重難點02有關實數與數軸的應用題（3種題型）

D【考點剖析】

數軸（共9小題）

1.（2022秋?東陽市月考）如圖所示，圓的周長為4個單位長度，在圓周的四等分點處標上字母A,B,C,

D,先將圓周上的字母A對應的點與數軸上的原點重合，再將圓沿著數軸向右滾動，那么數軸上的2022

所對應的點與圓周上字母（）所對應的點重合.

2.（2022秋?義烏市校級月考）點A、8在數軸上所對應的數分別是x、y,其中x、y滿足（%-3）2+|y+5|=

0.若點。是AB的中點，。為原點，數軸上有一動點P,|尸￡）|、|PO|分別表示數軸上P與。，尸與。兩

點間的距離，則|PD|TPOI的最小值是.

3.（2021秋?慈溪市期中）如圖：在數軸上A點表示數a,8點表示數6,C點表示數c,6是最小的正整數，

且a,c滿足|a+2|+（c-7）2=0.

（1）a—,b=,c—；

（2）若將數軸折疊，使得A點與。點重合，則點5與數表示的點重合；

（3）點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點3和點C

分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，假設,秒鐘過后，若點A與點5之間的距離

表示為AB,點A與點。之間的距離表示為AC,點、B與點C之間的距離表示為BC,則AB=,

AC=,BC=.（用含/的代數式表示）

（4）請問：38C-2A8的值是否隨著時間看的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值.

ABC

4.（2022秋?吳興區期中）【新知理解】

點C在線段4B上，若BC=2AC或AC=28C,則稱點C是線段AB的“優點”，線段AC,8C稱作互為

“優點“伴侶線段.例如，圖1,線段的長度為6,點C在上，AC的長度為2,則點C是線段

AB的其中一個“優點”.

（1）若點C為圖1中線段AB的“優點”AC=6（AC<BC）,則；

（2）若點。也是圖1中線段AB的“優點”（不同于點C）,則ACBD（填“="或"#"）

【解決問題】

如圖2,數軸上有一點E表示的數為1,向右平移3個單位到達點E；

（3）若不同的兩點N都在線段。尸上，且M,N均為線段。尸的“優點”，求線段的長；

（4）如圖2,若點G在射線EF上，且線段GF與以E,F,G中某兩個點為端點的線段互為“優點”伴

侶線段，求點G表示的數（寫出所有可能）.

?------------?--------------------------?

ACB

圖1

OEF

-I------1-----1——I——?——?-----1——?——?——?-------

-2-1012345678

圖2

5.(2022秋?寧波期中)如圖，圓的半徑為2個單位長度.數軸上每個數字之間的距離為1個單位長度，

n

在圓的4等分點處分別標上點A,B,C,D.先讓圓周上的點A與數軸上表示一1的點重合.

(1)圓的周長為多少？

(2)若該圓在數軸上向右滾動2周后，則與點8重合的點表示的數為多少？

(3)若將數軸按照順時針方向繞在該圓上，(如數軸上表示一2的點與點B重合，數軸上表示一3的點與

點C重合…)，那么數軸上表示一2024的點與圓周上哪個點重合？

6.(2022秋?義烏市月考)我們知道，⑷可以理解為|a-0],它表示：數軸上表示數。的點到原點的距離，這

是絕對值的幾何意義.進一步地，數軸上的兩個點A,B,分別用數a,6表示，那么A,8兩點之間的距

離為AB=|a-6|,反過來，式子|a-目的幾何意義是：數軸上表示數。的點和表示數b的點之間的距離.利

用此結論，回答以下問題：

(一)數軸上表示數-8的點和表示數3的點之間的距離是.

(二)數軸上點A用數。表示，

(1)若|a-3|=5,那么a的值是.

(2)當|a+2|+|a-3|=5時，這樣的整數a有個.

(3)|。-3|+|a+2022|最小值是.

(4)3\a-3|+|a+2022|+|a+3|最小值是.

(5)|3a+3|+|a+4|+|4“-8|最小值是.

7.（2021秋?西湖區期末）已知點A,B,C,。是同一數軸上的不同四點，且點M為線段的中點，點N

為線段CD的中點.如圖，設數軸上點。表示的數為。，點。表示的數為1.

（1）若數軸上點A,8表示的數分別是-5,-1,

①若點C表示的數是3,求線段的長.

②若8=1,請結合數軸，求線段的長.

（2）若點A,B,C均在點。的右側，且始終滿足MV=°A-B.C,求點M在數軸上所表示的數.

2

8.（2021秋?東陽市期末）數軸上的三個點，若其中一個點與其它兩個點的距離滿足2倍關系，則稱該點是

其它兩個點的“友好點”，這三點滿足“友好關系”.已知點A、8表示的數分別為-2、1,點C為數軸

上一動點.

（1）當點C在線段A2上，點A是8、C兩點的“友好點”時，點C表示的數為；

（2）若點C從點8出發，沿BA方向運動到點在運動過程中有4個時刻使A、B、C三點滿足“友

好關系”，設點M表示的數為相，則根的范圍是

9.（2021秋?武昌區期中）已知：在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來一快一慢兩列火車，快車長AB=2（單

位長度），慢車長。=4（單位長度），設正在行駛途中的某一時刻，如圖，以兩車之間的某點。為原點，

取向右方向為正方向畫數軸，此時快車頭A在數軸上表示的數是慢車頭C在數軸上表示的數是瓦若

快車A8以6個單位長度/秒的速度向右勻速繼續行駛，同時慢車以2個單位長度/秒的速度向左勻速

繼續行駛,且|a+8|與（676）2互為相反數.

BAOCD

■IdII〉

（1）求此時刻快車頭A與慢車頭C之間相距多少單位長度？

（2）從此時刻開始算起，問再行駛多少秒鐘兩列火車行駛到車頭AC相距8個單位長度？

（3）此時在快車A8上有一位愛動腦筋的七年級學生乘客P,他發現行駛中有一段時間r秒鐘，他的位

置P到兩列火車頭A、C的距離和加上到兩列火車尾2、￡）的距離和是一個不變的值（即PA+PC+PB+PD

為定值）.你認為學生P發現的這一結論是否正確？若正確，求出這個時間及定值；若不正確，請說明理

由.

二.實數與數軸（共12小題）

10.（2022秋?慈溪市期中）數軸上有A,B,C三個點，點A表示的數是點B表示的數是1,點A到

點8的距離與點C到點8的距離相等，那么點C表示的數是（）

A.2W3B.1-1^3c.MD.2-V§

11.（2022秋?杭州期中）如圖，以數軸的單位長度線段為邊長作一個正方形，以表示數2的點為圓心，正

方形對角線長為半徑畫半圓，交數軸于點A和點8,則點A表示的數是,8表示的

數是.

0A123B45

12.（2022秋?北侖區期中）如圖，一只螞蟻從A點沿數軸向右直爬2個單位長度到達點8,點A表示-

設點B所表示的數為m,

（1）求加的值.

（2）求防-3|+機+2的值.

AB

111,11

-2-1012

13.（2022秋?越城區期中）如圖，在數軸上表示2、y的對應點分別為C、8,點C是48的中點，則點A

表示的數是（）

_________?一巫》

0ACB

A.-/5B.2-75C.4-V5D.V5-2

14.（2021秋?吳興區期末）如圖，已知正方形ABC。的面積為5,點A在數軸上，且表示的數為1.現以A

為圓心，A8為半徑畫圓，和數軸交于點E（E在A的右側），則點E表示的數為（）

A.3.2B.V5+1C.A/5-1D.V5

15.（2022秋?義烏市校級月考）若點48在數軸上分別表示有理數人b,則48兩點之間的距離表示為

AB,BPAB^\a-b\.

利用數軸回答下列問題：

（1）①數軸上表示2和5兩點之間的距離是；數軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示

為.

②若尤表示一個有理數，且-2<x<2,貝加-2|+|x+2|=.

③當|x-l|+|x+2|=10-|y-3|-|y+4|時，求孫的最大值和最小值.

（2）實數b、c滿足〃VZ?Vc（acVO）,且當x為何值時，仇-。|+伏+川+枕-c|的值最小,

并求最小值.

16.(2022秋?拱墅區月考)【方法感悟】閱讀下面材料:

點A,8在數軸上分別表示實數a,b,A,8兩點之間的距離表示為|AB|.如圖1,從數軸上看，

若點A,8表示的分別是1,4,則|AB|=|4-1|=3或|AB|=|1-4|=3；

若點A,8表示的數分別是-1,4,則|AB|=|4-(-1)|=4+1=5或|AB|=|-1-4|=|-5|=5；

若點A,2表示的數分別是-1,-4,則|42|=|(-1)-(-4)|=|-1+4|=3或|AB|=|-4-(-1)|=

|-4+1|=3.

【歸納】若點A,8表示的數分別是xi,X2則|48|=|尤1-尤2|或|AB|=|x2-尤1|.

【知識遷移】(1)如圖1,點A,2表示的數分別是-4.5,b,且|AB|=3,則6=；

(2)如圖2,點A,2表示的數分別是xi,XI,若把42向左平移個單位，則點4與-50重合：若把

48向右平移區為個單位，則點B與70重合，那么xi=,?=；

【拓展應用】

(3)一天，美羊羊去問村長爺爺的年齡，村長爺爺說：“我若是你現在這么大，你還要40年才出生呢,

你若是我現在這么大，我己經是老壽星了，116歲了，哈哈!”美羊羊納悶，請問村長爺爺現在到底是多

少歲？美羊羊現在又是幾歲？請寫出解題思路.

(4)結合幾何意義，求|x-l|+|x-2|+|x-3|+|尤-4|+|x-5|最小值.

-3-2-101234>WA~O_B70^

圖1圖2

17.（2021秋?拱墅區校級期中）如圖1,這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8.

（1）圖中陰影部分是一個正方形ABC。，求出陰影部分的面積及其邊長.

（2）把正方形ABCD放到數軸上.如圖2.使得A與1重合，那么D在數軸上表示的數

為.

（3）在（2）的條件下，把正方形ABC。沿數軸逆時針方向滾動.當點2第一次落在數軸上時，求點、B

在數軸上表示的數.

圖1圖2

18.（2022秋?海曙區期中）長方形ABCD在數軸上的位置如圖所示，點2、C對應的數分別為-2和-1,

CD=2.若長方形繞著點C順時針方向在數軸上翻轉，翻轉1次后，點。所對應的數為1；繞。

點翻轉第2次；繼續翻轉，則翻轉2022次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的是.

AD

?1cl??iii?

-5-4-3-2-1012345

19.（2022秋?溫州期中）操作探究：已知在紙面上有一數軸（如圖所示），

（1）折疊紙片，使表示1的點與表示-1的點重合，則表示-2的點與表示的點重合；

（2）折疊紙片，使表示-1的點與表示3的點重合，回答以下問題：

①表示5的點與表示的點重合；

②若數軸上A、B兩點之間的距離為13（A在2的左側），且A、2兩點經折疊后重合，此時點A表示的

數是;點8表示的數是.

③表示點與表示的點重合；

（3）已知數軸上P,Q兩點表示的數分別為-I和3,有一只電子小蝸牛從P點出發以每秒2個單位的

速度向右移動，運動多少秒時，它到點P的距離是到點。的距離的2倍？

-5-4-3-2-1012345

20.（2021秋?諸暨市期末）期末復習過程中，七（1）班的張老師設計了一個數學問題，涉及本冊中多個知

識點和多種數學思想，請聰明的你來解答一下吧.

（1）若一個數無的立方等于-8,請求出x的值.

（2）請利用整體思想和方程思想進行解題.

①若（1）中的X的值也是關于X的一元一次方程/x-3=5x-p的解，那么關于y的一元一次方程4（y

-8）-3=5（廠8）-p的解為y=.

②在如圖所示的“幻方”中，每個小三角形的三個頂點上的數字之和都與中間正方形四個頂點上的數字

之和相等，現將①中的無，y填入如圖所示的位置，則（a-b）+（d-c）的值為多少？

（3）在（2）的條件下，在數軸上標注尤，y所表示的數的對應點，分別記作A,B,已知P點從A點出

發，以1個單位每秒的速度向2點運動，。點從2點出發，以4個單位每秒的速度在4、2兩點之間做

往返運動，P、。兩點同時開始運動，當。點第一次返回到8點時，兩點同時停止運動，若記數軸的原

點為O,則P點運動幾秒后。。=20尸？

]IIJIII||II?

-3-2-101234567

21.(2022秋?堇B州區期中)“數形結合”是重要的數學思想.如：|3-(-2)|表示3與-2差的絕對值，實

際上也可以理解為3與-2在數軸上所對應的兩個點之間的距離.進一步地，數軸上兩個點A,8所對應

的數分別用a,b表示，那么A,8兩點之間的距離表示為AB=|a-b|.利用此結論，回答以下問題：

11111II111I.

-5-4-3-2-1012345

(1)數軸上-2和5這兩點之間的距離為.

(2)若無表示一個實數，|x+2|+|x-4|的最小值為.

(3)直接寫出所有符合條件的x,使得仇-2|+|x+5|=9,則x的值為.

三.實數與數軸復雜應用題(共7小題)

22.(2022秋?寧波期末)【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美結合.研

究數軸時，我們發現有許多重要的規律：若數軸上點A,2表示的數分別為a,b,則A,8兩點之間的距

離AB=|a-b|,線段AB的中點表示的數為色臺.

【知識應用】

如圖，在數軸上，點A表示的數為5,點8表示的數為3,點C表示的數為-2,點P從點C出發，以每

秒2個單位沿數軸向右勻速運動.設運動時間為/秒/>0,根據以上信息，回答下列問題：

CBA

-4-3-2-10123456

(1)填空：

①4C兩點之間的距離AC=,線段的中點表示的數為.

②用含，的代數式表示：f秒后點P表示的數為.

(2)若點Af為的中點，當/為何值時，

【拓展提升】

(3)在數軸上，點。表示的數為9,點E表示的數為6,點尸表示的數為-4,點G從點。，點”從點

E同時出發，分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度沿數軸的負方向運動，且當它們各自

到達點F時停止運動，設運動時間為r秒，線段G”的中點為點K,當f為何值時，HK=3.

23.（2022秋?蓮都區期中）已知數軸上的A、B兩點分別對應的數字為°、b,且a、b滿足|4a-例+（a-4）

2=0.

（1）直接寫出a、6的值；

（2）尸從A出發，以每秒3個長度的速度沿數軸正方向運動，何時P,48三點中其中一個點到另外

兩個點的距離相等？求出相應的時間/；

（3）數軸上還有一點C對應的數為36,若點P從A出發，以每秒3個單位的速度向C點運動，同時,

。從8點出發，以每秒1個長度的速度向正方向運動，點P運動到C點立即返回再沿數軸向左運動.當

尸0=10時，求尸運動的時間.

---?----------------A

0

24.（2021秋?平陽縣期中）如圖1,數軸上有A,B兩點（點A在點B的左側），點A表示的數是-無，點B

表示的數是3x-4,點P,。是數軸A,8之間的動點，且點尸以每秒4個單位的速度運動，點。以每秒

3個單位的速度運動，設運動時間為f秒.

（1）當數軸沿原點折疊時，點A與點8重合，則點A表示的數為.

（2）若x=22時，點P,。分別從點A,8同時出發，相向而行，點P到達點8時，點P,。同時停止

運動，當t為何值時，A,B兩點之間的距離是P,0兩點之間距離的6倍.

（3）若點P,。同時從點A出發，在線段AB上各自做不間斷的往返運動（即只要動點與線段的某

一端點重合則立即轉身以同樣的速度向另一點運動）.

①如圖2,點P與點。第一次重合于點C,第二次重合于點。，且點C與點D之間的距離為40,求線段

AB的長；

②在①的基礎上，當f=2021時，點P,Q兩點之間的距離是點A,P兩點之間的距離的

倍.（請直接寫出答案）

APQB_ADCB~~**

圖1圖2

25.(2022秋?富陽區期中)如圖數軸上有兩個點A、B,分別表示的數是-2,4.請回答以下問題：

(1)A與8之間距離為,A,B中點對應的數為,B點向左平移7個單位對應的數

為.

(2)若點C對應的數為-3,只移動C點，要使得A,B,C其中一點到另兩點之間的距離相等，請寫出

所有的移動方法.

(3)若點尸從A點出發，以每秒3個單位長度的速度向左做勻速運動，點。從2出發，以每秒5個單

位長度的速度向左做勻速運動，P,。同時運動：

①當點尸運動多少秒時，點P和點Q重合？

②當點尸運動多少秒時，P,。之間的距離為3個單位長度？

—--------且---------->

—24

26.(2022秋?蕭山區期中)如圖，已知數軸上三點A、B、C分別對應的數為a、b、c.

(1)點A、點B在數軸上所表示的數互為相反數，且