熱點2-3指數函數、對數函數與幕函數

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

近三年的高考中，指數函數、對數函數與幕函數以選預計2025年會重點考查指數函數的性質應用、對

擇題和填空題為主，偶爾也會在解答題中滲透考數函數的運算與圖象應用，以及幕函數的圖象和性

查，每題分值一般為5分左右.重點考查三種函數質，題型主要是選擇題或填空題，難度多為中檔，

的圖象與性質、指數與對數互化、指對幕函數值的且可能與新定義、初等數論等知識結合考查.

比較大小等問題，難度中等.

熱點題型解讀

題型1指數與對數的化簡求值題型6對數型復合函數的性質

題型2指數函數的圖象與性質題型7指對幕函數值比較大小

指數函數、對數函數

題型3對數函數的圖象與性質題型8指數與對數不等式問題

與幕函數

題型4幕函數的圖象與性質題型9指對函數與實際應用

題型5指數型復崩數的傾題型10反函數及其應用

題型1指數與對數的化簡求值

1、指數塞運算的一般原則

(1)指數幕的運算首先將根式統一為分數指數幕，以便利用法則計算；

(2)先乘除后加減，負指數幕化成正指數幕的倒數；

(3)底數為負數，先確定符號；底數為小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數;

(4)運算結果不能同時包含根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.

.2、對數混合運算的一般原則

（l）將真數和底數化成指數幕形式，使真數和底數最簡，用公式log”,AT=2vilog。沙化簡合并;

（2）利用換底公式將不同底的對數式轉化為同底的對數式；

（3）將同底對數的和、差、倍運算轉化為同底對數真數的積、商、塞；

（4）如果對數的真數可以寫成幾個因數或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數相加減的形式，然；

后進行化簡合并；

（5）對數真數中的小數一般要化成分數，分數一般寫成對數相減的形式.

（24-25高三上?四川綿陽?月考）計算：（k>g45+log85）xlog52-2"叼+16

81

（24-25高三上?廣東?月考）J（乃一8『一4幅3+iog37」og79—log]55—log]53的值為—.

（23-24高三上?陜西咸陽?開學考試）計算:

2749,2

+0.0083x—;

25

(2)(log43+log83)(log32+log92)+log3手+7哨？.

4.（24-25高三上?河南周口?期中）計算:

Ig8+lgl25-Ig2-lg5

Ig^lgO.l

(2)若*=2(。＞0),求

優+「

題型2指數函數的圖象與性質

00

指數函數的圖象需要注意以下幾個特征:

j（1）指數函數的圖象所過的關鍵點為（1,a）,（0,1）,（-11）；

a

（2）函數圖象與坐標軸的交點位置；

（3）函數的定義域、值域、奇偶性、單調性.

1.（24-25高三上?四川宜賓?模擬預測）下列函數中，既是奇函數，又（0,+8）在是增函數的是（）

A./(^)=ex+e-xB.f(x)=ex-exC.f(x)=x-3D./(x)=xln|x|

exex-e~x\

2.（23-24高三下.江西新余月考）函數〃為偶函數，則。的值為：（）

A.-1B.1C.0D.2

3.（24-25高三上?內蒙古?月考）函數丫=優-/（4>0,且awl）的圖象可能是（）

4.（24-25高三上?福建寧德?月考）函數/（x）=a*3+2尤（a>0且"1）的圖象恒過的定點為.

題型3對數函數的圖象與性質

對數函數圖象的識別及應用方法

II

（1）在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點（與坐標軸的交點、最高點、：

:最低點等）排除不符合要求的選項.

ii

（2）一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.

1.（24-25高三上?廣東惠州?月考）已知函數y=log.（x-l）+2夜（。>0且awl）的圖象恒過定點P,點P在

幕函數y=的圖象上，則/（4）=.

2.（24-25高三上?安徽?期中）若〃x）=log4——。是奇函數，則/=（）

A.；B.立C.亞D.2

22

3.（24-25高三上?重慶?月考）3知函數7（%）=log3lG；TI（awO）的圖象關于直線%=2對稱,則。=（）

A.2B.1C.-D.；

32

4.（24-25高三上?山東德州?期末）函數〃尤）=xlog2|x|的圖象大致為（）

題型4幕函數的圖象與性質

0O后雄

對于募函數圖象的掌握只要抓住在第一象限內三條線分第一象限為六個區域，即x=l,y=l,尸x所分區域.：

根據。<0,0<a<l,a=l,的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

2

1.（24-25高三上?山東濟南?月考）幕函數〃同=聲的圖象大致為（）

2.（24-25高三上?湖南邵陽?月考）在同一坐標系內，函數丁=/（。片0）和〉="-’的圖象可能是（）

3.（24-25高三上糊北?月考）已知幕函數g（元）=（產-書-勺/-分包在9+8）上單調遞減，則/的值為

4.（24-25高三上?重慶?月考）已知累函數”刈=--2?3（〃第2）為奇函數，且在區間（0,+功上是嚴格減函

數.

⑴求函數y=〃x）的表達式；

⑵對任意實數xe）』，不等式/（x）W/+4,恒成立，求實數，的取值范圍.

題型5指數型復合函數的性質

指數型復合函數的值域求法

（1）形如y=/（優）（。>0,且awl）的函數求值域用換元法：令a*=t,將求原函數的值域轉化為

i

求/⑺的值域，但要注意“新元尸的范圍.

（2）形如y=（a>0,且awl）的函數求值域用換元法：令〃=/（%）,先求出〃=/（%）的值域,

i

再利用y=。"的單調性求出y=/⑴的值域.

/[、x(a-x)

1.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中)已知函數/(無)=：在區間上單調遞增，則。的取值范圍

是()

A.[0,+oo)B.[-2,+oo)C.(-oo,0]D.(-00,-2]

一9*+〃

2.(24-25高三上?福建龍巖?月考)已知函數/(%)=-^―(aeR)為偶函數.g(x)=〃礦(2x)+2f(x)+m(meR).

⑴求。的值及函數的值域.

(2)若命題“*eR,g(x)上0”為假命題，求實數小的取值范圍.

〃

3.(24-25高三上?云南麗江?月考)設aeR,已知函數了"卜2*!+^為奇函數.

⑴求實數。的值；

(2)若。＜0,判斷并證明函數/■(%)的單調性；

⑶在(2)的條件下，函數〃尤)在區間[加河(加＜〃)上的值域是[h2TH21(AeR),求上的取值范圍.

4.(23-24高三上?甘肅蘭州?月考)已知函數〃無)=〃*+a⑶+m^ax-a~x^(a>0且aw1)

⑴若相=2,求函數〃尤)的最小值；

⑵若/(力2-1恒成立，求實數機的取值范圍.

題型6對數型復合函數的性質

1、解決對數型復合函數單調性問題的思路

(1)y=log°/(x)型：函數y=log。/(x)的單調性與函數月=/(x)(/(x)>0)的單調性在a>1時相同，

I

!在0<。<1時相反；

(2)y=/(logaX)型：一般用換元法，即令"log。》,則只需要研究f=log°x及y=/?)的單調性

i

即可.

2、對數型復合函數的值域求法

(1)形如y=/(log”x)(a>0,且awl)的函數求值域用換元法：令log“x=/,先求出log〃x=/的

i

i

：值域，再利用y=f(t)的單調性，再求出y=f{t］的值域.

i

(2)形如y=log“/(x)(a>0,且awl)的函數的值域用換元法：令//=/(%),先求出〃=/(%)的

i

［值域，再利用y=log?〃的單調性，求出y=logaf(x)的值域.

1.(24-25高三上?甘肅慶陽?模擬預測)函數〃到=3a0-2尤2的值域為()

A.(—oo,l]B.(0,1]C.fo,—D.f-?3,—

2.(24-25高三上?山東德州?期末)已知函數外力=1幅(--辦+4).

(1)當4=5時，求/'(X)的定義域及單調遞增區間；

⑵若關于X的方程;=。在(0,2)上有解，求。的最小值.

3.(24-25高三上.四川德陽?月考)已知函數/(尤)=1嗎(-必+2疝+1)的定義域為。，g(x\=^f±

4X+1

3

⑴若力="求函數〃%)的值域；

⑵若￡>=(加,幾)，且［g(m)-g⑺了<io,求實數丸的取值范圍.

4.(24-25高三上?廣東深圳?月考)函數/(MnOogzX-zXlog'X-g

(1)當xe[l，4]時，求該函數的值域；

⑵若"X)>/?log4x對于xe[4,均恒成立，求機的取值范圍.

題型7指對幕函數值比較大小

1、單調性法：當兩個數都是指數塞或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或幕函數的函數值，

然后利用該函數的單調性比較.

2、作差法、作商法：

i

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數不一樣的對數比大小；

(2)作差或作商的難點在于后續變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

3、中間值法或1/0比較法：比較多個數的大小時，先利用作為分界點，然后再各部分內再利用函數:

的性質比較大小.

4、估值法：(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區間；

(2)可以對區間使用二分法(或利用指對轉化)尋找合適的中間值.

5、構造函數，運用函數的單調性比較：

構造函數，觀察總結“同構”規律，很多時候三個數比較大小，可能某一個數會被可以的隱藏了“同構”規律，

所以可能優先從結構最接近的的兩個數規律

I

(1)對于抽象函數，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質來“去除f()外衣”比較大小；

(2)有解析式函數，可以通過函數性質或者求導等，尋找函數的單調性、對稱性，比較大小.

6、放縮法：

(1)對數，利用單調性，放縮底數，或者放縮真數；

(2)指數和幕函數結合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮；

(4)“數值逼近”是指一些無從下手的數據，如果分析會發現非常接近某些整數(主要是整數多一些)，那!

么可以用該“整數”為變量，構造四舍五入函數關系.

1.(24-25高三上?河北邯鄲?月考)已知。=3%6=1叫15,c=log9207,則()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

2.（24-25高三上?貴州六盤水?月考）若a=log3i6=（￡|工=1|），則°，氏0的大小關系為（

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

3.（24-25高三上?山東泰安?月考）已知。=log53,b=log43,c=0.4",則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

4.（24-25高三上?江西?月考）已知"logs7,b=\og6S,c=log810,則b,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.ob>a

題型8指數與對數不等式問題

1、解指數不等式：

（1）形如，㈤>ag{x）的不等式，可借助y=優的單調性求解；

（2）形如。"耳>6的不等式，可將人化為。為底數的指數累的形式，再借助>=優的單調性求解；

（3）形如優〉"的不等式，可借助兩函數y=優，>="的圖象求解.

（4）形如+c>0（或<0）,通過換元令/=優（注意確定/的范圍），轉化為

產+4+c>0的形式進行求解.

2、解對數不等式

（1）形如log“x>log°b的不等式：借助y=log“x的單調性求解，如果a的取值不確定，需分。>1或

0<?<1兩種情況討論；

（2）形如log,x〉6的不等式：應將6化為以。為底的對數式的形式，再借助y=log。x的單調性求解；

（3）形如log.x>log8x的不等式：可利用圖象求解.

1.（24-25高三上?重慶?月考）已知/（x）=e,-eT,若/（爐一？》）〉“6-尤），則實數x的取值范圍為.

,、\—x-1,尤<0

2.（24-25高三上?浙江?期中）已知函數〃力=一、n，則關于了的不等式了（力W1的解集為（）

inIx十1j,l>u

A.（^o,-2]U[e,-hx））B.[-2,e]

C.2][e—l,+oo）D.[—2,e—1]

3.（24-25高三上?湖南?月考）已知log2a（4/+l）＜log2a4a＜0,則（）

11

A.0<a<-B.—<a<C.—<a<—D，

42242

4.（24-25高三上?貴州?月考）已知函數外元）=log2（4，+l）-x+GI,則關于了的不等式〃x+2）＞〃2x）

解集為（）

A.IMB.[-卜口.&

c

-。?虹Bl,？

題型9對數函數與實際應用

指數函數與對數函數實際應用問題的解題思路

（1）理解題意：讀懂題目，明確題目要求解決的問題，通常涉及增長率、衰減率等實際問題.

（2）建立模型：根據題目描述，建立適當的數學模型.

（2）運用性質：在建立模型后，運用指數函數和對數函數的性質來簡化問題.

（3）求解方程：在模型中，通常需要解指數方程或對數方程。這時，要注意方程的解法，尤其是涉及!

到方程的變換和化簡.

ii

；（4）檢驗結果：需要檢驗求得的解是否符合題目的實際情況.

1.（24-25高三上?河南許昌?期中）放射性物質的衰變規律為：M=Mox\^J，其中指初始質量，，為衰

變時間，T為半衰期，M為衰變后剩余的質量.已知甲、乙兩種放射性物質的半衰期分別為工，T2（單位:

11

天），若兩種物質的初始質量相同，1024天后發現甲的質量是乙的質量的8倍，則〒-王=（）

A-B.-LC.'D」

10245121024512

2.（24-25高三上?北京?月考）德國科學家WilhelmPeukert于19世紀末提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,

放電時間f（單位：h）與放電電流/（單位：A）之間關系的經驗公式：C^T-t,其中。為Peukert常數，

不同材料的Peukert常數不一樣.有兩塊不同材料的蓄電池，第一塊蓄電池的容量為C1，Peukert常數為四；

第二塊蓄電池的容量為Cz，Peukert常數為必.第一塊電池測試：當放電電流/=20A時，放電時間r=20h,

當放電電流/=30A時，放電時間f=10h；第二塊電池測試：當放電電流/=20A時，放電時間t=20h,當

20

放電電流/=30A時，放電時間才=511,則()

A.Pi>P2,a>GB.41<P2,G>G

c.Pi>p?，G<GD.Pi<P2,G<G

3.(24-25高三上?江蘇泰州?期中)盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有

所了解，例如，地震時釋放出來的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關系為母石=4.8+1.5V.黃

海是我國東部中強地震多發區之一，2013年4月21日，黃海海域發生里氏5.0級地震，2015年8月6日黃

海海域發生里氏4.0級地震，前一次地震所釋放出來的能量約是后一次的()倍.(精確到1)

(參考數據：lg29.5?1.470,lg30.5?1.484,lg31.5?1.498,lg32.5?1.512)

A.29B.30C.31D.32

4.(24-25高三上?山東德州?月考)中國5G技術領先世界，其數學原理之一便是香農公式：C=Wlog?11+引，

它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內信號的平均功率S、信

道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫信噪比.按照香農公式，若不改變帶寬W,將信噪比三從2000

NN

提升至10000,則C大約增加了(1g2。0.3010)()

A.18%B.21%C.23%D.25%

題型10反函數及其應用

反函數的常用性質

(1)互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱；

(2)若函數y=/(x)的圖象上有一點(a,6),則點(6,a)必在其反函數的圖象上，反之也成立;

(3)互為反函數的兩個函數的單調性相同；

(4)反函數的定義域是原函數的值域，反函數的值域是原函數的定義域；

(5)單調函數必有反函數.

1.(24-25高三上?廣東?月考)函數y=/(尤)的圖象與丁=2工的圖象關于直線y=x對稱，則函數y=〃sinx)

的遞減區間是.

2.（24-25高三上?廣東梅州?開學考試）已知函數y=的圖象與函數y=的圖象關于直線V=%對稱，

則〃2e）=（）

A.2e2B.2eC.l+ln2D.lg（2e）

3.（24-25高三上?安徽六安?月考）（多選）已知函數＞=。'和y=lnx的圖象與直線y=2-x交點的橫坐標分

別為。），貝！I（）

A.a＜bB.a+b=2C.ab＞lD.a2-^-b2＞2

4.（23-24高三下?江蘇揚州?模擬預測）設方程2、+x+3=0和方程log2%+x+3=0的根分別為P，/設函數

f（x）=（x+p\x+q）,則（）

A./（2）=f（0）＜/（3）B./（0）=f（3）＞/（2）

C.f（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜f（3）＜/（2）

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（24-25高三上?貴州貴陽?月考）下列函數中，在區間（0,+e）上單調遞增的是（）

A.，（無）=-lnxB./（x）=-C./（x）-D."刈=用

2.（24-25高三上?湖南岳陽?期中）已知〃力=詈署是偶函數，貝匹=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（24-25高三上?山東棗莊?月考）已知函數y=log.（x-D+1（。＞0,且awl）的圖象恒過定點A,若點A

在直線加X+盯T=o（根＞0,〃＞0）上，則3+」的最小值為（）

mn

A.13B.8&C.9+40D.8

x2—2ax+a,x＜0

4.（24-25高三上?廣東梅州?中）已知函數”x）=1在R上單調遞減，則。的取值范圍是（）

----ln（.x+l）,x＞0

?

A.（一8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.口,+8）

5.（24-25高三上?重慶渝中?月考）19世紀美國天文學家西蒙?紐康和物理學家本?福特從實際生活得出的大量

數據中發現了個現象，以1開頭的數出現的頻數約為總數的三成，并提出本?福特定律，即在大量1。進制隨

〃~I-1

機數據中，以“5eN+）開頭的數出現的概率為尸（a）=1g—,如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合

n

該定律.后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性.若

￡尸（〃）=警:一限：N+，E9）（說明符號方為=4+電++%化i"eN+））,貝心的值為（）

n=k10g3Z+10g3dk=i

A.3B.5C.7D.9

6.(24-25高三上?福建龍巖?月考)已知a=g+ln2,b=|+1,c=g+受，則()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

7.（23-24高三下?廣東佛山?一模）"2。＞1，1唯人＞1”是“2"+，＞4”的（）

A.充分不必要條件