專題02圖形的初步（2）（分層訓練）

講臺

分層訓練

【基礎訓練】

一、單選題

1.（2022下?四川成都?七年級成都市第十八中學校?？茧A段練習）下列說法中正確的是（）

A.不相交的兩條直線叫平行線

B.從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線的距離

C.平面內兩條直線的位置關系有相交、平行和垂直

D.同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【答案】D

【分析】根據平行線的判定、點到直線的距離、平面內兩直線的位置關系等求解判斷即可.

【詳解】解：A：在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線，故4說法不符合題意；

B-.從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線的距離，故8說法不符合題意；

C：平面內兩條直線的位置關系有相交和平行，故。說法不符合題意；

D：同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故。說法符合題意；

故選：D.

【點睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理、點到直線的距離的概念、平面內兩直線的位

置關系等是解題的關鍵.

2.（2022?山東濟南?統考一模）如圖，AB^CD,且被直線/所截，若如=54。，則回2的度數是（）

A.154°B.126°C.116°D.54°

【答案】B

【分析】由平行線的性質得到國2與團3的關系，再根據對頂角的性質得到皿與團3的關系，最后求出團2.

【詳解】解：EL450CZ）,

032+133=180°.

003=01=54",

0l22=18Oo-03

=180°-54°

=126°.

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的性質，掌握"對頂角相等"和"兩直線平行，同旁內角互補”是解決本題的關鍵.

3.（2023?廣東珠海?珠海市文園中學?？寄M預測）如圖，已知48團CD,02=100°,則下列正確的是（）

B.03=80°C.04=80°D.04=100°

【答案】D

【分析】根據平行線的性質逐個判斷即可.（平行線的性質1.兩直線平行，同位角相等.2.兩直線平行，內

錯角相等.3.兩直線平行，同旁內角互補.）

【詳解】根據平行線的性質可得：A錯誤，兩直線平行，同旁內角互補，所以團1=80°；B錯誤，兩直線平

行，內錯角相等，所以回3=100。；C錯誤，兩直線平行，同位角相等，所以回4=100。；D正確，兩直線平行,

同位角相等，所以回4=100。故選D.

【點睛】本題主要考查平行線的性質，關鍵在于識別同旁內角，同位角，內錯角.

4.（2023上?陜西西安?七年級西安建筑科技大學附屬中學校考階段練習）如圖，A.AOB=90°,OC是N&OB內

任意一條射線，OB,。。分別平分NC。。，乙BOE,下列結論錯誤的是（）

AC

B

D

O

E

A.乙COD=(BOEB.Z-COE=3乙BOD

C.^AOC+ABOD=90°D.ABOE=Z.AOC

【答案】D

【分析】考查角平分線的定義、互為余角的意義，根據角平分線的定義，互余的意義和等量代換，逐個結

論進行判斷即可得出答案.

【詳解】解：回。B,。。分另IJ平分NC。。，/.BOE,

E1NCOB=Z.BOD=乙DOE,

SZ.COB+乙BOD=4BOD+乙DOE,

即：乙COD=LBOE,因此A正確，不符合題意；

乙COE=LCOB+乙BOD+乙DOE=3乙BOD,因止匕B正確，不符合題意；

團乙4OB=90°,

團/4。。+430。=90。=44。（7+48?！辏?因此C正確，不符合題意；

EIOC是心力。8內任意一條射線，

0ZXOC不一定會等于2NBOC,即乙4OC不一定會等于N80E,因此D不正確，符合題意；

故選：D.

5.（2022下?河北邢臺,七年級?？计谀┤鐖D，下列推理過程及括號中所注明的推理依據正確的是（）

A.0Z2=Z4,04SHCO（內錯角相等，兩直線平行）

B.0/151|CD,0Z1=Z3（兩直線平行，內錯角相等）

C.SADWBC,回乙84。+4。=180。（兩直線平行，同旁內角互補）

D.^DAM=^CBM,EL4DIIBC（兩直線平行，同位角相等）

【答案】B

【分析】根據平行線的性質及平行線的判定定理解答.

【詳解】解：A.EZ2=Z4,^\AD\\BC（內錯角相等，兩直線平行），故選項錯誤，不符合題意；

B.SABWCD,001=03（兩直線平行，內錯角相等），故選項正確，符合題意；

C.回力D||BC,自NB4D+N4BC=180。（兩直線平行，同旁內角互補），故選項錯誤，不符合題意;

D.SADWBC（同位角相等，兩直線平行），故選項錯誤，不符合題意；

故選:B.

【點睛】此題考查平行線的性質定理及平行線的判定定理，熟記定理是解題的關鍵.

6.（2023?福建廈門?統考一模）如圖，在四邊形2BCD中，4DIIBC,點E在4D邊上，BD平分4EBC.下列角

中，與NBDE相等的是（）

A.4ABEB.^AEBC.乙EBDD.乙BDC

【答案】C

【分析】根據平行線的性質和角平分線的定義即可得出.

【詳解】解：?.?4DIIBC,

???Z-BDE=Z.CBD,

aBD平分乙EBC,

???Z.EBD=Z.CBD,

???乙BDE=Z.EBD.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質和角平分線的定義，熟練平行線的性質和角平分線的定義是解此題

的關鍵.

7.（2023?山東濱州?統考一模）一條船從海島/出發，以15海里/時的速度向正北航行，2小時后到達海島

2處.燈塔C在海島/的北偏西30。方向上，在海島3的北偏西60。方向上，則海島2到燈塔C的距離是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

【答案】C

【分析】根據題意作圖，根據三角形外角性質求出NC=/.CAB=30。，根據等角對等邊得出BC=48,進而

可得結果.

【詳解】解：根據題意作圖如下：

：./.C=乙CBD-4CAB=300=Z.CAB,

：.BCAB,

'：AB=15X2=30（海里），

：.BC=30（海里），

:.海島B到燈塔C的距離是30海里.

故選：C.

【點睛】本題考查了方向角，等腰三角形的判定和三角形的外角性質.解題的關鍵在于作圖，數形結合求

解.

8.（2022?河北石家莊?校考二模）如圖，有N,B,C三地，B地在/地北偏西36。方向上，AB1BC,貝！JB地

在C地的（）

A.北偏東44。方向B.北偏東54。方向

C.南偏西54。方向D.南偏西90。方向

【答案】B

【分析】如圖，過點8作8&/CD,根據方向角的概念及平行線的性質求出EDC3的度數即可得答案.

【詳解】如圖，過點3作BE//CD,

根據題意得：CD//AF,

^CDI/BE/IAF,

EEL48E=0SN尸=36°,

EL4B1BC,

EHC3￡=90°-EL48￡=54°,

aaDCB=[2C3￡=54°,

IBB地在C地的北偏東54。方向上,

故選：B.

【點睛】本題考查方向角的概念、平行線的性質及角度的計算，熟練掌握相關知識是解題關鍵.

9.（2023下?福建福州?七年級統考期中）如圖，下列條件：①回1=回3；②皿45=勖。。；③EL4DC+勖CD

=180°；（4）02=04,其中能判定4B||CD的有（）

A.1個B.2個C.4個D.3個

【答案】A

【分析】依據同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行，進行判

斷即可.

【詳解】①由如=回3可判定ZOILBC,不符合題意；

②由皿不能判定48IICD,不符合題意；

③由西。。+勖。。=180。可判定/。||8（7,不符合題意；

④由回2=回4可判定4811cD,符合題意.

其中能判定4BIICD的有1個，

故選：A.

【點睛】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關鍵.

10.（2022下?浙江杭州?九年級?？茧A段練習）如圖，在A/BC中，05^C=6O°,EL8CE=40。，平分曲C,

CE酎5于點E,則HAD8的度數為（）

A.100°B.90°C.80°D.50°

【答案】A

【分析】根據三角形內角和定理以及角平分線的定義求出站與曲。的度數即可求解.

【詳解】解：EC￡EL4S,

EB5EC=90°,

EESCE=40°,

005=50°,

團皿。=60°,ND平分回氏4C,

1

aa54D=-E2/C=30°,

2

0EL4r>5=18Oo-05-^BAD

=180°-50°-30°

=100°.

故選A.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理以及角平分線的定義，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵.

11.（2022下,湖北武漢,七年級統考期末）如圖，把小河里的水引到田地4處，可以過點4向河岸I作垂線，垂

足為點B,沿4B挖引水溝即可，這樣做的理由是（）

A.兩點之間，線段最短B.垂線段最短

C.點到直線的距離D.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【答案】B

【分析】根據垂線段最短解答即可.

【詳解】解：根據題意，把小河里的水引到田地/處，則作/3回1,垂足為點8,沿N8挖水溝，可知理由

是：垂線段最短.

故選：B.

【點睛】本題考查了垂線段最短，讀懂題意是解決問題的關鍵.

12.（2022?遼寧沈陽?統考一模）如圖，已知點4B,C,Z）在。。上,2C平分NB4D/C4D=30°,^ACD=50°,

貝此4。8=（）

A.60°B.50°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】利用角平分線的性質可求得4口48,再根據同圓中，同弧所對的圓周角相等可求得N4BD,再根據

三角形內角和即可求得答案.

【詳解】解：；4C平分NBA。，/.CAD=30。，

???4DAB=2ACAD=60°,

???/LACD=50°,

4ABD=50。（同弧所對的圓周角相等），

???乙ADB=180°-AABD-ADAB=180°-50°-60°=70°,

故選C.

【點睛】本題考查了角平分線的性質、圓周角定理和三角形內角和定理，熟練掌握角平分線的性質及圓周

角定理是解題的關鍵.

13.（2023下?福建福州?九年級福建省福州屏東中學?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點/（2,

5）,B（5,1）,C（加，-w）,DCm-3,-加+4）,當四邊形/BCD的周長最小時，則加的值為（）

A.3B.V2C.2D.|

【答案】C

【分析】首先證明四邊形/BCD是平行四邊形，再根據垂線段最短解決問題即可.

【詳解】解：點N(2,5),B(5,1),C(m,-m),D(m-3,-m+4),

EL4B=J(5—2尸+(1—5T=V32+42=5,

CD=7[(m—3)—m]2+[(—m+4)+m]2=732+42=5

即AB=CD=5,

回點B向左平移3個單位，再向上平移4個單位得到4

點C向左平移3個單位，再向上平移4個單位得到。，

由平移的性質得：BC//AD,BC=AD,

0CCm,-m)

El點C在直線y=-x上運動,

MCE直線y=-x,

團直線8C平行直線了=為

El直線BC的解析式為y^x+b,

把5(5,1)代入y=x+b得：

1=5+6,

解得：b=-4,

團y=%—4,

聯立方程組得：

y=-x

解得:C二

團C(2,-2),

麗=2,

故選：C.

【點睛】本題考查軸對稱最短問題，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，

屬于中考?？碱}型.

14.(2023?廣東梅州?統考二模)如圖，將一塊含有30。角的直角三角板的兩個頂點分別放在直尺的兩條平行

對邊上，若Na=145°,貝亞0等于()

A.45°B.60°C.75°D.85°

【答案】D

【分析】利用兩直線平行，同旁內角互補，計算Na的補角，利用平角的定義計算乙￡的大小即可

【詳解】回直尺的兩邊平行,

0Ea+l31=18O°,

盟12+冊+團1=180°,

團團a二團2+回我，

團145°=60°+冊，

冊二85。，

故選D.

【點睛】本題考查了平行線的性質，補角的性質，平角的定義，靈活運用平行線的性質和補角的性質是解

題的關鍵.

15.（2022下?湖北武漢?八年級校考階段練習）如圖，點P是中斜邊4C（不與4C重合）上一動點,

分別作PM1AB于點M,作PN1BC于點N,點。是MN的中點，若4B=9,BC=12,當點P在4c上運動時，

則B。的最小值是（）

A.3B.3.6C.3.75D.4

【答案】B

【分析】證明四邊形AWW是矩形，得BP=MN,由勾股定理求出/C=15,當APEL4c時，BP最小,然后由

面積法求出3尸最小值，即可解決問題.

【詳解】解：連接BP,如圖所示：

???/.ABC=90°,PM14B于點M,PN1BC于點、N,

四邊形8MPN是矩形，AC=>JAB2+BC2=V92+122=15,

:.BP=MN,BP與MN互相平分，

,??點。是MN的中點，

BO=-MN,

2

當BPI/C時，BP最小

團S—RC=xBC=|i4CxBP

ccABXBC9X12rr

.?.BP=--------=------=7.2,

AC15

??.MN=7.2,

.?.BO=-MN=3.6,

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查矩形的判定與性質，垂線段最短，勾股定理及面積法等知識，熟練掌握矩形的判定

與性質是解題的關鍵.

二、填空題

16.（2023?寧夏銀川?銀川唐徐回民中學校考一模）如圖，Rt財中,團6=90。,利用尺規在5C,54上分

別截取BE,BD,使BE=BD；分別以A,￡為圓心、以大于打E的長為半徑作弧，兩弧在團CA4內交于點尸;

作射線交NC于點G.若CG=1,尸為48上一動點，則GP的最小值為

【分析】根據尺規作圖可得8G平分由1BC,再利用角平分線的性質定理即可求解.

【詳解】解：如圖，過點G作于〃.

G,

由作圖可知，GB平分EL48C,

EIG/fflRl,GEBC,

^GH=GC=1,

根據垂線段最短可知，GP的最小值為1,

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，垂線段最短，解題的關鍵在于能夠準確判斷出5G是EUBC的角

平分線.

17.（2023下?河北保定?七年級統考期末）直線a、b、c、d的位置如圖所示，如果回1=72。，那么05=—°

（1）若回2=72。，則0與6的關系是

【分析】利用對頂角相等可得結論；

（1）利用同位角相等，兩直線平行可以判定結論;

（2）利用平行線的性質和平角的意義可求結論.

【詳解】解：回如與貼是對頂角，

005=01=72°.

故答案為：72；

（1）001=72°,02=72°,

001=02.

函116（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為：平行；

（2）13ali6,

006=03（兩直線平行，內錯角相等）.

003=68°,

036=68°.

0[?14=1800-06=1120.

故答案為：112.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質，平角的意義，對頂角的性質.正確使用平行線的性質是解

題的關鍵.

18.（2023?上海奉賢?統考二模）如圖，一艘輪船由西向東航行，在/處測得燈塔P在北偏東60。的方向，繼

續向東航行40海里后到2處，測得燈塔P在北偏東30。的方向，此時輪船與燈塔之間的距離是—海里.

【答案】40

【分析】根據已知方向角得出曲=哂3=30。，進而得出對應邊關系即可得出答案.

【詳解】解：如圖所示：由題意可得，07%2=30。，前5尸=30。，

故0P8E=6O。，

則SP=aR48=30°,

可得：48=8尸=40海里.

故答案為：40.

【點睛】此題主要考查了方向角及等腰三角形的判定，正確得出即=加3=30。是解題關鍵.

19.（2023下?云南玉溪,七年級統考期中）如圖，將木條a,6與c釘在一起，01=70°,02=50°,要使木條

。與6平行，木條。旋轉的度數至少是

【答案】20。/20度

【分析】根據同位角相等兩直線平行，求出旋轉后回2的同位角的度數，然后用回1減去即可得到木條a旋轉

的度數.

【詳解】解：EBAOC=[32=50°時，OA0b,

團要使木條a與b平行，木條a旋轉的度數至少是如旬AOC=70。-50。=20。.

故答案是：20。.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行線的判定，根據同位角相等兩直線平行求出旋轉后回2的同位角的度

數是解題的關鍵.

20.（2023?湖南衡陽校考模擬預測）如圖，乙COD=4AOB=90。.假設=40°,那么乙。。8的大小為

【答案】40。/40度

【分析】根據NCOD=AAOB=90?？梢酝评淼贸?04=4BOD,從而得出答案.

【詳解】解：0ZCOD=4AOB=90°,

團乙。。4+Z-AOD=(BOD+Z.AOD,

0ZCO/1=乙BOD=40°.

故答案為：40°.

【點睛】本題主要考查了同角的余角相等，正確推出NC04=乙BOD=40。是解題的關鍵.

21.（2023,廣西賀州?統考一模）比較大?。?0.15°40。15'（用＞、=、＜填空）.

【答案】＜

【分析】把兩個度數統一即可判斷.

【詳解】解：40.15°=40°+0,15°=40°+0.15X60'=40°9',

4009,＜40°15',

故答案為：＜.

【點睛】本題考查了角的度數的表示，正確記憶度、分、秒是60進制是解題關鍵.

22.（2022?江蘇蘇州?蘇州市第十六中學?？家荒＃┤鐖D，直線a||b,41=124。,貝此2的度數為1

【分析】根據鄰補角求得43,根據平行線的性質即可求得42.

【詳解】解：EIZ1=124°,

0Z3=180°-Z1=56°,

a

b

??,a\\b,

z.2=z.3=56°.

故答案為：56.

【點睛】本題考查了平行線的性質，鄰補角，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

23.（2023上?廣東深圳?八年級深圳市沙井中學?？计谥校┤鐖D，皿5。中，SL4C5=90°,4C=4,BC=3,

射線CD與邊交于點。，點￡、尸分別為8。中點，設點￡、廠到射線CD的距離分別為加、〃，則

m+n的最大值為.

【答案】2.5

【分析】連接CE,CF,作EM1CD,FN1CD,分別交CD于點A/和點N,首先根據中線的性質和三角形

面積公式得出S"CE=|SA4BC=3,然后證明出當CD的長度最小時，的值最大，然后根據垂線段最短

和等面積法求出CD的最小值，即可求出m+n的最大值.

【詳解】解：連接CE,CF,作EM1CD.FN1CD,分別交CD于點M和點N,

回點E是/。的中點，點尸是的中點，

EICE是A/lCD中邊上的中線，CF是ABCD中3。邊上的中線，

11

回S44CE=S^DCE=2ACD)^ABCF=S^DCF=3sgCD，

團SAFCE=S^DCE+SADCF=~^^ACD+~^ABCD=JSRABC=2x2xxBC=3,

CD-EM+--CD+FN=3,

22

E|?CO-(EM+FN)=3,即)CD?(m+")=3,

0CZ)?(m+n)=6,

El當CD的長度最小時，加+〃的值最大，

團當C014B時，CO的長度最小，此時心+"的值最大，

EBA8C中，EL4C5=90°,/C=4,BC=3,

^AB=>JAC2+BC2=5,

^xCDxAB=6,解得：CD=y,

國將CD=￡代入CD?O+n）=6得：m+n=2.5.

故答案為：2.5.

【點睛】此題考查了勾股定理，中線的性質，三角形面積的應用，垂線段最短等知識，解題的關鍵是根據

題意作出輔助線，正確分析出當CD14B時機+"的值最大.

24.（2023?廣西防城港?統考三模）如圖，在RL4BC中，N2CB=90。，NA=30。，AB=4A/3,點。是4B的

中點，點。是線段AC上任意一點（不含端點），連接。D,貝I。。的最小值為.

【分析】作CG||AB構造NGC4=乙CAB=30°,再過點。作。F1CG交AC于點、D,DF=^CD,所以。D+

|C￡?=0D+DF=。尸最小，根據含30。直角三角形的性質即可求得OF的長.

【詳解】解I2BN4CB=90°,乙4=30°,AB=4V3

SBC=-BC=2V3,

2

^AC=7AB2-BC2=6.

如圖，過點。作CGIIAB,過點。作。FLCG交/C于點Q,

團乙/。。=Z.CFD=90°,

團CG||AB,L.A=30°,

回匕GCA=2LA=30°

⑦DF—CD,OD=-AD

22f

國根據垂線段最短可知：

OD+：CD的最小值為：OF=OD+DF=^AD+^CD=|XC=3,

故答案為3.

【點睛】本題考查了最短路徑以及含30度角的直角三角形，解決本題的關鍵是構造適當的輔助線.

25.（2012下?江蘇無錫?七年級統考期中）如圖，已知N8I3C。，P為直線N8,CD外一點，8/平分0A8P,

平分回CDP,8尸的反向延長線交?！暧邳c￡,若附ED=a,試用a表示即為.

【答案】即=360°-2a

【分析】根據角平分線的性質得出回1=團2,03=04,平行線的性質得出131=135,06=口尸。。=2回3,進而根

據三角形內角和得出田5、DFED,再得到□尸和a的關系，然后即可用。表示□尸.

【詳解】解：延長N5交即于點G,延長產￡交CO于點，，

站廠平分EL48P,￡>￡平分團CDP,

001=02,03=04,

EL4BECO,

甌1=回5,回6=EPDC=2EI3,

aaP5G=180°-2E1,

0ELP5G=18OO-205,

005=90°--ELP5G,

2

1800-SHED,05=180°-BEHD,^EHD+WED+^3^180°,

0180°-05+180°-ELf'^Z）4-03=180",

00/^0=180°-E5+E3,

0EF￡,D=18OO-（90。-如P8G）+與6=90。+工（E1P8G+EI6）=90。+工（180。-EP）=180°--0P,

22222

^FED=a,

0a=18O°-如P

2

回即=360°-2a.

故答案為：回尸=360°-2a.

【點睛】此題考查了角平分線的性質和平行線的性質及三角形內角和，有一定的綜合性，認真找出角的關

系是關鍵.

三、解答題

26.（2023下?江蘇宿遷?七年級統考期中）如圖，己知：41=63。，Z2=63°,且4。=40.

⑴判斷CE與BD的位置關系，并說明理由；

⑵探索NF與N4的數量關系，并說明理由.

【答案］⑴CE||BD；理由見解析

（2）乙4=4尸；理由見解析

【分析】（1）根據內錯角相等，兩直線平行，即可得出結論;

（2）利用三角形內角和定理，即可得出結論.

【詳解】（1）解：CE||BD-,理由如下：

EIZ1=63°,42=63°,

0Z1=Z2,

0CF||BD（內錯角相等，兩直線平行）.

（2）回44+Z.C+Z1=180°,NF++/2=180°,

0zC=zD,zl=z2,

0Z.X=z.F.

【點睛】本題考查平行線的判定和三角形的內角和定理.熟練掌握內錯角相等，兩直線平行，三角形內角

和是180。，是解題得關鍵.

27.（2023下,湖南懷化?八年級統考期末）如圖，在平行四邊形N8CD,平分EL48C,。下平分0Aoe

（1）求證EUBEEBCDP.

（2）證明四邊形防ED是平行四邊形.

A,--------------------------，D

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）由平行四邊形的性質可得48=CD,乙4=NC,乙4BC=N4OC,再根據已知條件，利用角平

分線的性質可得N4BE=NCDF,根據ASA,即可證明△力BE三△CDF.

（2）由（1）可得BE〃FD,BE=FD,即可直接證明四邊形防FD是平行四邊形.

【詳解】（1）???四邊形4BCD是平行四邊形，

???AB—CD,Z-A—乙C,2ABC—Z.ADC,

???平分班5C,。尸平分蜘DC,

???/.ABE=Z.EBC^-Z.ABC,/.ADF=4CDF=-/.ADC,

22

Z-ABC=Z.ADC,

Z.ABE=Z-CDF,

△ABE=ACDF；

（2）???△ABE=△CDF,

??.BE=DF,

i

???乙CDF=Z.ADF=-Z.ADC,

2

???四邊形Z5co是平行四邊形，

??.40//BC,/.ABC=/.ADC,

??

?/-ADF=A.DFC=2-Z.ADC,

VAEBC=-^ABC,

2

???Z-DFC=Z.EBC,

BE//DF,

.??四邊形EBFD是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊的性質與判定，全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，掌握平行四邊

形的性質與判定是解題的關鍵.

28.(2022?江蘇?統考一模)如圖，已知四邊形4BCD為平行四邊形，點在對角線8。上，且8M=DN.

求證：

三4CDN；

(2)AM\\CN.

【答案】⑴見詳解

(2)見詳解

【分析】(1)根據平行四邊形的性質易得48=CD,4ABM=4CDN,在根據已知條件8M=DN,最后利

用邊角邊即可完成求證.

(2)根據全等三角形的對應角相等，可得乙4MB=NCMD,最后根據內錯角相等，兩直線平行即可完成求

證.

【詳解】(1)證明：回四邊形/BCD是平行四邊形，

^AB//CD,AB=CD,

=(CDN,

又回=DN,

[HAABM=△CDN.

(2)證明：0AABM=^CDNf

團zG4MB=乙CND,

國4MlicN.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質、三角形全等的判定和性質、平行線的判定，關鍵是靈活運用這

些知識.

29.（2023下?重慶?八年級統考期末）如圖，EMBCD中，點E在2D上，4BCE=LDCE.

（1）利用直尺和圓規作出NB4D的平分線，交BC于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）求證：四邊形4FCE是平行四邊形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）①以4為圓心，任意長度為半徑作弧，交43,4。于點M,N；②分別以M,N為圓心，大于為

半徑作弧交4B4D的內部于點P,作射線4P,交于點F；

（2）根據（1）的作圖，利用等量代換求得四邊形2FCE對角相等，再根據平行線的性質與判定求得另一組

對邊也平行，從而得證

【詳解】（1）如圖：①以4為圓心，任意長度為半徑作弧，交48,4。于點M,N

②分別以MN為圓心，大于^MN為半徑作弧交NB4D的內部于點P,作射線4P,交BC于點F；

(2)證明：,??四邊形4BCD是平行四邊形

???乙BAD=乙BCD

，??AF平分NR4Q

1

Z.BAF=Z.FAD=-乙BAD

1

???乙BCE=乙DCE=遼乙BCD

???Z.FCE=Z.FAE

???AD/IBC

.-./.AEC+乙FCE=180°

???^AEC+AFAE=180°

AF//FC

???四邊形4ECF是平行四邊形

【點睛】本題考查了尺規作圖作角平分線，角平分線的定義，平行線的性質與判定，平行四邊形的性質與

判定，熟練作圖及掌握平行四邊形的性質與判定是解題的關鍵.

30.(2023上?貴州遵義?八年級統考期末)己知EL42c中，EL4cB的平分線CD交48于點。，DE//BC.

(1)如圖1,如果點￡是邊NC的中點，AC=8,求DE的長；

(2)如圖2,若?！昶椒值腛C,EL45C=30°,在8c邊上取點尸使8P=。尸，若BC=9,求。尸的長.

【答案】(1)DE=4；(2)DF=3.

【分析】(1)由角平分線的性質得到05co=mCD,再由兩直線平行內錯角相等得到回￡Z)C=MCD,繼而

解得血)C=^CD,再由等角對等邊解得研)=EC,最后根據線段中點性質解題；

(2)由兩直線平行同位角相等結合角平分線性質解得05=050再由等角對等邊解得DB=DC,作DG^BC

于點G,由等腰三角形三線合一性質解得G8=4.5,最后根據含30。角的直角三角形性質解題即可.

【詳解】解：(1)平分勖1C3,

^3\BCD=^ACD,

0DEHBC,

EHEDC=aBCr),

^3\EDC=BACD,

^ED=EC,

回點￡是邊/C的中點，NC=8,

蛇C=〃1C=4,

2

困)E=4；

(2)^DE//BC,

回匿4。￡=團8,回CQE=?BCZ),

亞歷平分的￡>C,

^\ADE=^CDE,

^\B=^BCD,

^DB=DC,

如圖，作DG魴。于點G,

^DB=DC,DG^BC,

ii

HG5=-5C=-X9=4.5,

22

團d4BC=30°,BF=DF,

回勖。/=勖=30°,

mDFG=鼬+血)/=60°,

睡］FDG=30°,

MF=DF=2FG,

團G產=1.5,

^\DF=2FG=3.

【點睛】本題考查角平分線性質、平行線性質、等腰三角形的判定與性質、含30。角的直角三角形性質等知

識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

31.（2023?浙江溫州?統考二模）如圖，AD平分NB4C,AB=AC,且4B〃CD,點E在線段力。上，BE的延長

線交CD于點F,連接CE.

(1)求證：AACE=AABE.

(2)當AC=AE,^CAD=36。時，求ADCE的度數.

【答案】(1)見解析；（2）36。

【分析】(1)根據SAS推出全等;

(2)由(1)中三角形全等以及平行的性質可以求得ADCE度數.

【詳解】(1)證明：EL4D平分NB4C

0ZCXF=/-BAE

朋C=AB,AE=AE

團4/CE皂AABE

(2)^AACE=AABE

^CAE=/-BAE=36°

^AB//CD

團ND=乙BAE=36°

^AC=AE

^ACE=Z.AEC=72°

^DCE=36°

【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質和判定的應用，應熟練掌握并靈活運用.

32.（2022?陜西西安??？既＃┤鐖D，在匹4BCD中，點、E,尸分別在ZB,DC上，且ED1FB1BD.

求證：△AED=△CFB.

【答案】證明見解析

【分析】由題意知，乙EDB=4FBD=90°,則DE||BF,可證四邊形BFDE是平行四邊形，則DF=BE,BF=

DE,CF=AE,進而結論^AEDdCFB(SSS)得證.

【詳解】解：由題意知，AB=CD,AB||CD,AD=BC,乙EDB=AFBD=90°,

SDE||BF,

又MF||BE,

回四邊形BFDE是平行四邊形，

0Z)F=BE,BF=DE,

EICF=AE,

在△25￡＞和4CFB中，

AD=BC

0OF=BF,

AE=CF

0AAEDdCFB(SSS).

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，平行線的判定，全等三角形的判定等知識.解題的關鍵在

于找到證明三角形全等的條件.

33.(2023?湖北武漢?武漢市卓刀泉中學統考模擬預測)如圖，點A,B,C,D在一條直線上，CE與BF交于點G,

乙4=41,CE||DF,

A

⑴求證：NE=NF；

s

(2)若4B:BC:CD=2:2:1,直接寫出出處竺竺的值.

$四邊形4BCE

【答案】(1)見解析

(2尚

【分析】(1)先根據條件證AEIIBF,再結合CEIIDF,由平行線的性質得出與NE,乙F,分別相等的角后即

可證得.

(2)證明△ACE~ABGC,得到絲跡的值，再求證△BGC-△BDF,得到包場的值，由辿絕竺=‘加…即

SABCGS&BCG$四邊形ABGEl^ACE-SABCG

即可解答.

【詳解】(1)乙4=41,

??.AE||BF,

???Z.E=z_2,

又團CE||DF,

???z.2=Z-F,

故"=Z-F.

(2)回/E||BF,

^ACE?ABCG,

膜巫=（笠）2=4,

SxBCG\BCJ

團CE||DF,

ISABGC—△BFD,

3=閨=2,

S&BCGYBCJ4

設S"CG=4%,則S-CE=16%,SABDF=9x

S四邊形GCDF_S^BDF—ShBCG_5

S四邊形ABGES&ACE-S&BCG12

【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，相似三角形的判定及性質，關鍵是掌握相似三角形的面積比等

于相似比的平方.

34.（2023下?浙江?七年級統考階段練習）如圖所示，射線CF、4E被直線GH所截，交點分別是。、B,連接

AD,CB,若乙1+Z2=180°,NA=zf,DA平分NBDF.

(1)證明4EIIFC.

(2)BC平分乙DBE嗎?為什么？

【答案】([)見解析；(2)平分，理由見解析

【分析】(1)證明團1WCDB,利用同位角相等，兩直線平行即可證得；

(2)先證明ADEIBC,再證EIFDA=EIA=[3CBE,0ADB=0CBD,即可得結論.

【詳解】(1)證明：

001+02=180°,02+0CDB=18O°,

ffll=0CDB,

EIAEHFC

(2)平分.理由如下：

HAE0CF,

H3C=I3CBE(兩直線平行，內錯角相等)，

又甌A=I3C,

EBA=EICBE,

0AD0BC

ODA平分回BDF,

0OFDA=0ADB,

0AE0FC,AD0BC,

fflFDA=0A=0CBE,EADB=ECBD,

00EBC=ECBD,

I3BC平分EIDBE.

【點睛】本題主要考查平行線的判定及性質、角平分線得到性質，熟練掌握判定定理是關鍵.

【能力提升】

35.(2023上,江蘇南通?七年級校聯考階段練習)定義：如圖1,射線。C在N40B的內部，圖中共有3個角:

乙4。夙乙40c和ABOC,若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線。C是乙40B的"妙分線".

⑴如圖1,若/力。8=90。，且射線0C是/40B的“妙分線"，求NZOC的度數.

(2)如圖2,若NMPN=60。，射線PQ繞點尸從PN位置開始，以每秒4。的速度順時針旋轉，同時，射線PM繞

點P以每秒3。的速度順時針旋轉，當PQ與PN成180。時，射線PQ,射線PM同時停止旋轉，設旋轉的時間為t

秒，求t為何值時，射線PQ是NMPN的"妙分線".

【答案】⑴60。或30?；?5。；

(2)當t為g或12或20時，射線PQ是NMPN的"妙分線"

【分析】本題考查了本題考查了角度的計算，一元一次方程的應用，妙分線定義；

(1)根據妙分線定義即可求解；

(2)分3種情況：當NMPQ=2NNPQ時，^i^MPN=2^NPQSi,當2/MPQ=NNPQ時，根據妙分線定義

即可求解.

【詳解】(1)解：回乙4。8=90。，且射線OC在乙1。8的“妙分線"，

0Z4OC=2乙BOC或乙BOC=或N4。B=2^AOC=24BOC,

0ZXOC=60°或30°或45°；

(2)解：根據題意得：

當NMPQ=24NPQ時，

1

4t=j(3t+60),

解得”―

當乙MPN=2ZJVPQ時，

4t=j(3t+60),

解得t=12；

當24MPQ=NNPQ時,

7

4t=|（3t+60）,

解得t=20.

故當，為g或12或20時，射線PQ是NMPN的"妙分線".

36.（2023上?河北保定?七年級統考期末）【特例感知】如圖1,已知線段MN=40cm,AB=2cm，點C和點

D分別是AM,BN的中點.若AM=16cm,貝！ICD=cm；

MCABDN

圖1

【知識遷移】我們發現角的很多規律和線段一樣，如圖2,已知乙4OB在NMON內部轉動，射線。C和射線。。

分別平分乙4OM和NBON；

①若乙MON=150°,4A0B=30°,求NCOD的度數；

②請你猜想乙4。8,NC。。和NMON三個角有怎樣的數量關系？請說明理由.

【類比探究】如圖3,N40B在4MON內部轉動，若乙MON=150°,AAOB=30°,4MOC=k^AOC,乙NOD=

此BOD,求NC。。的度數.（直接寫出結果，用含有k的式子表示）.

C

【答案】【特例感知】21；【知識遷移】①4C。。=90。；②4COD=34MON+34AOB,理由見解析；【類

比探究】等+30。

【分析】本題主要考查線段中點以及角平分線的定義和角的和差;

【特例感知】欲求CD,需求4C+4B+BD.則需求4C+BD.根據點C和點。分別是AM,BN的中點，得

AC.BD,進而解決此題.

【知識遷移】①欲求NCOD,需求N40C+NA0B+NB0D.已知N40B,需求N40C+NB0D.由射線0C和

射線。。分別平分N40M和NBON,可求出NAOC/BOD,進而解決此題.②與①同理可證.

【類比探究】由NM0C=kN40C,乙NOD=k^BOD可得,AAOM=(1+k)Z.AOC,ABON=(1+k^BOD,

從而得到乙40C+乙BOD="OM+LBON=工f,再根據/。。。=AAOC+AAOB+/.BOD,即可求解.

k+1k+1

【特例感知】團MN=40cm,AB=2cm,AM=16cm,

國BN=MN-AB-AM=40-2-16=22cm,

回點C和點O分別是AM,BN的中點，

ii

團AC=-AM=8cm,BD=-BN=11cm,

22

團4c+BD=19cm.

團CD=AC+AB+BD=2+19=21cm.

故答案為：21.

［知識遷移］①回射線。C和射線。。分別平分NAOM和NBON,

11

團4AOC=-^AOM,/-BOD=~BON.

22

回41OC+乙BOD=-AAOM+-乙BON=-(乙4OM+乙BON).

又回4MON=150°,AAOB=30°,

團4AoM+乙BON=乙MON-乙AOB=150°-30°=120°.

回4AOC+乙BOD=60°,

???乙COD=乙4OC+^AOB+乙BOD=60°+30°=90°；

②乙COD=：4MON+34AOB.理由如下：

團射線OC和射線。。分另|J平分乙4OM和4BON,

回匕AOC=-AAOM,乙BOD=-乙BON.

22

111

團N/OC+乙BOD=-AAOM4--(BON=-^AOM+乙BON),

222'7

??.Z.COD=Z.AOC+乙AOB+乙BOD

1

=-(乙4OM+乙BON)+AAOB

1

=-(乙MON一乙4。8)+乙4。8

11

=-^MON+-^AOB；

22

【類比探究】團NMON=150°,/,AOB=30°,

???^AOM+乙BON=120°

團NMOC=k^AOC,Z.NOD=k乙BOD,

團440M=L.MOC+Z-AOC=(1+k)乙AOC,乙BON=(NOD+乙BOD=(1+k)乙BOD,

Z.AOM+Z.BON120。

乙4。。+乙BOD

k+1k+1

120°

JC。。="OC+"OB+NB。。=k+3。。.

37.（2024上?湖南衡陽?七年級統考期末）如圖1,直線48與直線0、％分別交于C、。兩點，點M在直線辦上,

射線DE平分乙4DM交直線。于點Q,ZXCQ=2乙CDQ.

證明：川七；

（2）如圖2,點P是CD上一點，射線QP交直線%于點F，UCQ=70°.

①若“FD=20。，則直接寫出4FQD的度數是.

②點N在射線OE上，滿足“CN=乙QFD,連接CN,如圖3所示情況，探究NCND與NFQD滿足的等量關系,

并加以證明.

【答案】⑴見解析

⑵①15。；②乙CND=4FQD,證明見解析

【分析】本題考查角平分線的定義，三角形外角的性質，平行線的性質與判斷，掌握平行線的性質和判斷

方法是解決問題的關鍵.

（1）根據角平分線的定義、三角形內角和定理以及平行線的判定進行解答即可；

（2）①根據平行線的性質，角平分線的定義以及三角形的外角性質進行計算即可；

②證明NTIIFQ,即可得出結論.

【詳解】（1）證明：,??￡）￡平分乙4DM,

/.ADE=乙EDM=-Z.ADM,

2

又「乙4CQ=/.ADE+Z.CQD,Z-ACQ=2Z.CDQ.

???Z.EDM=Z-CQD,

???Zill/2；

(2)解：①???川跖

AAADM=AACQ=70°,

vDE平分"DM,

.-./.ADE=4EDM=-/.ADM=35°,

2

又???Z.EDM=乙QFD+(FQD,

??.AFQD=35°-20°=15°；

②乙CND=乙FQD或乙CND-乙FQD=35°,

證明：???/加2,

???乙NCQ=乙CTD,

又???(QCN=(QFD,

???Z.CTD=Z-QFD,

???NTWFQ,

??.Z,CND=(FQD.

38.(2024上?陜西漢中?七年級統考期末)【問題情境】已知，41=42,EG平分NAEC交8。于點G.

【問題探究】（1）如圖1,^MAE=45°,MEG=15°,乙NCE=75。.試判斷EF與CD的位置關系，并說明

理由；

【問題解決】（2）如圖2,^MAE=140°,/.FEG=30°,當A8||CD時，求NNCE的度數；

【問題拓展】（3）如圖2,若4BIICD,試說明NNCE=NM4E-2NFEG.

【答案】（1）