

(2)將原拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位或?qū)⒃瓛佄锞€向右平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)

單位，理由見解析

【分析】(1)把尸、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得。、6的值，可求得拋物線解析式，將其化為頂

點(diǎn)式即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)利用/點(diǎn)坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)可求得3點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出平移后的拋物線的解析式，把N、8的坐標(biāo)

代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點(diǎn)的變化即可得到平移的過程.

【詳解】(1)解：將尸。,一2)和。(一4,3),代入y=a/+6x+3中得：

J-2=Q+Z7+3

|3=16?-4Z)+3，

拋物線的解析式為y=-x2-4x+3,

??y=-x~—4x+3=—(x+2)~+7,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,7)；

(2)：是等腰直角三角形，2(3,0),點(diǎn)8在夕軸上,

.??3點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(0,-3),

可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=-x1+mx+n,

①當(dāng)拋物線過點(diǎn)2(3,0),8(0,3)時(shí)，代入可得,

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\n=3

[-9+3加+〃=0'

fm=2

解得2,

[n=3

：.平移后的拋物線為了=+2x+3=-(x-1)2+4,

.?.該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。,4),而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,7),

.??將原拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位即可；