第20講重難點拓展：二次函數綜合之七種存在性問題

題型一：等腰三角形存在性題型二：直角三角形存在性

題型三：等腰直角三角形存在性題型四：平行四邊形的存在性問題

題型五：菱形的存在性問題題型六：矩形的存在性問題

題型七：正方形存在性問題

BQ??

一、等腰三角形存在性

根據等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：(1)AB=BC；(2)BC=CA；(3)

CA=AB.但根據實際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2

個甚至更多的解，在解題時需要尤其注意.

工、知識內容：

在用字母表示某條線段的長度時，常用的方法有但不僅限于以下幾種：

(1)勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長度表示出第三邊；

(2)兩點間距離公式：設A(xl,yl)、B(x2,y2)

2、解題思路：

(1)利用幾何或代數的手段，表示出三角形的三邊對應的函數式；

(2)根據條件分情況進行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程(多為分式或根式方程)

(3)解出方程，并代回原題中進行檢驗，舍去增根.

二、直角三角形存在性

在考慮AABC是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①/A=90°；②NB=90°；③/

C=90°.在大多數問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點，需要用到勾股定

理。

以函數為背景的直角三角形存在性問題

1、知識內容：

在以函數為背景的此類壓軸題中，坐標軸作為一?個“天然”的直角存在，在解題時經常會用到，作

出垂直于坐標軸的直線來構造直角。另外，較困難的情況則需要用到全等或者勾股定理的計算來確

定直角三角形.

2、解題思路：

第1頁共72頁

(1)按三個角分別可能是直角的情況進行討論；

(2)計算出相應的邊長等信息；

(3)根據邊長與已知點的坐標，計算出相應的點的坐標.

三、平行四邊形的存在性問題

1.要先明確定點和動點，常以定點為對角線和邊進行分類；

2.三定一動，有三種情況，可借助平移，全等、中點公式等知識確定坐標..(坐標平移規律:左減右加變x

上加下減變y如何平移?可先確定其中兩點的變化作參照，以此變化確定)

3.兩定兩動：以定線段作邊或對角線，確定分類;常借助對應邊相等、坐標間關系及中點坐標公式建等式求

解

常見設問：已知A、B,求另外兩點C、D與A、B兩點構成平行四邊形

分類討論：

當AB為邊時，找AB平行且等于的CD利用距離建立數量關系，求出相應點的坐標；

當AB為對角線時，AB的中點即為對角線的交點，結合圖形的對稱性，圍繞對角頂點的橫坐標和縱坐標之

和分別相等進行求解，列出兩個二元一次方程組來求解.

4.三動點或四動點:往往有不變特征，如兩邊始終平行，滿足相等即可

四、菱形的存在性問題(常為含60°角的菱形)

通常有兩大類：

1.已知三個定點探究菱形時，分別以三個定點中的任意兩個定點確定線段為要探究的菱形的對角線畫出

所有菱形，結合題干要求找出滿足條件的菱形；

2已知兩個定點去探究菱形時，以兩個定點連線所成的線段作為要探究菱形的對角線或邊長畫出符合題意的

菱形，結合題干要求找出滿足條件的菱形：

3.計算:建立類似平行四邊形的存在性問題來解

五、矩形的存在性問題

等價于直角三角形的存在性問題

(其特點往往是2定點2動點)，通過構造一線三等角模型或勾股定理，可以求出其中一個

頂點的坐標，再根據對稱性求出另一個頂點的坐標。

分類的依據往往是以已知兩點所在線段為邊或對角線進行分類討論。

六、正方形存在性問題

正方形是菱形和矩形特征的集結，因此同時采取菱形或矩形存在性問題解決的方法去求點的

坐標。

￡}@??

＞題型歸納

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題型一：等腰三角形存在性

[例1](2023?廣東汕頭?汕頭市潮陽實驗學校校考二模)如圖，拋物線了=-1/+加工+〃與x軸交于42兩

點，與歹軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點。，已知/(-l,0),C(0,2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點￡是線段8C上的一個動點(不與反C重合)，過點E作尤軸的垂線與拋物線相交于點尸，當點E運

動到什么位置時，四邊形CD8F的面積最大？求出四邊形CD8尸的最大面積及此時點E的坐標.

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△尸CD為等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存

在，請說明理由.

13

(l)y=——X2+—x+2

iq

⑵當x=2時，四邊形COB廠的面積最大，最大值為此時石(2,1)

⑶存在，滿足條件的尸點坐標為8京;

【分析】(1)待定系數法求解析式即可求解；

(2)根據拋物線解析式得出對稱軸為直線x=|,進而得出。[jo],3(4,0),求得直線8C的解析式為

y=—gx+2,設尸[x,—]x?+—x+2^(0<x<4),則￡卜—^x+2),進而得出EF,根據四邊形CDBF的

面積=SE+S.BCD，進而根據二次函數的性質即可求解；

(3)先利用勾股定理求得CZ)=:，再根據等腰三角形的性質分尸。=CD和PC=CD,PC=P。結合坐標與

2

圖形求解即可.

【詳解】(1)將”(TO),“0,2)代入拋物線解析式得

----m+n-0

<2,

〃=2

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3

解得加=—,〃=2

2

iQ

拋物線解析式為y=-jx2+jx+2

3

(2)拋物線的對稱軸為直線工=-一＞=]

--x22

2

.?.嗚0：*4,0)

設直線的解析式為y=b+"將反。點坐標代入得

j4/c+b=0

[b=2

fT1

解得2

b=2

，直線8c的解析式為y=-;x+2

設尸(x,-3f+1工+2)0＜》＜4),則—_x+2]

:.EF=-"+-x+2-I—x+2|

2212J

12c

——x+2x

2

/.S&BCF=萬x4義1-~—R+2x)——?+4.

X

四邊形CDBF的面積=S.BCF+S.BCD

=-x2+4x+—x2x|4|

2I2)

=-%2+44%+—5

2

1Q

當x=2時，四邊形CD5廠的面積最大,最大值為此時￡(2,1)

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當CP=CD時，P點坐標為［I，4

當尸C=PD時,設嗚加）

25

解得：m=§則尸點坐標為

16

綜上所述，滿足條件的P點坐標為

【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，待定系數法求解析式，面積問題，等腰三角形的定義，熟練掌握

二次函數的性質是解題的關鍵.

【變式1-1］（2023?浙江?九年級假期作業）如圖，拋物線＞=-/+樂+。的頂點為D,其圖象交x軸于/,

8兩點，交y軸于點C（0,3）,點3的坐標為8（1,0）.

（1）求拋物線的解析式;

第5頁共72頁

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點使得以為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出以

為腰時點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）拋物線解析式為y=T，_2x+3

（2）存在，符合條件的點M有3個，其坐標分別為-1,舊）或卜1,-舊）或（-1,1）

【分析】（1）用待定系數法求解即可；

（2）設點M的坐標為“（-1,加），分兩種情況討論：①當=時；②當=時，即可求解.

【詳解】（1）解：：拋物線y=-f+bx+c過點8（1,0）,C（洋3）,

fc=3（c=3

???代入得”啟n解得八o

[-l+6+c=0[6=-2

二拋物線解析式為>=-/-2》+3.

（2）解：存在；

由（1）得：拋物線解析式為>=-*-2》+3,

b

???對稱軸X—五

當y=0時，解得x=-3或1,

二點/的坐標為工（-3,0）,

?.,點C坐標為。（0,3）,

設點M的坐標為“（-1,相），

由勾股定理，得2。2=32+32=18,

=（-3+l）2+m2=m2+4,

CM2=I2+（3-m）-=m2-6m+10,

?；AM為等腰三角形的腰，

①當=時，即"/+4=18.解得加=±Ji7,

.??M（T研，A/2（-1,-714）；

②當4A/=CA/時，即加之+4=-6加+io,解得加=1,

???M（T，I）；

綜上，符合條件的點M有3個，其坐標分別為或“211，-E）或河3（-1，1）；

【點睛】本題考查了二次函數的綜合題，待定系數法求解析式、三角形問題，掌握解題方法是關鍵.

【變式1-2]（2023春?湖北武漢?九年級校考期中）如圖，拋物線y=a/+c與X軸于4,5兩點，交y軸于

點C,/（TO）.

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yi

A1/0\\1

圖1I圖2\

(1)直線>=屈+出過4C兩點，

①如圖1,求拋物線的解析式；

②如圖1,將直線4C向右平移，/的對應點為5,且8M=2/C,以氏17為一邊作等腰三角形求N

的坐標；

(2)如圖2,M為拋物線第一象限上任意一點，直線四交y軸于點X,若應(O〃+OG)=l,求。的值.

【答案】⑴①0；②N點坐標為(5,0)或(0,不+26)或(0，26-療)或(-3,0)或(0,岳)或(0,_小)

(2)〃=-

4

【詳解】(1)解：①???直線3/=屈+6過A,C兩點,

C(0,V3),

將A、。點坐標代入V="2+。，

a+c=0

c=6'

a=—A/3

解得

c=VJ

???拋物線的解析式為也;

②當y=0時，一島2+6=0,

解得X=1或%=一1,

???B(L0),

??,將直線ZC向右平移，A的對應點為3,

A平移后的直線BM的解析式為y=&-B

vC(0,V3),4(T,0),

:.AC=2f

?;BM=2AC,

...BM=4,

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過點"作MG，x軸交于點G，

NCAO=NMBG,

AO=\,co=5

ZCAO=60°,

A/G=273，BG=2,

：.M(3,2揚，

當3"=皿=4時，N(5,0)或(0,而+26)或(0,273-77)；

當即/=3N=4時，N(-3,0)或(0,小)或(0,-715)；

綜上所述：N點坐標為(5,0)或(0,77+26)或(0，26-5)或(TO)或(0,小)或(0,-小)；

(2)解：va+c=0,

設直線的解析式為歹=丘+6,

kt+b=at2-a

-k+b=0

k=a(l-t)

解得

b=—

???直線的解析式為y=〃(1一。%+。。一。，

同理可得直線BM的解析式為y=-〃(1+t)x+a(l+1),

G(0,a-at),H(0,a+at),

C(OH+OG)=\,

??+at+a—at)=1,

解得4=-I.

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【點睛】本題考查二次函數綜合題，涉及到一次函數和二次函數的圖象和性質、等腰三角形的性質、解直

角三角形等，有一定的綜合性，難度適中.

【變式1-3]（2023?重慶渝中?重慶巴蜀中學校考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-2x-3班

3

（2）點尸是直線3C下方拋物線上一動點，過尸作尸8c于點。，求線段尸。的最大值及此時點P的坐標；

（3）將拋物線沿射線3C平移痛個單位得到新拋物線了，新拋物線與原拋物線歹交于點。，將△/C。沿

直線3c平移得到△HC。'（不與△4C。重合），若以點B,D,0為頂點的三角形是以8。為腰的等腰三

角形，請直接寫出所有符合條件的點0的坐標，并寫出求解點0坐標的其中一種情況的過程.

【答案】（1）18

9A/6RR,/3A/31573

（2）0。最大=》，止匕時尸———

\,上最大&124

⑶4卜3月,-2月）或（6-3行,2百-3/）或（G+3近,26+372）

【分析】（1）分別令尤=0和y=o解方程可得點A、B、C的坐標，再用三角形面積公式求出面積即可；

（2）過點尸作PN〃y軸交3c于點N,數形結合思想找到PN和尸。的數量關系，求P。最大值轉化為求尸N

最大值問題，利用配方法求最值即可；

（3）根據相似三角形的性質，把圖象的平移轉化為水平和左右平移，則向下平移百個單位長度，向左平移

百個單位長度，得出新拋物線解析式，求出兩個拋物線的交點坐標，再設△/C。向下平移。個單位長度，

向左平移。個單位長度，則?卜月-a,-a）,C'（-a1-V3-?）,然后根據等腰三角形的性質建立關于。的方程求

解，即可解答.

【詳解】⑴解：當x=0時，了=-36，

2

當歹=。時，^-x-2x-3y[3=0,解得：玉=-6，x2=3A/3,

^（-73,0）,2（3石,0）,C（0,-36），

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4B=3A/3一卜代)=4#),0C=36，

S=-ABOC=-X4A/3X3A/3=18；

￡.ADRC22,

(2)解：過點尸作尸N〃丁軸交于點N,

:.OB=OC,

/OCB=/OBC=45。,

?.?7W〃y軸,

.\ZQNP=45°,

QPQ"BC,

/.42PQ=PN,則當尸N最大時，尸。也最大,

設直線BC的解析式為y=mx+n,

3G'解得Im=l

n=—35/3

直線8c的解析式為y=x-30，

設pjx,^^x2-2x-,N(x,x—3V3j,

PN=x-3行-1gx2-2x-3目=-4-及I學，

當乂=述時,PN最大，則耍當N=gx*手,

2

線段P。的最大值為半，此時點P的坐標為

(3)VZOCB=ZOBC=^5°,

，將拋物線沿射線3c平移八個單位得到新拋物線，

即原拋物線向下平移百個單位長度，向左平移百個單位長度,

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:原拋物線尸。*_2X_3G=F（X-V^『-V3,

二新拋物線y=3（x-百+可一475-V5-5/3,

4—x2-2X-3A/3=—X2-5A/3,

33

解得x=百，

.'.。（月,-46）,

???設AACO向下平移。個單位長度,向左平移。個單位長度,

則A'（Y-Q,-Q）,_a）,

???5（373,0）,

:.BD?=（36-喻+先用=60,

A'D-=1百-a-國+[a+4可="_4豉+60,

A'B2=1百-a-3百『+。2=2/+8百。+48,

①當4。=30時，

2a°—4A/3O+60=60,

fl=0（舍去）或0=26，

???點/的坐標為卜3省,-26）；

②當48=3。時，

2a2+8y/3a+48=60，

a=—2A/3+3V2或a=—2-s/3—3^2,

點A'的坐標為（百-3五,26-3也）或（G+32G+3V2）；

綜上所述：點A'的坐標為（-3V3-2^/3）或（6-372,273-3吟或（6+30,26+3吟.

【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數的性質，三角形的面積，二次函數最值，等腰三角形

的性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，平移的性質是解題的關鍵.

題型二：直角三角形存在性

【例2】（23-24九年級下?江蘇連云港?階段練習）如圖，拋物線了="2+及-4a（"0）經過/（-1,0）、C（0,4）

兩點，與x軸交于另一點8,連接/C,BC.在拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得由點M,A,C構成

的△兒ZZC是直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

第11頁共72頁

要注意分類求解，避免遺漏.

先求出了=一/+3》+4=-1》一|]+亨，得到拋物線對稱軸為x=g,設點則/屈2=手+/,

0Q

CM2=(m-4y+^,AC2=7,再分三種情況分別列方程，解方程即可得到答案.

【詳解】解：拋物線了=亦2+樂一4°(.*0)經過/(-1,0)、C(0,4)兩點,

a-b-4a=0

-4a=4

a-—1

解得

b=3

???拋物線的解析式為歹=-/+3x+4

.*y—-x2+3x+4=-x-|

3

???拋物線對稱軸為％=

2

設點而點/(TO)、C(0,4),

則/回2=1|，+1]+加2=*+加2+(-4)2=(m-4)2+^-,AC2=(-l-O)2+(O-4)2=17,

,CA/2=Q_0^|m

75Q

①當■是斜邊時，一+m2=(m-4)9+—+17

4v74

29

解得：m=—；

o

0Q75

②當CM是斜邊時，(加-4)+—=----Fm2+17

解得，加=-"|;

O

③當/C是斜邊時，—+m2+(m-4)2+-=17

4''4

第12頁共72頁

53

同理可得：冽='或冽=1；

22

綜上’點M的坐標為:(I/或或['I)或(|，|)

a

【變式2-1](2023春?甘肅金昌?九年級統考期中)平面直角坐標系中，拋物線夕=。(無-ly+g與x軸交于

A,5(4,0)兩點，與夕軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點A,。的坐標；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使ABC尸是直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在,

請說明理由；

⑶如圖，點M是直線上的一個動點，連接NW,OM,是否存在點M使/M+最小，若存在，請

求出點/的坐標，若不存在，請說明理由；

1o

【答案】⑴尸[(f+jA(-2,0),C(0,4)

(2)存在,P(l,5),(1,-3),(1,2+療),(1,2-V7)

O1O

⑶存在，A/(|,苓)

9

【詳解】⑴解：將5(4,0)代入尸心-ly+q,

91

即0=9〃H—,解得：a=—，

22

179

19

令x=0,則y=_/+/=4,

1a

令y=o,貝『一(》一1)9一+二=0,

2、72

解得：X]=4,—2=-2,

/(-2,0),C(0,4)

(2)解：存在點P,使ABCP是直角三角形，

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ia

Vv=--(x-l)2+-,對稱軸為直線x=l,

設尸(L"),

?.?8(4,0),C(0,4),

BC2=42+42=32,5P2=(4-l)2+n2,PC2=12+(4-n)2

①當Z8C尸=90°時，BP2=BC1+PC2,

：.(4-1『=32+12+(4-W)2

解得："=5

②當ZCBP=90°時，尸=BC2+BP\

：,12+(4-M)2=(4-1)2+M2+32

解得：n=-3

③當ZBPC=90°時，BC2=BP2+PC2,

32=(4-1)2+M2+12+(4-W)2

解得：〃=2-V7或〃=2+e.

綜上所述：P(l,5),(1,-3),(1,2+5)，(1,2-4)

(3)存在點M使+最小，理由如下：

作。點關于8c的對稱點。，連接交8C于點連接8。,

AM+OM=AM+QM>AQ,

當A、M、。三點共線時，+有最小值,

?.?5(4,0),C(0,4),

OB=OC,

ZCBO=45°,

由對稱性可知N08M=45。，

s.BQLBO,

：.2(4,4),

第14頁共72頁

設直線AQ的解析式為歹=kx+b,

1-2左+6=0

'[4k+b=4'

\k=-

解得:，

b=上

[3

24

二直線/Q的解析式>=（無+g,

設直線3c的解析式為y=%x+4,

/.4加+4=0,

/.m=-l,

二.直線BC的解析式為y=-x+4,

y=-x+4

聯立方程組24,

y=—x+—

I33

.8

x=—

解得12，

g）；

【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，待定系數求解析式，勾股定理，軸對稱的性質求線段長的最值問

題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

【變式2-2］（2023?浙江?九年級假期作業）如圖，拋物線yuaY+fcv+c與x軸交于/（-行,0）、BQA/IO）兩

點，與V軸交于CQ2）點.

（1）求拋物線的解析式：

（2）證明：28c為直角三角形：

（3）在拋物線上除C點外，是否還存在另外一個點P,使是直角三角形？若存在，請求出點尸的坐標:

若不存在，請說明理由.

第15頁共72頁

【答案】=-Lx2尤+2

22

（2）見解析

（3）存在，（夜,2）

【分析】（1）將A、B、C的坐標代入拋物線解析式，求解即可；

（2）由（1）得到邊48,AC,8C的長，再根據勾股定理的逆定理來判定。8C為直角三角形；

（3）根據拋物線的對稱性可得另一點的坐標.

【詳解】⑴解：尸加+bx+c與x軸交于對-也0）、網20,0）兩點，與了軸交于C（0,2）點,

［亞）a->f2b+c=0

<倒a+2V^6+c=0,

c=2

1

a=——

2

hV2

解得：?

c=2

，拋物線的解析式為y=-#+今+2；

（2）解：；N卜亞,0）、5（2V2,0）,C（0,2）,

AC=^（-V2-0）2+（O-2）2=而，

5C=^（2A/2-0）2+（°-2）2=273>

/3=，亞_2旬2+（0-0）2=36,

AB2=AC2+BC2，貝1J乙4cB=90°,

：.^ABC是直角三角形；

（3）解：存在，

當尸C〃x軸，即P點與C點是關于拋物線對稱軸的對稱點，而C點坐標為（。,2）,

V=2,

才巴歹=2代入y=一；12+2^%+2得：-i-x2+^-x+2=2,

第16頁共72頁

X]=0,X2=V2.

；.尸點坐標為（"2}

【點睛】本題考查了二次函數與坐標軸的交點，待定系數法求函數解析式，勾股定理的逆定理，兩點間的

距離公式，二次函數的對稱性，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

【變式2-3](2023?浙江?九年級假期作業)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了="2+區+°(。20)與工

軸相交于/,8兩點，與y軸相交于點C,直線歹=履+”("0)經過8,C兩點，已知川1，0),C(0,3),且

BC=5.

(1)試求出點3的坐標.

(2)分別求出直線8C和拋物線的解析式.

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得以區C,尸三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求

出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴(4,0)

⑵蚱-八+3,蚱，②-"x+3

-444

3+2忖或。3-2娓'

(3)存在,

第17頁共72頁

【分析】(1)由0C=3,BC=5,可由勾股定理求08,進而得點8坐標;

(2)用待定系數法即可求解函數解析式；

(3)設點P坐標為分三類討論：①當/尸。3=90。時；②當NPBC=90。時；③當4尸。=90。時,

分別建立勾股定理方程求解點P坐標即可.

【詳解】(1)解：：點。(0,3),即OC=3.

BC=5,

在Rt^BOC中，根據勾股定理得OB=^BC2-OC2=4，

即點2坐標為(4,0).

(2)把3(4,0)、。(0,3)分別代入丁=丘+〃中，

[4k+n=0k=——

得。，解得4.

i[n=3

3

???直線3C解析式為尸-白+3；

4

把4(1,0)、8(4,0)、C(0,3)分另I」代入；；="2+服+0得

一3

CL=一

。+6+。=0

<16。+46+。=0,解得<6=一竺.

c=3々

ic=3

a1s

???拋物線的解析式是歹一3.

44

(3)在拋物線的對稱軸上存在點尸，使得以8C,尸三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下:

a1s

??,拋物線的解析式是廣三2—?x+3,

44

拋物線對稱軸為直線X=-￡=：.

2a2

設點p坐標為[■!，").

①當/尸C2=90°時，BP-=BC1+PC1.

'：BP2=^4-1^|+加2'pc2=+(^-3)2,

BC2=25,

.?.(4-+%2=U+(m-3/+25,

第18頁共72頁

解得：in=，

故點4G引;

②當/PBC=90°時，＜PC2=PB-+BC2.

VPC2=+(m-3)2,PB1=|^4-+加2，3c2=25,

；?+(m-3)2=^4-1-^+m2+25,

解得：m=-2,

故點心g，-2)

③當Z8PC=90。時，BC2=BP2+PC2.

?/PC2=+(m-3)2,PB2=|^4-|J+療,BC?=25,

,25=(4-g]+m2+^+(m-3)2.

解7曰3+2-\/63-2A/6

用牛付：m,=------，m.=-------，

1222

.f53+2屈(53-2屈、

I22JI22)

ST或（|,3+力需」力.

綜上所述，使得ABC尸為直角三角形的點P的坐標為或

【點睛】本題以二次函數為背景，考查了勾股定理及其逆定理,待定系數法求解析式，分類討論的數學思

想，難度不大.第（3）問特別注意分類討論思想的運用.做到不重不漏.

題型三：等腰直角三角形存在性

【例3】（2024?四川眉山?中考真題）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與無軸交于點/（-3,0）和點3,與〉軸交

于點C（0,3）,點。在拋物線上.

AA

MTMT

備用圖

（i）求該拋物線的解析式；

第19頁共72頁

（2）當點。在第二象限內，且A/CD的面積為3時，求點。的坐標；

（3）在直線3c上是否存在點P,使尸。是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐

標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）拋物線的解析式為》=TY2X+3

（2）0的坐標為（-1,4）或（一2,3）

⑶尸的坐標為（。3或人卜]—，三卜

【分析】（1）利用待定系數法求解；

（2）過。作。K〃f軸交/C于K,求出直線/C解析式，根據5/8=；。長-卜-%|=3列式求解；

（3）先求出點/,2坐標，再求出直線8C解析式，過尸作尸軸于N,過。作軸于分以

下情況分別討論即可：①P與C重合，。與A重合時；②當尸在第一象限，。在第四象限時；③當P在第

四象限，。在第三象限時；④當P在第四象限，。在第一象限時.

【詳解】（1）解：把/（一3,0）,。（0,3）代入了=-2+法+0得：

J-9-36+c=0

[c=3'

（b=-2

解得2，

[c=3

,拋物線的解析式為P=-X2-2X+3；

（2）解：過。作。軸交/C于K,如圖：

由/(TO),C(O,3)得直線/C解析式為尸x+3,

設。-2/+3),則K(f,f+3),

:.DK=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t,

?.?△/CD的面積為3,

:.^DK-\XA-XC\=3,即;(_?一3(卜3=3,

解得f=-1或/=-2,

第20頁共72頁

.:。的坐標為(-1,4)或(-2,3)；

(3)解：在直線3C上存在點P,使△0尸。是以尸。為斜邊的等腰直角三角形，理由如下:

在y=f2_2x+3中，令y=0得0=_/_2彳+3,

解得x=-3或尤=1,

.?./(-3,0),5(1,0),

由8(1,0),。(0,3)得直線8。解析式為歹=-3》+3,

設尸(加,-3〃?+3),D^n,-n2-2M+3),

過戶作PN_Ly軸于N,過。作軸于M,

@-：OA=OC=3,

..?當尸與C重合，。與A重合時，尸。是等腰直角三角形，如圖:

此時尸(0,3)；

②當P在第一象限，。在第四象限時,

尸。是以尸。為斜邊的等腰直角三角形,

ZDOM=90°-ZPON=ZOPN,

ZDMO=90°=ZPNO,

:.^.DOM^OPN(AAS),

DM=ON,OM=PN,

[n=-3m+3

\n2+2n-3=m'

第21頁共72頁

25+V19325-V193

m=m=

1818

解得一（n小于0,舍去）或?

-7-V193-7+Vl^

n=n=

66

:i+3=325一炳+3=一7+灰

186

小?…（25-V193-7+7193^1

廠.尸的坐標為［---,---J；

③當尸在第四象限，。在第三象限時，如圖:

?.?△O尸。是以尸。為斜邊的等腰直角三角形,

:.OD=OP,APOD=90°,

/DOM=90°-/PON=ZOPN,

???ZDMO=90°=ZPNO,

之△OTW(AAS),

/.PN=OM,ON=DM,

m=n2+2n-3

同理可得

3m-3=-n

25+V^I25-曬i

m=m=

18~18

解得一或，（大于0,舍去），

-7-4^-7+Vi^

n=n=

66

■3加+3=-3/5+g+3=一7一屬

186

鉆―J25+阿-7-麗）

P的坐標為［—--,——-——J；

④當尸在第四象限，。在第一象限，如圖:

第22頁共72頁

v△ODD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，

/.OD=OP,APOD=90°,

...ZDOM=90°-/PON=ZOPN，

???ZDMO=900=ZPNO,

：.ADOM^AOPN(AAS),

/.PN=OM,ON=DM,

\m=—n2-In+3

[3m-3=n'

11

m=一

fm=09

解得。(舍去)或＜

\n=-32

n=—

綜上所述，尸的坐標為(0,3)或［生爛，］普卜［"修，士普

【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查待定系數法求函數解析式、二次函數中三角形面積計算、特殊三

角形存在性問題、等腰直角三角形的性質等，難度較大，熟練運用數形結合及分類討論思想是解題的關鍵.

【變式3-1］(2023?四川?統考中考真題)如圖1,在平面直角坐標系中，已知二次函數y=af+6x+4的圖

象與x軸交于點/(-2,0),5(4,0),與V軸交于點C.

圖I

(1)求拋物線的解析式;

第23頁共72頁

(2)已知E為拋物線上一點，F為拋物線對稱軸/上一點，以B,E,尸為頂點的三角形是等腰直角三角形,

且N8FE=90。，求出點尸的坐標；

(3)如圖2,尸為第一象限內拋物線上一點，連接/P交V軸于點連接BP并延長交y軸于點N,在點產

運動過程中，OM+goN是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

【答案】⑴yn-jf+x+d

⑵廠(1,1)或尸。,一5)或尸。,一3)

(3)OM+；ON=6,理由見解析

【分析】(1)待定系數法求解析式即可；

(2)先求得拋物線的對稱軸為直線x=l,設/與x交于點G,過點E作瓦)，/于點。，證明AOPG絲AGBF,

設廠(/，加)，貝!|。￡=1+加，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,進而得出E點的坐標，代入拋物線解析式，

求得加的值，同理可求得當點尸在x軸下方時的坐標；當E點與A點重合時，求得另一個解，進而即可求

解；

(3)設尸(sj),直線/P的解析式為了=公+九8P的解析式為y=gx+〃，求得解析式，然后求得。M,ON,

即可求解.

【詳解】(1)解：將點4(-2,0),2(4,0),代入尸西+6x+4

/QJ4。-26+4=0

得［16。+46+4=0

a=—1

解得：＜2,

b=\

拋物線解析式為y=-ix2+x+4；

(2);?點/(-2,0),5(4,0),

.??拋物線的對稱軸為直線/：》=二±^=1,

2

如圖所示，設/與x交于點G,過點E作即，/于點。

第24頁共72頁

??,以8,E,廠為頂點的三角形是等腰直角三角形，且NBFE=9U。,

???EF=BF,

丁ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

&DFEAGBF,

：.GF=DE,GB=FD,

設廠（1,加），則DE=m,DG=DF+FG=GB+FG=3+m

￡（1+加,3+加）,

???5點在拋物線》=-3/+%+4上

3+m=--（1+m

2V

解得：m=-3（舍去）或加=1,

???尸（U）,

如圖所示，設/與x交于點G,過點E作瓦），/于點。

??,以3,E,b為頂點的三角形是等腰直角三角形，且/3尸￡=90。，

EF=BF,

9：ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

???小DFEWGBF,

：.GF=DE,GB=FD,

第25頁共72頁

設廠(I,加)，則。E=加，DG=DF+FG^GB+FG=3-m

E(1-3),

E點在拋物線y=-;/+x+4上

19

m-3=(1-m)+(l-m)+4

解得：m=3(舍去)或冽=-5,

...尸(1,-5),

當￡點與A點重合時，如圖所示，

VAB=6,4/8/是等腰直角三角形，且/友屯=90。,

GF=-AB=-3

2

此時尸(0,-3),

綜上所述，尸(1,1)或尸(1,-5)或b(1,-3)；

(3)設尸直線/P的解析式為>=公+/,8P的解析式為V=gx+〃，

?.?點/(-2,0),5(4,0),尸(sj),

b2d+/=0j4g+A=0

[sd+f=t'\sg+h=t

s+2

解得：

2t4/

h=

s+24-s

.??直線”的解析式為尸'xt+23t，BP的解析式為了=—tx+34/,

s+2s+2s-44-s

對于了=--—尤H■——?當x=0時，y=——>即

s+2s+2s+2Is+2)

t4/4f(4/)

對于了=二尤+3,當無=。時，7=:一，即N°,產，

5-44-5■4-514-sJ

第26頁共72頁

?.?尸(S,。在拋物線上，貝U=-gs2+s+4=-；(s-4Xs+2)

⑵

OM+-ON=+=

2s+224—s—s?+2s+8

-6(s-4)(s+2)

=6

-(s-4)(s+2)

(W+’ON為定值6.

2

【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，待定系數法求二次函數解析式，等腰直角三角形的性質，一次函

數與坐標軸交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

【變式3-2](2023?浙江?九年級假期作業)已知拋物線＞="2+為+3經過點尸(1,-2)和點°(-4,3)

(1)求該拋物線的函數表達式及其頂點坐標.

(2)將該拋物線平移，所得拋物線經過點/(3,0),且與y軸交于點反如果以點4O,8為頂點的三角形是

等腰直角三角形，那么應將拋物線怎樣平移？為什么？

【答案】(l)y=f2-4x+3,頂點坐標為(-2,7)；

(2)將原拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位或將原拋物線向右平移4個單位，再向下平移6個

單位，理由見解析

【分析】(1)把尸、。兩點的坐標代入拋物線解析式可求得。、6的值，可求得拋物線解析式，將其化為頂

點式即可確定頂點坐標；

(2)利用/點坐標和等腰三角形的性質可求得3點坐標，設出平移后的拋物線的解析式，把N、8的坐標

代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點的變化即可得到平移的過程.

【詳解】(1)解：將尸。,一2)和。(一4,3),代入y=a/+6x+3中得：

J-2=Q+Z7+3

|3=16?-4Z)+3，

拋物線的解析式為y=-x2-4x+3,

??y=-x~—4x+3=—(x+2)~+7,

頂點坐標為(-2,7)；

(2)：是等腰直角三角形，2(3,0),點8在夕軸上,

.??3點坐標為(0,3)或(0,-3),

可設平移后的拋物線解析式為y=-x1+mx+n,

①當拋物線過點2(3,0),8(0,3)時，代入可得,

第27頁共72頁

\n=3

[-9+3加+〃=0'

fm=2

解得2,

[n=3

：.平移后的拋物線為了=+2x+3=-(x-1)2+4,

.?.該拋物線的頂點坐標為。,4),而原拋物線頂點坐標為(-2,7),

.??將原拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位即可；