第一章數(shù)與式

第02講整式與因式分解

口題型12判斷因式分解的正誤

模擬基礎(chǔ)練口題型13因式分解

□題型14因式分解的應(yīng)用

口題型01實(shí)際問(wèn)題中的代數(shù)式

口題型15判斷整式運(yùn)算或因式分解的錯(cuò)誤步驟

口題型02求代數(shù)式的值

口題型16圖形類規(guī)律探索

□題型03整式的相關(guān)概念

口題型17數(shù)字類規(guī)律探索

口題型04整式的加減

口題型18數(shù)式中的新定義問(wèn)題

口題型05累的混合運(yùn)算

口題型06整式的乘除重難創(chuàng)新練

□題型07利用乘法公式變形求解

口題型08乘法公式的應(yīng)用

口題型09整式的化簡(jiǎn)求值-直接代入法真題實(shí)戰(zhàn)練

口題型10整式的化簡(jiǎn)求值-整體代入法

口題型11整式的混合運(yùn)算

模擬基礎(chǔ)練

口題型01實(shí)際問(wèn)題中的代數(shù)式

1.（2024?河南信陽(yáng)?一模）某商場(chǎng)出售一件商品,在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上實(shí)行以下四種調(diào)價(jià)方案，其中調(diào)價(jià)后售價(jià)

最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提價(jià)10%,再打八折

C.先提價(jià)30%,再降價(jià)35%D.先打七五折，再提價(jià)10%

2.（2023?安徽池州?一模）某產(chǎn)品的成本價(jià)為a元，銷售價(jià)比成本價(jià)增加了14%,現(xiàn)因庫(kù)存積壓，按銷售價(jià)

的八折出售，那么該產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)為（）

A.（1+14%）（1+0.8）a元B.0.8（1+14%）a元

C.（1+14%）（1-0.8）a元D.（1+14%+0.8）a元

3.（2022?貴州貴陽(yáng)?一模）貴陽(yáng)市“一圈兩場(chǎng)三改“落地，幸福生活近在咫尺.周末，小高同學(xué)從家出發(fā)步行

15min到達(dá)附近學(xué)校的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)鍛煉，較之前步行去城市運(yùn)動(dòng)中心少走了25min.已知小高同學(xué)步行的速度為

每分鐘am,貝臚一圈兩場(chǎng)三改”后，小高同學(xué)少走的路程是（）

A.amB.lOizmC.15amD.25am

4.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）公司有330臺(tái)機(jī)器需要一次性運(yùn)送到某地，計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛.已知

每輛甲種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器45臺(tái)、租車費(fèi)用為400元，每輛乙種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器30臺(tái)、租車費(fèi)用

為280元.

（1）設(shè)租用甲種貨車x輛（％為非負(fù)整數(shù)），試填寫下表.

表一：

租用甲種貨車的數(shù)量/輛37X

租用的甲種貨車最多運(yùn)送機(jī)器的數(shù)量/臺(tái)135

租用的乙種貨車最多運(yùn)送機(jī)器的數(shù)量/臺(tái)150

表二:

租用甲種貨車的數(shù)量/輛37X

租用甲種貨車的費(fèi)用/元2800

租用乙種貨車的費(fèi)用/元280

（2）給出能完成此項(xiàng)運(yùn)送任務(wù)的最節(jié)省費(fèi)用的租車方案，并說(shuō)明理由.

口題型02求代數(shù)式的值

1.（2024.安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a,b,滿足a-b=6,ab=-8,貝必?。一ab?的值為.

2.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）若（x+8）2+|y—7|=0,則代數(shù)式（久+、尸皿，的值是.

3.（2024?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若a是16的算術(shù)平方根，而b的算術(shù)平方根是16,則a+6=

4.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知2——5x+1=0,則6久2―15久+7=.

5.（2024.北京.模擬預(yù)測(cè)）已知：2/一5x-11=0,求代數(shù)式（2x+1）。一4）一（2x-3尸的值.

□題型03整式的相關(guān)概念

1.（2024.內(nèi)蒙古包頭.三模）若單項(xiàng)式-3/y的系數(shù)是TH,次數(shù)是幾，則nm的值為（）

A.9B.3C.-3D.-9

2.（2024.云南楚雄.一模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：%3,-4送，9x7,—16/,……第”個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.（―l）n-1n2x2n-1B.（-l）n+1n2x2n+1

C.（―l）n-1（n+l）2x2n-1D.（—l）n+1（n+l）2x2n+1

3.（2023?海南?模擬預(yù)測(cè)）多項(xiàng)式a?+4附2+1是（）

A.三次三項(xiàng)式B.二次三項(xiàng)式C.三次二項(xiàng)式D.二次二項(xiàng)式

4.（2024?江西九江?三模）若關(guān)于x,y的多項(xiàng)式久2—2/y+團(tuán)y2的各項(xiàng)系數(shù)之和是5,貝心?”代表的數(shù)

是.

口題型04整式的加減

1.（2024?重慶渝北?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,將邊長(zhǎng)為他的正方形紙片剪去兩個(gè)小矩形，得到一個(gè)“2”的圖案,

如圖2所示，再將剪下的兩個(gè)小矩形拼成一個(gè)新的矩形，如圖3所示，則新矩形的周長(zhǎng)可表示為（）

圖3

A.2m—4nB.2m—3nC.4m—8nD.4m—6n

2.（2024?河南周口?三模）如果單項(xiàng)式：2町^與［搟丫2的和仍為單項(xiàng)式，則（_元）帆=.

3.（2024?山東臨沂?模擬預(yù)測(cè)）在“點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)

了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：對(duì)依次排列的兩個(gè)整式“z,〃按如下規(guī)律進(jìn)行操作：

第1次操作后得到整式串m,n,n-m；

第2次操作后得到整式串m,n,n-m,-m；

第3次操作后…

其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)

命名為“回頭差”游戲.

則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和是.

4.（2024.河北邢臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）在計(jì)算題：“已知，M=口，N=2x2-4x+3求2M-N”時(shí)，嘉琪把“2M-N”

看成-2N”，得到的計(jì)算結(jié)果是-/+4%-4.

（1）求整式M；

(2)若請(qǐng)比較2M與N的大小，并說(shuō)明理由.

5.(2024.河北秦皇島.一模)已知整式(a?+ab)-ab-b2-5),其中“★”處的系數(shù)被墨水污染了.當(dāng)a=3,

b=-2時(shí)，該整式的值為30.

(1)則★所表示的數(shù)字是多少？

(2)嘉淇說(shuō)該代數(shù)式的值一定是正的，你認(rèn)為嘉淇的說(shuō)法對(duì)嗎？說(shuō)明理由.

□題型05幕的混合運(yùn)算

1.(2024.河北.模擬預(yù)測(cè))下列運(yùn)算中，與2a2b.(-26)2運(yùn)算結(jié)果相同的是()

A.2b■(2abYB.-8a2+b3C.(-2a)2-b3D.-(2a2b)3

2.(2020?四川樂山?中考真題)已知37n=4,32m-4n=2.若9皿=久，貝h的值為()

A.8B.4C.2A/2D.V2

3.(2023?湖北襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))(a3)2+(a?a3)+a2=.

4.(2024?廣東江門?一模)計(jì)算：

(1)(72024+/)。-V18-cos45。+

(2)—(a2)2?a2-(―62)3+(2a3b3)2.

口題型06整式的乘除

1.(2024.陜西渭南?模擬預(yù)測(cè))下列計(jì)算錯(cuò)誤的是()

23232

A.2m(m+1)=2m+2mB.(—3mn)=9n16rl2

C.m2n—2mn2=—mnD.m6-r-m2=m4

2.(2024.河北.模擬預(yù)測(cè))已知一臺(tái)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度為1.2X109次/秒，這臺(tái)計(jì)算機(jī)9X秒運(yùn)算的次數(shù)

用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.10.8x1012B.1.08x1014C.1.08x1028D.1.08x1013

3.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))若mX4%2y2-12%2y3—16%3y2,則7n=()

A.4%—3yB.-4x+3yC.4%+3yD.-4%—3y

4.(2023?陜西西安?二模)先化簡(jiǎn),再求值：[(%+2y)(x-2y)+(%+2y)2-2xy]+2%,其中久=5,y=-8.

5.(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為相，寬為〃的矩形(機(jī)＞幾).用7張圖1中的小矩形紙片，按

圖2的方式無(wú)空隙不重疊地放在大矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示.若大矩形的長(zhǎng)是寬的1.

m

圖1圖2

⑴求團(tuán)與幾的關(guān)系；

（2）若圖2中，大矩形的面積為18,求陰影部分的面積.

口題型07利用乘法公式變形求解

1.（2024.湖南婁底.模擬預(yù)測(cè)）已知a+6=7,ab=6,貝U（a—6/-6（6-a）+9=.

2.（2024?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）若“尤2是方程/+2x-1010=0的兩個(gè)根，則好+好=.

3.（2024?浙江寧波?二模）已知a—6=b—c=—1,a2+b2+c2=y,貝!Jab+6c+ac=.

4.（2024.河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考：

若m+n=l,mn=—6,則由完全平方公式（a+b）?=a2+2ab+爐可得：m2+n2=（m+n）2—2mn—

1-2x（-6）=13.請(qǐng)根據(jù)你的理解完成下列計(jì)算：

已知工+工=3,-=2.求代數(shù)式之+3的值.

xyxy”

口題型08乘法公式的應(yīng)用

1.（2024?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料：

例：求代數(shù)式2/+4%-6的最小值.

解:2/+4乂-6=2（%+I）2—8.

可知：當(dāng)％=-1時(shí)，2/+4%-6有最小值，最小值是一8.

根據(jù)上面的方法可求多項(xiàng)式a?+一4a+66+18的最小值是.

2.（2024?河北唐山.模擬預(yù)測(cè)）探究活動(dòng)：

a一

圖①圖②

（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是—（寫成兩數(shù)平方差的形式）；

（2）如圖②，若將陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）;

(3)比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式—.

知識(shí)運(yùn)用：

(4)用合理的方法計(jì)算：7.52x1.6-2.52x1.6.

3.(2024?河北石家莊?二模)現(xiàn)有如圖1所示的甲、乙、丙三種卡片，卡片的邊長(zhǎng)如圖所示(a>6).如圖2,

用1張甲、1張乙和2張丙卡片可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形，用兩種方式表示該正方形面積可以得

到等式：Ca+b)2=a2+2ab+b2,也就驗(yàn)證了完全平方公式.

【發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖3,嘉淇用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為2a+b,寬為a+2b的矩形，仿照例子寫出一個(gè)關(guān)于a,6的

等式；

(2)嘉淇還發(fā)現(xiàn)拼成矩形所需卡片的張數(shù)和整式的乘法計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)的系數(shù)有關(guān).根據(jù)嘉淇的發(fā)現(xiàn)，若要

用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為a+2b,寬為a+6的矩形，不畫圖形，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明需要丙種卡片多少?gòu)垼?/p>

【應(yīng)用】

(3)現(xiàn)用甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片小張為正整數(shù))，拼成一個(gè)矩形，直接寫出m所有可

能的值.

4.(2023?山東青島?二模)"構(gòu)造圖形解題”，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是有些技巧性很強(qiáng)的題目，如果不能

發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無(wú)措，難以下手，這時(shí)，如

果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件，通過(guò)構(gòu)造適合的幾何圖形，將會(huì)得到事半功倍的效果，下面

介紹兩則實(shí)例：

實(shí)例一：勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之…，在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則

弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如實(shí)例圖一)，后人稱之為“趙

爽弦圖”，流傳至今.他利用直角邊為a和從斜邊為c的四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形(如

實(shí)例圖一■),由S大正方形=4S直角三角形+S小正方形得C?=4x+(6—a)2,化簡(jiǎn)得：a2+b2-c2.

ab.

實(shí)例圖一

實(shí)例二：歐幾里得的《幾何原本》記載,關(guān)于X的方程/+ax=爐的圖解法是：畫RtAABC,使N4C8=90°,

BC=梟AC=\b\,再在斜邊48上載取BD=BC=鼻,則4。的長(zhǎng)就是該方程的一個(gè)正根(如實(shí)例圖二).

實(shí)例圖二

根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問(wèn)題：

(1)如圖1,請(qǐng)利用圖形中面積的等量關(guān)系，寫出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是.乙圖要證明的數(shù)學(xué)公式是

(2)如圖2,利用歐幾里得的方法求方程/+4尤-4=0的一個(gè)正根.

(3)如圖3,已知O0,AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD1AB于點(diǎn)D,連接CO,設(shè)D4=a,BD=b,

請(qǐng)利用圖3證明：^>4ab.

c

B

OD

圖3

□題型09整式的化簡(jiǎn)求值-直接代入法

1.(2024?廣東汕頭?一模)已知+(2b-I)2=0,貝！12a+46-7的值為.

2.(2024?青海西寧■二模)先化簡(jiǎn)，再求值：(x-2y(+2(%—y)(x+y)—3x(x—2y),其中x=2,y=-1.

3.(2024?吉林長(zhǎng)春?三模)先化簡(jiǎn)，再求值：[(久+2y)2-(x+2y)(x-2y)]+4y,其中x=1,y=與士

4.(2024.廣東東莞.一模)求代數(shù)式2(x-y)2+(-4爐)+6/y2)-2孫的值，其中歸一3|+Jx+y=0

□題型10整式的化簡(jiǎn)求值-整體代入法

1.(2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))已知a2+3ab=5,則(a+6)(a+2b)-2b2的值為.

2.(2023?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))若匕+a=3,貝啊一6a+a?—/的值為

3.(2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)相滿足-I)2+(m-2)2=3,則(zn-l)(m-2)的值是

4.(2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè))關(guān)于萬(wàn)的一元二次方程a/+法一3=0的一個(gè)根是x=l,則代數(shù)式2027-

a-6的值為.

□題型11整式的混合運(yùn)算

1.(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))下列運(yùn)算正確的是()

A.(a+I)2=a2+1B.(a—l)2=a2—1

C.(a+1)+(a—1)=2aD.(a+1)(a-1)=2a—1

2.(2024?廣東廣州?二模)已知T=(2a+3b)(2a—3b)—a(3a—b)+9塊.

⑴化簡(jiǎn)T;

(2)若a,b互為相反數(shù)，求T的值.

3.(2024.河北邯鄲?二模)數(shù)學(xué)課上，老師給出一個(gè)整式(a/+6x)—0+1)0—1)(其中a,6為常數(shù)，

且表示系數(shù))，然后讓同學(xué)給a,6賦予不同的數(shù)值進(jìn)行探究.

(1)甲同學(xué)給出一組數(shù)據(jù)，最后計(jì)算結(jié)果為(x+l)2,請(qǐng)分別求出甲同學(xué)給出的a,6的值；

(2)乙同學(xué)給出了a=5,b=-4,請(qǐng)按照乙同學(xué)給出的數(shù)值說(shuō)明該整式的結(jié)果為非負(fù)數(shù).

4.(2024?河北張家口?三模)如圖1,2,約定：上方相鄰兩代數(shù)式之和等于這兩代數(shù)式下方箭頭共同指向的

代數(shù)式.

圖1圖2

(1)求代數(shù)式

(2)嘉嘉說(shuō)，無(wú)論x取什么值,M的值一定大于N的值，嘉嘉的說(shuō)法是否正確？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

口題型12判斷因式分解的正誤

1.(2024.安徽阜陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))下列因式分解正確的是()

A.x2+1=(x+I)2B.x2+2x—1=(x—I)2

C.2x2—2=2(x2—1)=2(x+l)(x—1)D.x2—x+2—x(x—1)+2

2.(2022.河北?一模)下列關(guān)于4a+2的敘述，錯(cuò)誤的是()

A.4a+2的次數(shù)是1B.4a+2表示a的4倍與2的和

C.4a+2是多項(xiàng)式D.4a+2可因式分解為4(a+1)

3.(2024?河北秦皇島.一模)對(duì)于①2x-孫=久(2-y),②(x-3>=/_6x+9,從左到右的變形，表述

正確的是()

A.都是因式分解B.都是乘法運(yùn)算

C.①是因式分解，②是乘法運(yùn)算D.①是乘法運(yùn)算，②是因式分解

4.(2023?河北石家莊?二模)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見互逆運(yùn)算，例如加法和減法互為逆運(yùn)算，乘法和除法互為逆運(yùn)

算，分解因式和整式乘法也是互逆運(yùn)算.請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(l)(T)(a+b)2=a2+2ab+b2,@a2+2ab+b2=(a+b)2,(3)x—3xy=x(l—3y),(4)(x+3)(x—l)—x2+2x—

3是因式分解的(在括號(hào)內(nèi)寫序號(hào))；

(2)小紅是一名密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：a—b,x-y,x2-y2,a2-

b2,x+y,a+b分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：四、愛、學(xué)、中、我、十.現(xiàn)將(/-丫2)。2一(久2一因式分解，

結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是哪四個(gè)字？

□題型13因式分解

1.(2024.湖北恩施?模擬預(yù)測(cè))把a(bǔ)2人—2a+/分解因式正確的是()

A.h(a2—2ab+b2)B.a2b—b2C.b(a—Z))2D.(a+b)2

2.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))把多項(xiàng)式3a2b-12協(xié)+12b分解因式的結(jié)果是.

3.(2024.湖南長(zhǎng)沙.模擬預(yù)測(cè))已知(久+3)(%—2)+久(％—2)可因式分解成(a%+b)(2%+c),其中b,c

均為整數(shù)，求(a+b)，的值.

4.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè))用兩種不同的方法計(jì)算：(a+2)2-a(a+2).(方法一：運(yùn)用完全平方公式

計(jì)算；方法二：運(yùn)用因式分解計(jì)算，兩種方法都須做)

口題型14因式分解的應(yīng)用

1.(2024.山西長(zhǎng)治.模擬預(yù)測(cè))在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，密碼與我們的生活已經(jīng)緊密相連，密不可分，而

諸如“123456”、生日等簡(jiǎn)單密碼又容易被破解，因此利用簡(jiǎn)單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要

T.有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶.原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式a4-非因式分解的結(jié)果是

(a—b)(a+b)(a2+b2),若取a=8,b=8時(shí)，則各個(gè)因式的值是：a—b=0,a+b=16,a2+b2=128,

把這些值從小到大排列得到016128,于是就可以把“016128”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式27a3-

3ab2,取a=4,6=1時(shí)，請(qǐng)你寫出用上述方法產(chǎn)生的密碼.

2.(2024.四川成都.模擬預(yù)測(cè))定義：若4九3-371-2("正整數(shù)，且0<n<500)等于兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的

乘積，則稱“為“彗星數(shù)”.則“彗星數(shù)””的最小值為,最大值為.

3.(2024?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè))已知a,b,c為△48C的三邊，且滿足a2c2—爐02=一試判定AABC的

形狀.

4.(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))有一列數(shù)：4,12,20,....這些正整數(shù)都能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，我

們把這樣的正整數(shù)稱為“好數(shù)如：

第1個(gè)數(shù)：4=22-02.

第2個(gè)數(shù)：12=42—22.

第3個(gè)數(shù)：20=62—42.

(1)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k和2k-2(其中左取大于1的整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“好數(shù)”是4的倍數(shù)嗎？

請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明？

(2)2024是“好數(shù)”嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷，如果是，它是第幾個(gè)“好數(shù)”；如果不是，寫出小于它的最大“好數(shù)”.

口題型15判斷整式運(yùn)算或因式分解的錯(cuò)誤步驟

1.(2024.江西南昌.模擬預(yù)測(cè))下面是小華同學(xué)計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

(1)計(jì)算：(2a-3b)(2Q+3b).

解：原式=(2a)2—(3b)2=4q2—9b2.

(2)計(jì)算：(2a-36)(a+3b).

解：原式=2a2—(3b)2=2a2—9b2.

任務(wù)一：在上述解題過(guò)程中，(1)中所利用的公式是乘法公式中的.(填“完全平方公式”或“平方差

公式”)

任務(wù)二：請(qǐng)判斷小華(2)的解答是否正確，若錯(cuò)誤，請(qǐng)直接寫出(2)中計(jì)算的正確答案.

任務(wù)三：計(jì)算：(2a-3b)2.

2.(2024.河北滄州.模擬預(yù)測(cè))已知多項(xiàng)式2=(a+2)2—a(4—6)—9

(1)在化簡(jiǎn)多項(xiàng)式A時(shí)，小明同學(xué)的解題過(guò)程如下所示.

A—(a+2)2—a(4-b)-9.=a2+2a+4—4a+ab-9

①②③④

=a2—a+ab—S

在標(biāo)出①②③④的幾項(xiàng)中出現(xiàn)錯(cuò)誤的是；請(qǐng)你寫出正確的解答過(guò)程；

(2)淇淇說(shuō)：“若給出a與b互為相反數(shù)，即可求出多項(xiàng)式A的值.”嘉嘉說(shuō)：“若給出a與b互為倒數(shù)，即可

求出多項(xiàng)式A的值.”請(qǐng)你判斷哪個(gè)同學(xué)說(shuō)得對(duì)，并按此同學(xué)賦予的條件求A的值.

3.(2022?山西大同?二模)(1)|一1|一(兀一2022)°+Q1-2tan45°

(2)下面是小明同學(xué)進(jìn)行因式分解的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

因式分解：(3a+b)2-(a+36產(chǎn)

解：原式=(9a2+6ab+b2)—(a2+6ab+9b2)第一步

=8a2-8b2第二步

=8(a2—fa2)第三步

任務(wù)一：填空：①以上解題過(guò)程中，第一步進(jìn)行整式乘法用到的是公式；

②第三步進(jìn)行因式分解用到的方法是法.

任務(wù)二：同桌互查時(shí)，小明的同桌指出小明因式分解的結(jié)果是錯(cuò)誤的，具體錯(cuò)誤是.

任務(wù)三：小組交流的過(guò)程中，大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)題可以先用公式法進(jìn)行因式分解，再繼續(xù)完成，請(qǐng)你寫出正確

的解答過(guò)程.

4.(2023?浙江嘉興?一模)因式分解(3x+y)2-(x+3y)2.小禾通過(guò)代入特殊值檢驗(yàn)的方法，發(fā)現(xiàn)左右兩

邊的值不相等.下面是他的解答和檢驗(yàn)過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

小禾的解法：小禾的檢驗(yàn)：

(3%+—(x+3y產(chǎn)當(dāng)％=0,y—1時(shí)，

=(3x+y+%+3y)(3x+y—x—3y)①(%+)一(%+3y78(%+y)(%+2y)

=(4%+4y)(2x+4y)②=12-328x1x2

=8(%+y)(%+2y)③=1-9=16

V-8W16

???分解因式錯(cuò)誤

任務(wù)：

（1）小禾的解答是從第步開始出錯(cuò)的，錯(cuò)誤的原因是

（2）請(qǐng)嘗試寫出正確的因式分解過(guò)程.

口題型16圖形類規(guī)律探索

1.（2024.貴州貴陽(yáng).一模）如圖，三角數(shù)是能夠組成大大小小等邊三角形的點(diǎn)的數(shù)目，當(dāng)*=1時(shí)，三角數(shù)

為1,當(dāng)n=2時(shí)，三角數(shù)為3,則當(dāng)n=10時(shí)，三角數(shù)為（）

?

???

??????

??????????

n=\n=2n=3〃=4

A.100B.110C.55D.50

2.（2024.黑龍江大慶.模擬預(yù)測(cè)）烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化

合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如

圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫

原子的個(gè)數(shù)是.

,小內(nèi)興蘆

①②③④

3.（2024山西?模擬預(yù)測(cè)）樟卯被稱為“巧奪天工”的中國(guó)古典智慧，是中國(guó)傳統(tǒng)木藝的靈魂.下圖結(jié)構(gòu)為固

定禪槽的連接結(jié)構(gòu)，彼此按照同樣的拼接方式緊密相連，當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)分別有1個(gè)和2個(gè)時(shí)，總長(zhǎng)度如圖

所示，則當(dāng)有"個(gè)連接結(jié)構(gòu)時(shí)，總長(zhǎng)度為cm.

Sqm

8cm

4.（2024.安徽六安.模擬預(yù)測(cè)）如圖,圖案1中“☆”的個(gè)數(shù)為1x2,“★”的個(gè)數(shù)為詈，圖案2中“☆”的個(gè)數(shù)

為2x3,“★”的個(gè)數(shù)為誓，圖案3中“☆”的個(gè)數(shù)為3x4,“★”的個(gè)數(shù)為等；….

★

★★

★

★★★★★★

★★★★☆☆☆☆

★★☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

圖案1圖案2圖案3

(1)圖案5中“☆”的個(gè)數(shù)為二

(2)圖案“中，“★”的個(gè)數(shù)為二(用含w的式子表示)

(3)根據(jù)圖案中“☆”和“★”的排列方式及規(guī)律，若圖案〃中“★”的個(gè)數(shù)是“☆”的個(gè)數(shù)的|,求力的值.

口題型17數(shù)字類規(guī)律探索

L(2024.湖南.模擬預(yù)測(cè))有一組數(shù),按以下規(guī)律排列：4,1,號(hào)，桂-親?…則這組數(shù)的第n個(gè)

數(shù)為.

2.(2024.山西?模擬預(yù)測(cè))在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過(guò)分裂來(lái)繁殖后代，我們就

4.(2024.安徽.模擬預(yù)測(cè))【觀察?發(fā)現(xiàn)】給出一些按一定規(guī)律排列的等式:

第1個(gè)等式：4x1x2+1=(2xl+l)2；

第2個(gè)等式：4x2x3+l=(2x2+l)2；

第3個(gè)等式：4x3x4+l=(2X3+1)2；

【歸納?證明】根據(jù)上述等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：

⑴寫出第5個(gè)等式：；

(2)試猜想第"個(gè)等式，并證明.(用含"的式子表示，”為正整數(shù))

口題型18數(shù)式中的新定義問(wèn)題

1.(2024?陜西漢中?二模)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算a回6=a(b+1),當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，Q+1)回Q—3)

的化簡(jiǎn)結(jié)果為()

A.x2—x—2B.%2—2%—3C.%2+%+2D.x2+2%+3

2.(2024.河北保定.一模)定義一種新運(yùn)算，規(guī)定尸(a,b)=ab,例尸(1,2)=1x2=2.

(1)已知2=F(x+2y,x—2y),B=F(4y,x—2y),分別求A,B；

⑵通過(guò)計(jì)算比較A與B的大小.

3.(2024.陜西西安.模擬預(yù)測(cè))【定義新知】

如果a,b,c是整數(shù)，且a。=b,那么我們規(guī)定一種記號(hào)(a,b)=c,例如4?=16,那么記作(4,16)=2.

【嘗試應(yīng)用】

(1)(2,8)=；

【拓展提升】

(2)若k、m、ri、p均為整數(shù)，且(k,9)=zn,(k,27)=n,(k,243)=p,求證：m+n—p.

4.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于實(shí)數(shù)a,6,定義新運(yùn)算“十”，規(guī)定如下：a十6=(a+6-1尸—2a6

如1十2=(1+2-一2(1X2)=0

(1)求3?5的值；

(2)若》為某一個(gè)實(shí)數(shù)，記x十3的值為小，1十(2-久)的值為n,請(qǐng)你判斷zn-n的值是否與x的取值有關(guān)?

并給出證明.

重難創(chuàng)新練

1.(2023?四川德陽(yáng)?中考真題)在“點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)

了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：對(duì)依次排列的兩個(gè)整式相，“按如下規(guī)律進(jìn)行操作：

第1次操作后得到整式中優(yōu)，"，n—m；

第2次操作后得到整式中加，w,n-m,-m；

第3次操作后…

其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)

命名為“回頭差”游戲.

則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和是()

A.m+nB.mC.n—mD.2n

2.(2024?重慶?中考真題)一個(gè)各數(shù)位均不為。的四位自然數(shù)”=誣而，若滿足a+d=b+c=9,則稱這

個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”.例如：四位數(shù)1278,+8=2+7=9,1278是“友誼數(shù)”.若abed是一個(gè)“友誼

數(shù)”，且b-a=c-b=1,則這個(gè)數(shù)為；若M=■是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)尸(M)=小且弛喑t電是

整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是.

3.（2024?江蘇鹽城?中考真題）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問(wèn)題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

圖1

分析問(wèn)題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成

點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有〃個(gè)籽，每列有左個(gè)籽，行

上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（小左均為正整數(shù)，n>k>3,d>0）,如圖1所示.

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案.

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長(zhǎng)為,共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)

為;

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng).

解決問(wèn)題

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長(zhǎng)最短？請(qǐng)寫出比較過(guò)程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià).

專三三［牛1?！?/p>

圖1圖2圖3

4.（2024?安徽.中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為/-f（x,y均為自

然數(shù)）”的問(wèn)題.

（1）指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下5為正整數(shù)）：

N奇數(shù)4的倍數(shù)

表示結(jié)果1=I2-024=22-02

3=22-l28=32-l2

5=32-2212=42-22

7=42-3216=52-32

9=52—4220=62-42

一般結(jié)論2n—1=n2—(n—l)24n=______

按上表規(guī)律，完成下列問(wèn)題：

(0)24=()2—()2；

(0)4n=；

(2)興趣小組還猜測(cè)：像2,6,10,14,…這些形如4n-2(n為正整數(shù))的正整數(shù)N不能表示為久2一y2(x,y

均為自然數(shù)).師生一起研討，分析過(guò)程如下：

假設(shè)4n—2=/—V，其中刈y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若Y，y均為偶數(shù)，設(shè)x=2k,y=2m,其中k,m均為自然數(shù)，

則/—y2=(2k)2—(2m)2=4(fc2—Hi?)為4的倍數(shù).

而4n-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故久，y不可能均為偶數(shù).

②若x,y均為奇數(shù)，設(shè)x=2k+l,y=2m+1,其中k,zn均為自然數(shù)，

則/—y2=Qk+I)2—(2m+l)2=為4的倍數(shù).

而4九-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故久，y不可能均為奇數(shù).

③若久，y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則/-y2為奇數(shù).

而4n-2是偶數(shù)，矛盾.故x,y不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測(cè)正確.

閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫所缺內(nèi)容.

5.(2023?湖南張家界?中考真題)閱讀下面材料：

將邊長(zhǎng)分別為a,a+Vb,a+2迎，a+3歷的正方形面積分別記為S「S2>S3,S4.

則52—S]=(a+—a?

=[(a+Vh)+a]>[(a+Vh)-a]

=（2a+Vb）-y[b

=b+2a4b

例如：當(dāng)a=1,6=3時(shí)，S2-Si=3+2V3

根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)a=1,6=3時(shí)，S3-S2=,S4-S3=；

（2）當(dāng)a=l,6=3時(shí)，把邊長(zhǎng)為a+nVF的正方形面積記作又+「其中〃是正整數(shù)，從（1）中的計(jì)算結(jié)果，

你能猜出土+i-S"等于多少嗎？并證明你的猜想；

（3）當(dāng)a=1,b=3時(shí)，令I(lǐng)[=52—S]，I2=S3—S2,5=S4—S3,…，7=Sn+i—Sn,且T=t1+打+5+

…+t50,求T的值.

真題實(shí)戰(zhàn)練

一、單選題

1.（2024.江蘇徐州.中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.%3+X3=X6B./.%9=%27c.（x2）3=x5D.X34-X=%2

2.（2023?江蘇南通中考真題）若小一4a—12=0,則2a2一8a—8的值為（）

A.24B.20C.18D.16

3.（2024.海南.中考真題）下列計(jì)算中，正確的是（）

A.a84-a4=a2B.（3a）2=6a2C.（a2）3=a6D.3a+2b=Sab

4.（2024?四川巴中?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.3a+b=3abB.a3-a2=a5

C.a8-ra2=a4(aW0)D.(a—b)2=a2—b2

5.（2023?吉林?中考真題）下列各式運(yùn)算結(jié)果為不的是（）

A.(a2)3B.a2+a3C.a2?a3D.a10+a2

6.（2024?云南?中考真題）分解因式：a3—9a=（）

A.a(a—3)(a+3)B.a(a2+9)C.(a—3)(a+3)D.a2(a—9)

7.（2023?湖北宜昌?中考真題）在日歷上，某些數(shù)滿足一定的規(guī)律.如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其

中所示的含4個(gè)數(shù)字的方框部分，設(shè)右上角的數(shù)字為〃，則下列敘述中正確的是（）.

日一二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.左上角的數(shù)字為a+1B.左下角的數(shù)字為a+7

C.右下角的數(shù)字為a+8D.方框中4個(gè)位置的數(shù)相加，結(jié)果是4的倍數(shù)

8.（2024?江蘇徐州?中考真題）觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5?7個(gè)數(shù)可能為（）

A.48、58、68B.58、78、98C.76、156、316D.78、158、318

9.（2024.云南?中考真題）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2x,3/,4%3,5%4,6%5,--第九個(gè)代數(shù)式是（）

A.2xnB.（n—l）xnC.nxn+1D.（n+l）xn

10.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則。G=（）

125^51256432V3

A.----B.C.-L）.---

64642727

二、填空題

11.（2023?四川樂山?中考真題）若相、"滿足3zn—n—4=0,則8m+2皿=.

12.（2024?黑龍江大慶?中考真題）已知。+工=4，則的值是

aaz

13.（2024?北京?中考真題）分解因式：x3-25%=.

14.（2023?江蘇蘇州?中考真題）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,3）和（一1,2）,則/-

b2=.

15.（2024?四川德陽(yáng)?中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲組同學(xué)給乙組同學(xué)出示了一個(gè)探究問(wèn)題：把數(shù)字1至8

分別填入如圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于1.經(jīng)過(guò)探究后,

乙組的小高同學(xué)填出了圖中兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a、b,你認(rèn)為a可以是（填上一個(gè)數(shù)字即可）.

三、解答題

16.(2024.內(nèi)蒙古通遼?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：(2a+b)(2a—b)-(a+b)(4a-b),其中a=-y[2,b=2.

17.(2023?浙江嘉興?中考真題)觀察下面的等式：32-I2=8X1,52-32=8X2,72-52=8x3,92-72=

8x4,???

⑴寫出192—172的結(jié)果.

(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論(用含"的等式表示，”為正整數(shù))

(3)請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的.

18.(2024?內(nèi)蒙古.中考真題)某研究人員對(duì)分別種植在兩塊試驗(yàn)田中的“豐收1號(hào)”和“豐收2號(hào)”兩種小麥進(jìn)

行研究，兩塊試驗(yàn)田共產(chǎn)糧1000kg,種植“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田產(chǎn)糧量比種植“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田

產(chǎn)糧量的1.2倍少100kg,其中“豐收1號(hào)”小麥種植在邊長(zhǎng)為am(a>1)的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方

形蓄水池后余下的試驗(yàn)田中，“豐收2號(hào)”小麥種植在邊長(zhǎng)為(a-l)m的正方形試驗(yàn)田中.

(1)請(qǐng)分別求出種植“豐收1號(hào)”小麥和“豐收2號(hào)”小麥兩塊試驗(yàn)田的產(chǎn)糧量；

(2)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？

19.(2023?河北?中考真題)現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長(zhǎng)如圖1所示(a>1).某同

學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)矩形(不重疊無(wú)縫隙)，如圖2和圖3,其面積分別為Si.S2.

乙乙乙乙乙丙

(1)請(qǐng)用含。的式子分別表示Si，52；當(dāng)a=2時(shí)，求S1+S2的值；

(2)比較Si與S2的大小，并說(shuō)明理由.

20.(2023?山東青島?中考真題)如圖①，正方形A8CD的面積為1.

(1)如圖②，延長(zhǎng)到使=延長(zhǎng)BC到Bi，使B】C=CB,則四邊形的面積為一

(2)如圖③，延長(zhǎng)48到4，^A2B=2BA,延長(zhǎng)BC到&,使82c=2C8,則四邊形力4外。的面積為

⑶延長(zhǎng)4B到使4通=讓4延長(zhǎng)BC到%，使%C=nCB,則四邊形A4rBM的面積為

第一章數(shù)與式

第02講整式與因式分解

口題型03整式的相關(guān)概念

模擬基礎(chǔ)練1口題型04整式的加減

口題型05幕的混合運(yùn)算

口題型01實(shí)際問(wèn)題中的代數(shù)式

口題型06整式的乘除

□題型02求代數(shù)式的值

口題型07利用乘法公式變形求解口題型16圖形類規(guī)律探索

口題型08乘法公式的應(yīng)用□題型17數(shù)字類規(guī)律探索

口題型09整式的化簡(jiǎn)求值-直接代入法□題型18數(shù)式中的新定義問(wèn)題

口題型10整式的化簡(jiǎn)求值-整體代入法

口題型11整式的混合運(yùn)算重難創(chuàng)新練

口題型12判斷因式分解的正誤

□題型13因式分解

真題實(shí)戰(zhàn)練

口題型14因式分解的應(yīng)用

口題型15判斷整式運(yùn)算或因式分解的錯(cuò)誤步驟

模擬基礎(chǔ)練?

□題型01實(shí)際問(wèn)題中的代數(shù)式

1.(2024?河南信陽(yáng)?一模)某商場(chǎng)出售一件商品，在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上實(shí)行以下四種調(diào)價(jià)方案，其中調(diào)價(jià)后售價(jià)

最低的是()

A.先打九五折，再打九五折B.先提價(jià)10%,再打八折

C.先提價(jià)30%,再降價(jià)35%D.先打七五折，再提價(jià)10%

【答案】D

【分析】本題考查了代數(shù)式，打折，有理數(shù)大小比較，準(zhǔn)確列出符合題意的代數(shù)式，設(shè)原件為x元，根據(jù)調(diào)

價(jià)方案逐一計(jì)算后，比較大小判斷即可.

【詳解】解：設(shè)原件為x元，

選項(xiàng)A：：先打九五折，再打九五折，

二調(diào)價(jià)后的價(jià)格為0.95xX0.95=0.9025%%,

選項(xiàng)B：:先提價(jià)10%,再打八折，

二調(diào)價(jià)后的價(jià)格為(1+10%)xX0.8=l.lxX0.8=0.88x元，

選項(xiàng)C：：先提價(jià)30%,再降價(jià)35%,

.,.調(diào)價(jià)后的價(jià)格為=(1+30%)xx(1-35%)=1.3%x0.65=0.845x元，

選項(xiàng)D：：先打七五折，再提價(jià)10%,

.?.調(diào)價(jià)后的價(jià)格為0.75%X(1+10%)=0.75%X1.1=0.825萬(wàn)元,

V0.825%<0.845%<0.88%<0.9025%

故選：D

2.(2023?安徽池州?一模)某產(chǎn)品的成本價(jià)為a元，銷售價(jià)比成本價(jià)增加了14%,現(xiàn)因庫(kù)存積壓，按銷售價(jià)

的八折出售，那么該產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)為()

A.(l+14%)(l+0.8)a元