專題04二次函數與圖形問題

考法一：定長圍面積最大

1.（2022?遼寧沈陽?統考中考真題）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個"日"字型框架

ABCD,鐵絲恰好全部用完.

⑴若所圍成矩形框架/BCD的面積為144平方厘米，則N2的長為多少厘米?

⑵矩形框架ABCD面積最大值為平方厘米.

【答案】（1）/5的長為8厘米或12厘米.

（2）150

若里厘米，然后根據題意可得方程

【分析】（1）設的長為x厘米，則有AO=

7-144,進而求解即可;

60-3r3

（2）由（1）可設矩形框架/8CO的面積為S,則有5=^—犬=一］（無一10）9+150,然

后根據二次函數的性質可進行求解.

【詳解】（1）解：設N3的長為x厘米，則有AD=W厘米，由題意得:

60-3x…

------元=144,

2

整理得：尤2—20X+96=0,

解得：玉=8,x2=12,

60-3%八

團-------->0,

2

EI0<x<20,

回龍1=8,%=12都符合題意，

答：N8的長為8厘米或12厘米.

（2）解：由（1）可設矩形框架/BCD的面積為S平方厘米，則有:

S=—~--x=——x2+30x=—3（無一10）~+150,

222V'

3

0—<0,且0<無<20,

2

回當x=10時，S有最大值，即為S=150；

故答案為：150.

【點睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數的應用，解題的關鍵是找準題干中的等量

關系.

2.(2022?山東威海?統考中考真題)某農場要建一個矩形養雞場，雞場的一邊靠墻，另外三

邊用木柵欄圍成.已知墻長25m,木柵欄長47m,在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口

(另選材料建出入門).求雞場面積的最大值.

出入口

【答案】288m2

【分析】設與墻平行的一邊為xm(x<25),則與墻垂直的一邊長為jm,設雞場面積

為》m2,根據矩形面積公式寫出二次函數解析式，然后根據二次函數的性質求出最值即

可.

【詳解】解：設與墻平行的一邊為xm(x<25),則與墻垂直的一邊長為jm,設雞場

面積為ynA

根據題意，得y=x.出丁?=一；/+24x=-i(x-24)2+288,

回當x=24時，y有最大值為288,

回雞場面積的最大值為288m2.

【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，解題的關鍵是正確列出二次函數解析式.

3.如圖，某養殖戶利用一面長20加的墻搭建矩形養殖房，中間用墻隔成兩間矩形養殖

房，每間均留一道1加寬的門.墻厚度忽略不計，新建墻總長34加，設的長為x米，養殖

房總面積為S.

I*-------------------20m-------------------?!

~^"1^1\D

B'——J--------------L

⑴求養殖房的最大面積.

⑵該養殖戶準備400元全部用于購買小雞和小鵝養殖，小雞每只5元，小鵝每只7元，并

且小雞的數量不少于小鵝數量的2倍.該養殖戶有哪幾種購買方案？

【答案】⑴108平方米

（2）5種購買方案.

小鵝05101520

小雞8073665952

【分析】（1）根據矩形的面積列出函數解析式，再根據函數的性質求最大值；

（2）設買小雞a只，小鵝6只，根據5a+76=400,且位26,求出a,b的整數解即可.

【詳解】（1）解：由題意得：

S=x（34-3x+2）=x（36-3x）=-3『+36x=-3（x-6）2+108,

回-3<0,

團當x=6時，S有最大值，最大值為108,

國養殖房的最大面積為108平方米；

（2）設買小雞。只，小鵝6只，

則5。+76=400,且a>2b,

400—7b,

回〃=-------=80------->2b,

55

則陪且於。，

又加，6都為非負整數,

勖可為0,5,10,15,20,

此時a對應為80,73,66,59,52,

回該養殖戶共有5種購買方案：方案1：小雞80只，小鵝0只；方案2：小雞73只，小鵝

5只；方案3：小雞66只，小鵝10只；方案4：小雞59只，小鵝15只；方案5：小雞52

只，小鵝20只.

【點睛】本題考查二次函數的應用，關鍵是根據矩形的面積列出函數解析式.

4.（2022?江蘇無錫?統考中考真題）某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資

源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的長度為10m）,另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把

它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m,設較小矩形的寬為xm（如

圖）.

⑴若矩形養殖場的總面積為36m2，求此時x的值；

⑵當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？

【答案】⑴x的值為2m；

（2）當x=g時，矩形養殖場的總面積最大，最大值為號m2

【分析】（1）由3C=x,求得5D=3x,AB=8-x,利用矩形養殖場的總面積為36m?，列一元

二次方程，解方程即可求解；

（2）設矩形養殖場的總面積為S,列出矩形的面積公式可得S關于x的函數關系式，再根

據二次函數的性質求解即可.

【詳解】（1）解：05C=x,矩形CZ）￡F的面積是矩形BE面積的2倍，

SCD=2x,

EL8D=3x,AB=CF=DE=^（2^-BD）=8-x,

依題意得：3x（8-x）=36,

解得：xi=2,芯=6（不合題意，舍去），

此時x的值為2m；

（2）解：設矩形養殖場的總面積為S,

由（1）得：S=3x（8-x）=-3（x-4尸+48,

團墻的長度為10,

0O<3x<lO,

10

0O<x<—,

3

0-3<0,

取V4時，S隨著x的增大而增大，

團當x==T時，S有最大值，最大值為一3x（?-4）2+48=個^,

即當X=乎時，矩形養殖場的總面積最大，最大值為當m2.

33

【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數在幾何圖形問題中的應用，數形結合并熟練

掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

5.北重一中計劃利用一片空地建一個學生自行車車棚，其中一面靠墻，墻的最大可用長度

為12米.另三邊用總長為26米的木板材料圍成.車棚形狀如圖中的矩形ABCZK為了方

便學生出行，學校決定在與墻平行的一面開一個2米寬的門。

⑴求這個車棚的最大面積是多少平方米？此時與AD的長分別為多少米？

⑵如圖2,在（1）的結論下，為了方便學生取車，施工單位決定在車棚內修建幾條等寬的

小路，使得停放自行車的面積為70平方米，那么小路的寬度是多少米？

【答案】（1）最大面積為96平方米，此時AD=12米，AB=8米；

⑵小路的寬為1米

【分析】（1）設4）為x米，則A2為26+；7米,列出車棚面積的函數表達式，求出x

的取值范圍，再求出函數的最大值，同時求出/。和N8的長即可；

（2）設小路寬為加米.根據題意列出方程，解方程即可.

【詳解】（1）解：設AD為x米，則A3為26+；一*米,

木艮據題意得：5=X-26+^~%=-1（%-14）2+98,

26+2—x

-------->0

2

由題意得x<12,

x>0

解得0<K12,

=--<0,開口向下，

2

回當x<14時，S隨x的增大而增大，

0O<x<12,

回當x=12時，S有最大值，5鵬=96,

此時AD=x=12,4B=26+2_-=8,

2

答：最大面積為96平方米，此時AD=12米，AB=8米.

(2)解：設小路寬為加米.

根據題意得(12-2m)(8-m)=70

解得叫=13(舍)，m=1

答：小路的寬為1米.

【點睛】此題主要考查了二次函數和一元二次方程的應用，讀懂題意，列出函數表達式和

一元二次方程是解題的關鍵.

6.(2022?湖南湘潭,統考中考真題)為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的

意見》，某校準備在校園里利用圍墻(墻長12m)和21nl長的籬笆墻，圍成回、回兩塊矩形勞

動實踐基地.某數學興趣小組設計了兩種方案(除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費

籬笆墻)，請根據設計方案回答下列問題：

41/〃〃〃〃〃〃〃/〃//〃〃///〃/<R

H

F

I區Il區

DG

圖①圖②

(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在園區中留一個寬度AE=1m的水池且需

保證總種植面積為32m2,試分別確定CG、DG的長；

(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問8c應設計為多長？此時最

大面積為多少？

【答案】(1)CG長為8加，0G長為4"?

7147

⑵當BC=-m時，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=丁/

【分析】(1)兩塊籬笆墻的長為12m,籬笆墻的寬為/O=G8=8C=(21：2)+3=3m,設CG為

am,Z)G為(12-a)m,再由矩形面積公式求解；

(2)設兩塊矩形總種植面積為y,2c長為xm,那么4D=77G=8C=xm,DC=(21-3x)m,由

題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=2CxDC,代入有關數據再把二次函數化成頂點

式即可.

【詳解】(1)解：兩塊籬笆墻的長為12m,籬笆墻的寬為4Q=G//=5C=(21-12H3=3m,

設CG為am,DG為(12-a)m,那么

ADxDC-AExAH=32

即12x3-lx(12-a)=32

解得：a=8

團CG=8m,Z)G=4m.

(2)解：設兩塊矩形總種植面積為yrM,5c長為xm,那么4Z)=//G=5C=xm,￡>C=(21-

3x)m,由題意得，

兩塊矩形總種植面積SCxDC

即y=x-(21-3x)

0y=-3x2+21x

,7㈠147

=-3(x-—)2+-----

24

團21-3x412

0x>3

7147

回當BCugm時，

【點睛】此題考查了二次函數的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意找到等量關系列出

方程.

考法二：動點函數圖象判斷

7.(2022?山東荷澤?統考中考真題)如圖，等腰RtABC與矩形OE/G在同一水平線上，

AB=DE=2,DG=3,現將等腰RtABC沿箭頭所指方向水平平移，平移距離x是自點C

到達DE之時開始計算，至48離開G尸為止.等腰RtABC與矩形DEFG的重合部分面積

記為乃則能大致反映y與x的函數關系的圖象為()

【答案】B

【分析】根據平移過程，可分三種情況，當OWx<l時，當14x<3時，當3VxW4時，利

用直角三角形的性質及面積公式分別寫出各種情況下y與x的函數關系式，再結合函數圖

象即可求解.

【詳解】過點C作CW48于N,DG=3,

在等腰RtABC中，AB=2,

:.CN=\,

①當OWx<l時，如圖，CM=x,

PQ=2x,

11

92

.,.）二].PQCM=—x2x-x=xf

0O<x<l,y隨x的增大而增大;

②當l〈x<3時，如圖，

y=SABC=—x2xl=l,

團當14x<3時，y是一個定值為1；

③當3VxW4時，如圖，CM^x-3,

y=~AB-CN-^PQ-CM=^x2xl-^x2x(x-3)2=l-(x-3)\

當x=3,y=l,當3a<4,y隨x的增大而減小，當x=4,y=0,

結合ABCD選項的圖象，

故選：B.

【點睛】本題考查了動點函數問題，涉及二次函數的圖象及性質，能夠準確理解題意并分

情況討論是解題的關鍵.

8.(2022?遼寧鞍山?統考中考真題)如圖，在RtABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

AB=4y/3cm,CD±AB,垂足為點。，動點〃從點A出發沿AB方向以括cm/s的速度勻

速運動到點8,同時動點N從點C出發沿射線。C方向以Icm/s的速度勻速運動.當點M

停止運動時，點N也隨之停止，連接MN,設運動時間為人，一腦⑦的面積為Sen?,則

下列圖象能大致反映S與r之間函數關系的是()

【答案】B

【分析】分別求出〃在AD和在BD上時AMVD的面積為S關于t的解析式即可判斷.

【詳解】解：幽4c3=90°,EL4=30°,AB=4小,

005=60",BC=3AB=26,AC=-J3BC=6,

0CDEL4S,

fflCD=_AC=3,AD=y/3CD=3-^3,BD=—BC=yfi,

國當Af在40上時，0</<3,

MD=AM-AD=3A/3-V3Z,DN=DC+CN=3+t,

EIS=；MZ）.Z）N=g（36_4）（3+f）=_1嚴+竽，

當M在上時，3〈出4,

MD=AD-AM=y/3t-3y/3,

!3S=；MDZ）N=g（?_3@（3+r）=￥〃一竽，

故選：B.

【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣

泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問

題的能力.

9.（2022?廣東東莞?東莞市萬江第三中學校考三模）如圖，等邊..ABC的邊長為6,尸沿

CfBfA運動，。沿3->AfC運動，且速度都為每秒2個單位，VBPQ面積為>,則

y與運動時間x秒的函數的圖象大致為（）

【答案】C

【分析】分兩個階段進行計算：當尸在8C上運動時，即當0043時，如圖，當尸在N8上

運動時，即當3<xS6時，如圖，分別根據三角形面積公式代入求面積即可，得到解析式后

確定函數圖象形狀，作判斷.

【詳解】解：根據題意得：PC=BQ=2x,

如圖，當0WxV3時，BP=6-2x,過點。作。。勖C于點。，

團曲8c是等邊三角形，

0/2=60°,sin60°=變，

BQ

2

回y=SZRPQ=3PB.QD=—^6_2x),,\/3x=—A/3X+35/3x,

當34x46時，BP=AQ=2x-6,過點0作。于點E,

ffl￡e=y--（2x-6）=V3（x-3）,

回>=SAW。=/（2尤—6）?君（彳-3）=—3）,

綜上所述，當04x43時，y=-A/3X2+3y/3x,y是x的二次函數，且開口向下；當

3WxW6時，y=V3（%-3）2,y是x的二次函數，且開口向上，

故選：C

【點睛】本題考查了兩個動點運動的問題，明確動點運動的距離和位置是關鍵，利用數形

結合的思想，把不同階段時面積的解析式求出即可作出判斷.

10.（甘肅?模擬預測）如圖，矩形4BCD中，48=3,BC=4,動點尸由點/出發，沿

8fC的路徑勻速運動，過點尸向對角線NC作垂線，垂足為0,設西/5。的面

積為丹則下列圖象中，能表示/與x的函數關系的圖象大致是（）

【答案】A

【分析】根據勾股定理可得/C=5,然后分兩段討論：當點尸在上時，當點P在BC

上時，結合相似三角形的判定和性質，即可求解.

【詳解】解：在矩形/8CD中，48=3,BC=4,05=90°,

由勾股定理得NC=5,

根據點尸的運動，需要分段討論：

①當點尸在上時，

ELPgEWC,

EEL4QP=05=90°,

圓冊4C=曲IC,

圓明尸。回胤4c5,

即0：BC=AQ^AB=AP^ACf

0P0：AQ：AP=BC：AB：AC=4：3：5,

^\AQ=x,

45

^\PQ=—x,AP=—x；

59

此時BP0<0<x<-,

i49c

回y==,是開口向上的一段拋物線;

233

當點。在上時，

SP02L4C,

甌。。尸=魴=90°,

團勖。=勖。，

團團。尸0團團NC5,

^C^AB=PQ^CB=CP^AC,

回。0：PQ：CP=BC：AB：AC=4：3：5,

^\AQ=x,

團C0=5-x,

35

^\PQ=—（5-x）＞AP=—（5-x）；

44

59

此時0＜—（5-工）＜4,即一＜xW5,

45

By=---（5-）X=--X2+—X,開口向下的拋物線，

24'X，88

故選：A.

【點睛】本題主要考查了動點問題的函數圖象：函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信

息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解

決問題的能力.解決本題的關鍵是利用分類討論的思想求出了與x的函數關系式.也涉及

到了相似三角形的判定和性質，拋物線的性質.

11.（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，點E,點產

分別為邊AD,8中點，點。為正方形的中心，連接OE,。尸，點尸從點￡出發沿

E-O—F運動,同時點。從點2出發沿8c運動，兩點運動速度均為lcm/s,當點尸運動

到點尸時，兩點同時停止運動，設運動時間為rs,連接V8PQ的面積為Sen?,

下列圖像能正確反映出S與f的函數關系的是（）

AED

【答案】D

【分析】分040和1〈區2兩種情形，確定解析式，判斷即可.

【詳解】當04檔1時，回正方形/BCD的邊長為2,點。為正方形的中心，

團直線EO垂直BC,

回點P到直線BC的距離為2-6BQ=t,

11,

回s=a（2-+.；

當1〈名2時，團正方形4BCZ）的邊長為2,點尸分別為邊AD,CO中點，點。為正方形

的中心，

團直線ai38C,

回點尸到直線BC的距離為1,BQ=t,

as4；

故選D.

【點睛】本題考查了正方形的性質，二次函數的解析式，一次函數解析式，正確確定面

積，從而確定解析式是解題的關鍵.

12.（2022?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形/BCD是正方形，N8=2,點P為射線

上一點，連接。尸，將。尸繞點尸順時針旋轉90。得到線段EP,過3作￡尸平行線交DC延

長線于足設長為x,四邊形5EE尸的面積為外下列圖象能正確反映出〉與無函數關

系的是（）

【答案】D

【分析】方法一：根據P點在C點右側時，2尸越大，則四邊形2回的面積越大，即可以

得出只有。選項符合要求；

方法二：分兩種情況分別求出y與x的關系式，根據x的取值判斷函數圖象即可.

【詳解】方法一：由題意知，當尸點在C點右側時，8尸越大，則則四邊形尸的面積越

大，

故。選項符合題意；

方法二：如下圖，當尸點在8c之間時，作以曲BC于8,

EBZ)PE=90°,

^\DPC+WPH=90°,

回皿尸c+0Poe=90°,

'3EEPH=^PDC,

在E￡7狙和即DC中,

'Z.EPH=APDC

<ZPHE=ZDCP,

EP=PD

^EPH^PDC(AAS)f

^\BP=x,AB—BC—2,

^PC=EH=2-x,

回四邊形AP斯的面積>>=無(2-x)=-X2+2X,

同理可得當尸點在C點右側時，EH=PC=x-2,

綜上所述，當0〈尤<2時，函數圖象為開口方向向下的拋物線，當x>2時，函數圖象為開

口方向向上的拋物線，

故選：D.

【點睛】本題主要考查二次函數圖象的性質，熟練根據題意列出函數關系式是解題的關

鍵.

13.（2022?遼寧?統考中考真題）如圖，在等邊三角形4BC中，BC=4,在必EDE產中，

血）尸=90。，附=30。，DE=4,點2,C,D,E在一條直線上，點C,。重合，0Age沿

射線。E方向運動，當點3與點E重合時停止運動.設a43C運動的路程為X,的2c與

尺間0跖重疊部分的面積為S,則能反映S與x之間函數關系的圖象是（）

s

C.o'2~4D.o'2~4

【答案】A

【分析】分三種情形團①當0<xW2時，重疊部分為回CDG,②當2<x“時，重疊部分為

四邊形/G0C,③當4<立8時，重疊部分為魴EG,分別計算即可.

【詳解】解：過點/作/M03C,交3C于點W,

在等邊EL43c中，EL4C5=60°,

在RZQDE/中，甌=30。，

aaFED=60°,

函4c8=EFE。，

^AC//EF,

在等邊E1XBC中，AM^BC,

EIW—C"=；8c=2,AM=6BM=20

此A8C=JBC?AM=46,

①當0<x42時，設4C與。尸交于點G,此時EL48c與R他。￡尸重疊部分為EICDG,

由題意可得CD=x,DG=y/3x

M=gC￡)?￡)G=3x4

22

②當2<x"時，設N3與。尸交于點G,此時a48c與我碩E尸重疊部分為四邊形

05=-X—N+40%-473=-—(%-4)2+46,

22

③當4<建8時，設4B與EF交于點G,過點G作GM勖C,交5c于點

此時胡BC與上亞歷尸重疊部分為勖EG,

^\BE=x-(x-4)-(%-4)=8-x,

回口/=4-

在上勖GM中，GM=6(4-gx),

I2S=—BE*GM——(8-x)x百(4--x),

回5=組(x-8)2,

4

綜上，選項A的圖像符合題意，

故選：A.

【點睛】本題考查了特殊三角形的性質，二次函數的圖形等知識，靈活運用所學知識解決

問題，利用割補法求多邊形的面積是解題的關鍵.

14.(2022?遼寧錦州?統考中考真題)如圖，在RJABC中，ZABC=90°,AB=2BC=4,動

點尸從點/出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段A2勻速運動，當點P運動到點3

時，停止運動，過點尸作尸QIA3交AC于點0,將△AP。沿直線PQ折疊得到A'PQ,

設動點尸的運動時間為1秒，一APQ與二ABC重疊部分的面積為S,則下列圖象能大致反映

S與，之間函數關系的是（）

【答案】D

【分析】由題意易得AP=r,tanZA=1,貝U有PQ=5,進而可分當點P在中點的左

側時和在AB中點的右側時，然后分類求解即可.

【詳角軍】解：回ZABC=90°,AB=2BC=4,

八

團tanNA=—1,

2

由題意知：AP=t,

團PQ=APtanZA=—t,

由折疊的性質可得：AT=AP,ZAPQ=ZAfPQ=90°,

當點尸與45中點重合時，則有，=2,

當點尸在45中點的左側時，即0W，＜2,

2

0-AP0與ABC重疊部分的面積為SA閘=^A'P-PQ=^t-t=^t.

當點尸在N2中點的右側時，即2W/W4,如圖所示:

由折疊性質可得：A'P=AP=t,ZAPQ=ZA'PQ=90°,tanZA=tanZAf=-,

2

SBP=4-t,

IUA8=27—4,

團BD=A^B,tanNA'=%—2,

回AP。與.ABC重疊部分的面積為

S梯形詼2=；（8。+尸。）,尸8=；。+,-2｝（4-。=-：/+書-4；

綜上所述：能反映“4尸。與ABC重疊部分的面積S與f之間函數關系的圖象只有D選

項；

故選D.

【點睛】本題主要考查二次函數的圖象及三角函數，熟練掌握二次函數的圖象及三角函數

是解題的關鍵.

15.(2022?遼寧本溪?統考三模)如圖，在A48C中，EL45C=90°,EL4C5=30°,AB=2,BD

是/C邊上的中線，將△BCD沿射線C3方向以每秒百個單位長度的速度平移，平移后的

三角形記為△8/G。/,設△8/GD與△48。重疊部分的面積為乃平移運動時間為x,當點

。與點3重合時，△8/GD停止運動，則下列圖象能反映y與x之間函數關系的是

()

【答案】A

【分析】分類討論：當尤=1時利用平移的性質，構造相似三角形即可求出y值，可解決

C、D；當14V2時，利用三角形相似面積比是相似比的平方，可表示出y的函數解析

式，利用函數圖像的性質，即可解決A、B.

【詳解】解：如圖：

在Rt_ABC中，ZACB=30°,AB=2,

0AC=4,BC=26,

勖。是NC邊上的中線，

0AB=AD=CD=BD=2,

回沿射線CB方向平移得到△sc。/,速度為每秒指個單位長度,

回CD=CR=2,CD〃CD,

當犬=1時，BB\=CC]=BC]=K,

^CD//CXDX

三=阻=膽①二也」

BCCDBDADAB2?

回AB=AD=CD=BD=2,

國HD]=HG=BD]=1,

團5”是GA邊上的中線，

X

回SBD1H=]SBCR=52XBD[xBC[=—xlxA/3=,

即x=l,y力,

4

當1<XV2時，CG=&，

0BC]=2^/3—A/3X,

團CD〃(JR,

BCCDBDADAB2

回口皿=（2-療,

q72

°ABD/

回SARD=_S=一x—x2x2A/3=5/3,

ABD2ADBC22,'7

回5初=區立、6，

."HD]4、

回SBHD\=尤2—J^X+，

5\y=~-x2-43x+^3,

當1<XV2時，函數圖像是開口向上拋物線.

可判斷A正確，B錯誤.

A、l<x<2圖像是開口向上的拋物線的一部分，故選項正確，符合題意；

B、當1<*42時，圖像是一條線段故選項錯誤，不符合題意；

C、當x=l時，y=也,故選項錯誤，不符合題意；

4

D、當x=l時，y力,故選項錯誤，不符合題意.

-4

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形相似比、三角形面積比是相似比的平方、平移的性質等知

識，靈活運用相似三角形的性質和準確的分析圖像是解決本題的關鍵.

16.（2022春?九年級課時練習）如圖，及△ABC中，ZC=90°,AC=4cm,5c=3cm,

動點P沿折線CA-AB運動，到點8停止，動點0沿歷1-AC運動到點C停止，點P運動

速度為2cm/s,點。的運動速度為2.5cm/s,設運動時間為小），△AP。的面積為S,則S

與《0孕<4.5）對應關系的的圖象大致是（）.

【答案】B

【分析】分別求出當04/42時，2<區3.6時和3.6<Y4.5時S關于/的函數解析式，再

根據解析式判斷函數圖象即可.

【詳解】解：由題意得：4B=《BC2+AC2=/32+42=5cm，

當0W/W2時，點尸在ZC上，點0在N5上，

則AP=4C-CP=4-2t,AQ=AB-BQ=5-25t,

如圖，過點。作0朋區4c于

QM”即上二

0sinEL4=——

AQAB5-2.5t5

^QM=3-1.5r,

113

此時5=24尸.叫=5、（4-2"（3—1.57）=5產一61+6,

當2</W3.6時，點尸在NB上，點0在/C上,

則AP=2?—4,AQ=2.5t-5,

如圖，過點尸作尸NEL4c于N,

此時S=gAQJN=gx（2.5—5）[^^]=|〃_6f+6,

3.=-6=2

回二次函數5=彳/-6/+6的圖象開口向上，對稱軸為一。3一，

22x-

3

回當0W/V3.6時，函數圖象為二次函數S=5/一6f+6的圖象的一部分，

當3.6</44.5時，點。與點C重合，點尸在A8上，

1“八小，1，（6/-12^1224

此時SujAC?尸N=^X4X|---=—r--

回當3.6</（4.5時，函數圖象為直線的一部分，

故選：B.

【點睛】此題考查了動點問題的函數圖象，正確表示出△AP。的面積并能夠根據函數解析

式選擇相應的函數圖象是解題的關鍵.

17.（2022?遼寧撫順?統考三模）如圖，在矩形48CD中，AB=2cm,BC=4百cm,E是AD

的中點，連接BE,C瓦點尸從點2出發，以百cm/s的速度沿2c方向運動到點C停止，

同時點。從點8出發，以lcm/s的速度沿BE-EC方向運動到點C停止，若站PQ的面積為

y（cm2）,運動時間為x（s）,則下列最能反映y與x之間函數關系的圖象是（）

848x

o\I4b.o\I4C.o\I4

4,

D.48^

【答案】D

【分析】先利用勾股定理計算出仍與EC的長，以及尸、。運動到終點所用的時間，將整

個運動過程分為兩段，分別計算0<xW4與4VXV8時y的表達式，進而分析其函數圖

象.

【詳解】解：E是4）的中點，

AE^-AD=2y[3,

2

在RtABE中，BE=《AB。+A.?=百+（2后=4,

同理，CE=4.

S—346X2=4月.

①當0<元44時，點尸在5c上，點。在3月上，BP=,BQ=X（如圖①所示），

圖1

由三角形高相同可得：

_c_x_x&-x瓜n一62

dABCE

yv-^ABPQ--^ABPE_4ZJ3_44^V，

函數y=3/的圖象是一條開口向上的拋物線，故排除AC；

4

②當4<xv8時，點尸與點C重合，點。在EC上，CQ=8-x（如圖2所示）,

圖2

y=SABPQ代=84一石龍,

函數y=84-底的圖象是一條直線，排除B.

故選：D.

【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，根據動點尸和。的位置不同確定三角形面積的

表達式不同，解決本題的關鍵是分類討論思想的運用，以及函數關系式的建立.

4

18.（2022?河南周口?統考二模）如圖，ABC中，tan/B=1,點。為邊BC上一個不與

B、C重合的一個動點，過點。作DE工AB與點E,作RtADE4的中線EF,當點。從8

點出發勻速運動到點C時，設即的面積為y,BD=x,y與尤的函數圖象如圖2所

示，則ABC的面積為（）

【答案】A

【分析】分析可知當x=8,此時，動點。運動到點C,此時BC=8,求出班=沼,

DE=—,利用S△e=5><5.Z）E.AE=L98,求出Z）E=￡,進一■步求出43,再利用

S^AEF=1.DE.AB=|XyX6=y即可求出結果.

【詳解】解：由題意可知：

當x=8,此時，動點。運動到點C,此時BC=8,

、4

設BE1=3〃，回tanZB=—,團DE=4a，

3

8

0BE2+DE2=BEr,回5a=8,即：a=-,

2432

團3E=——，DE=——,

55

回*^AAEF=萬*~^*DE*AE-1.98,回DE=一,

SAB=AE+BE=-+—=6,

55

回S△皿=；.OE.A8=；X/X6=￡.

故選：A.

【點睛】本題考查動點問題、勾股定理、正切值、二次函數，解題的關鍵是結合函數圖象

找出49,的長.

19.（2022?安徽合肥?統考二模）如圖，在矩形/BCD中，AB=3,/。=2,點￡是。的

中點，射線/￡與3c的延長線相交于點尸，點“從/出發，沿/玲3玲廠的路線勻速運動

到點尸停止.過點M作M何廠于點N.設NN的長為x,S4MV的面積為S,則能大致反

映S與x之間函數關系的圖象是（）

【答案】B

【分析】先根據矩形的性質、三角形全等的判定定理證出&CEF三DEA,根據全等三角形

的性質可得Cb=AD=2,從而可得3尸=4,4尸=5,FN=5-x,再求出當點"與點8重合

時，AN=x=|,然后分①OVxw|和②|<x45兩種情況，分別解直角三角形求出

的長，最后利用三角形的面積公式可得S與x的函數關系式，根據二次函數的圖象即可

得.

【詳解】解：,在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,

：.BC=AD=2,ZABC=ZBCD=ZD=90°,

點￡是8的中點，

CE=DE,

ZCEF=ZDEA

在△CEF和ADE4中，<CE=DE,

ZECF=ZD=90°

.\^CEF=^DEA(ASA)f

：.CF=AD=2,

:.BF=BC+CF=4,

AF=VAB2+BF2=5，

AN=x,

:.FN=AF-AN=5-x,

如圖，當點M與點3重合時，

S=-AFBN=-ABBF,

ABF22

c、，ABBF3x412

...BN=---------=------=—,

AF55

AN=^AB2-BN2=|,

Q

①如圖，當點M在AB邊上，即OWxWy時,

BF4

在RtABF中，tan/BAF=---=—,

AB3

MNMN

在RtAAW中，tmZMAN=——=——,

ANx

.MN__4

x3

4

解得=1無，

i9

則止匕時5=萬4\八"^=§%2；

②如圖，當點“在3尸上，即g<xV5時,

MN

在RtFMN中,tanF=^

FN5—x

,MN_3

??=一,

5-x4

3

解得MN=：(5—%),

4

1315

貝U此時S=_AN.M7V=――x2+—x；

288

2g

-x2(0<x<-)

35

綜上，s=

3159

——x2+——x(—<x<5)

〔885

觀察四個選項可知，只有選項B符合,

故選：B.

【點睛】本題考查了矩形的性質、解直角三角形的應用、二次函數的圖象等知識點，正確

分兩種情況討論，并熟練掌握二次函數的圖象特征是解題關鍵.

20.（2022?安徽蕪湖?蕪湖市第二十九中學校考二模）如圖，YABCD中，AB=4,BC=8,

m=60。，動點P沿/B-C-D勻速運動，運動過速度為2cm/s,同時動點。從點/向點。勻

速運動，運動速度為lcm/s,點。到點。時兩點同時停止運動.設點。走過的路程為

x（s）,△APQ的面積為Mem?）,能大致刻畫y與x的函數關系的圖象是（）

【分析】求出當0￡"2時，y=^-x2,是一段開口向上的拋物線，從而可得出答案.

2

【詳解】解：當0M2時，y=L?氐=走/，

-22

配4x42時，y隨著x的增大而增大，函數圖象的開口向上，是拋物線的一部分，故選項

A,C、D錯誤.

故選：B.

【點睛】本題考查動點問題的函數圖象及二次函數的圖象及性質，解答本題的關鍵是明確

題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答.

21.如圖，正方形ABC。的邊長為4,一EFG中，EF=EG=&7,FG=2,BC和FG在一條

直線上，當EFG從點G和點8重合時開始向右平移，直到點尸與點C重合時停止運動，

設平移的距離為x,一EFG與正方形ABCD重疊部分的面積為乃則下列圖象中能大

致反映y與x的函數關系的圖象是（）

【答案】B

【分析】分0〈x<1,1<x<2，2<x<4,4<x<5,5VxW6五種情況，求出重疊部分的

面積y與x之間的函數關系式，判斷即可.

【詳解】IfflEFG中EF=EG=&j,FG=2,

過點￡作EMFG于點則FM=GM=’尸G=!x2=l,

22

回FG上的高EM=

團四邊形45CD為正方形，5。和廠G在一條直線上,

團中回MG移動過程中EM〃AB〃CD,

(1)當OV%<1時，EG與AB交于點、H,如圖所示:

此時3G=x,

田HB〃EM,

BHBG

團----=-----

EMMG

團3”=4x,

1,

回

SBGH^-X-4X=2.X-,

即y=2x2,

此時的函數圖象為開口向上的拋物線，且當彳=1時，y=2；

（2）當l<x<2時，與48交于點區如圖所示：

此時3尸=2—%，

國HB〃EM,

BHFB

團------=-------,

EMFM

BH2-x

即pn——=----,

41

0BH=8-4x,

回SBFH=5（2—尤），（8—4x）=2,x~—8x+8,

回SEFC=1x2x4=4,

回y=4-（2x?-8x+8）=-2x~+8x-4,

此時函數圖象為開口向下的拋物線，且當x=2時，y=4；

（3）當2VxV4時，aBFG在正方形的內部，

回重疊部分的面積為SEFG的面積，

此時函數圖象為平行x軸的一條線段；

(4)當4<x45時，EG與CD交于點、H,如圖所示:

CHCG

團---=----,

EMMG

即更=1

41

0BH=4x-16,

團SCGH=5（%—4）,（4%—16）=2x?—16尤+32,

EFG=-x2x4=4f

回y=4-（2/—16%+32）=-2爐+16%-28,

此時函數圖象為開口向下的拋物線，且當尤=5時，y=2；

(5)當5<x<6時，EF與CD交于點、H,如圖所示:

止匕時CF=6—%,

國HC〃石M,

CHFC

團---=----,

EMFM

CH6-x

B即n丁丁

回6/7=24—4%,

團SFHC=5（6尤），（24—4x）=2犬2—24犬+72,

團y=2x2-24x+72,

此時函數圖象為開口向上的拋物線，且當x=6時，y=o；

綜上分析可知，四個選項中B選項符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查動點問題的函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思

想分類討論進行解答.

22.（2022?新疆昌吉?統考一模）如圖所示，尸是菱形A3CD的對角線AC上一動點，過點P

作垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊AB-3C于朋r點，AD-DC于N點.設AC=2,

BD=1,AP=x,AW的面積為丹則y關于x的函數圖像的大致形狀是（）

【答案】c

【分析】

△4WN的面積=：/PxMN,通過題干已知條件，用x分別表示出40、MN,根據所得的函

數，利用其圖象，可分兩種情況解答：（1）0<x<l；（2）l<x<2；

【詳解】

團四邊形是菱形，AC=2,BD=1,

a4c與2。互相垂直平分；

EL4O=^-AC=1,

0ACWC,BD^AC

EMV；BD-,

m4NM=^ADB,^\AMN=^ABD

APMN

團----------，

AOBD

xMN

即nn「丁,

^\MN=x；

^\y=-^APxMN=^-x2(0<x<l),

畤>0，

回函數圖象開口向上；

當0<x<l時，y隨x的增大而增大,

當x=l時，y取最大值g；

圖2

與(1)同理可證得，△CD況BCMVf,

CPMN

7)C~~BD，

團VW=2-x；

0y=^APxMN=^-xx(2-x),

即'=~g/+x；

0-；<0,

回函數圖象開口向下；

綜上，選項C的圖象大致符合；

故選：C

【點睛】

本題考查了二次函數的圖象，菱形的性質，相似三角形的判定與性質，考查了學生從圖象

中讀取信息的數形結合能力，體現了分類討論的思想.

考法三：圖形綜合問題

23.（2022?江蘇南通?統考二模）如圖1,ABC中，ZACB=90°,