專題6.3相似三角形的判定【十大題型】

【蘇科版】

【題型1相似三角形的判定條件】.....................................................................2

【題型2格點(diǎn)中的相似三角形】........................................................................3

【題型3相似三角形的證明】..........................................................................4

【題型4利用相似三角形的判定探究線段之間的關(guān)系】.................................................5

【題型5相似三角形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】...............................................................6

【題型6確定相似三角形的對(duì)數(shù)】.....................................................................7

【題型7相似三角形中的多結(jié)論問題】.................................................................8

【題型8相似三角形與動(dòng)點(diǎn)的綜合】..................................................................10

【題型9相似與最值】................................................................................11

【題型10旋轉(zhuǎn)型相似】................................................................................12

w1一

。。工聲，1二

【知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的判定】

判定定理

BCB'C,

簡稱為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相

判定定理1:

似.

如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的

如圖，如果NA=NA，，NB=NB;貝!|

兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

AABC^/\A'B'C.

簡稱為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相

判定定理2：似.

如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么.?.ABBCAC??

如圖'如na果行=3，C，=AC'則

這兩個(gè)三角形相似.

△ABCsAAEC'.

簡稱為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩

判定定理3：

ARAC

如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且個(gè)三角形相似.如圖，如果需=急，

ABAC

對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

ZA=ZA',則AABCsAA?C'.

【題型1相似三角形的判定條件】

【例1】（2022秋?漢壽縣期末）如圖，若點(diǎn)尸為AABC的邊A8上一點(diǎn)（AB＞AC）,下列條件不能判定

的是（）

A.ZB=ZACPB.ZACB=ZAPCC.—=—D.—

ABACCBAB

【變式1-1］（2022春?泰安期末）如圖，AABC,AB=12,AC=15,。為48上一點(diǎn)，且4。=8,在AC

上取一點(diǎn)E,使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則AE等于（）

A.穹冷B.10或募

C.號(hào)或10D.以上答案都不對(duì)

【變式1-2］（2022秋?合肥期末）如圖，C￡＞是Rt^ABC斜邊A8上的中線，過點(diǎn)C作CE，C￡＞交AB的

延長線于點(diǎn)E,添加下列條件仍不能判斷△CEB與△CA。相似的是（）

A.ZCBA^2ZAB.點(diǎn)2是DE的中點(diǎn)

cCEBE

C.CE，CD=CA，CBD.—=—

CAAD

【變式1-3］（2022秋?通州區(qū)期末）王華在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，在北京市義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第31

頁遇到這樣一道題，如圖1,在△ABC中，尸是邊AB上的一點(diǎn)，連接CP,要使△ACPS^ABC,還需

要補(bǔ)充的一個(gè)條件是,或

請(qǐng)回答：

（1）王華補(bǔ)充的條件是，或

【題型2格點(diǎn)中的相似三角形】

【例2】（2022春?文登區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中有5個(gè)格點(diǎn)三角形，分別是：①△ABC,②△ACD

③AADE,@AAEF,⑤△AGH,其中與⑤相似的三角形是（）

A.①③B.①④C.②④D.①③④

【變式2-1]（2022秋?雄縣期末）如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與4

ABC相似的是（）

【變式2-2]（2022秋?青田縣期末）如圖，四個(gè)三角形的頂點(diǎn)都在方格子的格點(diǎn)上，下列兩個(gè)三角形中相

似的是（）

【變式2-3]（2022秋?法庫縣期末）如圖，在5X6的方格紙中，畫有格點(diǎn)△EPG,下列選項(xiàng)中的格點(diǎn)，與

E,G兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形中和△EFG相似的是（）

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)8C.點(diǎn)CD.點(diǎn)D

【題型3相似三角形的證明】

【例3】(2022?淳安縣一模)如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC的中點(diǎn)，尸是延長線上一點(diǎn),

ZF=ZB.

(1)若45=10,求陽的長；

(2)若AC=BC,求證：XCDEsXDFE.

【變式3-1](2022秋?臨安區(qū)期末)如圖，點(diǎn)、B、D、E在一條直線上，BE交AC于點(diǎn)R笠=S，且/

ADAE

BAD=/CAE.

(1)求證：AABCsAADE；

(2)求證：AAEFsABCF.

【變式3-2](2022秋?下城區(qū)期末)己知：如圖，。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，A,B,,。分別是。4,OB,0c上

的點(diǎn)，且04：AA'=OB'：BB'=1：2,OC：CC=2：1,且。8=6.

(1)求證：△OAbs/XOAB；

(2)以。，B\C為頂點(diǎn)的三角形是否可能與△OBC相似？如果可能，求OC的長；如果不可能，請(qǐng)說

明理由.

【變式3-3](2022春?儀征市校級(jí)期末)如圖，△ABC、△QE尸是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，ZBAC=

NPDE=9Q°.

(1)若將△OEP的頂點(diǎn)尸放在BC上(如圖1),PD、PE分別與AC、AB相交于點(diǎn)尸、G.求證：△

PBGS^FCP；

(2)若使△￡)“的頂點(diǎn)P與頂點(diǎn)A重合(如圖2),PD、PE與BC相交于點(diǎn)尸、G.試問△尸83與4

FCP還相似嗎？為什么？

【題型4利用相似三角形的判定探究線段之間的關(guān)系】

【例4】(2022秋?上城區(qū)期末)四邊形ABC。中，點(diǎn)￡在邊4B上，連接。E,CE.

(1)若/A=/8=NOEC=50°,找出圖中的相似三角形，并說明理由；

(2)若四邊形ABC。為矩形，48=5,BC=2,且圖中的三個(gè)三角形都相似，求AE的長.

(3)若NA=NB=90°,AD<BC,圖中的三個(gè)三角形都相似，請(qǐng)判斷AE和BE的數(shù)量關(guān)系并說明理

由.

【變式4-1](2022秋?德清縣期末)如圖，將矩形ABC。沿CM折疊，使點(diǎn)。落在A8邊上的點(diǎn)E處，若

AAEM與LECM相似，則AB和BC的數(shù)量關(guān)系為.

【變式4-2](2022秋?淮安期末)(1)填空：如圖1,在正△ABC中，M、N分別在BC、AC上，且8M

=CN,連AW、8N交于點(diǎn)。，則/AON=°

(2)填空：如圖2,在正方形PQRS中，已知點(diǎn)M、N分別在邊QR、RS上，且QM=RN,連接PN、

相交于點(diǎn)O,則/P0M=°.

(3)如圖3,在等腰梯形ABC。中，已知AB〃C。，BC=CD,ZABC=60°.以此為部分條件，構(gòu)造

一個(gè)與上述命題類似的正確命題并加以證明.

(4)在(1)的條件下，把直線AM平移到圖4的直線E。尸位置，

①寫出所有與△B。尸相似的三角形：

②若點(diǎn)N是AC中點(diǎn)，(其它條件不變)試探索線段￡。與R?的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式4-3](2022秋?城關(guān)區(qū)期末)如圖，ABLBC,DCLBC,E是8c上一點(diǎn)，使得

(1)求證：△ABE-△EC。；

(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的長；

(3)當(dāng)△AEOS/IEC。時(shí)，請(qǐng)寫出線段A。、AB.CO之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【題型5相似三角形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】

【例5】(2022秋?上城區(qū)期末)已知：在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,2),

尸為。8的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線段PC把RtAOAB分割成兩部分，問：點(diǎn)C在什么位

置時(shí)，分割得到的三角形與Rt^OAB相似？要求在圖上畫出所有符合要求的線段尸C,并求出相應(yīng)的點(diǎn)

C的坐標(biāo).

【變式5-1](2022秋?汝南縣期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,0),B(0,4),在x軸上找

到點(diǎn)C(1,0)和y軸的正半軸上找到點(diǎn)D,使△AO8與△OOC相似，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是

【變式5-2](2022?盤錦)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),B(2,0),點(diǎn)C在第一象限，若以

A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△A08相似(不包括全等)，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是()

B.2C.3D.4

【變式5-3](2022?淮安)如(a)圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(12,0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,8),

點(diǎn)、C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)。出發(fā)，沿△OA8的三邊按逆時(shí)針方向以2個(gè)單位長度/秒的速度運(yùn)動(dòng)一

周.

(I)點(diǎn)C坐標(biāo)是,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)8.5秒時(shí)所在位置的坐標(biāo)是；

(2)設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒，試用含t的代數(shù)式表示△0。的面積S,并指出f為何值時(shí)，S最大;

(3)點(diǎn)E在線段A3上以同樣速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，如(b)圖，若點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，問在運(yùn)動(dòng)

5秒鐘內(nèi)，以點(diǎn)。，A,E為頂點(diǎn)的三角形何時(shí)與△OC。相似？(只考慮以點(diǎn)A、。為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的情況)

【題型6確定相似三角形的對(duì)數(shù)】

【例6】(2022秋?余姚市期末)如圖，在△ABC中，D、E分別是A3、AC上的點(diǎn)，AE=4,AB=6,AD：

AC=2：3,△ABC的角平分線AP交。E于點(diǎn)G,交3C于點(diǎn)八

(1)請(qǐng)你直接寫出圖中所有的相似三角形；

(2)求AG與GP的比.

A

【變式6-1]（2022秋?金山區(qū)期末）如圖，M是平行四邊形A8C。的對(duì)角線8。上一點(diǎn)，AM的延長線交

BC于點(diǎn)E,交。C的延長線于點(diǎn)尸，圖中相似三角形有（）

A.6對(duì)B.5對(duì)C.4對(duì)D.3對(duì)

【變式6-2]（2007春?常州期末）如圖，已知△ABC、均為正三角形，D、E分別在AB、8c上.

（1）圖中有幾組相似三角形并把它們表示出來；

（2）請(qǐng)找一個(gè)與△O8E相似的三角形并說明理由.

【變式6-3]（2022春?寧波校級(jí)期末）如圖，四邊形A8CD和ACE。都是平行四邊形，B,C,E在一條直

線上，點(diǎn)R為。E的中點(diǎn)，8R分別交AC,CD于點(diǎn)P,Q.

（1）則圖中相似三角形（相似比為1除外）共有對(duì)；

（2）求線段BP：PQ-.QR,并說明理由.

【題型7相似三角形中的多結(jié)論問題】

【例7】（2022秋?常寧市期末）如圖，△A8C中，ZA=60°,BM_LAC于點(diǎn)M,CN_LA8于點(diǎn)N,BM,

CN交于點(diǎn)。，連接MN.下列結(jié)論：@ZAMN^ZABC；②圖中共有8對(duì)相似三角形；③BC=2MN.其

中正確的個(gè)數(shù)是（）

A

C.3個(gè)D.0個(gè)

【變式7-1]（2022?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，尸是△ABC的48邊上一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①若ZAFC=ZACB,則△ACFs/\ABC

②若貝!|△AC尸s△ABc

AC2=AF'AB,貝ijZ\ACf'sZ\ABc

④若AC：CF=AB-.BC,貝!]△ACf's^ABc.

【變式7-2]（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AOLBC于點(diǎn)。，8ELAC于點(diǎn)E,與

BE交于點(diǎn)F,連接CRDE,交點(diǎn)為G.以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①NCAD=NCBE,

?AF'FD=BF'FE,

③△CDEsACAB,

④AFGEs^DGC.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式7-3]（2022秋?商河縣校級(jí)期中）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、OC上，AE、

AF分別交8。于點(diǎn)/、N,連接CMEN,且CN=EN.下列結(jié)論：?AN=EN,ANLEN；②BE+DF=

EF-,③然=?；④圖中只有4對(duì)相似三角形，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

EF2

C.2D.1

【題型8相似三角形與動(dòng)點(diǎn)的綜合】

【例8】（2022春?成華區(qū)期末）如圖，正方形ABC。的邊長為4,AE=EB,MN=2,線段MN的兩端在

CB、C。上滑動(dòng)，當(dāng)CM=時(shí)，△AQE與△CMN相似.

【變式8-1］（2022秋?金臺(tái)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=lQcm,BC=2（k7",點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB

向點(diǎn)8以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從B點(diǎn)開始沿邊8c以2c機(jī)/s的速度移動(dòng).如果點(diǎn)P,。分別從點(diǎn)A,

8同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后，以點(diǎn)P、B、。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？

【變式8-2］（2022秋?砌山縣期末）如圖所示，已知A8_LBC于8,CD±BCC,A2=4,CD=6,BC

=14,P為BC上一點(diǎn)，試問8尸為何值時(shí)，AAB尸與△尸"）相似？

【變式8-3］（2022秋?正定縣期末）在矩形A8CD中，AB=\2cm,BC=6c機(jī)，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向

點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)。沿D4邊從點(diǎn)。開始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果尸、。同時(shí)出

發(fā)，用f（秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0W/W6）,那么當(dāng)f為何值時(shí)，△AP。與相似？說明理由.

【例9】（2022秋?余姚市校級(jí)月考）如圖，等腰△ABC中，BA=BC,AO=3CO=6.動(dòng)點(diǎn)尸在8A上以每

分鐘5個(gè)單位長度的速度從8點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)移動(dòng)，過尸作小〃BC交AC邊于E點(diǎn)，連接尸。、EO.

（1）求A、2兩點(diǎn)的坐標(biāo);

ZABC=90°,AD//BC,AD=4,AB=5,BC=

當(dāng)PC+PD的和最小時(shí)，PB的長為.

【變式9-2］（2022?兗州區(qū)一模）如圖，正方形ABC。的對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,滿足42=

點(diǎn)、P是BC的中點(diǎn)，連接AN、PM,若AB=6,則當(dāng)AN+PM的值最小時(shí)，線段AN的長度

為

【變式9-3］（2022?錦江區(qū)模擬）如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,點(diǎn)。是線段8C

上一動(dòng)點(diǎn)，連接A。，以為邊作△ADE,使△AD