7.2復(fù)數(shù)的四則運算7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義【學(xué)習(xí)目標】1.掌握復(fù)數(shù)加、減運算法則.2.理解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義.3.能夠利用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)模的綜合問題.【素養(yǎng)達成】數(shù)學(xué)抽象直觀想象直觀想象、數(shù)學(xué)運算一、復(fù)數(shù)的加、減運算1.運算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù),則(1)z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)z1z2=(ac)+(bd)i.2.運算律對任意z1,z2,z3∈C,有(1)交換律:z1+z2=z2+z1;(2)結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).二、復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義如圖,設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di對應(yīng)的向量分別為,,則=(a,b),=(c,d),四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,則1.復(fù)數(shù)z1+z2與向量OZ=(a+c,b+d)對應(yīng).2.復(fù)數(shù)z1z2與向量=(ac,bd)對應(yīng).3.|z1z2|=(a-c)2+(b【版本交融】(人BP35探索與研究)根據(jù)z1z2的幾何意義討論下列各式的幾何意義.(1)|z(1+i)|=2;(2)|z+1|+|z1|=2.提示:(1)表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與點(1,1)的距離為2;(2)表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到點(1,0)和點(1,0)的距離之和為2.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若復(fù)數(shù)z,z1,z2滿足z=z1+z2,則z1=zz2.(√)提示:復(fù)數(shù)滿足等式的移項法則.(2)若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2>0,則z1>z2.(×)提示:如2+ii>0,但是2+i>i不成立,因為虛數(shù)不能比較大小.(3)復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足(z1z2)z3=z1(z2+z3).(√)提示:類比實數(shù)去(添)括號可知正確.(4)若復(fù)數(shù)z滿足z34i=5,則z的虛部是4i.(×)提示:z34i=5,則z=8+4i,其虛部為4.類型一復(fù)數(shù)的加、減運算(數(shù)學(xué)運算)【典例1】(教材提升·例1)計算:(1)(1+2i)+(711i)(5+6i);(2)5i[(6+8i)(1+3i)];(3)(a+bi)(2a3bi)3i(a,b∈R).【解析】(1)(1+2i)+(711i)(5+6i)=(1+75)+(2116)i=315i;(2)5i[(6+8i)(1+3i)]=5i(7+5i)=7;(3)(a+bi)(2a3bi)3i=(a2a)+[b(3b)3]i=a+(4b3)i(a,b∈R).【總結(jié)升華】關(guān)于復(fù)數(shù)的加、減運算(1)復(fù)數(shù)的加、減運算可以類比多項式合并同類項的運算,有括號時優(yōu)先去括號,若無括號則從左向右依次進行運算;(2)整體考慮:即實部分別相加減、虛部分別相加減,結(jié)果分別作為實部和虛部.【即學(xué)即練】1.已知z1=2+i,z2=12i,則復(fù)數(shù)z=z2z1對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因為z1=2+i,z2=12i,所以z=z2z1=(12i)(2+i)=13i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點為(1,3),位于第三象限.2.若(13i)+z=6+2i,則復(fù)數(shù)z=__________.

答案:5+5i【解析】z=(6+2i)(13i)=6+2i1+3i=5+5i.【補償訓(xùn)練】(2024·遼寧高一檢測)已知復(fù)數(shù)z1=a2+(a6)i,z2=2a3+a2i,a∈R.(1)若z1+z2是純虛數(shù),求a;(2)若z1+z2>0,求|z1|.【解析】(1)由題意得z1+z2=a2+2a3+(a2+a6)i,因為z1+z2是純虛數(shù),所以a2+2a-(2)因為z1+z2>0,所以a2解得a=2.故|z1|=|44i|=42.類型二復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(直觀想象)【典例2】已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD,A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i,求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù).【解析】因為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,所以向量=(1,2),對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i,所以向量=(3,1),=+=(1,2)+(3,1)=(4,1),設(shè)O為坐標原點,==(2,1)(1,2)=(1,1),所以=+=(1,1)+(4,1)=(5,0),所以點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5.【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)根據(jù)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義,將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)向量的加、減運算;(2)利用向量的觀點,解決復(fù)數(shù)的有關(guān)問題.類型三復(fù)數(shù)模的綜合問題(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)【典例3】(1)(2024·商丘高一檢測)在復(fù)平面內(nèi)表示z的點為Z,滿足|z+i|≤1,則點Z所組成圖形的面積為__________.

答案:π【解析】|z+i|≤1的解集是以(0,1)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部所有點組成的集合,其面積S=π×12=π.(2)如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|zi|=2,則|z+i+1|的最小值為________.

答案:1【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z,i,i,1i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z,Z1,Z2,Z3,因為|z+i|+|zi|=2,|Z1Z2|=2,所以點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉(zhuǎn)化為動點Z在線段Z1Z2上移動,求|ZZ3|的最小值.因為|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)模的綜合問題(1)|z|即向量||,若z對應(yīng)的點Z為動點,|z|=r,則Z的軌跡是以原點為圓心,半徑為r的圓;(2)|zz0|即||,即復(fù)平面內(nèi)點Z0,Z之間的距離,若z對應(yīng)的點Z為動點,|zz0|=r,則Z的軌跡是以Z0為圓心,半徑為r的圓;(3)與模有關(guān)的最值問題,可以借助模的幾何意義,轉(zhuǎn)化為動點Z的軌跡上的點到定點Z0距離的最值問題,或者從函數(shù)的角度,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.【即學(xué)即練】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則|z2i|的取值范圍為____