第01講相交線

-?模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1、了解無理數(shù)和實數(shù)的概念。

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2、會對實數(shù)按照一定標準進行分類

模塊三核心考點舉一反三3、掌握實數(shù)的相關(guān)概念，增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識

模塊四小試牛刀過關(guān)測提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

模塊一思維導(dǎo)圖串知識

同一平面內(nèi)-----------

位置關(guān)系I-------------------卜相交或平行

—■不重合-----------

對頂角無公共邊-----------

兩線四角------------------------Y有公共頂點

-----------軸卜角有共邊-----------

定義相交成90°

過一點與已知直線垂直在同一平面內(nèi)有且只有一條

痼|-------------------------------------------------------

-------------1點到直線的線段垂線段最短

同位角"F"形

三線八角內(nèi)錯角"Z"字形

同旁內(nèi)角"U"字形

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理-----------------------------

一、相交線

直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.

1.垂線

定義：當(dāng)兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做

另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

示例：如圖所示，直線AB,CD互相重直，記作：“ABLCD"（或“CDLAB”），讀作“AB垂直于CD"（或“CD

垂直于AB”）.如果垂是是0,記作“ABLCD,乘足為0”.

c

垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

【注意】

1）已知直線的垂線有無數(shù)條，但在同一平面內(nèi)，過一點畫已知直線的垂線只能畫一條.

2）必須強調(diào)在同一平面內(nèi)，若是在空間中，則經(jīng)過一點與已知直線垂直的直線有無數(shù)條.

垂線段的定義：如圖，點P為直線外一點,PO，m,垂足為0,稱P0為點P到直線m的垂線段.

垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P

與直線m上的各點連線中，線段P0最短.

點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

【注意】

1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，容易出現(xiàn)概念混淆的錯誤;

2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.

二、相交線中的角

1.對頂角與鄰補角

種類圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系

對頂角有公共一個角的兩邊分別是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4

頂點兩邊的反向延長線

鄰補角有公共兩個角有一條公共邊，且它們Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

一X

頂點的另一邊互為反向延長線.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

【補充說明】

1）對頂角的特征：1）有公共頂點；2）兩個角的兩邊互為反向延長線.

2）若兩個角互為對頂角，則它們一定相等，但兩個角相等，則它們不一定為對頂角.

2.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征

同位角在截線的同側(cè)，在被截兩形如字母“F”

條直線同側(cè)

內(nèi)錯角在截線的兩側(cè)，且夾在兩形如字母“Z”

條被截直線之間

同旁內(nèi)角在截線的同側(cè)，在被截兩形如字母“U”

條直線之間於

【補充】如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構(gòu)成8個角，簡稱為“三線八角”，其中共有4對同

位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角.

3模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：相交線的相關(guān)概念

1.（23-24七年級下?湖南郴州?期末）下列說法不正頌的是（）

A.兩點之間，線段最短

B.兩條直線相交，只有一個交點

C.兩直線平行，同旁內(nèi)角相等

D.過直線外一點與直線上的點所連接的線段中，垂線段最短

【答案】C

【分析】本題考查線段公理，平行線的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.根據(jù)

線段公理，平行線的性質(zhì)，垂線段最短等知識一一判斷即可.

【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，故本選項不符合題意；

B、兩條直線相交，只有一個交點，正確，故本選項不符合題意；

C、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，原說法錯誤，故本選項符合題意；

D、過直線外一點與直線上的點所連接的線段中，垂線段最短，正確，故本選項不符合題意；

故選：C.

2.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，已知。Nia,OM1a,所以。M與。N在同一條直線上的理由是

oa

A.兩點確定一條直線

B.經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線

C.過一點只能作一條垂線

D.垂線段最短

【答案】B

【分析】本題考查了垂線的基本事實，根據(jù)垂線的基本事實結(jié)合圖形得出結(jié)論是解題關(guān)鍵.利用同一平面

內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直進而得出答案即可.

【詳解】解：因為。Nia,OM1a,

所以直線。N與。M重合，

其理由是：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，

故選：B.

3.（23-24七年級下?廣東東莞?期中）如圖，N1與N2是對頂角的為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩邊互為反向延長線，這樣的兩

個角叫做對頂角，由此對各選項作出判斷即可.

本題考查對頂角的定義，解題的關(guān)鍵是理解對頂角的定義.

【詳解】解：根據(jù)對頂角的定義可知：只有選項C是對頂角，其它都不是.

故選C.

4.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）下列說法正確的有（）

①對頂角相等；

②互補的兩個角是鄰補角；

③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；

④若兩個角不是對頂角，則這兩個角一定不相等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念，熟記它們的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)對頂角的概念、鄰補角的概念判斷即可.

【詳解】解回①對頂角相等，說法正確；

②互補的兩個角不一定是鄰補角，本小題說法錯誤；

③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角，說法正確；

④兩個角不是對頂角，這兩個角也可能相等，本小題說法錯誤；

故選EIB.

5.（22-23七年級下?廣西南寧?期中）下列各圖中，N1與42互為鄰補角的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了對頂角.根據(jù)對頂角的定義：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個

角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角，進行判定即可得出答案.

【詳解】解：選項A和C中的圖形都沒有公共頂點，選項B中雖然有公共頂點，但一個角的兩邊不是另一

個角的兩邊的反向延長線，故選項A、B和C中的N1與N2不互為鄰補角；

根據(jù)對頂角的定義即可判斷D選項中，/I與N2互為鄰補角.

故選：D.

考點二：指出現(xiàn)實問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)

6,（24-25九年級上?貴州貴陽?期中）如圖,4B,C,6四點在直線Lt,點M在直線汐卜,MC1Z,若AL4=5cm,

【答案】A

【分析】本題主要考查了點到直線的距離，根據(jù)垂線的性質(zhì)：直線外一點到這條直線的垂線段最短，結(jié)合

條件進行解答即可，解題關(guān)鍵是熟練掌握點到直線的距離的定義和垂線的性質(zhì).

【詳解】如圖所示:

回點M到直線/的距離是垂線段MC的長度，為2cm,

故選：A.

7.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，欲在河岸4B上某處尸點修建一水泵站，將水引到村莊C處,

可在圖中畫出CP垂直4B,垂足為P,然后沿CP鋪設(shè)，則能使鋪設(shè)的管道長最短，這種設(shè)計的依據(jù)

是：?

C

4Pli8

【答案】垂線段最短

【分析】本題考查點到直線距離的知識，根據(jù)兩點之間垂線段最短即可得出答案.

【詳解】解：解：已知在河岸4B上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處，又知直線外一點到該直線

的最短距離是其垂線段，這種設(shè)計的依據(jù)是：垂線段最短，

故答案為：垂線段最短

8.（22-23七年級下?新疆博爾塔拉?期中）如圖是小凡同學(xué)在體育課上跳遠后留下的腳印，他的跳遠成績是

線段8N的長度，這樣測量的依據(jù)是.

【答案】垂線段最短

【分析】本題考查了垂線段最短，理解相關(guān)含義是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：測量的依據(jù)是垂線段最短，

故答案為：垂線段最短.

9.（22-23七年級下?北京西城?期末）如圖，在三角形2BC中，NC=90。，點B到直線AC的距離是線段的

長，的依據(jù)是

A

CD----------------------

【答案】BC垂線段最短

【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義即可說明B到直線4C的距離是線段是8C；在根據(jù)兩點之間垂線段最短

即可證明BC<B4.

【詳解】幺C=90°,

???AC1BC,

???點B到直線4C的距離是線段為BC；

???兩點之間垂線段最短，

BC<BA,

故答案為：BC,垂線段最短.

【點睛】本題考查了點到直線的距離定義及兩點之間垂線段最短，熟記知識點是解題的關(guān)鍵.

10.（23-24七年級下?北京?期末）如圖，若4811,BC1I,8為垂足，那么A,B,C三點在同一直線上，

其理由是.

Co

1B

【答案】在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【分析】本題考查的是垂線的性質(zhì)，利用在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直可得答

案.

【詳解】解:I3AB1I,BCA.I,B為垂足，

回48,C三點在同一直線上，

理由是：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

故答案為：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

考點三：畫垂線

11.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）利用網(wǎng)格畫圖：

⑴過點C畫的垂線，垂足為E；

（2）線段CE的長度是點C到直線的距離;

⑶連接C4CB,在線段C4,CB,CE中，線段最短.

【答案】⑴見詳解

(2)48

(3)CE

【分析】本題主要垂線及其做圖，點到直線的距離概念，垂線段最短，注意作圖的準確性.

(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點，利用直線與網(wǎng)格的夾角的關(guān)系找出與力B垂直的格點；

(2)根據(jù)點到直線的距離概念回答；

(3)根據(jù)垂線段最短直接回答即可.

(2)解：線段CE的長度是點C到直線AB的距離，

故答案為：AB；

(3)解：連接C4CB,在線段中，線段CE最短,

故答案為：CE.

12.(22-23七年級下?遼寧沈陽?階段練習(xí))如圖，點P是乙40B的邊0B上的一點.

⑴過點P畫。8的垂線，交04于點C；

(2)過點P畫。2的垂線段，垂足為H；

⑶點P到直線。力的距離為,線段的長度是點C到直線0B的距離;

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶PH,PC

【分析】本題主題考查了垂線的作法、點到直線距離的定義等知識點，掌握垂線和垂線段的區(qū)別與聯(lián)系成

為解題的關(guān)鍵.

（1）如圖取格點連接PD交。力于點C,直線PD即為所求；

（2）直接根據(jù)方格作圖即可；

（2）根據(jù)點到直線距離解答即可.

【詳解】（［）解：如圖：直線PD即為所求；

（2）解：如圖：線段即為所求.

（3）解：點P到直線的距離為PH,線段PC的長度是點C到直線。8的距離.

故答案為：PH,PC.

13.（24-25七年級上,全國?課后作業(yè)）如圖，已知銳角N40B,畫射線。C1。4射線。D1。8,并直接寫

出N/10B與NC。。的關(guān)系.

【答案】畫圖見解析；/-AOB=Z_C。。或44。8+4COD=180°

【分析】本題考查了垂線的定義，角的計算，同角的余角相等的性質(zhì)，難點在于分情況討論.

分。C、。。在邊。4的同側(cè)和異側(cè)分別作出圖形，然后分別進行計算即可得解.

【詳解】解：畫圖如圖①?④.^AOB=NC。。或乙4。8+乙COD=180°.

理由如下：如圖1,

EIOC1。4,OD1OB,

+Z.BOC=90°,/.COD+Z.BOC=90°,

團4AOB=乙COD；

如圖2,回。Cl。/,OD1OB,

D

②

國乙AOC=乙BOD=90°,

^AOB+乙BOC=Z.AOB+Z.AOD=90°,

回乙4。8+(BOC+Z,AOB+Z.AOD=180°,

又團4BOC+UOB+Z,AOC=乙COD,

^AOB+乙COD=180°；

如圖3,Z.AOB+乙COD=360°-^AOC-乙BOD=360°-90°-90°=180°；

D

③

如圖4,EOC1OA,OD1OB,

SZ.AOB+^AOD=90°,乙COD+4AOD=90°,

加LAOB=/.COD；

綜上所述，NAOB=NCOO或N40B+乙COD=180°.

考點四：判斷已知圖形中鄰補角的個數(shù)

14.（23-24七年級上?全國?單元測試）如圖，直線AB與CD相交于點0,OE是以。為頂點的一條射

線，圖中的對頂角和鄰補角各有（）

c

D

H

A.1對、3對B.2對、4對C.2對、6對D.3對、8對

【答案】C

【分析】本題考查了鄰補角與對頂角的定義，根據(jù)鄰補角與對頂角的定義找出鄰補角和對頂角即可求解.掌

握定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：圖中對頂角有：UOD與4BOC,4Aoe與乙BOD,共2對，

鄰補角有：Z71。。與N20C,乙AOD與乙BOD,4AOE與乙BOE,4C0E與4。。瓦N80C與N71。。，乙BOC與乙BOD,

共6對，

故選：C.

15.（23-24七年級下?天津河北?期中）如圖，直線AB,CD,EF相交于點。.貝吐20。的鄰補角是（）

A.NB。。和N40CB.NBOE和N40F

C.^DOF^ACOFD.乙BOC

【答案】A

【分析】本題考查了鄰補角的概念：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩

個角，互為鄰補角，根據(jù)鄰補角的概念解答是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)鄰補角的定義可知，乙40。的鄰補角是ZB。。和乙40C,

故選：A.

16.（22-23八年級上?黑龍江哈爾濱?周測）如圖，點。是直線AB上一點，自點。引射線。C、OD、OE、OF,

圖中共有一對鄰補角.

【答案】4

【分析】此題考查了鄰補角定義：和為180度的兩個有公共頂點且有公共邊的角是鄰補角，根據(jù)定義直接

解答.

【詳解】解：根據(jù)圖形可知，

AAOC+乙BOC=180°,UOD+乙BOD=180°,^AOE+乙BOE=180°,AAOF+乙BOF=180°,

故答案為4.

17.(22-23七年級下?河北滄州?階段練習(xí))如圖，直線28、CD相交于點O,^AOF=ADOE.

(2)NCOB的鄰補角是；

(3)如果440C=70°,4EOD=32°,那么N80E=.

【答案】2〃。4、乙BOD38。/38度

【分析】根據(jù)對頂角的定義及性質(zhì)、鄰補角的定義及性質(zhì)分析解答即可.

【詳解】解：(1)圖中的對頂角有乙力。。和NBOD；N力。。和NBOC；共2對，

故答案為：2；

(2)NCOB的令B補角是NC。力、「BOD,

故答案為：力、Z.BOD-,

(3)HZAOC=70°,

0ZBOD=Z.AOC=70°,

0ZFOZ)=32°,

EINBOE=乙BOD-乙EOD=38°,

故答案為：38。.

【點睛】本題考查了對頂角的定義及性質(zhì)、鄰補角的定義，熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

考點五：交叉圖形中的角度計算

18.(24-25七年級上?吉林長春,階段練習(xí))如圖，直線4B,CD相交于點0,04平分NEOC.

(1)若NEOC=70°,求N8。。的度數(shù)；

(2)若NEOC"。。=2:3,求NBOE的度數(shù).

【答案】⑴35。

(2)144°

【分析】本題考查角平分線的定義，對頂角相等，以及鄰補角的定義.

(1)由角平分線的定義可求出乙4OC=1NEOC=35。，再根據(jù)對頂角相等即可求解；

(2)設(shè)NE0C=2x,貝！UE0D=3X,根據(jù)NEOC+NE。。=180。，可列出關(guān)于x的方程，解出x的值，即

可求出NEOC的大小，進而可求出ABOE的大小.

【詳解】(1)解：???。4平分4￡'。。，

11

AAOC=-^EOC=-x70°=35°,

22

.-.乙BOD=/.AOC=35°；

(2)解：SZ.EOC-.Z.EOD=2:3,

設(shè)NEOC=2x,貝IJNEOD=3%,

回根據(jù)題意得2x+3%=180°,

解得：%=36°,

???4EOC=2x=72°,貝!UE04=36°,

???4BOE=180°-36°=144°.

19.(24-25七年級上?吉林長春?階段練習(xí))如圖，直線力B,CD相交于點O,OM1AB.

(1)若N1=N2,則42的余角有.

(2)^zl=-^BOC,求NBOD和N40D的度數(shù).

4

【答案】(l)zXOC,乙BOD

⑵乙4。。=120°,乙BOD=60°.

【分析】此題主要考查了垂直的定義，對頂角的性質(zhì)和鄰補角的定義計算，要注意領(lǐng)會由垂直得直角這一

要點.

(1)由垂線的性質(zhì)求得乙40M=NB。"=90。，然后根據(jù)等量代換及余角的定義解答；

(2)根據(jù)垂直的定義求得N4CW=Z.BOM=90°,再由=LBOC求得乙BOC=120°,然后根據(jù)鄰補角

4

定義和對頂角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：???OM1AB,41=42,

Z1+/.AOC=42+乙40C=90°,即“ON=90°,

0ZXOC=乙BOD,

N2的余角有：^AOC,乙BOD；

故答案為：^AOC,4B0D；

(2)解：???OM1AB,

???^AOM=4BOM=90°,

???A1=-^BOC,ABOC=ZBOM+Z1,

4

0Z1=30°,

3

???乙BOC=AAOD=120°,

0ZBOO=180°-4BOC=60°.

20.(23-24七年級上,吉林四平,期末)如圖，射線。力的方向是北偏東20。，射線。B的方向是北偏西35。、射

線。。是OB的反向延長線，且射線。4平分NBOC.解答下列各題：

⑴射線OC的方向是；

(2)求NC。。的度數(shù)；

⑶若射線OE的方向是東南方向，請直接寫出NCOE的度數(shù).

【答案】⑴北偏東75。

(2)zC0Z)=70°

(3)ZCO￡=60°

【分析】此題主要考查了方向角的表達，角平分線的定義，鄰補角，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)先求出乙4。8=55。，再求得4V0C的度數(shù)，即可確定OC的方向；

(2)根據(jù)乙4OB=55。，Z.AOC=Z.AOB,得出/.BOC=110°,進而求出NC。。的度數(shù)；

(3)根據(jù)NAOB=55。，ZXOC=Z.AOB,射線OE平分NCOD,即可求出NCOE=35。再利用N40C=55。求

出答案即可.

【詳解】⑴解：如圖：

回射線04的方向是北偏東20。，射線。B的方向是北偏西35。

0ZXOB=20°+35°=55°,

回射線。4平分NBOC

EL4OC=/.AOB=55°

0ZjVOC=20°+55°=75°,即射線OC的方向是北偏東75。；

(2)解：回乙4。8=55。，乙4。。=乙4。3,

0ZBOC=110°,

團“。。=180°-乙BOC=180°-2乙4OB=70°；

(3)解：團射線。E的方向是東南方向，

???乙M0E=45。，

???NNOC=75°,

NC0M=90°-75°=15°,

ACOE=15°+45°=60°.

21.(24-25七年級上?全國?課后作業(yè))如圖，。是直線28上一點，過點。作OC、OD、0E三條射線，。。平

分N40C,^AOE=Z.BOD.

(1)若N40C=60°,則NBOE的度數(shù)為；

(2)若NCOE=3乙40C,求NBOE的度數(shù)；

⑶在(2)的條件下，若過點O作射線OF使得NEOF=90。，求乙40尸的度數(shù).

【答案】(1)30°；

(2)NBOE的度數(shù)為20。；

⑶乙40尸的度數(shù)為70。或110。.

【分析】本題考查了角平分線的定義和角的計算，熟練掌握角平分線的定義，并能夠根據(jù)題目已知條件找

到角度之間的等量關(guān)系列出等式是解題的關(guān)鍵.

(1)由條件。。平分乙40c可得乙4。。=30。，再由條件乙40E=可得乙40。=Z80E,通過等量代換

即可得到NBOE的度數(shù)；

(2)由條件4c0E=3N40C,并結(jié)合(1)的結(jié)論=4BOE,可得/COE=64B0E,再利用N40B為

平角找出等量關(guān)系列出等式，即可求解N80E的度數(shù)；

(3)分射線。/在NCOE的內(nèi)部及外部兩種情況討論，作出示意圖并結(jié)合圖形先計算N80F的度數(shù)，再根據(jù)

N40F與NBOF互補的關(guān)系即可得解.

【詳解】(1)-?-0。平分乙40C,

.-.乙4。。=三乙4。。=30。.

2

???乙AOE=Z.AOD+乙DOE,

??.Z.AOD=Z-AOE-(DOE

同理，乙BOE=(BOD一乙DOE,

Z.AOE=乙BOD,

???乙BOE=乙40。=30°.

(2)由題可知，/LBOE=^AOD=-/-AOC,

2

Z.AOC=2/-BOE.

v乙COE=3/-AOC,

???乙COE=6乙BOE,

由題可知乙4OB為平角，

???AAOC+乙COE+乙BOE=180°,

即2/BOE+64BOE+乙BOE=180°,

???乙BOE=20°,

NBOE的度數(shù)為20。.

(3)當(dāng)OF在NCOE內(nèi)部時，如圖①，

貝此8。尸=4EOF+乙BOE=90°+20°=110.

.-./.AOF=180°-乙BOF=180°-110°=70°；

當(dāng)OF在NCOE外部時，如圖②，

貝此80F=4EOF-乙BOE=90°-20°=70°,

???^AOF=180°-乙BOF=180°-70°=110°.

綜上所述，乙4OF的度數(shù)為70。或110。.

22.(24-25七年級上?全國?課后作業(yè))如圖，直線4B、CD交于點。，OE、OF分別在N80C、乙20。內(nèi)部，且

。。平分N80F.

E

(1)乙4。。的對頂角是

(2)若/8。尸=40%乙COE=100°,貝1|乙BOE的度數(shù)為；

(3)若。B平分NEOF,^AOC-.^AOF=1:3,求NCOE的度數(shù)；

(4)若NAOE=NEOF,Z.BOE=60°,判斷。8是否平分/EOF,并說明理由.

【答案】(1)48。。

(2)60°

(3)72°

⑷OB平分NEOF,理由見解析

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)，幾何中角度的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，

熟練掌握角平分線的定義.

(1)根據(jù)對頂角的定義即可解答；

(2)根據(jù)角平分線的定義得出NB。。=￡FOD=2NBOF=之義40。=20。，再根據(jù)NCOE+NBOE+NB。。=

180°,求出結(jié)果即可；

(3)由N4OC:Z_4OF=1:3,得至！JNAOF=3/B。。，根據(jù)角平分線的定義得出/DOF=根據(jù)U0C+

Z.AOF+Z.FOD=180°,求出48。。=36。，根據(jù)角平分線的定義得出NBOE=NB。尸=72。，根據(jù)NCOE+

/.EOB+/.BOD=180°,求出結(jié)果即可；

(4)由N8OE=60。，利用平角的定義得到乙4OE=120。，再根據(jù)乙4OE=4EOF,求出/EOF=120。，結(jié)

合乙BOE=60°得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意：N40C的對頂角是NBOD；

⑵解：???。。平分NBOF,

乙BOD=-2^BOF=20°,

???乙BOE=180°-乙BOD-乙COE=180°-20°-100°=60°；

(3)解：乙4OC與乙8。。為對頂角，

???/-AOC=Z.BOD,

??.Z.BOD-.Z.AOF=Z.AOC\^AOF=1:3,^Z.AOF=3^BOD.

???。。平分48。尸,

??.Z.DOF=乙BOD,

??.AAOF+乙DOF+乙BOD=34BOD+乙BOD+乙BOD=180°,

???乙BOD=36°,

???Z.AOC=乙BOD=36%Z.BOF=2乙BOD=72°.

又???。3平分4EOF,

???乙BOE=乙BOF=72°,

???乙COE=180°-/,AOC-Z.BOE=180°-36°-72°=72°；

(4)解：。8平分NEOF,理由如下：

???乙BOE=60°,

???AAOE=120°.

Z.AOE=乙EOF,

???乙EOF=120°,

???乙BOF=乙EOF-乙BOE=120°-60°=60°,

???乙BOE=Z-BOF,

。3平分NEOF.

23.（23-24七年級上?貴州黔東南?期末）已知：點。為直線48上一點，過點。作射線。C,Z-BOC=110°.

⑵如圖2,過點。作射線。D,使NCOD=90。，作乙40c的平分線。M,求NM。。的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，作射線0P,若NBOP與乙40M互余，求NCOP的度數(shù).

【答案】⑴70。

(2)55°

(3)55°或165°

【分析】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合根據(jù)射線0P的位置分類討論是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平角的定義計算求值即可；

(2)根據(jù)余角的定義可得入4OD,根據(jù)角平分線的定義可得N40M,再計算角度和即可；

(3)由余角的定義可得4BOP=55。，分射線0P在N80C內(nèi)部、射線0P在N80C外部兩種情況，分別計算角

的差、和即可.

【詳解】(1)解：0ZSOC=110°

EIZXOC=180°-NBOC=70°；

(2)解：由(1)得N40C=70°,

EIZCOD=90°,

團乙4。。=/.COD-/.AOC=20°,

OOM是乙40c的平分線，

11

^AOM=-/-AOC=-x70°=35°,

22

團NM。。=/.AOM+Z.AOD=35°+20°=55°；

（3）解：由（2）得乙4OM=35。，

團NBOP與ZJ1OM互余，

EINBOP+AAOM=90°,

E1NBOP=900-Z40M=90°-35°=55°,

①當(dāng)射線。P在NBOC內(nèi)部時，如圖,

A-

D乙COP=乙BOC-乙BOP=110°-55°=55°；

②當(dāng)射線。P在NBOC外部時，如圖,

PZ.COP=Z.BOC+Z-BOP=110°+55°=165°.

綜上所述，NCOP的度數(shù)為55。或165。.

考點六：三線八角的識別

24.（23-24七年級下,甘肅隴南?階段練習(xí)）如圖，BF,DE相交于點A,BG交BF于點B,交AC于點C.

F

DE

⑴指出DE,BC被BF所截形成的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；

（2）指出。E,8c被AC所截形成的內(nèi)錯角；

⑶指出FB,BC被47所截形成的同旁內(nèi)角.

【答案】⑴同位角：NF4E和NB；內(nèi)錯角：NB和NDAB；同旁內(nèi)角：NE4B和NB；

（2）NEAC和NBC4,ND4C和NACG；

（3）z_B4C和NBC4NF4c和N4CG.

【分析】此題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義：

（1）兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的

同旁，則這樣一對角叫做同位角.兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，

并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角.兩條直線被第三條直線所截形成的角中，

若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角，據(jù)此求解

即可；

（2）根據(jù)內(nèi)錯角的定義求解即可；

（3）根據(jù)同旁內(nèi)角的定義求解即可.

【詳解】（1）解：同位角：NF4E和NB；內(nèi)錯角：AB和NZMB；同旁內(nèi)角：NE4B和NB；

（2）解：NE4C和NBC4,ND力C和N4CG都是內(nèi)錯角；

（3）解：NB4C和WBC4NF4C和N4CG都是同旁內(nèi)角.

25.（23-24七年級上,全國?單元測試）找出圖中與N1是同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的所有角.

【答案】Z1的同位角：4GDF,A.GEF,乙FBC,乙FCH；N1的內(nèi)錯角：^.MDA,乙NED,^ABP,NHCQ；

41的同旁內(nèi)角：/.ADF,/.AEF,/.ABF,Z.ACD

【分析】此題主要考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成"F"形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成"Z"形，同旁內(nèi)

角的邊構(gòu)成"U"形.

根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截

線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角.

內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）

的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角.

同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截

線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角進行分析即可.

【詳解】解：41是同位角：乙GDF,乙GEF,4FBC,乙FCH；

N1的內(nèi)錯角：ZMD4,乙NED,AABP,KACQ；

41的同旁內(nèi)角：^ADF,乙DEF,AABF,^ACD.

26.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，指出圖中直線力C,BC被直線DE所截形成的同位角、內(nèi)錯角、

同旁內(nèi)角.（僅指用數(shù)字標出的角）

【答案】見解析

【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義，同位角：在兩條直線被第三條直線所截的同側(cè)，

被截兩直線同側(cè)的兩個角稱為同位角；內(nèi)錯角：在兩條直線被第三條直線所截的兩側(cè)，且夾在兩條被截直

線之間的一對角稱為內(nèi)錯角；同旁內(nèi)角：在兩條直線被第三條直線所截的同旁，被截兩直線之間的兩個角

稱為同旁內(nèi)角；由此即可得出答案.

【詳解】解：由圖可得：

同位角：N1與42,N4與N6;

內(nèi)錯角：41與N3,N4與45;

同旁內(nèi)角：43與N4,41與45.

27.（21-22七年級下?河北石家莊,階段練習(xí)）如圖，AB,AC射線與直線EF分別相交于點”，G.按要求完

成下列各小題.

⑴圖中共有一對對頂角，一對內(nèi)錯角；

（2）①乙4的同旁內(nèi)角是二

②NEGC和是由哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是具有什么位置關(guān)系的角？

⑶過點G畫射線的垂線，交4B于點并指出哪條線段的長度表示點G至必8的距離.

【答案】（1）4；4

⑵①乙4GF,4AHE；②NEGC和是直線北，4B被直線EF所截形成；同位角

⑶圖見解析，GM

【分析】（1）根據(jù)對頂角和內(nèi)錯角的定義進行判斷即可；

（2）①根據(jù)同旁內(nèi)角的定義，進行判斷即可；②根據(jù)三線八角的關(guān)系，進行判斷即可；

（3）根據(jù)題意畫出垂線即可，根據(jù)點到直線的距離為垂線段的長，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：由圖可知:41和42,N3和N4,N5和N6,47和N8是對頂角，共4對；/2和乙5,乙4和47,Z1

故答案為：4；4

（2）①由圖可知：N4的同旁內(nèi)角是N4GF,AAHE；

故答案為：乙4GF,UHE；

②NEGC和是直線被直線EF所截形成的同位角;

（3）如圖；

E

B

由圖可知：線段GM的長即為點G至!MB的距離.

【點睛】本題考查三線八角，對頂角，點到直線的距離.熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

28.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，一個方塊從某一個起始角開始，經(jīng)過若干步跳動后，到達終點

角，跳動時，每一步只能跳到它的同位角或內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的位置上，例如：從N1跳到終點位置N6的路

徑如下：

路徑1：N1玲內(nèi)錯角N7好同旁內(nèi)角N6；

路徑2：N1好同旁內(nèi)角N13-內(nèi)錯角N10-同位角N8f同旁內(nèi)角N5f同旁內(nèi)角46.

⑴寫出任意一條從起始位置41玲終點位置43的路徑；

⑵從起始位置N1依次按內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角的順序能否到達終點位置42?并寫出路徑.

【答案】⑴N1玲同旁內(nèi)角N13玲同位角43（答案不唯一）；

（2）能，Z.1玲內(nèi)錯角N4f同位角N7f同旁內(nèi)角N2（答案不唯一,）;

【分析】本題考查內(nèi)錯角，同位角，同旁內(nèi)角的判斷：

（1）根據(jù)內(nèi)錯角，同位角，同旁內(nèi)角直接逐個判斷即可得到答案；

（2）根據(jù)內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角反向推導(dǎo)即可得到答案；

【詳解】（1）解：由題意可得，

41玲同旁內(nèi)角N13f同位角43（答案不唯一）；

（2）解：能，理由如下，

由題意可得，

41f內(nèi)錯角N4f同位角47f同旁內(nèi)角N2（答案不唯一）.

6模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

1.（2024七年級上,全國?專題練習(xí)）如圖，直線ZB、CD相交于點0,乙E0D=90°.下列說法不正確的是（）

A.Z-AOD=Z-BOCB.Z-AOC=Z-AOE

C.Z.AOE+/LBOD=90°D.^AOD+/-BOD=180°

【答案】B

【分析】本題考查了對頂角的性質(zhì)，平角的定義、互余的定義等，由對頂角的性質(zhì)，平角的定義、互余的

定義逐一判斷，即可求解；理解對頂角的性質(zhì)，平角的定義、互余的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.-.-NA。。與NBOC是對頂角，

Z.AOD=Z.BOC,結(jié)論正確，故不符合題意；

B,由圖得〃。C=N40E不一定成立，結(jié)論錯誤，故符合題意；

C.vAEOD=90°,

???乙COE=90°,

.-./.AOE+Z.AOC=90°,

???/.AOC=乙BOD,

^AOE+ABOD=90°,結(jié)論正確，故不符合題意；

D.由圖得乙4。。+乙BOD=180°,結(jié)論正確，故不符合題意；

故選：B.

2.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）2024年香洲區(qū)舉辦了第六屆風(fēng)箏節(jié).如圖所示的風(fēng)箏骨架中，與N3構(gòu)

成同旁內(nèi)角的是（）

A.Z1B.Z.2C.Z4D.Z5

【答案】A

【分析】本題考查的是同旁內(nèi)角的定義，關(guān)鍵是知道哪兩條直線被第三條直線所截.根據(jù)同旁內(nèi)角的定義

解答即可，即兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角.

【詳解】解：與N3構(gòu)成同旁內(nèi)角的是N1.

故選：A.

3.（24-25七年級上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）下面四個圖形中，N1與42是對頂角的為（）

【答案】C

【分析】本題考查了對頂角.兩條邊互為反向延長線的兩個角叫對頂角，根據(jù)定義結(jié)合圖形逐個判斷即可.

【詳解】解：A、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

B、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

C、符合對頂角的定義，故本選項符合題意；

D、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

故選：C.

4.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）點P為直線MN外一點，點4、B、C為直線MN上三點，PA=4cm,PB=

5cm,PC=2cm,則點P到直線MN的距離為（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm

【答案】D

【分析】本題考查了點到直線的距離，利用了垂線段最短的性質(zhì).根據(jù)點到直線的距離是直線外的點與直

線上垂足間的線段的長，再根據(jù)垂線段最短，可得答案.

【詳解】解：當(dāng)PCJ_MN時，PC是點P到直線MN的距離，即點P到直線MN的距離2cm,

當(dāng)PC不垂直直線MN時，點P到直線MN的距離小于PC的長，即點P到直線MN的距離小于2cm,

綜上所述：點尸到直線MN的距離不大于2cm,

故選：D.

5.（24-25九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）如圖在中N2C8=90°,CD1AB,。為垂足，則下列說法中，

錯誤的是（）

A.點B到AC的距離是線段BC的長B.線段CD是4B邊上的高

C.線段力C是BC邊上的高D.點C到的距離是線段4c的長

【答案】D

【分析】本題主要考查了點到直線的距離，三角形的高，根據(jù)點到直線的距離，三角形的高的概念逐項排

除即可，正確理解點到直線的距離，三角形的高是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A、點B到力C的距離是線段BC的長，原選項說法正確，不符合題意；

B、線段CD是2B邊上的高，原選項說法正確，不符合題意；

C、線段力C是BC邊上的高，原選項說法正確，不符合題意；

D、點C到4B的距離是線段CD的長，原選項說法不正確，符合題意；

故選：D.

6.（24-25七年級上?河南鶴壁?階段練習(xí)）如圖，在所標識的角中，下列說法不正確的是（）

A.N1與45是內(nèi)錯角B.43與乙5是對頂角

C.41與44是同位角D.N1與Z.2是同旁內(nèi)角

【答案】C

【分析】根據(jù)內(nèi)錯角，對頂角，同位角，同旁內(nèi)角的定義解答即可.

【詳解】解：A.N1與45是內(nèi)錯角，本選項正確，不符合題意，

B.N3與N5是對頂角，本選項正確，不符合題意，

C.N1與44不是同位角，本選項錯誤，符合題意，

D.N1與Z.2是同旁內(nèi)角，本選項正確，不符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查了內(nèi)錯角，對頂角，同位角，同旁內(nèi)角的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵.

7.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，利用工具測量角，貝吐1的大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】本題考查量角器的使用和對頂角的性質(zhì)，掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵.利用對頂角相等求解,

即可解題.

【詳解】解：根據(jù)量角器測量的度數(shù)為30。，由對頂角相等可得N1=30。.

故選：A.

8.（24-25七年級上?河南南陽,階段練習(xí)）如圖,E是直線C4上一點,NFE4=40。,射線EB平分NCEF,GE1EF,

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】本題考查了角平分線的定義，平角的定義，掌握相關(guān)知識點并靈活運用是解題關(guān)鍵.

先根據(jù)平角的對應(yīng)求出NCEF=140°,射線平分NCEF,得出NCEB=乙BEF=jzCEF=70°,再根據(jù)GE1

EF,可得NGEB=乙GEF-乙BEF=90°-70°=20°.

【詳解】EINFE4=40°,

EIZCFF=180°-/.FEA=140°,

團射線EB平分NCEF,

1

0ZCFB=乙BEF=-ACEF=70°,

2

EIGE1EF,

EINGEB=Z.GEF-乙BEF=90°-70°=20°.

故選：B.

9.（24-25七年級上?云南文山?期中）下列各圖中，N1與42是內(nèi)錯角的是（）

【答案】A

【分析】本題考查了內(nèi)錯角的判斷，熟記內(nèi)錯角的定義是解題的關(guān)鍵.兩條直線被第三條直線所截形成的

八個角中，兩個角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角.

根據(jù)內(nèi)錯角的定義可知，內(nèi)錯角是成"Z"字形的兩個角，據(jù)此逐項分析可得答案.

【詳解】解：A.、41與42是內(nèi)錯角，符合題意；

B、41與N2不是內(nèi)錯角，不符合題意；

C、與42不是內(nèi)錯角，不符合題意；

D、41與N2不是內(nèi)錯角，不符合題意；

故選：A.

10.（24-25七年級上?河北衡水?期中）如圖，點。在直線力B上，AAOD=22.5。，NBOC=45°,OE平分乙BOC,

則NEOC的補角是（）

C

AOB

A./.AOCB.NAOE或NDOB

C.乙4OE或4OB或乙4OC+NDOED.以上都不對

【答案】B

【分析】本題主要考查角平分線的定義、補角的定義及鄰補角，熟練掌握角平分線的定義、補角的定義及

鄰補角是解題的關(guān)鍵；由題意易得NBOE=乙COE乙BOC=22.5°=U0D,乙4。。+Z.BOD=180°=

^BOE+^AOE,然后問題可求解.

【詳解】解：團42。。=22.5°,/.BOC=45°,OE平分NBOC,

0ZBOF=乙COE^-LBOC=22.5°=^AOD,/.AOC=180°-4BOC=135°,

2

團乙AOD+（BOD=180°=乙BOE+^AOE,

團乙EOC+乙BOD=180°=Z-EOC+Z.AOE,

國乙DOE=180°-乙AOD一乙BOE=135°,

團乙AOC+乙DOE=270°,

綜上所述：4EOC的補角為4ZOE或乙0。8.

故選B.

11.（22-23七年級上?陜西咸陽?期末）已知0410C,乙4。&乙4OC等于4:5,貝亞80C的度數(shù)為.

【答案】18。或162。

【分析】此題主要考查了垂線的定義，角的和差運算.結(jié)合圖形是做這類題的關(guān)鍵.根據(jù)垂直關(guān)系知乙4。。=

90°,由乙4。8:乙4。。=4:5,可求乙408=72。，根據(jù)乙4OB與乙4OC的位置關(guān)系，分類求解即可.

【詳解】解：BOA1OC,

團乙4OC=90°,

^\Z.AOB\Z.AOC=4:5,

^AOB=72°.

乙4。區(qū)的位置有兩種：一種是在乙4OC內(nèi)，一種是在乙4OC外.

H'B

D

①當(dāng)在N40C內(nèi)時，/.BOC=90°-72°=18°；

②當(dāng)在NZOC夕卜時，NBOC=90°+72°=162°.

故答案為：18。或162。.

12.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，若N1=30。/2=110。，貝亞3的同位角的大小是,43的

內(nèi)錯角的大小是，N3的同旁內(nèi)角的大小是.

【答案】70。70°110°

【分析】本題主要考查內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角，觀察圖形易得N3的同位角、內(nèi)錯角都為42的鄰補角，

接下來結(jié)合42的度數(shù)計算即可；同樣由圖可得43的同旁內(nèi)角為42的對頂角，N1與43為對頂角，據(jù)此解答.

【詳解】解：由圖可得N3的同位角、內(nèi)錯角都為42的鄰補角，

又42=110°,

則其同位角大小為180。-110°=70°；

43的內(nèi)錯角大小為180。-110°=70°；

乙3的同旁內(nèi)角為N2的對頂角，則大小為110。；

故答案為：70。；70°；110°.

13.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，己知點。是直線48上一點，乙40c=50°,0。平分N40C,NBOE=

90°,請寫出下列正確結(jié)論的序號.

E

①NBOC=130°；②N4。。=25°；③4BOD=155°；④NCOE=45°.

【答案】①②③

【分析】本題主要考查角平分線，根據(jù)角平分線的、鄰補角和直角的意義求解可得.

【詳解】解：因為乙4。。=50。，所以NBOC=180。一44。。=130。，故①正確；

因為。D平分乙40C,所以乙4。。=|zXOC=25°,故②正確；

因為NB。。=180°-乙4OD=155°,故③正確；

因為NBOE=90。,44。。=50。，所以NCOE=180。一4力。C-NBOE=40。，故④錯誤。

故答案為：①②③

14.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，直線A