階段提升課題型一頻率與概率【典例1】電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到如表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率;(3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大(只需寫出結(jié)論)?【解析】(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000(部),第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50(部),故所求概率為502000(2)由題意知,樣本中獲得好評的電影部數(shù)是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372(部),故所求概率估計為13722000(3)增加第五類電影的好評率,減少第二類電影的好評率.【補償訓(xùn)練】某人發(fā)現(xiàn)人們在郵箱名稱里喜歡用數(shù)字,于是他做了調(diào)查,結(jié)果如表:郵箱數(shù)601302653061233213047006897名稱里有數(shù)字的郵箱數(shù)3678165187728130028204131頻率(1)填寫表中的頻率(結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位);(2)人們在郵箱名稱里使用數(shù)字的概率約是多少?【解析】(1)由頻率公式可算出表格中的頻率從左向右依次為0.60,0.60,0.62,0.61,0.59,0.61,0.60,0.60;(2)由(1)知,雖然計算出的頻率不全相同,但都在常數(shù)0.60左右擺動,因此,人們在郵箱名稱里使用數(shù)字的概率約是0.60.【總結(jié)升華】1.對于只有一組試驗數(shù)據(jù)的,我們通常用事件A發(fā)生的頻率作為相應(yīng)概率的估計值;2.對于有多組試驗數(shù)據(jù)的,通常將各組中事件A發(fā)生的頻率按試驗次數(shù)從小到大的順序,觀察頻率的穩(wěn)定性,得到概率的估計值.題型二古典概型【典例2】袋中裝有除顏色外其他均相同的6個球,其中4個白球、2個紅球,從袋中任取兩球,求下列事件的概率.(1)A:取出的兩球都是白球;(2)B:取出的兩球一個是白球,另一個是紅球.【解析】設(shè)4個白球的編號為1,2,3,4,2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個球中任取2個球,樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15個樣本點,且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.(1)“從袋中的6個球中任取2球,所取的2球都是白球”為事件A,則A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共含有6個樣本點,所以P(A)=615=2(2)“從袋中的6個球中任取2球,其中一個是白球,另一個是紅球”為事件B,則B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共含有8個樣本點,所以P(B)=815【補償訓(xùn)練】在人流量較大的街道,有一中年人吆喝“送錢”,只見他手拿一黑色小布袋,袋中有3個黃色、3個白色的乒乓球(各球的體積、質(zhì)地完全相同),旁邊立著一塊小黑板寫著摸球方法:從袋中隨機摸出3個球,若摸得同一顏色的3個球,攤主送給摸球者5元錢;若摸得非同一顏色的3個球,摸球者付給攤主1元錢.(1)求摸出的3個球都為白球的概率;(2)求摸出的3個球為2個黃球,1個白球的概率;(3)假定一天中有100人參與摸球游戲,試從概率的角度估算一下這個攤主一個月(按30天計)能賺多少錢.【解析】把3個黃色乒乓球分別標(biāo)記為A,B,C,3個白色乒乓球分別標(biāo)記為1,2,3.從6個球中隨機摸出3個球的樣本空間Ω={ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,BC1,BC2,BC3,A12,A13,A23,B12,B13,B23,C12,C13,C23,123},共20個樣本點,這20個樣本點發(fā)生的可能性是相等的.(1)設(shè)事件E={摸出的3個球都為白球},則事件E包含的樣本點有1個,即摸出123,則P(E)=120=0.(2)設(shè)事件F={摸出的3個球為2個黃球,1個白球},則事件F包含的樣本點有9個,P(F)=920=0.(3)設(shè)事件G={摸出的3個球為同一顏色}={摸出的3個球都為白球或摸出的3個球都為黃球},則事件G包含的樣本點有2個,故P(G)=220=0.1假定一天中有100人參與摸球游戲,由摸出的3個球為同一顏色的概率可估計事件“攤主送給摸球者5元錢”發(fā)生10次,事件“摸球者付給攤主1元錢”發(fā)生90次,故可估計該攤主一天能賺90×110×5=40(元),一個月能賺1200元.【總結(jié)升華】古典概型是一類最基本的概率模型,是學(xué)習(xí)概率知識的基礎(chǔ),解題時要緊緊把握古典概型的兩個特征:有限性和等可能性,準(zhǔn)確確定樣本空間和所求事件A中樣本點的個數(shù),嚴(yán)格按公式P(A)=n(A題型三互斥事件、對立事件和相互獨立事件【典例3】(多選)甲罐中有3個紅球、2個白球,乙罐中有4個紅球、1個白球,先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐,分別以事件A1,A2表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件,再從乙罐中隨機取出1個球,以事件B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件,下列命題正確的是()A.事件A1,A2互斥B.事件B與事件A1相互獨立C.P(A1B)=1D.P(B)=23【解析】選ACD.根據(jù)題意畫出樹狀圖,得到有關(guān)事件的樣本點數(shù),所以事件A1,A2不可能同時發(fā)生,故彼此互斥,故A正確;P(A1)=1830=35,P(A2)=1230=25,P(B)=15+830=2330,P(A1因為P(A1B)=12,P(A1)P(B)=35×2330=2350,則P(A1B)≠P(A1)P(B),事件B與事件【補償訓(xùn)練】在奧運知識有獎問答競賽中,甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)奧運知識的問題,已知甲答對這道題的概率是34,甲、乙兩人都回答錯誤的概率是112;乙、丙兩人都回答正確的概率是1(1)求乙答對這道題的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答對這道題的概率.【解析】(1)記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件A,B,C.設(shè)乙答對這道題的概率P(B)=x,由于每人回答問題正確與否是相互獨立的,因此A,B,C是相互獨立事件,由題意,并根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式,得P(AB)=P(A)P(B)=134×(1x)=112,解得x=23所以,乙答對這道題的概率為P(B)=23(2)設(shè)“甲、乙、丙三人中,至少有一人答對這道題”為事件M,丙答對這道題的概率P(C)=y.由(1),并根據(jù)相互獨立事件的概率公式,得P(BC)=P(B)P(C)=23y=1解得y=38甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=134×123×138=596因為事件“甲、乙、丙三人都回答錯誤”與事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答對這道題”是對立事件,所以,所求事件概率P(M)=1596=91【總結(jié)升華】事件間的關(guān)系的判斷方法(1)判斷事件間的關(guān)系時,可把所有的試驗結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果,從而斷定所給事件間的關(guān)系.(2)對立事件一定是互斥事件,也就是說不互斥的兩事件一定不是對立事件,在確定了兩個事件互斥的情況下,就要看這兩個事件的和事件是不是必然事件,這是判斷兩個事件是否為對立事件的基本方法.判斷互斥事件、對立事件時,注意事件的發(fā)生與否都是對于同一次試驗而言的,不能在多次試驗中判斷.(3)判斷兩事件是否相互獨立,有兩種方法:①直接法;②看P(AB)與P(A)P(B)是否相等,若相等,則A,B相互獨立,否則不相互獨立.題型四概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用【典例4】某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動,他們的年齡在25歲至50歲之間,按年齡分組:第1組[25,30),第2組[30,35),第3組[35,40),第4組[40,45),第5組[45,50],得到的頻率分布直方圖如圖所示,如表是年齡的頻數(shù)分布表.區(qū)間[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人數(shù)25ab(1)求正整數(shù)a,b,N的值;(2)現(xiàn)要從年齡較小的第1,2,3組中用分層隨機抽樣的方法抽取6人,則年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是多少?(3)在(2)的條件下,從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動,求恰有1人年齡在第3組的概率.【解析】(1)由頻率分布直方圖可知,[25,30)與[30,35)兩組的人數(shù)相同,所以a=25,且b=25×0.080.02(2)因為第1,2,3組共有25+25+100=150(人),所以利用分層隨機抽樣的方法在150名員工中抽取6人,第1組被抽取的人數(shù)為6×25150第2組被抽取的人數(shù)為6×25150第3組被抽取的人數(shù)為6×100150所以年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是1,1,4;(3)由(2)可設(shè)第1組的1人為A,第2組的1人為B,第3組的4人分別為C1,C2,C3,C4,則從6人中隨機抽取2人,樣本空間Ω={(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4)},共有15個樣本點.其中恰有1人年齡在第3組的樣本點為(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),共有8個,所以恰有1人年齡在第3組的概率為815【補償訓(xùn)練】個稅專項附加扣除的目的是讓大部分人能夠減輕納稅負擔(dān),對各種收入的人群都能起到一定的減稅效果,共涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人、嬰幼兒照顧等七項專項附加扣除.某學(xué)校具有高級職稱、中級職稱、初級職稱的教師分別有72人,108人,120人,現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法,從該學(xué)校上述教師中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.(1)應(yīng)從具有高級職稱、中級職稱、初級職稱的教師中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的教師有6人,分別記為A,B,C,D,E,F,具體享受情況如表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受,現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發(fā)生的概率.ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○嬰幼兒照顧○○××○×【解析】(1)某學(xué)校具有高級職稱、中級職稱、初級職稱的教師分別有72人,108人,120人,現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法,從該學(xué)校上述教師中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況,具有高級職稱、中級職稱、初級職稱的教師人數(shù)之比為6∶9∶10,由于采用分層隨機抽樣的方法從中抽取25人,所以應(yīng)從具有高級職稱的教師中抽取25×66+9+10從具有中級職稱的教師中抽取25×96+9+10從具有初級職稱的教師中抽取25×106+9+10=10人(2)①{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.②由題中表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種,所以事件M發(fā)生的概率P(M)=1115【總結(jié)升華】概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用解題策略處理該類問題的關(guān)鍵是弄清各概念間的關(guān)系,抓住問題本質(zhì),這類問題涉及數(shù)據(jù)較多,要分清各數(shù)據(jù)對應(yīng)事件及端點處數(shù)據(jù)的特殊含義,理解頻率與概率間的關(guān)系,準(zhǔn)確求解問題.【真題1】(1)(2023·全國甲卷)某校文藝部有4名學(xué)生,其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為()A.16 B.13 C.12 【解析】選D.依題意設(shè)高一年級的學(xué)生編號為1和2,高二年級的學(xué)生編號為3和4,則從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演情況有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種情況,符合情況的有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)這4種情況,故這2名學(xué)生來自不同年級的概率為46=2(2)(2023·全國乙卷)某學(xué)校舉辦作文比賽,共6個主題,每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文,則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為()A.56 B.23 C.12 D【解析】選A.將這6個主題分別編號為1~6號,建立如下表格:項目甲123456乙1×2×3×4×5×6×其中一共有36種情況,表格畫“×”表示甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到相同主題的情況,有6種,那么甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的情況就有366=30(種),所以甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為3036=5【溯源】(人教A必修二P246T8)從長度為1,3,5,7,9的5條線段中任取3條,求這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率.【解析】該試驗的樣本空間可表示為Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9)}共有10個樣本點,其中能構(gòu)成三角形的樣本點有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)共3個,故所求概率P=310[點評]2023年全國卷兩道高考試題和教材習(xí)題都是考查古典概型,有很高的相似性.教材習(xí)題是通過列舉法羅列出所有基本事件,再求出滿足要求的基本事件個數(shù),由古典概型求解.而高考真題的考點和考查方向與此題一致,所以在平時的學(xué)習(xí)中要重視教材、研究教材中的例題和習(xí)題.【真題2】(2022·新高考Ⅱ卷,節(jié)選)在某地區(qū)進行某種疾病調(diào)查,隨機調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡,得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均