專題28二次函數圖象中由動點引起的分類討論問題

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，二次函數y=—f—2x的圖象與x軸交于點4。，點尸是拋物線上的一個動點,

且滿足＜AOP=3,則點尸的坐標是（）

A.（-3,-3）B.（1,-3）C.（-3,-3）或（1,一3）D.（T-3）或（-3,1）

2.如圖，在AABC中，NC=90。，AC=5,8C=10,動點〃、N分別從A、C兩點同時出

發，點/從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長的速度移動，點N從點C開始沿CB

向點B以每秒2個單位長的速度移動.設運動的時間為二,點M、C之間的距離為y,AMCN

的面積為S,則y與t,S與f滿足的函數關系分別是（）

A

B/N/IC

A.正比例函數關系，一次函數關系B.正比例函數關系，二次函數關系

C.一次函數關系，正比例函數關系D.一次函數關系，二次函數關系

3.如圖，二次函數y=-/+2x+〃z+l的圖象交x軸于點A（a,0）和8（6,0）,交y軸于

點C,圖象的頂點為Z）.下列四個命題：

①當尤＞0時，y＞0；

②若a=-1,則b=4-,

③點C關于圖象對稱軸的對稱點為E,點M為x軸上的一個動點，當相=2時，AMCE周

長的最小值為2，市；

④圖象上有兩點尸（尤/,力）和。（尤2，丫2），若尤7＜1＜X2，且幻+必＞2,則”＞以，

其中真命題的個數有（）

4.已知點(/，%)是二次函數y=?2+bx+c(〃邦)的圖象上一個定點，而(m,〃)是二次

函數圖象上動點，若對任意的實數相，都有。(%-〃)＜0,則()

A.a%-2b=0B.6zxo+2b=0C.2axQ-b=0D.2ax0+b=0

5.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數＞=-/+法+3的圖像與x軸交于A、C兩點，與

x軸交于點C(3,0),若P是x軸上一動點，點。的坐標為(0,-1),連接PD,則0PD+PC的

A.4B.2+2A/2C.2^2D.—+-JA/2

6.如圖，已知二次函數＞=方2+區的圖象與一次函數丁=履的圖象交于點A,O,過線段

AO上一動點E作直線EFL無軸交拋物線于點F,則線段EF的最大值為()

7.在平面直角坐標系中，二次函數y=a/+6x+2的圖象與x軸交于A(-3,0),B(1,0)

兩點，與y軸交于點C.點尸是直線AC上方的拋物線上一動點，若點尸使△4CP的面積最大，

則點P的坐標為()

8.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=N-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y

軸交于點2(0,-3),若P是x軸上一動點，點。(0,1)在y軸上，連接尸。，則&PD

A.4B.2+2應C.2應D.-+-^

9.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=V+3尤-4的圖象與x軸交于A、C兩點，與y

軸交于點8,若P是x軸上一動點，點。(0,2)在y軸上，連接尸。，則尸。+［尸。的最

C.2+35/2D.3亞

10.已知二次函數y=-2Y+3x+2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C.下列說法正確

的是()

①線段AC的長度為姮；②拋物線的對稱軸為直線龍=：；③尸是此拋物線的對稱軸上的

一個動點，當P點坐標為時，-的值最大；④若M是x軸上的一個動點，N

是此拋物線上的一個動點，如果以A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，滿足條件

的M點有4個.

二、填空題

n.一動點尸在二次函數＞=-的圖像上自由滑動,若以點「為圓心，1為半徑的

12.“一切為了[T是常山在趕考共同富裕道路上，最新確定的城市品牌.已知線段A2,對

于坐標平面內的一個動點P,如果滿足NAP3=30。，則稱點尸為線段AB的“U點”，如圖，

二次函數y=+；與無軸交于點A和點艮(1)線段A3的長度為；(2)

若線段A3的“fT點落在y軸的正半軸上，則該“。點”的坐標為.

y

13.如圖，二次函數y=f-4與x軸交于AB兩點（點A在點8左邊），與y軸交于C點，

若點。坐標為（0,2）,以。點為圓心，R為半徑作圓，尸為。。上一動點，當AAPC面積

14.如圖，設定點A（1,-君），點P是二次函數y=：（x+5）2+石圖象上的動點，將點

P繞著點A順時針旋轉60。，得到一個新的點P.已知點8（2,0）、C（3,0）.

（1）若點尸為（-5,C求旋轉后得到的點P的坐標為

（2）求48cp的面積最小值為.

三、解答題

15.在平面直角坐標系中，二次函數＞=。（尤-1）2與直線y=-x-l交于A、B兩點，其

中點8的坐標為（0,-D,拋物線的頂點C在x軸上.

⑴求二次函數的表達式；

⑵點尸為線段A3上的一個動點(點P不與A、8兩點重合)，過點

P作軸交拋物線于點E,設線段PE的長為〃，點P的橫坐標為『，當，取何

值時，h有最大值？最大值是多少？

⑶點。為直線A3與對稱軸x=l的交點，在線段上是否存在一點尸，使得四邊形

DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

16.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數>=-/+64+<?的圖像與坐標軸相交于A、B、C

三點，其中A點坐標為(4,0),8點坐標為(-1,0),連接AC、BC.動點尸從點A出發，在

線段AC上以每秒應個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點。從點B出發，在線段創

上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，

連接尸2,設運動時間為f秒.

(1)求二次函數的解析式.

(2)在P、。運動的過程中，當f為何值時，四邊形8CPQ的面積最小，最小值為多少？

(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點使△加尸。是以點尸為直角頂點的等腰直角三

角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

17.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=gx-2與x軸交于點3,與y軸交于點C,二次

函數y=尤+c的圖象經過B,C兩點，且與x軸的負半軸交于點A,動點。在直線BC

下方的二次函數圖象上.

(2)連接。C,DB,設△BCD的面積為S,求S的最大值.

18.二次函數y=o?+6x+3的圖象與無軸交于A(2,0),3(6,0)兩點，與，軸交于點C,頂

點為E.

⑴求這個二次函數的表達式：

⑵如圖①，。是該二次函數圖象的對稱軸上一個動點，當8。的垂直平分線恰好經過點C時,

求點。的坐標；

(3)如圖②，P是該二次函數圖象上的一個動點，連接。尸，取。尸中點。，連接QC,QE,

CE,當VCEQ的面積為12時，求點P的坐標.

19.二次函數、=加+法+3的圖象與x軸交于4(2,0),3(6,0)兩點，與，軸交于點C,頂

點為E.

E

(1)求這個二次函數的表達式，并寫出點E的坐標；

(2)如圖，點P是圖象對稱軸右側拋物線上的一個動點，連接。P,取0P中點Q,連接

QC,QE,CE,當S“CE2=12時，求點P的坐標.

20.如圖，己知二次函數y=af+/+3的圖象與無軸交于點A(1,0)、B(-3,0),與y

軸的正半軸交于點C.

⑵點D是線段OB上一動點，過點。作y軸的平行線，與8C交于點E,與拋物線交于點F,

連接CR探究是否存在點。使得△CE尸為直角三角形？若存在，求點D的坐標;若不存在,

說明理由;

⑶若點尸在二次函數圖象上，是否存在以P為圓心，0為半徑的圓與直線8c相切，若存

在，求點尸的坐標；若不存在，說明理由.

21.如圖，二次函數丫=./+匕龍+c(存0)的圖象交x軸于A、8兩點，交y軸于點。，點8

的坐標為(3,0),頂點C的坐標為(1,4).

（2）點P是直線8D上的一個動點，過點尸作x軸的垂線，交拋物線于點當點尸在第一

象限時，求線段PM長度的最大值；

（3）在拋物線上是否存在點Q,且點。在第一象限，使△8。。中8。邊上的高為夜?若存在，

直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

22.如圖1,已知二次函數>=底+法+c的圖象的頂點為。（0,1）,且經過點4（2,2）.

圖1圖2

⑴求二次函數的解析式；

（2）過點A的直線與二次函數圖象的另一交點為3,與y軸交于點C,若ABDC的面積是△ADC

的兩倍，求直線AB的解析式；

（3）如圖2,已知E（m,0）,是無軸上一動點（E,。不重合），過E的兩條直線乙，&與二次函

數均只有一個交點，且直線4,4與>軸分別交于點〃、N.對于任意的點E,在y軸上（點

M、N上方）是否存在一點尸（0J）,使恒成立.若存在，求出f的值；若不

存在，請說明理由.

23.如圖，拋物線y=-/+bx+c與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,且點2與

點C的坐標分別為3（3,。），Q0.3）,點M是拋物線的頂點.

(1)求二次函數的關系式；

⑵點P為線段MB上一個動點，過點P作陽，x軸于點。.若8=m,APCD的面積為S,

試判斷S有最大值或最小值？并說明理由；

(3)在MB上是否存在點P,使△尸CD為直角三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；

如果不存在，請說明理由.

24.如圖，若二次函數y=a/+bx+4的圖象與無軸交于點A(T,O)、3(4,0),與V軸交于

(1)求該二次函數的解析式;

⑵若點Q是拋物線上一動點，在平面內是否存在點K,使以點2、C、。、K為頂點，BC為

邊的四邊形是矩形？若存在請求出點K的坐標；若不存在，請說明理由.

25.如圖，已知拋物線經過點A(-LO),*3,0),C(0,3)三點，點。是直線3c繞點B逆時

針旋轉90。后與y軸的交點，點〃是線段A3上的一個動點，設點M的坐標為(〃2,0),過點〃

作X軸的垂線交拋物線于點E,交直線3D于點尸.

(1)求該拋物線所表示的二次函數的解析式；

⑵在點以運動過程中，若存在以所為直徑的圓恰好與y軸相切，求小的值；

(3)連接AC,將A40c繞平面內某點G旋轉180。后，得到入4,。6，點A、0、C的對應點

分別是點4、。1、G，是否存在點G使得AAOC旋轉后得到的AAQG的兩個頂點恰好落在

拋物線上，若存在，求出G點的坐標；若不存在，請說明理由.

26.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=-x?+bx+c的圖象與X軸交于A、8兩點，

與y軸交于c(o,3),A點在原點的左側，8點的坐標為(3,0).點p是拋物線上一個動點，

且在直線的上方.

⑴求這個二次函數及直線BC的表達式.

⑵過點尸做尸。〃y軸交直線8C于點。，求尸。的最大值.

(3)點M為拋物線對稱軸上的點，問在拋物線上是否存在點N,使AMNO為等腰直角三角形,

且為直角，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

27.次函數1=依、為：+2的圖象交x軸于點A(―1,0),B(4,0),兩點，交y軸于點C,

動點〃從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，過點M作MNLx軸交直

線于點N,交拋物線于點連接AC,設運動的時間為/秒.

(1)求二次函數丫=加+云+2的表達式；

3

(2)連接2。，當f=］時，求AOVB的面積；

(3)在直線MN上存在一點P,當APBC是以/BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點P

的坐標.

28.如圖，已知拋物線經過點A(-l,