專題16分解法模型和最短路徑問題

類型1:分解模型

例1.對33000分解質因數得33000=23*3x53xll，則33000的正偶數因數的個數是（）

A.48B.72C.64D.96

例2.5400的正約數有（）個

A.48B.46C.36D.38

例3.30030能被多少個不同的偶數整除

類型2：最短路徑問題

例1.有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復，只要有

一個方格不同即為不同走法.現有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種

不同走法？（）

A.6B.8C.10D.12

例2.如圖，某城市中，M、N兩地有整齊的道路網，若規定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進,

則從〃到N不同的走法共有（）

A.10B.13C.15D.25

例3.如圖，螞蟻從A沿著長方體的棱以的方向行走至B,不同的行走路線有（）

R

C.8條D.9條

例4.如圖所示為某市各旅游景點的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計算順著箭頭方向，從

A到H可走的不同的旅游路線的條數為（）

C.16D.17

例5.小張從家出發去看望生病的同學，他需要先去水果店買水果，然后去花店買花，最后到達醫院.相關

的地點都標在如圖所示的網格紙上，網格線是道路，則小張所走路程最短的走法的種數為（）

例6.某人設計一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形A3CD（邊長為3個單位）的

頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數為

i（i=12…,6）,則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環下去.則某人拋擲三次次骰子后棋子恰好又

回到點A處的所有不同走法共有（）

A.21種B.24種C.25種D.27種

例7.如下圖，從/點出發每次只能向上或者向右走一步，則到達B點的路徑的條數為.

B

例8.如圖，甲從月到乙從C到D兩人每次都只能向上或者向右走一格，如果兩個人的線路不相交,

則稱這兩個人的路徑為一對孤立路，那么不同的孤立路一共有對.（用數字作答）

例9.如圖所示線路圖，機器人從/地經B地走到C地，最近的走法共有種.（用數字作答）

例10.如圖所示，機器人明明從/地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從/移到8最近的走法

例11.如圖所示，機器人明明從月地移到8地，每次只移動一個單位長度，則明明從/移到B最近的走法

共有種.

B

D

C

例12.如圖，機器人亮亮沿著單位網格，從A地移動到8地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從A移動

到3最近的走法共有一種.

例13.某城市街區如下圖所示，其中實線表示馬路，如果只能在馬路上行走，則從A點到3點的最短路徑的走

法有一種.

例14.某游戲中，一個珠子從如圖所示的通道由上至下滑下，從最下面的六個出口出來，規定猜中出口者

為勝.如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來，那么你取勝的概率為（）

123456

D.以上都不對

例15.如圖所示，某城鎮由7條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此

變成一個菱形的環池大道.現要從城鎮的A處走到3處，使所走的路程最短，最多可以有45種不同的

走法.

例16.如圖所示，某城鎮由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此

變成一個菱形的環池大道，現要從城鎮的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有35種不同的

走法.

例17.某個游戲中，一個珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個出口出來，規定猜中

者為勝，如果某人在該游戲中，猜得珠子從3號口出來，那么他取勝的概率為$.

—16―

/??O'

OOOO

/△△△△

123456

例18.在〃X”的方格中進行跳棋游戲.規定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次連續

行走的路徑中不能重復經過同一小方格.設人口表示從左下角“O”位置開始，連續跳到右上角“☆”位置結束

的所有不同路徑的條數.如圖，給出了〃=3時的一條路徑.則/(3)=9；f(n)=.

例19.某城市由"條東西方向的街道和機條南北方向的街道組成一個矩形街道網，要從A處走到3處，使

所走的路程最短，有多少種不同的走法?

專題16分解法模型和最短路徑問題

類型1:分解模型

例1.對33000分解質因數得33000=23*3x53xll，則33000的正偶數因數的個數是（）

A.48B.72C.64D.96

【解析】

33000的因數由若干個2（共有2）22,21,2°四種情況），

若干個3（共有3,30兩種情況），

若干個5（共有53,52$,50四種情況），

若干個11（共有11。兩種情況），

由分步計數乘法原理可得33000的因數共有4x2x4x2=64,

不含2的共有2x4x2=16，

正偶數因數的個數有64—16=48個，

即33000的正偶數因數的個數是48,故選A.

例2.5400的正約數有（）個

A.48B.46C.36D.38

【解析】

5400=23X33X52,5400的正約數一定是由2的事與3的幕和5的幕相乘的結果，

所以正約數個數為（3+1）x（3+1）x（2+1）=48.

故選：A.

例3.30030能被多少個不同的偶數整除

【解析】

先把30030分解成質因數的乘積形式30030=2X3X5X7X11X13,依題意可知偶因數必先取2,再從其余5個

因數中任取若干個組成乘積，所有的偶因數為：C；+C；+C；+C；+C；+C；=32.

類型2：最短路徑問題

例1.有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復，只要有

一個方格不同即為不同走法.現有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種

不同走法？（）

A.6B.8C.10D.12

【解析】

如圖，①從入口-1-3-5-6-0-出口，

②從入口-出口，

③從入口T-3-4-7-8-9-10-6-0-出口,

④從入口-1-3-4-9-10-6-0-出口，

⑤從入口-2-3-4-6-0-出口，

⑥從入口-2-3-5-6-0-出口，

⑦從入口-2-3-4-7-8-9-10-6-0-出口,

⑧從入口-2-3-4-9-10-6-0-出口，

共有8種，

例2.如圖，某城市中，M、N兩地有整齊的道路網，若規定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進,

則從〃到N不同的走法共有（）

A.10B.13C.15D.25

【解析】

因為只能向東或向北兩個方向

向北走的路有5條，向東走的路有3條

走路時向北走的路有5種結果，向東走的路有3種結果

根據分步計數原理知共有3x5=15種結果，選C

例3.如圖，螞蟻從A沿著長方體的棱以「上的方向行走至B,不同的行走路線有（）

/!邛

I

A

A.6條B.7條C.8條D.9條

【解析】

共有3個頂點與A點相鄰，經過每個相鄰頂點，按規定方向都有2條路徑到達8點，所以，螞蟻從A沿著

長方體的棱以規定的方向行走至8,不同的行走路線有：3x2=6（條），故選A.

例4.如圖所示為某市各旅游景點的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計算順著箭頭方向，從

A到H可走的不同的旅游路線的條數為（）

C.16D.17

【解析】

要到H點，需從F、E、G走過來，F、E、G各點又可由哪些點走過來，這樣一步步倒推，最后歸結到A,

然后再反推過去得到如下的計算方法：A至B、C、D的路數記在B、C、D的圓圈內，B、C、D分別到F、

E、G的路數亦記在圈內，最后F、E、G各路數之和，即得到至H的總路數，如下圖所示，易得到17條路

線，故選D.

例5.小張從家出發去看望生病的同學，他需要先去水果店買水果，然后去花店買花，最后到達醫院.相關

的地點都標在如圖所示的網格紙上，網格線是道路，則小張所走路程最短的走法的種數為（）

【解析】

由題意可得從家到水果店有6種走法，水果店到花店有3種走法，花店到醫院有4種走法，因此一共有

6x3x4=72（種）

例6.某人設計一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為8個單位）的

頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數為

迨=1,2,…,6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環下去.則某人拋擲三次次骰子后棋子恰好又

回到點A處的所有不同走法共有（）

A.21種B.24種C.25種D.27種

【解析】

由題意知正方形A3CD（邊長為3個單位）的周長是12,

拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處表示三次骰子的點數之和是12,

列舉出在點數中三個數字能夠使得和為12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4；

共有6種組合，

前三種組合1,5,6；2,4,6；3,4,5；又可以排列出A；=6種結果，

3,3,6;5,5,2；有6種結果，4,4,4；有1種結果.

根據分類計數原理知共有24+1=25種結果，

故選：C.

例7.如下圖，從/點出發每次只能向上或者向右走一步，則到達8點的路徑的條數為.

【解析】

如下圖所示

從點A到C,D,E,EG的路徑都只有1條

從點A到點H的路徑有2條，分別為AfCfH，AtFTH

從點A到點O的路徑有3條，分別為從A經過H到點O有2條和A—FfGfO

從點A到點M的路徑有3條，分別是從點A經過點H到點M有2條和A—cfDfM

從點A到點P的路徑有6條，分別是從點A經過點O到點P的3條和從點A經過點M到點P的3條

從點A到點N的路徑有4條，分別是從點A經過點M到點N的3條和從點A經過點E到點N的1條

從點A到點Q的路徑有10條，分別是從點A經過點P到點Q的6條和從點A經過點N到點Q的4條

從點A到點R的路徑有6條,就是從點A經過點P到點R的6條

所以從點A到點B的路徑有16條，分別是從點A經過點R到點B的6條和從點A經過點Q到點B的10

條

所以到達B點的路徑的條數為16條

故答案為：16

例8.如圖，甲從月到乙從C到D,兩人每次都只能向上或者向右走一格，如果兩個人的線路不相交,

則稱這兩個人的路徑為一對孤立路，那么不同的孤立路一共有對.（用數字作答）

【解析】

甲從月到H需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從4到2共有C；種走法，

乙從C到D,需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從4到B共有C：種走法，

根據分步乘法計數原理可知，共有不同路徑C=C；對，

甲從/到D,需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以從4到D共有種走法，

乙從C到耳需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以從C到B共有C：種走法，

所以相交路徑共有C4.C：對，

106

因此不同的孤立路一共有c：-C3cl=70x70-210x15=1750對.

88106

故答案為：1750

例9.如圖所示線路圖，機器人從力地經B地走到C地，最近的走法共有種.（用數字作答）

【解析】

/到B共2種走法，從B到C共亡種不同走法，由分步乘法原理，知從，4地經6地走到C

地，最近的走法共有2C；=20種.

故答案為：20

例10.如圖所示，機器人明明從月地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從月移到B最近的走法

共有一種.

A-C有種方法；C—B有C；種方法；D-B有犬種方法；共有=80

例11.如圖所示，機器人明明從/地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從/移到B最近的走法

共有種.

【解析】

分步計算，第一步最近走法有種；第二步最近走法有種；第三步最近走法

A2c—C?6=200―8

有2種，

故由A—B最近走法有2x20x2=80種.

故答案為：80.

例12.如圖，機器人亮亮沿著單位網格，從A地移動到8地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從A移動

到3最近的走法共有一種.

【解析】

分三步來考查：①從A到c，則亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個單位，一步是向上移動一個單位，

此時有種走法；

②從C到則亮亮要移動六步，其中三步是向右移動一個單位，三步是向上移動一個單位，此時有C；種

走法；

③從。到8，由①可知有種走法.

由分步乘法計數原理可知，共有CC3cl=80種不同的走法.

262

故答案為：go-

例13.某城市街區如下圖所示，其中實線表示馬路，如果只能在馬路上行走，則從A點到3點的最短路徑的走

法有一種.

耳

【解析】

根據題意，從A到B的最短路程，只能向左、向下運動；

從A到B,最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即從5次中任取2次向下，剩下3次向右，有C$2=10

種情況，但圖中有空格，故是方法數為10—3=7中

故答案為：7.

例14.某游戲中，一個珠子從如圖所示的通道由上至下滑下，從最下面的六個出口出來，規定猜中出口者

為勝.如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來，那么你取勝的概率為（）

【解析】我們把從A到3的路線圖單獨畫出來：

分析可得，

從A到3總共有=10種走法，每一種走法的概率都是工,

52

珠子從出口3出來是C；（《）5=搟.

故選：A.

例15.如圖所示，某城鎮由7條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此

變成一個菱形的環池大道.現要從城鎮的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有45種不同的

走法.

【解析】由題意知本題有兩種途徑是最短的路程，

①A-?CF->3其中AfC有5法.尸->3有1法，共有5x1=5法.

②AfDEfB,從A到。，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即從5次中任取2次向下，剩下

3次向右，故有C；=10種，

從E到8,最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即從4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有C：=4

種，

..從ATDE.3共有10x4=40法，

從A到B的短程線總共5+40=45種走法.

故答案為：45.

例16.如圖所示，某城鎮由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘,街道在此

變成一個菱形的環池大道，現要從城鎮的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有35種不同的

走法.

【解析】由題意知本題有兩種大途徑是最短的路程，

Q①AfCDfB其中AfC有5法.。.3有1法，共有5x1=5法.

②A.所.3其中AfE有10種方法，尸33有3法，共有10x3=30法,

.,.從A到B的短程線總共5+30=35種走法.

故答案為：35.

例17.某個游戲中，一個珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個出口出來,規定猜中

者為勝，如果某人在該游戲中，猜得珠子從3