動點與特殊三角形存在性問題

一、典例解析

例1.12020?湖北武漢】將拋物線C：y=（尤-2）2向下平移6個單位長度得到拋物線C1,再將拋物線C1

向左平移2個單位長度得到拋物線C2.

（1）直接寫出拋物線Cl,C2的解析式；

（2）如圖（1）,點A在拋物線Ci（對稱軸/右側）上，點2在對稱軸/上，是以08為斜邊的等腰

直角三角形，求點A的坐標；

(1)

【答案】見解析.

【解析】解：(1):拋物線C：y=(x-2)2向下平移6個單位長度得到拋物線Ci,

/.Ci：y—(x-2)2-6,

?.?將拋物線Ci向左平移2個單位長度得到拋物線C2.

C2：y=(x-2+2)2-6,即y=/-6；

(2)過點A作ACLx軸于點C,過8作8OLAC于點。，

設A(a,(a-2)2-6),則8D=a-2,AC=\(a-2)2-6|,

ZBAO=ZACO=9Q°,

：.ZBAD+ZOAC^NOAC+NAOC=90。，

ZBAD=ZA,OC,

"：AB=OA,ZADB=ZOCA,

.?.△ABDg△OAC(44S),

J.BD^AC,

：.a-2=\(a-2)2-6|,

解得，〃=4,或〃=-1(舍)，或〃=0(舍)，或"=5,

AA(4,-2)或(5,3)；

例2.12020?湖南岳陽】如圖1所示，在平面直角坐標系中，拋物線乃：尸a(x—|)?+罌與％軸交于點A

(-f,0)和點2,與y軸交于點C.

(1)求拋物線H的表達式；

(2)如圖2,將拋物線為.先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線放，若拋物線為與拋

物線F2相交于點D連接80,CD,BC.

①求點D的坐標；

②判斷△BC。的形狀，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，拋物線仍上是否存在點P,使得△8。尸為等腰直角三角形，若存在，求出點P的

坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)把點A(—0)代入拋物線1F1：y=a(x—g)?+翳中得:

八_z62x2.64

0=a(-5-5)~+15,

解得：〃=

?二拋物線/i：y=—。一卷)2+黑;

(2)①由平移得：拋物線尸2：尸一|(X-|+1)2+11-3,

.v——32J__

..y_3+15'

.5,,3、2,195,2、2,64

(x+百)-+謳=一百(x-5)+正'

1010

一于=百，

解得：X=-1,

：.D(-1,1)；

_.,q4A4

②當x=0時，y=—可x2g+正=4,

：.C(0,4),

當y=0時，一.(%—V，2+瞿=0，

解得：X=—第2,

：.B(2,0),

,:D(-1,1),

：.BD2=(2+1)2+(L-0)2=10,

0^=(0+1)2+(4-1)2=10,

BC2=22+42=20,

BD1+CD2=BC2且80=CO,

...ABDC是等腰直角三角形；

(3)存在，設尸[加,—(m+^)2+-j^]!

,：B(2,0),D(-l,1),

51519

22212

2222-+-pD-+-+-

：.BD=(2+l)+l=10,PB31(m315

I]2-

分三種情況：

①當/￡>8P=90。時，BD2+PB-PD2,

即10+(m-2)2+[-|(m+|)2+||]2=(zn+1)2+[-|(m+|)2+y|-l]2,

解得：根=-4或1,

當機=-4時，BD=V10,PB=<36+324=6V10,即△BOP不是等腰直角三角形，不符合題意,

當機=1時，BD=V10,PB=V1T9=V10,

，BD=PB,即△BOP是等腰直角三角形，符合題意，

：.P(1,-3)；

②當尸=90。時，B￡>2+PD2=Pj32,

即10+[-|(m+|)2+1|-1]2=(m-2)2+[-|(m+|)2+||]2,

解得：-1(舍)或-2,

當機=-2時，BD=V10,PD=VTT9=V10,

：.BD=PD,即此時△BDP為等腰直角三角形，

:.P(-2,-2)；

③當/2尸￡>=90。時，5.BP=DP,有BD2=PD2+PB2,

當△BOP為等腰直角三角形時，點Pl和P2不在拋物線上，此種情況不存在這樣的點P；

綜上，點尸的坐標（1,-3）或（-2,-2）.

例3.12020?貴州遵義】如圖，拋物線丫=改2+己了+0經過點A（_I,O）和點c（。,3）,與無軸的另一個交點為

-4

8,點M是直線BC上一動點，過點M作MP〃y軸，交拋物線于點P.

（1）求該拋物線解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點。，使得△QC。是等邊三角形？若存在，求出點。的坐標；若不存在請說

明理由；

（3）以“為圓心，為半徑作圓M,當圓M與坐標軸相切時，求出其半徑.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)將點(-1,0)、(0,3)代入拋物線解析式,得：

'9(3

aFc=0々刀/日a=—

＜4,解得：＜4

c=3c=3

即拋物線解析式為：y^--x2+-x+3

-44

(2)不存在，理由如下：

若△QC。是等邊三角形，

則。在線段oc垂直平分線上，且。與oc距離為：#oc=券，

即。點坐標為(垣，3)或(-述，-),

2222

在＞=一3/+2工+3中，當y=3時，

44"22

故。點不在拋物線上，

(3)

即B(4,0),

又C(0,3),

所以直線BC的解析式為：y=—3x+3,

4

①當圓M與x軸相切于x軸正半軸時，設切點為O,貝

QQ3

設尸（工,——x2+—x+3）,貝1JM（%,——x+3）,

444

3Q33

——x2+—x+3-（——x+3）=——元+3,

4444

解得：x=l或x=4（舍）

即半徑為。M=2.

4

②當圓M與y軸正半軸相切時，如圖所示，切點為E,延長交x軸于。

貝I]EM=PM,

BP--x2+—x+3-（-—x+3）=x,解得：x=§或x=0（舍）

4443

即半徑為§；

3

③當圓M與無軸相切于負半軸時，

a1s

則尸點與A點重合，當x=-l時，——x+3=一，

44

即半徑為空；

④當圓M與〉軸相切于負半軸時，

同理得：一Ox?+2尤+3-（-3尤+3）=-x,解得：產生■或x=0（舍）

4443

即半徑為蛆，

3

綜上所述，以M為圓心，M尸為半徑作圓當圓M與坐標軸相切時，其半徑為2,2，竺，3.

4343

例4.12020?四川眉山】已知一次函數丁=去+沙與反比例函數丫=—的圖象交于A（—3,2）、3（1,0兩點.

X

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；

(2)求AAOS的面積；

(3)點尸在x軸上，當△PAO為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)將4(—3,2)代入丁=一中，得m=-6,

A

即反比例函數的表達式為y=—-

x

6

_6(1,〃)在y=—的圖象上,

.?.〃=—6,即5(1,-6)

將A、8坐標代入丁=丘+6得

-3k+b=2k=-2

<,解得:

k+b=-6b=—4

:.一次函數表達式為：y=-2x-4.

(2)設直線AB與y軸交于點C,則點C(0,—4),

,SAAOB=5,。。+5她0。=gx4x3+gx4xl=8-

(3)滿足條件的點P為(JR,0),(-^,0),(-6,0),

提示：以OA=OP=JF,AO=AP=A^3,PO=PA分類討論求出點P坐標.

二、刻意練習

1.12020?貴州黔東南州】己知拋物線y=q尤2+桁+0（。*0）與x軸交于A、3兩點（點A在點3的左邊），

與y軸交于點C（0,-3）,頂點D的坐標為（1,-4）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）在y軸上找一點E,使得AE4c為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標.

（3）點P是x軸上的動點，點。是拋物線上的動點，是否存在點P、。，使得以點P、。、B、。為頂

點，為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、。坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）二.拋物線的頂點為（1,-4）,

2

；?設拋物線的解析式為y=a（X-l）-4,

將點C（0,-3）代入拋物線y=。（尤-1）?-4中，得。—4=—3,

即a=L

拋物線的解析式為>=。（無一1）2—4=尤2-2%一3；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=--2尤-3,

令y=0,貝|三-2左一3=0,

.,.尤=-1或x=3,

..3（3,0）,4-1,0）,

令x=0,則y=-3,

C（0,-3）,

:.AC=y/10,

設點E（0,加），則AE=J〃?2+i,CE=|加+3],

AACE是等腰三角形,

①當AC=AE時，回=｛病+1,

,〃?=3或〃?=-3(點C的縱坐標，舍去),

.'.￡(3,0),

②當AC=CE時，A/10=|;?+3|,

m=-3±\/10,

E(0,-3+而)或(0,-3-加)，

③當鉆二儀；時，y/m2+1=|m+3|,

4

/.m=——,

3

4

/.E(0,--),

即滿足條件的點石的坐標為(0,3)、(0,-3+710)>(0,-3-加)、(0,-1)

(3)存在,

D(L,-4,),B(3,0),

設P(m,0),Q(n,n2-2n-3),

①當四邊形BDPQ是平行四邊形時，

f3+m=l+n[m=2A/2-1[m=-lyfl-1

2。解得：L或廠

[0n=〃-2n-3-4[n=l+2y/2n=l-2y/2

即P(2A/2-1,0),Q(1+2A/2,4)或P(—2逝—1,0),Q(1-2^,4)

②當四邊形BDQP是平行四邊形時

i3+n=1+mm=3

〃一,解得:(舍)

[o=-23+4n=l

綜上所述，P(2A/2-1,0),Q(1+2^2,4)或P(-2^-1,0),Q(1-2&,4).

2.12020?湖南株洲I】如圖所示，△OAB的頂點A在反比例函數(左>0)的圖象上，直線交y軸于

點C,且點C的縱坐標為5,過點A、8分別作y軸的垂線AE、BF,垂足分別為點E、F,且AE=1.

(1)若點E為線段OC的中點，求上的值；

(2)若△048為等腰直角三角形，ZAOB=90°,其面積小于3.

①求證：△OAE四△BOB；

②把|xi-尤2|+W-vl稱為M(XI,yi),N(X2,y2)兩點間的“ZJ距離”，記為d(M,N),求d(A,C)+d

(A,B)的值.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)??,點E為線段0C的中點，0C=5,

1qq

：.0E=^0C=^,即:E點坐標為(0,芬

又軸，AE=1,

.?.4(1,|),

/.fc=1x

(2)①在△OAB為等腰直角三角形中，AO=OB,ZAOB=90°,

：.NAOE+NFOB=90°,

VBF±ytt，

：.ZFBO+ZFOB=9Q°,

ZAOE=ZFBO,

在△04E和△8。尸中，

ZAEO=NOFB=90°

ZAOE=NFBO,

.AO=BO

:.AOAE咨ABOF(AAS),

②設點A坐標為(1,加)，

,:△ONEQXBOF,

:?BF=OE=m,OF=AE=1,

:?B(m,-1),

設直線AB解析式為：IABIy=kx+5,將A8兩點代入得:

解得隊=-37c2=-2

=2m2=3

當機=2時，0E=2,OA=V5,S^A0B=|<3,符合;

：.d(A,C)+d(A,B)=AE+CE+QBF-AE')+(OE+OF)=1+CE+OE-1+OE+l=i+CE+2OE=1+CO+OE

=l+5+2=8,

當機=3時，OE=3,OA=VlO,S^AOB=5>3,不符，舍去；

綜上所述：d(A,C)+d(A,B)=8.

3.12020?.內蒙古通遼】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-7+bx+c與無軸交于點A,B,與y軸交于

點C.且直線y=x-6過點B,與y軸交于點。，點C與點D關于x軸對稱，點P是線段OB上一動點，過

點尸作x軸的垂線交拋物線于點交直線2D于點N.

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)當的面積最大時，求點尸的坐標；

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在點。，使得以。，M,N三點為頂點的三角形是直角三角形？若

存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：⑴令y=0,得y=x-6=0,解得尤=6,

：.B(6,0),

令x=0,得y=x-6=-6,

：.D(0,-6),

?.?點C與點。關于x軸對稱,

：.C(0,6),

把2、C點坐標代入y=-/+6x+c中，得「36/6b+c=0,

ic=6

解得，?=

lc=6

拋物線的解析式為：y=-/+5x+6；

(2)設尸(m,0),貝1JAf(m,-m2+5m+6),N(m,m-6),

貝I]MN=-/n2+4m+12,

AMDB的面積=^MN.-OB=-3m2+l2m+36=-3(m-2)2+48,

當根=2時，的面積最大，

此時，P點的坐標為(2,0)；

(3)由(2)知，M(2,12),N(2,-4),

當NQWN=90。時，。〃〃x軸，則。(0,12)；

當/MNQ=90。時，NQ〃x軸，則Q(0,-4)；

當/MQN=90。時，設0(0,w),則QM2+°N2=MN2,

即4+(12-2+4+(〃+4)2=(12+4)2,

解得，n—4+2V15,

：.Q（0,4+2V15）或（0,4-2V15）.

綜上，存在以。，M,N三點為頂點的三角形是直角三角形.其。點坐標為（0,12）或（0,-4）或（0,

4+2V15)或(0,4-2V15).

4.12020?山東棗莊】如圖，拋物線y=o?+bx+4交x軸于A(-3,0),3(4,0)兩點，與y軸交于點C,AC,

BC.M為線段OB上的一個動點，過點M作尸軸，交拋物線于點P,交3c于點Q.

(1)求拋物線的表達式；

(2)過點尸作垂足為點N.設“點的坐標為M(%0),試探究點”在運動過程中，是否存在

這樣的點Q,使得以A,C,。為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時點。的坐標；若不存

在，請說明理由.

【答案】見解析.

1

a=——

3

【解析】解：(1)將點A、B的坐標代入拋物線表達式得

言解得

:rrb=-

3

--4：

故拋物線的表達式為：y=

33

(2)存在，理由:

由勾股定理得：AC=5,

①當AC=CQ時，過點Q作QE±y軸于點E,

貝I]CQ2=CE2+EQ2,BPm2+[4-(-w+4)]2=25,

解得：7"=±(舍去負值)，

2

故點0(呼，左衿；

②當AC=AQ時，貝ijAQ=AC=5,

由勾股定理得：［加-(-3)『+(-加+4)2=25,解得：m=l或0(舍),

故點Q(l,3)；

25

③當CQ二AQ時，則2機2=［相=(_3)］2+(—根+4)2,解得：m=—(舍去);

2

綜上，點Q的坐標為(1,3)或(述，"巨).

22

5.12020?四川瀘州】如圖，已知拋物線>=江+"+<:經過A(-2,0),2(4,0),C(0,4)三點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)經過點8的直線交y軸于點。，交線段AC于點E,若BD=5DE.

①求直線5。的解析式；

②已知點。在該拋物線的對稱軸/上，且縱坐標為1,點P是該拋物線上位于第一象限的動點，且在/右側,

點R是直線上的動點，若APQR是以點。為直角頂點的等腰直角三角形，求點P的坐標.

【答案】見解析.

【解析】解:⑴設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),

將點C坐標代入拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4)中，得-8a=4,

/.a=一~-

2

拋物線的解析式為y=—gX2+X+4；

(2)①如圖，過點E作EFLx軸于F,

?,?直線AC的解析式為y=2x+4

由OD〃EF,知△BODsaBFE

OBBD

BF-BE

VB(4,0),.\OB=4

由BD=5DE,知

BDBD5DE5

^E~BD+DE~5DE+BE~1)

?口口24

5

4

.*.OF=BF-OB=-

5

當x=-1時，代入y=2x+4得：y=￡

4I?

.,.E—)

55

又B(4,0),得直線BD的解析式為y=-gx+2.

②I、當點R在直線1右側時，

拋物線的對稱軸為x=l,

點Q(1,D，

如圖

過點P作PG±1于G,過點R作RH±1于H,

則PG=x-l,GQ=X2+X+3,

由NPGO=90。知ZGPQ+ZPQG=90°

VPQ=RQ,ZPQR=90°

ZPQG+ZRQH=90°

得：ZGPQ=ZRQH,

.?.△PQG四△QRH

RH=GQ=--X2+X+3,QH=PG=X-1,

2

/.R(-—X2+X+4,2-X)

2

由①知，直線BD的解析式為y=-；x+2,

/?——(——X2+X+4)+2=2-x,

22

解得：x=2或x=4(舍)

當x=2時，y=4,即P(2,4)；

II、當點R，在直線1左側時，

設點P，(x,-x2+x+4)(l<x<4),

過點P'作P'GL于G，，過點R5作R，H_L1于H,

同理，△P'QG'/△QR'H，

；.R'H'=G'Q=—gX2+X+3,QH'=P'G'=X-1,

；.R'(—x2-x-2,x)

2

同理得：—工（1X2-X-2）+2=x,

22

解得：x=-1+V13,或x=-l-VH（舍）

即P坐標為（-1+J1百，29-4）.

即滿足條件的點P的坐標為（2,4）或（-1+JI?,2拒-4）.

6.12020?四川宜賓】如圖，已知二次函數的圖象頂點在原點，且點（2,1）在二次函數的圖象上，過點F

（0,1）作尤軸的平行線交二次函數的圖象于M、N兩點.

（1）求二次函數的表達式；

（2）P為平面內一點，當△「阿是等邊三角形時，求點P的坐標；

（3）在二次函數的圖象上是否存在一點E,使得以點E為圓心的圓過點F和點N,且與直線y=-1相切.若

存在，求出點E的坐標，并求。E的半徑；若不存在，說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）???二次函數的圖象頂點在原點，

故設二次函數表達式為：將（2,1）代入上式并解得：a=

故二次函數表達式為：y="；

（2）將y=l代入尸￥并解得：x=±2,故點M、N的坐標分別為（-2,1）、（2,1）,

則MN=4,

'：APMN是等邊三角形,

：.點P在y軸上且PM=4,

:.PF=2回

?.?點產（0,1）,

.?.點P的坐標為（0,1+2/）或（0,L-2V3）；

（3）假設二次函數的圖象上是否存在一點E滿足條件，

設點。是尸N的中點，則點。(1,1),

故點E在FN的中垂線上.

:.點、E是FN的中垂線與y=%?圖象的交點，

11