專(zhuān)題11與圓有關(guān)的位置關(guān)系

考點(diǎn)類(lèi)型

口^」知識(shí)一遍過(guò)

(-)與圓有關(guān)的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>r。點(diǎn)P在O。的外

點(diǎn)在圓上&點(diǎn)在圓周上d=r=點(diǎn)P在。。上

點(diǎn)在圓內(nèi)(V)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<ro點(diǎn)P在O。的內(nèi)

(2)直線與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

相離€直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)d>rQ直線/與O。相離

d1___1

直線與圓有唯一公共

相切6立點(diǎn)，直線叫做圓的切d=r=直線/與。。相切

線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)

直線與圓有兩個(gè)公共

相交￡點(diǎn)，直線叫做圓的割d<r=直線/與O。相交

線

（二）切線的判定與性質(zhì)

（1）切線的定義：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),這條直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

（2）切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑;

（3）切線的判定：①作垂直，證半徑；②連半徑，證垂直

（三）切線長(zhǎng)定理

（1）切線長(zhǎng)定義：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).

（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的

夾角.

（四）三角形與圓

（1）三角形與外接圓

①經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做

三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.

②三角形外心的性質(zhì)：

★三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；

★三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)

個(gè)，這些三角形的外心重合.

③直角三角形外接圓的圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)

（2）三角形與內(nèi)切圓

①概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心；內(nèi)心是三角形

三個(gè)角平分線的交點(diǎn);它到三角形的三邊的距離相等，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形，

②普通三1角形與內(nèi)切圓的關(guān)系：R為內(nèi)切圓的半徑

SAABC=-XRX（AB+BC+AC）

③直角三角形的三邊與內(nèi)切圓的關(guān)系

R=|（兩直角邊和-斜邊長(zhǎng)）

點(diǎn)一遍過(guò)

考點(diǎn)1:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

典例1:（2022上?陜西商洛?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△48c中，乙4=90。，AB=3,AC=4,AD1BC,

以點(diǎn)A為圓心，3.5為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)。與。4的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)。在外B.點(diǎn)。在。力上C.點(diǎn)。在內(nèi)D.不能確定

【變式1］（2024上?廣東廣州,九年級(jí)統(tǒng)考期末）在RtAABC中，乙4cB=90。，AC=5,AB=10,以點(diǎn)C

為圓心，BC為半徑作OC,則點(diǎn)A與OC的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)A在。C內(nèi)B.點(diǎn)A在OC上C.點(diǎn)A在OC外D.無(wú)法確定

【變式2］（2023下?上海?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在RtA48C中，NC=90。，AC=4,BC=7,點(diǎn)。在邊BC

上，CD=3,04的半徑長(zhǎng)為3,與02相交，且點(diǎn)B在O。外，那么的半徑長(zhǎng)r可能是（）

A.r=1B.r=3C.r=5D.r=7

【變式3】（2022?廣東江門(mén)?統(tǒng)考一模）如圖，A5是半圓O的直徑，點(diǎn)。在半圓。上，04=10,BC=16,D

是弧AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BZ）,過(guò)點(diǎn)C作連接AM,在點(diǎn)。移動(dòng)的過(guò)程中，AM的最小值為（）

A.2V10-6B.3V26-10C.4V6—4D.4V13-8

考點(diǎn)2：三角形的外接圓

典例2：（2023上?江蘇南通?九年級(jí)南通市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)。是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外

心，若N4=84°,貝吐。的度數(shù)為（）

【變式1］（2024上?河北唐山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，點(diǎn)力、B、C、

D、E、F、G在小正方形的頂點(diǎn)上，則AABC的外心是（）

A.點(diǎn)DB.點(diǎn)EC.點(diǎn)FD.點(diǎn)G

【變式2］（2023上?浙江溫州?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直角坐標(biāo)系中4（0,4）,8（4,4）,C（6,2）,經(jīng)過(guò)4B,C

三點(diǎn)的圓，圓心為M,若線段DM=4,則點(diǎn)。與的位置關(guān)系為（）

A.點(diǎn)。在OM上B.點(diǎn)。在OM外C.點(diǎn)。在OM內(nèi)D.無(wú)法確定

【變式3］（2023上?浙江湖州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》中“今有勾八步，股有十五步，問(wèn)勾中容

圓徑幾何？"其意思是："今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步.問(wèn)該直

角三角形的容圓（外接圓）直徑是多少？"（）

A.14步B.15步C.16步D.17步

考點(diǎn)3：直線與圓的位置關(guān)系

典例3：（2023上?河北廊坊?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，Z.B=90°,BC=3,以點(diǎn)C為圓心,

3為半徑作圓，則下列判斷正確的是（）

A.點(diǎn)8在OC內(nèi)B.點(diǎn)A在OC上

C.邊2B與OC相切D.邊力。與。C相離

【變式1］（2023?陜西西安?高新一中校考一模）在^ABC中，ZC=90°,乙4=60°,BC=4.若。C與4B相

離，則半徑為r滿(mǎn)足（）

A.r>2B.r<2C.0<r<2D.0<r<2v5

【變式2］（2012?北京海淀?統(tǒng)考中考模擬）如圖，已知。。是以數(shù)軸原點(diǎn)。為圓心,半徑為1的圓，乙4OB=45°,

點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P且與。4平行的直線與。。有公共點(diǎn)，設(shè)OP=x,則x的取值范圍是（）

A.—V2<x<V2B.0<x<V2

C.-1<%<1D.x>V2

【變式3］（2023?遼寧盤(pán)錦?統(tǒng)考二模）如圖，半徑r=2/的13M在x軸上平移，且圓心M在x軸上，當(dāng)I3M

與直線丫=久+2相切時(shí)，圓心M的坐標(biāo)為（）

(-6,0)D.(2,0)或(-6,0)

考點(diǎn)4:切線的判定綜合

典例4：(2023上?遼寧盤(pán)錦?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在△力BC中，AB=AC=10,4D1BC于點(diǎn)D,BE1AC

于點(diǎn)E,AD,BE相交于點(diǎn)0,再以。為圓心，OE為半徑作一圓.

(1)求證：48是。。的切線;

(2)當(dāng)月E=6時(shí)，求。。的半徑.

【變式1X2024上?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?如圖,在等腰△ABC中4B=AC,

以力B為直徑的。。交BC于點(diǎn)0,￡^14。于點(diǎn)乩ED的延長(zhǎng)線與4B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.

F

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若CE=1,BD=V5,tanF=￡求的值.

【變式2】(福建省龍巖市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)如圖，在。。中，是直徑，點(diǎn)C

是BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE1AB于點(diǎn)￡,連接BD,交CE于點(diǎn)凡在EC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P,使PF=PD,

連接4C.

⑴求證：PD是。。的切線;

(2)若PDII4C,求乙4BD的度數(shù).

【變式3](2024上?重慶合川?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，四邊形48CD是。。的內(nèi)接正方形，E是。。外一點(diǎn),

4D平分NC4E,連接ED并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)尸，連接BF交AC于點(diǎn)G.

(1)求證：4E為。。的切線;

⑵求證：AE=AG.

【變式4](2024上?山西呂梁?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,4B是。。的直徑,4C是弦，點(diǎn)D是。。上一點(diǎn),。D14B,

連接CD交4B于點(diǎn)E,F是4B延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CF=EF.

⑴求證：CF是。。的切線；

(2)若CF=8,BF=4,求弧BD的長(zhǎng)度.

【變式5](2024上?廣東肇慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖所示，在以△ABC中，點(diǎn)。在斜邊力B上，以。為圓心,

08為半徑作圓0,分別與BC、4B相交于點(diǎn)D、E,連接2D,已知NC4O=NB.

⑴求證：4。是。。的切線;

(2)若4。=2CD=3時(shí)，求陰影部分的面積.

【變式6](2023上?江西新余?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，4B為回。的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)。作國(guó)。的切線C。交B4的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作。E,0EII4D交CD于點(diǎn)E,連接BE.

(1)求證：直線BE與回。相切.

(2)若C4=4,CD=6,求DE的長(zhǎng).

【變式7］（2024上?四川綿陽(yáng),九年級(jí)校考期末）如圖，4B為。。的直徑，CE為。。的弦，AC||OE,延長(zhǎng)4C

至D,且DE14D,。。的半徑為6.

（1）求證：直線DE與。。相切；

（2）如圖1,若。4=2CD,求陰影部分面積;

⑶如圖2,若等=手，求CD的值.

考點(diǎn)5：切線的性質(zhì)綜合

典例5：（2024上?陜西渭南?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線4C與。。相切于點(diǎn)C,射線力。與。。交于點(diǎn)

E,連接CD,CE.

(1)求證：AACD=乙E；

(2)若4C=2g,AD=2,求C0的長(zhǎng).

【變式11（2022上?北京?九年級(jí)清華附中校考階段練習(xí)）如圖，4B為。。的直徑，DE切。。于點(diǎn)E,BD1DE

于點(diǎn)。，交O。于點(diǎn)C,連接8E.

⑴求證：BE平分N4BC；(2)若AB=10,BC=6,求CD的長(zhǎng).

【變式2](2024上,湖北武漢,九年級(jí)統(tǒng)考期末)菱形力BCD的頂點(diǎn)8,C,。在。。上，。在線段4C上.

⑴如圖1,若4B是。。的切線，求44DC的大??；

⑵如圖2,若AB=2#),AC=8,AB與。。交于點(diǎn)E,求BE的長(zhǎng).

【變式3](2024上?新疆吐魯番?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，點(diǎn)2,B,C在。。上，4C是直徑，2B是弦，點(diǎn)P是

。。外一點(diǎn)，分別作射線P4PB,其中P4是。。的切線，線段P4=PB.

(1)求證：PB是。。的切線.

(2)若NC4B=25°,求乙P的度數(shù).

【變式4](2024上?河南洛陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，。。與ANBC的BC邊相切于點(diǎn)2,與4C邊相切于點(diǎn)

D,與AB邊交于點(diǎn)E,EB是。。的直徑.

(1)求證：DEWOC-,

(2)若O。的半徑是|,AD=2,求CD的長(zhǎng).

【變式5】(2023上?河北張家口?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在AABC中，AB=AC,。為BC的中點(diǎn)，2C與半

圓。相切于點(diǎn)D.

⑴求證：4B是半圓。的切線；

(2)若乙4=60。，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)。與點(diǎn)P之間的距離是2,則半圓。的半徑是

考點(diǎn)6：切線的判定與性質(zhì)綜合

典例6：(2023上?吉林松原?九年級(jí)?？计谀?如圖，在AABC中，AB=AC,。在48上，以。為圓心，OB為

半徑的圓與力C相切于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)、D,交力B于點(diǎn)G,過(guò)。作0E14C,垂足為E.

(1)DE與。。有什么位置關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并證明;

⑵若。。的半徑長(zhǎng)為3,AF=4,求CE的長(zhǎng).

【變式1](2023上,江蘇南京,九年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖，AC,BD是。。的切線，C,D為切點(diǎn)，連接2B.

⑴若力B與。。相切于點(diǎn)E,求證AC+BD=AB；

(2)^AC+BD=AB,求證力B與。。相切.

【變式2](2024上?天津河西?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，△48C中，AB=AC,。為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑

的。。與4B相切于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)RFG1AB,垂足為G.

(2)若O。的半徑長(zhǎng)為2a,BF=3,求BE的長(zhǎng).

【變式3］（2024上?北京昌平,九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，點(diǎn)。為At的中點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)。作。。的切線，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接。。交力C于點(diǎn)E.

⑴求證：四邊形DECP是矩形；

（2）作射線4D交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若tan/CAB=：,BC=6,求DF的長(zhǎng).

4

考點(diǎn)7：切線長(zhǎng)定理

典例7：（2023上,全國(guó)?九年級(jí)期末）如圖，。。是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D、E分別為邊力B、AC上的點(diǎn)，且DE為

。。的切線，若△ABC的周長(zhǎng)為25,BC的長(zhǎng)是9,貝必ADE的周長(zhǎng)是（）

【變式1］（2023上?安徽六安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，PA.PB、CD分別與。。相切于點(diǎn)A,B,E,CD與

PA,PB分別相交于C,。兩點(diǎn)，若4P=48。，則NP4E+NPBE的度數(shù)為（）

A.50°B.62°C.66°D.70°

【變式2］（2023上,九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，P4PB是。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,OP交。。于點(diǎn)C.下

列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

A.Zl=Z2B.PA=PBC.AB1OPD./.PAB=2Z1

【變式3】（2022?內(nèi)蒙古包頭?二模）已知：如圖，4B為。。的直徑，。。,。8為。。的切線，D、2為切點(diǎn),

OC交O。于點(diǎn)E,4E的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F連接以下結(jié)論：@AD||OC-,②點(diǎn)E為ACDB的內(nèi)

心；③FC=FE；@CE-FB=AB-CF.其中正確的只有（)

A.①②B.②③④C.①③④D.①②④

考點(diǎn)8:三角形的內(nèi)切圓

典例8：（2023上?廣東深圳?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在RtzkABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,QO

是AABC的內(nèi)切圓，則陰影部分面積是（）

D.TC—2

【變式1］（2022上?福建福州?九年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，AABC中，^BAC=90°,

BC=5,AC=3,點(diǎn)。是AABC的內(nèi)心，貝UBD的長(zhǎng)度為（）

A

A.2B.3C.V10D.等

【變式2］（2023上,廣西南寧,九年級(jí)南寧十四中?？计谥校┤鐖D，AABC的內(nèi)切圓。。與ZB,BC,4C分別

相切于點(diǎn)D，E,F,Z,B=90°,AB=6,BC=8,則△4BC的內(nèi)切圓半徑r為（）

【變式3］（2023上?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知AABC中，ZC=90°,BC=a,CA=b,AB=c.。。是

△力8C的內(nèi)切圓，下列選項(xiàng)中，。。的半徑為（）

考點(diǎn)9：圓的切線應(yīng)用一一尺規(guī)作圖

典例9：（2023下?山西晉城?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考

下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

x年x月x日星期日晴

過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線

我學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)定理，知道"經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線"，并學(xué)會(huì)了如何用尺規(guī)

過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線，那么能否用尺規(guī)過(guò)圓外一點(diǎn)作出圓的切線呢？經(jīng)過(guò)反復(fù)思考，我想出了兩種作

法.具體如下（已知點(diǎn)p是O。外的一點(diǎn)）:

作法一（如圖1）:

連接。P,作線段0P的垂直平分線，交。P于點(diǎn)A；

以點(diǎn)A為圓心，以4。的長(zhǎng)為半徑作弧，交。。于點(diǎn)&

作直線PB,則直線PB是。。的切線