專題19應用題（函數、不等式、方程）

—.解答題

1.（2022?廣西梧州）梧州市地處亞熱帶，盛產龍眼.新鮮龍眼的保質期短，若加工成龍眼干（又叫帶殼圓

肉）則有利于較長時間保存.已知3kg的新鮮龍眼在無損耗的情況下可以加工成1kg的龍眼干.

（1）若新鮮龍眼售價為12元/kg,在無損耗的情況下加工成龍眼干，使龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的

銷售收益，則龍眼干的售價應不低于多少元/kg?

（2）在實踐中，小蘇發現當地在加工龍眼干的過程中新鮮龍眼有6%的損耗，為確保果農的利益，龍眼干的銷

售收益應不低于新鮮龍眼的銷售收益，此時龍眼干的定價取最低整數價格.市場調查還發現，新鮮龍眼以

12元/kg最多能賣出100kg,超出部分平均售價是5元/kg,可售完.果農們都以這種方式出售新鮮龍眼.設

某果農有akg新鮮龍眼，他全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差為w元,

請寫出w與。的函數關系式.

【答案】（1）龍眼干的售價應不低于36元/kg

<100）

⑵w=150

^|^-700,（aN100）

【分析】（1）設龍眼干的售價應不低于x元/kg,新鮮龍眼共3a千克，得到總收益為12x3a=36a元；加工成龍

眼干后總收益為"元，再根據龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益得到不等式辦N36a,解出即可；

（2）設龍眼干的售價為y元/千克，當。<100千克時求出新鮮龍眼的銷售收益為12。元，龍眼干的銷售收益為

^ay元，根據“龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，且龍眼干的定價取最低整數價格”得到

47

瓦分312a,解出y=39；然后再當。2100千克時同樣求出新鮮龍眼收益與龍眼干收益，再相減即可求解.

（1）解：設龍眼干的售價應不低于x元/kg,設新鮮龍眼共3a千克，總銷售收益為12x3a=36a（元），

加工成龍眼干后共。千克，總銷售收益為xxa=?x1元），

???龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，

.,.ax>?i6a,解出：x>36,故龍眼干的售價應不低于36元/kg.

147

⑵解：。千克的新鮮龍眼一共可以加工成不（16%）.=夙。千克龍眼干，設龍眼干的售價為y元/千克，則

龍眼干的總銷售收益為盤47分元，

當aVIOO千克時，新鮮龍眼的總收益為12a元，

???龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，

47…皿、012'1501800?…一

..——ay312。，解出y?----------------?38.3兀,

1504747

又龍眼干的定價取最低整數價格，,y=39,

龍眼干的銷售總收益為齋a?39詈a,

此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差卬=詈。-12a=呼元;

當a>100千克時，新鮮龍眼的總收益為12?1005（。-100）=（5。+700）元,

龍眼干的總銷售收益為萬〃元，

此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差

611/361〃

w=----a-（5Q+700）=（--------700）元,

5050

町,（小。。）

故w與。的函數關系式為w=<

^^-700,（?>100）

【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用、一次函數的實際應用等，本題的關鍵是讀懂題意，明確題中

的數量關系，正確列出函數關系式或不等式求解.

2.（2022?黑龍江）學校開展大課間活動，某班需要購買A、8兩種跳繩.已知購進10根A種跳繩和5根8

種跳繩共需175元：購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元.

（1）求購進一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？

（2）設購買A種跳繩m根，若班級計劃購買4、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，

則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？

【答案】⑴購進一根A種跳繩需10元，購進一根8種跳繩需15元

（2）有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，2種跳繩22根；方案二：購買A種跳繩24根，2種跳繩21

根；方案三：購買4種跳繩25根，2種跳繩20根

（3）方案三需要費用最少，最少費用是550元

10x+5y=175

【分析】（1）設購進一根A種跳繩需尤元，購進一根2種跳繩需y元，可列方程組

15x+10y=300

解方程組即可求得結果;

10m+15（45-m）＜560

（2）根據題意可列出不等式組解得:23<m<25.4,由此即可確定方案;

10m+15（45-m）＞548'

（3）設購買跳繩所需費用為w元，根據題意，得w=l。加+15（45-加）=-5機+675,結合函數圖像的性質,

可知w隨m的增大而減小，即當m=25時=-5X25+675=550.

（1）解：設購進一根A種跳繩需尤元，購進一根8種跳繩需y元,

10x+5y=175%=10

根據題意,,解得

15x+10y=300y=15

答：購進一根A種跳繩需10元，購進一根2種跳繩需15元;

10m+15（45-m）<560

（2）根據題意,得

10m+15（45-771）>548；

解得23<7〃<25.4,

?.?根為整數，；.根可取23,24,25.

有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，8種跳繩22根；

方案二：購買A種跳繩24根，B種跳繩21根；

方案三：購買A種跳繩25根，2種跳繩20根；

（3）設購買跳繩所需費用為卬元，根據題意，得w=10〃z+15（45-〃/）=-5根+675

*/-5<0,；.卬隨機的增大而減小，

，當加=25時，w有最小值，即w=—5x25+675=550（元）

答：方案三需要費用最少，最少費用是550元.

【點睛】本題主要考查的是不等式應用題、二元一次方程組應用題、一次函數相關應用題，根據題意列出

對應的方程是解題的關鍵.

3.（2022?黑龍江牡丹江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰.某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動

鞋.其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：

運動鞋

甲乙

價格

進價（元/雙）mm-20

售價（元/雙）240160

已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同.

（1）求相的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價-進價）不少于21700

元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋

進行優惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優惠。（50<a<70）元出售，乙種運動鞋價格不變.那么該專

賣店要獲得最大利潤應如何進貨？

【答案】(1)777=10；(2)11種；(3)購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙，可獲得最大利潤

【分析】(1)用總價除以單價表示出購進鞋的數量，根據兩種鞋的數量相等列出方程求解即可.

(2)設購進甲種運動鞋x雙，表示出乙種運動鞋(200-x)雙，然后根據總利潤列出一元一次不等式，求

出不等式組的解集后，再根據鞋的雙數是正整數解答.

(3)設總利潤為W,根據總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據一次函數的增減性分情況討論

求解即可.

【詳解】斛：(1)依題顯得，----=....->

mm-20

去分母得,3000(m-20)-2400m,解得m=100.

經檢驗，根=100是原分式方程的解〃z=100.

(2)設購進甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋(200-%)雙，

(240-100)x+(160-80)(200-x)>21700①

根據題意得,

\240-100)x+(160-80)(200-x)<22300②

解不等式①得，應95,解不等式②得，立105,

不等式組的解集是95Ml05.

?.?尤是正整數，105-95+1=11,.?.共有11種方案.

(3)設總利潤為W,則W=(140-a)x+80(200-x)=(60-a)x+16000(95姿105),

①當50<a<60時，60-a>0,W隨x的增大而增大，

.?.當x=105時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋105雙，購進乙種運動鞋95雙.

②當a=60時，60-a=0,W=16000,(2)中所有方案獲利都一樣.

③當60<。<70時，60-a<0,W隨x的增大而減小，

.?.當x=95時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙.

4.(2022?福建)在學校開展“勞動創造美好生活”主題系列活動中，八年級(1)班負責校園某綠化角的設計、

種植與養護.同學們約定每人養護一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數不少于吊

蘭盆數的2倍.已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元.

(1)采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆？

(2)規劃組認為有比390元更省錢的購買方案，請求出購買兩種綠植總費用的最小值.

【答案】⑴購買綠蘿38盆，吊蘭8盆

(2)369元

%+y=46

【分析】（1）設購買綠蘿X盆，購買吊蘭y盆，根據題意建立方程組c-“八，解方程組即可得到答

[9x+6y=390

案；（2）設購買綠蘿x盆，購買吊蘭V盆，總費用為z,得到關于z的一次函數z=-3y+414,再建立關于V

的不等式組，解出，的取值范圍，從而求得z的最小值.

⑴設購買綠蘿x盆，購買吊蘭V盆

計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆:.x+y=46

???采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元

9x+6y=390

得方程組〔9x+6戶39。解方程組得x=38

y=8

V38>2x8,符合題意...購買綠蘿38盆，吊蘭8盆；

（2）設購買綠蘿x盆，購買吊蘭吊y盆，總費用為z

x+y=46,z=9:r+6y

/.z=414-3y

:總費用要低于過390元，綠蘿盆數不少于吊蘭盆數的2倍

414-3y<390414一3y<390

將x=46-y代入不等式組得

尤22y46—y>2y

.?.8<”三,,的最大值為15

z=-3y+414為一次函數，隨，值增大而減小

y=15時,z最小，x=46-y=31z=9無+6y=369元

故購買兩種綠植最少花費為369元.

【點睛】本題考查二元一次方程組、一次函數、不等式組的性質，解題的關鍵是數量掌握二元一次方程組、

一次函數、不等式組的相關知識.

5.（2022?湖北恩施）某校計劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學基地開展綜合實踐活動.已知租用

一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元.甲型客車每輛

可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生.

（1）租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？（2）若學校計劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費用最少？

【答案】（1）甲種客車每輛200元，乙種客車每輛300元

（2）租用甲種客車5輛，乙種客車3輛，租車費用最低為1900元

【分析】（i）可設甲種客車每輛x元，乙種客車每輛y元，根據等量關系：一輛甲型客車和一輛乙型客車共

需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元，列出方程組求解即可；

（2）設租車費用為卬元，租用甲種客車。輛，根據題意列出不等式組，求出。的取值范圍，進而列出w關

于。的函數關系式，根據一次函數的性質求解即可.

（1）解：設甲種客車每輛x元，乙種客車每輛y元，依題意知，

[f2xx++y3=y5=010300'解得f1xy==23000'

答：甲種客車每輛200元，乙種客車每輛300元；

（2）解：設租車費用為w元，租用甲種客車。輛，則乙種客車（8-a）輛，

15G+25（8—a）N150,

解得：a<5,

w=200a+300（8—a）=—100。+2400,

-100<0,

???■隨。的增大而減小，

。取整數，

:?a最大為5,

二。=5時，費用最低為—100x5+2400=1900（元），

8-5=3（輛）.

答：租用甲種客車5輛，乙種客車3輛，租車費用最低為1900元.

【點睛】本題考查一次函數的應用，一元一次不等式組及二元一次方程組的應用，解決本題的關鍵是讀懂

題意，找到符合題意的不等關系式及所求量的等量關系.

6.（2022?廣西梧州）梧州市地處亞熱帶，盛產龍眼.新鮮龍眼的保質期短，若加工成龍眼干（又叫帶殼圓

肉）則有利于較長時間保存.已知3kg的新鮮龍眼在無損耗的情況下可以加工成1kg的龍眼干.

（1）若新鮮龍眼售價為12元/kg,在無損耗的情況下加工成龍眼干，使龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的

銷售收益，則龍眼干的售價應不低于多少元/kg?

（2）在實踐中，小蘇發現當地在加工龍眼干的過程中新鮮龍眼有6%的損耗，為確保果農的利益，龍眼干的銷

售收益應不低于新鮮龍眼的銷售收益，此時龍眼干的定價取最低整數價格.市場調查還發現，新鮮龍眼以

12元/kg最多能賣出100kg,超出部分平均售價是5元/kg,可售完.果農們都以這種方式出售新鮮龍眼.設

某果農有akg新鮮龍眼，他全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差為卬元,

請寫出W與。的函數關系式.

【答案】⑴龍眼干的售價應不低于36元/kg

-77->(0<1。。)

(2)卬

^|^-700,(a>100)

【分析】(1)設龍眼干的售價應不低于x元/kg,新鮮龍眼共3a千克，得到總收益為12x34=36。元；加工成龍

眼干后總收益為融元，再根據龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益得到不等式axN36a,解出即可；

(2)設龍眼干的售價為y元/千克，當a<100千克時求出新鮮龍眼的銷售收益為12a元，龍眼干的銷售收益為

47

—ay元，根據“龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，且龍眼干的定價取最低整數價格”得到

47

而今312°,解出y=39；然后再當。2100千克時同樣求出新鮮龍眼收益與龍眼干收益，再相減即可求解.

(1)解：設龍眼干的售價應不低于x元/kg,設新鮮龍眼共3a千克，總銷售收益為12x3a=36a(元)，

加工成龍眼干后共。千克，總銷售收益為我斫辦1元)，

???龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，

.,.ax>36a,

解出：x>36,

故龍眼干的售價應不低于36元/kg.

147

(2)解：。千克的新鮮龍眼一共可以加工成§?(16%加=而。千克龍眼干，設龍眼干的售價為y元/千克，則

龍眼干的總銷售收益為4急7Q元，

當a<100千克時，新鮮龍眼的總收益為12a元，

?..龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益,

4712'1501800

—6ry312a,解出y??38.3元,

4747

又龍眼干的定價取最低整數價格，...y=39,

...龍眼干的銷售總收益為嗇。？39黑a,

此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差卬=詈。-124=/元;

當a>100千克時，新鮮龍眼的總收益為12?1005(a-100)=(5a+700)元,

龍眼干的總銷售收益為黑。元,

此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差

611"rcc、361O一

w--^-a-（5a+700）z-700）兀,

故VV與。的函數關系式為vv=，

^^-700,（〃〉100）

I50

【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用、一次函數的實際應用等，本題的關鍵是讀懂題意，明確題中

的數量關系，正確列出函數關系式或不等式求解.

7.(2022?黑龍江)學校開展大課間活動，某班需要購買A、2兩種跳繩.已知購進10根A種跳繩和5根8

種跳繩共需175元：購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元.

(1)求購進一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？

(2)設購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，

則有哪幾種購買方案？

(3)在(2)的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？

【答案】(1)購進一根A種跳繩需1。元，購進一根8種跳繩需15元

(2)有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，8種跳繩22根；方案二：購買A種跳繩24根，8種跳繩21

根；方案三：購買A種跳繩25根，2種跳繩20根

(3)方案三需要費用最少，最少費用是550元

10x+5y=175

【分析】(1)設購進一根A種跳繩需無元，購進一根8種跳繩需y元，可列方程組

15x+10y=300

解方程組即可求得結果;

10〃?+15(45-〃。4560

(2)根據題意可列出不等式組加+15；45-第548,解得：23-54由此即可確定方案;

(3)設購買跳繩所需費用為w元，根據題意，得w=10”z+15(45-加)=-57W+675,結合函數圖像的性質,

可知川隨加的增大而減小，即當根=25時=—5x25+675=550.

(1)解：設購進一根A種跳繩需尤元，購進一根2種跳繩需y元,

10x+5y=175

根據題意,,解得

15x+10y=300

答：購進一根A種跳繩需10元，購進一根8種跳繩需15元;

10m+15（45-m）＜560

(2)根據題意,得《解得23＜相425.4,

10m+15（45-m）＞548

為整數,，根可取23,24,25.

有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，8種跳繩22根；

方案二：購買A種跳繩24根，2種跳繩21根；

方案三：購買A種跳繩25根，8種跳繩20根；

（3）設購買跳繩所需費用為w元，根據題意，得川=10m+15（45-〃/）=-5m+675

V-5<0,隨加的增大而減小,

二當m=25時，w有最小值，即w=—5x25+675=550（元）

答：方案三需要費用最少，最少費用是550元.

【點睛】本題主要考查的是不等式應用題、二元一次方程組應用題、一次函數相關應用題，根據題意列出

對應的方程是解題的關鍵.

8.（2022?黑龍江牡丹江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰.某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動

鞋.其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：

運動鞋

甲乙

價格

進價（元/雙）mm-20

售價（元/雙）240160

已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同.

（1）求相的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價-進價）不少于21700

元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？

（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優惠a（50

<a<70）元出售，乙種運動鞋價格不變.那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？

【答案】（1）771=10；（2）11種；（3）購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙，可獲得最大利潤

【分析】（1）用總價除以單價表示出購進鞋的數量，根據兩種鞋的數量相等列出方程求解即可.

（2）設購進甲種運動鞋x雙，表示出乙種運動鞋（200-x）雙，然后根據總利潤列出一元一次不等式，求

出不等式組的解集后，再根據鞋的雙數是正整數解答.

（3）設總利潤為W,根據總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據一次函數的增減性分情況討論

求解即可.

……皿八、30002400

【詳解】解：（1）依題思得，----=———,

去分母得，3000(m-20)=2400m,解得根=100.

經檢驗，加二100是原分式方程的解.???根=100.

(2)設購進甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋(200-x)雙,

,尸土f(240-100)x+(160-80)(200-x)>21700①

根據題思得，｛的40-100)x+“60_80j(200_x)<22300②，

解不等式①得，史95,解不等式②得，爛105,

二不等式組的解集是95Ml05.

是正整數，105-95+1=11,

二共有11種方案.

(3)設總利潤為W,則W=(140-a)x+80(200-x)=(60-a)x+16000(95<x<105),

①當50<aV60時，60-a>0,W隨x的增大而增大，

.?.當x=105時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋105雙，購進乙種運動鞋95雙.

②當a=60時，60-a=0,W=16000,(2)中所有方案獲利都一樣.

③當60<a<70時，60-a<0,卬隨x的增大而減小，

.?.當x=95時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙.

9.(2022?福建)在學校開展“勞動創造美好生活”主題系列活動中，八年級(1)班負責校園某綠化角的設計、

種植與養護.同學們約定每人養護一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數不少于吊

蘭盆數的2倍.已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元.

(1)采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆？

(2)規劃組認為有比390元更省錢的購買方案，請求出購買兩種綠植總費用的最小值.

【答案】⑴購買綠蘿38盆，吊蘭8盆

(2)369元

[x+y=46

【分析】(I)設購買綠蘿X盆，購買吊蘭y盆，根據題意建立方程組c:一八，解方程組即可得到答

[9x+6y=390

案；(2)設購買綠蘿x盆，購買吊蘭V盆，總費用為z,得到關于z的一次函數z=-3y+414,再建立關于V

的不等式組，解出，的取值范圍，從而求得z的最小值.

⑴設購買綠蘿X盆，購買吊蘭y盆

:計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆

/.x+y=46

?.?采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元

9x+6y=390

x+y=46

得方程組

9x+6y=390

解方程組得

[y=8o

V38>2x8,符合題意

.,.購買綠蘿38盆，吊蘭8盆；

(2)設購買綠蘿x盆，購買吊蘭吊V盆，總費用為z

x+y=46,z=9x+6y

z=414-3y

??,總費用要低于過390元，綠蘿盆數不少于吊蘭盆數的2倍

.J414-3y<390

,[x>2y

414一3y<390

將％=46-y代入不等式組得

46-”2y

.?.8〈”竺

3

二y的最大值為15

；z=-3y+414為一次函數，隨y值增大而減小

y=15時，z最小

x=46—y=31

z=9x+6y=369元

故購買兩種綠植最少花費為369元.

【點睛】本題考查二元一次方程組、一次函數、不等式組的性質，解題的關鍵是數量掌握二元一次方程組、

一次函數、不等式組的相關知識.

10.(2022?湖北恩施)某校計劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學基地開展綜合實踐活動.已知租用

一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元.甲型客車每輛

可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生.

(1)租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？

(2)若學校計劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費用最少？

【答案】（1）甲種客車每輛200元，乙種客車每輛300元

（2）租用甲種客車5輛，乙種客車3輛，租車費用最低為1900元

【分析】（1）可設甲種客車每輛x元，乙種客車每輛V元，根據等量關系：一輛甲型客車和一輛乙型客車共

需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元，列出方程組求解即可；

（2）設租車費用為卬元，租用甲種客車。輛，根據題意列出不等式組，求出。的取值范圍，進而列出w關

于。的函數關系式，根據一次函數的性質求解即可.

（1）解：設甲種客車每輛x元，乙種客車每輛V元，依題意知，

\x+y-500（x-200

1o]力。'解得]ann,

[29尤+3y=1300[y=300

答：甲種客車每輛200元，乙種客車每輛300元；

（2）解：設租車費用為?元，租用甲種客車。輛，則乙種客車（8-。）輛，

15a+25（8-a）>150,

解得：a<5,

w=200a+300（8—a）=—100。+2400,

-100<0,

??.w隨a的增大而減小，

“取整數，

二。最大為5,

二。=5時，費用最低為—100x5+2400=1900（元）,

8-5=3（輛）.

答：租用甲種客車5輛，乙種客車3輛，租車費用最低為1900元.

【點睛】本題考查一次函數的應用，一元一次不等式組及二元一次方程組的應用，解決本題的關鍵是讀懂

題意，找到符合題意的不等關系式及所求量的等量關系.

11.（2022?廣西河池）為改善村容村貌，陽光村計劃購買一批桂花樹和芒果樹.己知桂花樹的單價比芒果樹

的單價多40元，購買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元.

（1）桂花樹和芒果樹的單價各是多少元？

（2）若該村一次性購買這兩種樹共60棵，且桂花樹不少于35棵.設購買桂花樹的棵數為小總費用為w元，

求w關于〃的函數關系式，并求出該村按怎樣的方案購買時，費用最低？最低費用為多少元？

【答案】（1）桂花樹單價90元/棵，芒果樹的單價50元/棵；

⑵w=40〃+3000（35W〃V60）；當購買35棵掛花樹，25棵芒果樹時，費用最低，最低費用為4400元.

【分析】（1）設桂花樹單價x元/棵，芒果樹的單價y元/棵，根據桂花樹的單價比芒果樹的單價多40元，購

買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元，列出二元一次方程組解出即可；

（2）設購買掛花樹”棵，則芒果樹為（60-〃）棵，根據題意求出w關于”的函數關系式，然后根據桂花樹

不少于35棵求出w的取值范圍，再根據n是正整數確定出購買方案及最低費用.

（1）解：設桂花樹單價x元/棵，芒果樹的單價y元/棵，

—[x=y+40

根據題意得：]RM，

[3x+2y=370

右,以=90

解得：力，

b=50

答：桂花樹單價90元/棵，芒果樹的單價50元/棵；

（2）設購買桂花樹的棵數為n,則購買芒果樹的棵數為（60-〃）棵，

根據題意得W=907?+50（60-M）=40/7+3000（35<n<60）,

40>0,

隨〃的增大而增大，

...當〃=35時，w最小=40x35+3000=4400元，

止匕時（60—九）=60—35=25,

???當購買35棵掛花樹，25棵芒果樹時，費用最低，最低費用為4400元.

【點睛】本題考查了一次函數的應用，二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，解決問題的關鍵

是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系和不等關系.

12.（2022?遼寧錦州）某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發現.，日銷售量y（個）

與銷售單價無（元）之間滿足如圖所示的一次函數關系.

W個

50..................\

30--------------X

||\

~62535^元

(1)求y與x的函數關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；

(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？

(3)設該玩具日銷售利潤為卬元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元?

【答案】⑴y=-2x+ioo；

(2)40元或20元；

(3)當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元；

【分析】(1)直接由待定系數法，即可求出一次函數的解析式；

(2)根據題意，設當天玩具的銷售單價是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；

(3)根據題意，列出w與x的關系式，然后利用二次函數的性質，即可求出答案.

(1)解：由圖可知，設一次函數的解析式為丫=履+"

把點(25,50)和點(35,30)代入，得

[25左+6=501左=一2

135左+6=30'解得日=100'

一次函數的解析式為V=-2x+100；

(2)解：根據題意，設當天玩具的銷售單價是X元，則

(x-10)x(-2x+100)=600,

解得：網=40,x2=20,

當天玩具的銷售單價是40元或20元；

(3)解:根據題意，則

w=(x-10)x(—2x+100),

整理得：w=-2(x-30)2+800；

V-2<0,

.?.當x=30時，卬有最大值，最大值為800；

.??當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的最值，一次函數的應用，解一元二次方程，解題的關鍵

是熟練掌握題意，正確的找出題目的關系，從而進行解題.

13.（2022?內蒙古呼和浩特）今年我市某公司分兩次采購了一批土豆，第一次花費30萬元，第二次花費50

萬元，已知第一次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格上漲了200元，第二次采購時每噸土豆的價格

比去年的平均價格下降了200元，第二次的采購數量是第一次采購數量的2倍.

（1）問去年每噸土豆的平均價格是多少元？

（2）該公司可將土豆加工成薯片或淀粉，因設備原因，兩種產品不能同時加工，若單獨加工成薯片，每天可

加工5噸土豆，每噸土豆獲利700元；若單獨加工成淀粉，每天可加工8噸土豆，每噸土豆獲利400元.由

于出口需要，所有采購的土豆必須全部加工完且用時不超過60天，其中加工成薯片的土豆數量不少于加工

成淀粉的土豆數量的為獲得最大利潤，應將多少噸土豆加工成薯片？最大利潤是多少？

【答案】（1）去年每噸土豆的平均價格是2200元

（2）應將175噸土豆加工成薯片，最大利潤為202500元

【分析】（1）設去年每噸土豆的平均價格是x元，則第一次采購的平均價格為（元+200）元，第二次采購的

平均價格為（x-200）元，根據第二次的采購數量是第一次采購數量的兩倍，據此列方程求解;

（2）先求出今年所采購的土豆棗數，根據所有采購的土豆必須全部加工完且用時不超過60天，其中加工

成薯片的土豆數量不少于加工成淀粉的土豆數量的據此列不等式組求解，然后求出最大利潤.

（1）設去年每噸土豆的平均價格是x元,

300000。500000

由題意得,_____x2=_____

x+200x-200

解得：x=2200,

經檢驗：X=2200是原分式方程的解，且符合題意,

答：去年每噸土豆的平均價格是2200元;

⑵由（1）得，今年的土豆數為：嘿程x3=375（噸）,

設應將優噸土豆加工成薯片，則應將（375-m）噸加工成淀粉,

m>^（375-m）

由題意得,

m375-m

—i---------------<60

[58

解得：150W機W175,

總利潤為：700m+400（375-/7?）=300/M+150000,

當m=175時，利潤最大，最大利潤為：300x175+150000=202500（元）.

答：應將175噸土豆加工成薯片，最大利潤為202500元.

【點睛】此題考查了分式方程和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出

合適的等量關系，列方程求解.

14.（2022?廣西）打油茶是廣西少數民族特有的一種民俗，某特產公司近期銷售一種盒裝油茶，每盒的成本

價為50元，經市場調研發現，該種油茶的月銷售量y（盒）與銷售單價x（元）之間的函數圖像如圖所示.

（1）求y與x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

（2）當銷售單價定為多少元時，該種油茶的月銷售利潤最大?求出最大利潤.

【答案】(l)y=-5x+500,50cx<100

(2)75元，3125元

80左+6=100一

【分析】（1）設直線的解析式為產履+6,根據題意，得6。…=2。。’確定解析式，結合圖像確定自變

量取值范圍是50cx<100.

（2）設銷售單價為x元，總利潤為w元，根據題意構造二次函數，根據函數的最值計算即可.

⑴

設直線的解析式為產入+6,根據題意，得

80k+6=100

60左+6=200'

k=-5

解得

8=500

函數的解析式為y=-5x+500,

當y=0時，-5x+500=0,

解得x=100,

結合圖像，自變量取值范圍是50Vx<100.

⑵

設銷售單價為x元，總利潤為w元，根據題意，得：

W=(x-50)(-5x+500)

=-75)2+3125,

V-5<0,

w有最大值，且當x=75時，w有最大值，為3125,

故銷售單價定為75元時，該種油茶的月銷售利潤最大；最大利潤是3125元.

【點睛】本題考查了待定系數法確定一次函數的解析式，構造二次函數求最值，熟練掌握待定系數法，正

確構造二次函數是解題的關鍵.

15.(2022?遼寧)某文具店購進一批單價為12元的學習用品，按照相關部門規定其銷售單價不低于進價，

且不高于進價的1.5倍，通過分析銷售情況，發現每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)滿足一次函數

關系，且當x=15時，>=50；當x=17時，y=30.

(D求丁與龍之間的函數關系式；

(2)這種學習用品的銷售單價定為多少時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

【答案】(l)y與x之間的函數關系式為、=-10尤+200

(2)這種學習用品的銷售單價定為16元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是160元.

【分析】(1)設y與x之間的函數關系式為>=履+"然后代值求解即可；

(2)設每天獲得的利潤為w元，由(1)可得w=(x-12)(),進而根據二次函數的性質可求解.

(1)

解：設y與x之間的函數關系式為i=履+"由題意得：

115左+人=501左=一10

117左+6=30'解得：1b=200'

???丁與尤之間的函數關系式為>=-lOx+200；

⑵

解：設每天獲得的利潤為w元，由(1)可得：

w=(x-12)(-10x+200)=-10%2+320x-2400=-10(.r-16)2+160,

V12<x<18,且-10<0,

.?.當x=16時，w有最大值，最大值為160；

答：這種學習用品的銷售單價定為16元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是160元.

【點睛】本題主要考查一次函數與二次函數的應用，熟練掌握一次函數與二次函數的圖象與性質是解題的

關鍵.

16.(2022?黑龍江大慶)果園有果樹60棵，現準備多種一些果樹提高果園產量.如果多種樹，那么樹之間

的距離和每棵果樹所受光照就會減少，每棵果樹的平均產量隨之降低.根據經驗，增種10棵果樹時，果園

內的每棵果樹平均產量為75kg.在確保每棵果樹平均產量不低于40kg的前提下，設增種果樹無(x>0且尤

為整數)棵，該果園每棵果樹平均產量為ykg,它們之間的函數關系滿足如圖所示的圖象.

(1)圖中點P所表示的實際意義是，每增種1棵果樹時，每棵果樹平均產量減少

____________kg；

(2)求y與尤之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

(3)當增種果樹多少棵時，果園的總產量w(kg)最大？最大產量是多少？

【答案】(1)增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg；0.5

(2)y與x的函數關系式為y=-0.5_x+80(0〈xW80)

(3)增種果樹50棵時，果園的總產量最大，最大產量是6050kg

【分析】(1)①根據圖像可知，增種果樹為無(尤>0且x為整數)棵，該果園每棵果樹平均產量為ykg,可以

得出圖中點尸表示的實際意義；②根據增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為75kg.增種28棵

果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg,可以得出每增種1棵果樹時，每棵果樹平均產量減少的量；

(2)根據增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為75kg.增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為

66kg,設y與x的函數關系式為將_x=10,y=75；x=28,y=66代入可得y與x的函數關系式；

(3)根據題意，果園的總產量w=每棵果樹平均產量ykgx果樹總棵樹；可得w與x的二次函數關系式，根據

二次函數的圖像和性質即可解得.

(1)

①根據圖像可知，設增種果樹X(x>0且X為整數)棵，該果園每棵果樹平均產量為ykg,

所以圖中點尸表示的實際意義是：增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg,

所以答案為：增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg,

②根據增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為75kg.

增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg,

可以得出：每增種1棵果樹時，每棵果樹平均產量減少為：

(75-66)+(28-10)=9+18=0.5(kg)

所以答案為：0.5

(2)

根據增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為75kg.增種28棵果樹時,每棵果樹的平均產量為66kg,

設y與元的函數關系式為y=kx+b

將廣10,y=75；x=28,y=66代入可得

J10左+6=75

j28%+6=66

與x的函數關系式為y=-0.5x+80(0<x<80)

(3)

根據題意，果園的總產量卬=每棵果樹平均產量ykgx果樹總棵樹可得

w=(-0.5x+80)(60+x)

=-0.5尤2+50x+4800

Va=-0.5<0

所以當x=-'=一丁緣人=5。時，卬有最大值

2a2x(-0.5)

w最大=6050

所以增種果樹50棵時，果園的總產量最大，最大產量是6050kg

【點睛】本題考查了一次函數，二次函數的應用，解答本題的關鍵是看懂圖像，明確題意，列出相應的函

數關系式，利用二次函數的性質解答.

17.(2022?湖北武漢)在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始

2減速，此時白球在黑球前面70cm處.

白球

O

小聰測量黑球減速后的運動速度V（單位：cm/s）、運動距離y（單位：cm）隨運動時間f（單位：s）變

化的數據，整理得下表.

運動時間〃S01234

運動速度v/cm/s109.598.58

運動距離y/8109.751927.7536

小聰探究發現，黑球的運動速度n與運動時間f之間成一次函數關系，運動距離V與運動時間f之間成二次函

數關系.

（1）直接寫出v關于f的函數解析式和V關于f的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）

（2）當黑球減速后運動距離為64cm時，求它此時的運動速度；

（3）若白球:直以2cm/s的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球？請說明理由.

【答案】（l）v=-51+1。，y=——+10?

（2）6cm/s

（3）黑、白兩球的最小距離為6cm,大于0,黑球不會碰到白球

【分析】（1）根據黑球的運動速度v與運動時間f之間成一次函數關系，設表達式為代入兩組數值

求解即可；根據運動距離，與運動時間f之間成二次函數關系，設表達式為丁=“『+加+/代入三組數值求

解即可；（2）當黑球減速后運動距離為64cm時，代入（1）式中V關于f的函數解析式求出時間3再將f

代入v關于f的函數解析式，求得速度v即可；（3）設黑白兩球的距離為wcm,得到

時7。+2”尸寧-8+70,化簡即可求出最小值，于是得到結論.

（1）根據黑球的運動速度V與運動時間，之間成一次函數關系，設表達式為wk+4代入（0,10）,（1,9.5）

10=b

得,解得＜2,v=—t+10,

9.5=k+b2

b=10

根據運動距離y與運動時間，之間成二次函數關系，設表達式為y=4+C,代入（0,0）,（1,9.75）,

0=c

(2,19)得，9.75=a+b,解得?Z?=10,v=-■-?2+10?;

?-4

19=4a+26

(2)依題意，得-7廠+10f=64,

.?.產一40r+256=0,解得，4=8,t2=32；

當。=8