第64講橢圓的標準方程及其性質

1、橢圓的定義

平面內與兩個定點F2的距離之和等于常數(大于|以尸2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓

的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

集合P={/W||MF11+I/WF2I=2。},IF1F21—2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數.

(1)若a>c,則集合P為橢圓;

(2)若a=c,則集合P為線段;

⑶若a<c,則集合P為空集.

2、焦半徑：橢圓上的點P(x°,y°)與左(下)焦點Fi與右(上)焦點F2之間的線段的長度叫做橢圓的焦半徑，分

別記作ri=|PFi|,r2=IPF21.

⑴7+京=l(a>b>0),ri=a+ex0,r2=a—ex0；

y2x2

(2)前十京=l(a>b>0)，ri=a+ey0,r2=o—ey0;

(3)焦半徑中以長軸為端點的焦半徑最大和最小(近日點與遠日點).

3、橢圓的標準方程和幾何性質

x2y2x2y2

標準方程/+爐=l(o>b>0)京+次=l(o>b>0)

圖形小.

—a<x<a,~b<x<b,

范圍

~b<y<b~a<y<a

對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：(0,0)

性質

4(一。0),A2(a,0),4(0,—a),4(0，o)，

頂點

Bi(0,~b),B2(0,b)Bi(—b,0),B2也0)

軸長軸A1A2的長為2a,短軸B1B2的長為2b

焦距|F1F21=2c

離心率e=。,ee（o,l）

a,b,c

c2=a2~b2

的關系

r2v2I

1、（2022?甲卷（文））已知橢圓C:=十與=l（a＞b〉0）的離心率為—，A，4分別為C的左、右頂點，B

ab3

為C的上頂點.若網?％=T，則c的方程為（）

A.——+—=1B.——+—=1

181698

2

丫2v丫2

C.匕+&=1D.—+/=1

322-

【答案】B

22

【解析】由橢圓的離心率可設橢圓方程為J+J=l（加＞0）,

9m28m2

則A（~3m,0）,A（3m,0）,B（0,2^f2m）,

由平面向量數量積的運算法則可得：

BAf-BA,=（-3m,-2y[2m）■（3m,-2y/2rri）=-9m2+Sm2=-1,m2=1,

22

則橢圓方程為土+匕=1.

98

故選：B.

r2v23

2、（2023?甲卷（理））已知橢圓§+器=1,耳，F?為兩個焦點，O為原點，尸為橢圓上一點，cosN片尸鳥=《，

貝|J|R?|=（）

2a3D后

5252

【答案】B

22

【解析】橢圓'■+'=1,K，8為兩個焦點，c=也,

O為原點，尸為橢圓上一點，cosN耳尸耳=g,

設|P￡|=相，|PF2\=n,不妨加＞幾，

2222222

可得相+〃=6,4c=m+n-2mncosZFXPF2,BP12=m+n—mn,可得加〃=m+n=21,

PO=^(PFl+PF2),

122

PO^=-(PF,'+PF2'+2PF1-PF2)

2

=；(m+幾2+2mncos/.FXPF2)

=；(機2+〃2

1…615、15

寸—萬?

可得|尸。|=粵.

故選：B.

22

3、(2022?新高考II)已知直線/與橢圓上+上=1在第一象限交于A,3兩點，/與x軸、y軸分別相交于

63

M,N兩點，且|M4|=|NB|,|MN\=2^,貝心的方程為

【答案】x+y/2y-242=Q.

【解析】設A(%,%),B(X2,%)，線段AB的中點為E，

哈

-才1

相減可得：4----,

九22

%—%貨二二］

.L二?3

貝1JkOE

石+x2%2一%入；—%；2

m

設直線/的方程為：y=kx+m,k〈O,m>0,M(----,0),N(0,加),

k

.“(卷,號,：,kOE=~k,

乙K乙

.hk」,角星得左二—也，

22

小g+/=20，化為:2

IMN\=2A/3,+根2-12

k2

/.3m2=12,m>09解得〃z=2.

:.l的方程為y=-^-x+2,即x+A/2^-2A/2=0,

故答案為：x+0y-2后=0.

4、【2022年全國甲卷】橢圓（::《+\=1（（1>6>0）的左頂點為4,點「，。均在C上，且關于y軸對稱.若

直線4P,AQ的斜率之積為;，則C的離心率為（)

4

1

A.但B.0C.D-I

222

【答案】A

【解析】

解：4(—a,0),

設則Q（Ti，yi）,

則k”=告-%

-xT+a

21

故題P.%Q=含yi

22

—%I+Q-%1+a4

2_b2(a2-X12)

又合+號=1，則無=

》2(Q2Tl2)

所以.3,即H

所以橢圓C的離心率e=—=V3

a2,

故選：A.

5、【2021年乙卷文科】設2是橢圓c：三+y2=1的上頂點,點尸在。上，則|尸耳的最大值為（

5

A-1B.瓜D.2

【答案】A

2

【解析】設點尸（々,九），因為8（0,1）,羨+褚=1，所以

網2=需+(%-1)2=5(1—娟+(%一i)2=-4y；—2%+6=+；i+7

而-所以當％=-；1時，「邳的最大值為g.

4

故選：A.

22

6、【2021年乙卷理科】設8是橢圓C:5+當=1（a>6>0）的上頂點，若C上的任意一點尸都滿足IP8區2A,

ab

則C的離心率的取值范圍是（）

(V2

A.B.P1C.°4D.

【答案】C

22

【解析】設尸伍,九），由3（0,6）,因為其+烏=1,a2=b2+c2,所以

ab

22

|P到2=x；+（%-6）2=/1］_券］+（%_6）2=_宗卜+1y+<2+Z?,

因為當-白4，即方2.2時，河2=4凡即閥=26,符合題意，由622c2可得0222c2,

?Imax1imdx

即0<"正；

2

當上>-b,即廿<°2時，附2=*/+/，即2+/+從44〃，化簡得，（c2-b2Y<0,顯然該不

。2IImaxC2c2'

等式不成立.

故選：C.

22

7、【2021年新高考1卷】已知《，鳥是橢圓C：］+q=l的兩個焦點，點/在C上，則|岬卜|曬|的最

大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由題，片=9方=4,則|幽+|幽=2a=6,

所以|叫HMKiJ眄*四］=9（當且僅當|昭|=|叫|=3時，等號成立）.

I2J

故選：C.

22

8、【2021年甲卷文科】已知片，耳為橢圓C：二+匕=1的兩個焦點，P,。為C上關于坐標原點對稱的兩

164一

點，且|尸0=|耳閭，則四邊形因的面積為.

【答案】8

【解析】因為P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，

且IPQH耳鳥I,所以四邊形Pf；。鳥為矩形，

］〃

設|P6|=m,\PF2\=n,貝1機+〃=8,m2+2=48,

所以64=（機+"A=m2+2mn+n2=48+2mn,

mn=8,即四邊形尸耳。月面積等于8.

故答案為：8.

熱【身劃1綜

1、設尸是橢圓以+金=1上的點，若F1，/2是橢圓的兩個焦點，貝IJI尸尸1|十|尸尸2|等于（）

A.4B.5

C.8D.10

【答案】D

【解析】依橢圓的定義知，|尸尸I|十|PF2|=2X5=10.

72

2、若方程占+弋=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數機的取值范圍是（）

A.（-3,5）B.（-5,3）

C.（-3,1）D.（-5,1）

【答案】C

【解析】由方程表示焦點在x軸上的橢圓，得5—根＞根+3＞0,解得一3〈根＜1,所以實數機的取值范圍是

（-3,1）.

3、橢圓C：=+言=1的左、右焦點分別為尸2,過點巳的直線交橢圓C于A,2兩點，則△BA3的

周長為（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】C

【解析】的周長為尸兇+/出+&3=尸叢+丑+￡8+/28=24+2。=44.在橢圓C中，a2=25,則a

=5,所以的周長為4a=20.

4、已知橢圓點+長；=1的離心率為治則實數左的值為.

【答案】21或一工19

呼

C4419

---解得%--

---

【解析】當橢圓的焦點在％軸上時，/=9,。2=4+左，則c=45525

當橢圓的焦點在y軸上時，/=4+左，從=九則

的值為21或一行.

fV2

5、過點（一3,2）且與/+：=1有相同焦點的橢圓方程是（）

2

A,2X2J;2c//X2y

A.——+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.——+—

15101015925105

【答案】A

22

【解析】因為焦點坐標為（土小，0）,設方程為3+生芋=1,將（一3,2）代入方程可得

94x2v2

^+a2_5=b解得a2=15,故方程為正+希=1

典luluuM

考向一橢圓的定義及其應用

例1、(1)一動圓與已知圓O1：。+3)2+丁=1外切，與圓。2：(無一3)2+步=81內切，試求動圓圓心的軌跡

方程.

(2)求過點A(2,0)且與圓/+4工+V-32=0內切的圓的圓心的軌跡方程.

【解析】(1)如圖所示，設動圓的圓心為C,半徑為r.

則由圓相切的性質知，COi=l+r,CO2=9-r,ACOi+CO2=10,而002=6,

點C的軌跡是以Oi、。2為焦點的橢圓，其中2a=10,2c=6,b=4.

22

動圓圓心的軌跡方程為念+詬=1.

(2)將圓的方程化為標準形式為(x+2>+y2=62,圓心B(—2,0),r=6.

設動圓圓心M的坐標為(x,y),動圓與已知圓的切點為C.

則BC-MC=BM,而BC=6,/.BM+CM=6.

又CM=AM,BM+AM=6>AB=4.

...點M的軌跡是以點B(—2,0)、A(2,0)為焦點、線段AB中點(0,0)為中心的橢圓.

a=3,c=2,b=木.

22

所求軌跡方程為^'+5=1.

變式1、(1)己知圓(尤+2>+產=36的圓心為M,設A是圓上任意一點，N(2,0),線段加V的垂直平分線交

MA于點P,則動點P的軌跡是()

A.圓B.橢圓

C.雙曲線D.拋物線

【答案】B

【解析】點尸在線段AN的垂直平分線上，故|以|=|PN|.又AM是圓的半徑，所以|PM+|PN=|PM+|B1|

=|4M=6>|MM.由橢圓的定義知，尸的軌跡是橢圓.

(2)△ABC的兩個頂點為4(-3,0),2(3,0),△ABC周長為16,則頂點C的軌跡方程為()

A*+汽=Kk。)

B*+古=K/。)

C念十尹120)

D忐+A1/。)

【答案】A

【解析】由題知點C到A,B兩點的距離之和為10,故C的軌跡為以4(-3,0),3(3,0)為焦點，長軸長為

7772

10的橢圓，故2。=10,。=3,左=〃2—，=16.所以方程為赤+.=1.又A,B,。三點不能共線，所以而十?

NJJ.U乙JL\J

=i(y=o).

方法總結：橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓；二是當P

在橢圓上時，與橢圓的兩焦點凡，F2組成的三角形通常稱為"焦點三角形"，利用定義可求其周長，利用定義

和余弦定理可求\PF1\\PF2\,通過整體代入可求其面積等

考向二橢圓的標準方程

例2、求滿足下列條件的橢圓的標準方程.

(1)經過P(一2小，0),2(0,2)兩點；

72

(2)與橢圓w+1=l有相同的焦點且經過點(2,一小).

【解析】(1)由題意，得尸，。分別是橢圓長軸和短軸上的端點，且橢圓的焦點在X軸上，

所以a=2y[3,b=2,

所以橢圓的標準方程為三+?=L

(2)設橢圓：+弓=1的左、右焦點分別為E,

則尸1(—1,0),F2(l,0),

所以所求橢圓的焦點在x軸上.

設橢圓方程為最+方=l(a>b>0),

a,2=4+2S，,2=4—小，

由題意，得彳43解得J,廠或彳，廠(舍去)，

薩+講=1,[^=3+2^3〔爐=3-木

22

所以橢圓的標準方程為4+2小+33小=1

變式1、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：_

(1)兩個頂點為(310)，(-3'0)，離心率為斗^；

22

(2)過點(小，—小)，且與橢圓*+5=1有相同焦點的橢圓的標準方程.

【解析】⑴如果焦點在x軸上，則a=3，離心率：=￥，，c=2W，...b2=a2—c2=l，.?.橢圓的標

準方程為^_+y2=l；如果焦點在y軸上>則b=3>將：=斗^代入b2=a2—c2中>得a2—1a2=9，.*.a2=81>

22222

...橢圓的標準方程為於+]=1.故所求橢圓的標準方程為]+y2=1和+]=L

22

(2)(方法1)橢圓入+.=1的a=5，b=3，

???c=4，焦點為(0，一4)，(0，4).由橢圓定義知，2a=yj(^3-0)2+(-^5+4)2+

y](^3—0)2+(―^5~4)2，解得a=2、/5.由c2=a?_b2得b?=4.

22

?1?所求橢圓的標準方程為L

22

(方法2)設所求橢圓方程為工匕+'=1(1?9)，將點(小，一小)坐標代入，得

ZDK37K

(1*2+(￡2=1，解得k=5(k=21舍去)，

ZDKyK

22

...所求橢圓的標準方程為4+1=1.

變式2、求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：

(1)長軸是短軸的3倍且經過點A(3,0)；

(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為小；

(3)經過點P(—2小，1),0(小，一2)兩點；

72

(4)與橢圓w+]=l有相同離心率，且經過點(2,—^3).

v22

【解析】(1)若焦點在工軸上，設方程為”+$v=13>。>0)，

9

??,橢圓過點A(3,0),???^=1得〃=3,

X2C

V2?=3X2/?,.\b=l,，方程為豆+_/=1,

若焦點在y軸上，

設方程為/=l(a>b>0),

9

???橢圓過點A(3,0),?,?記=1得b=3,

又2a=3X26,；.a=9,.,.方程為而十，=1.

綜上所述，橢圓方程為總+戶1或5+卷=1.

jq=2c,

(2)由已知，有

[a—c=y[3,

u—2*^3,

解得，乂=9,

2222

所求橢圓方程為為+]=1或]?+,=：1.

(3)設方程為m>0,n>0,m^n),

[12m+n=1,\m15，

則有。」?解得〈i

〔3相+4孔=1,_1

〔”一予

92

則所求橢圓方程為=+5=1.

2

(4)橢圓/下V片=1的離心率是e=]1,

當焦點在x軸上時，

72

設所求橢圓的方程是5+方=1(46>0),

a~29

2

???/42=〃+/,解得.a=89

b2=6,

1,

22

???所求橢圓方程為5+尢=1.

27

當焦點在y軸上時，設所求橢圓的方程為我+5=1(。>心0),

25

廠》ar9z=——

3，

a2=b2+cz,

T，

3+*=1，

橢圓的標準方程為白+*=1,

TT

72

故所求橢圓標準方程為3+看

方法總結：用待定系數法求橢圓方程的一般步驟:

①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在X軸上、在y軸上，還是兩個坐標軸上都有可能；

②設方程：根據上述判斷設方程3+j=l(a>b>0)或|s+￡=l(a>b>0)或mx*2+ny2=l(m>0,n>0)；

③找關系：根據已知條件，建立關于a、b、c的方程組；

④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.

考向三橢圓的性質

22

例3、(1)(2022?廣東清遠?高三期末)若橢圓C:±+匕=1的焦距為6,則實數加=()

4m

A.13B.40C.5D.2萬

【答案】A

【分析】

根據題意，可知c=3,a2=m,b2=4,由/一進行運算，即可求出機的值.

【詳解】

22

解：因為橢圓C:土+匕=1的焦距為6,

4m

可知2c=6,貝c=3,所以/=;77,Z?2=4,

所以根-4=3之，解得：m=\3.

故選：A.

(2)(2022?江蘇海安?高三期末)若橢圓爐+/3$。=11()<。<1]的焦距為2,則該橢圓的離心率為

【答案】正

2

【分析】

工+上-11

將已知橢圓方程化為標準形式為T1--，由題意可得片=—扶=1,結合2c=2以及

----cos”

cos9

e=二即可求解.

a

【詳解】

X2/1

由爐+y2cos6=1可得11一,

COS。

711

因為。<夕<所以OvcosOvl,所以-->1,

2cos。

可得=-i一,82=],_匕2=I---],

cos0cos0

1

由題意可得2c=2,所以。=1c1=a1—b1=1,

cos。

故答案為：走.

2

2222

（3）（2022?江蘇如皋期初考試）橢圓土+匕=1與上二+二一=1（0<左<9）關系為（

2599一k2.5-k

A.有相等的長軸長B.有相等的離心率

C.有相同的焦點D.有相等的焦距

【答案】D

22_____

【解析】由題意，對于橢圓=+]=1,焦點在x軸上，a=5,b=3,所以c=#25—9=4,則離心率e=\=

1對于橢圓言+號，=1，因為25T>9T>0,所以焦點在y軸上，a=y125-k^5,6=回耳?3,

JyKK

c44-

所以。=,25一左一（9一?=4,則離心率e二點故選項D正確，其他選項錯誤；所以答案選D.

變式1、（1）設為，/2分別是橢圓C：務奈=1（。>>>°）的左、右焦點，點2在橢圓C上.若線段叨的

中點在y軸上，ZPFIF2=30°,則橢圓的離心率為

【答案】V

【解析】如圖，設PQ的中點為連接尸6.因為。為的中點，所以OM為的中位線，所以

OM//PF2,所以/PBB=/MOB=90。.因為/尸尸出=30。，所以PFi=2PB.由勾股定理，得FB=

、尸疥一尸刑=小尸入.由橢圓定義,得2。=尸西+尸尸2=3刊"則。=等.又2c=FiB=/PB,則c=誓死，

cy[3PF22y/3

所以==

a2'3PF23'

92

（2）（2022?江蘇如皋期初考試）焦點在無軸上的橢圓方程為”十方=l（a>b>0）,短軸的一個端點和兩個焦

b

點相連構成一個三角形，該三角形內切圓的半徑為多則橢圓的離心率為.

【答案】I

【解析】由題意，如圖，由橢圓的性質可知，AB=2c,AC—BC=a,OC—b,.,.S^ABC=^AB-OC=^-2c-b=

ll」1bb（a~\~c）J（『c）=A,a—2c,故橢圓離心率e=5=g.

be,所以S03C=2（〃+〃+2C）XW=-—

72

變式3、（1）己知B，&分別是橢圓也十方=1（。?>0）的左、右焦點，若橢圓上存在點尸，使NB*=90。,

則橢圓的離心率e的取值范圍為（）

【解析】若橢圓上存在點P,使得尸尸2,則以原點為圓心，總尸2為直徑的圓與橢圓必有交點，如圖,

可得c與b,即將》>,

所以2/2/,即/三3，

又e<l,所以［乎，1）.

（2）已知橢圓C：5+卓=1（。>">0）,點A,B是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點P,使得NAP5=120。,

則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

A皆，1）B停1）

D（0,1

【答案】A

【解析】如圖,

當尸在上頂點時，NAP8最大，

此時NAP8N120。，

則NAPON60。，

所以tanZAPO^tan60°=5，

即/三45,〃223。2,〃223（〃2—02）,

所以2（22<3C2,

則如半

所以橢圓的離心率的取值范圍是當，1）

方法總結：求離心率的值關鍵是找到不等關系，解出a與c的關系，進而求出離心率的范圍。常見的等式關

系主要有：1、若橢圓上的點，則根據范圍分布找到橫坐標或者縱坐標的范圍；2、若是橢圓上的點，則研

究此點到焦點的范圍；要特別注意離心率的范圍。

考向四與橢圓有關的范圍（最值）

r2ff

例4、已知為，F2是橢圓了+V=1的左、右焦點，P是橢圓上的一個動點，求|防1+而2|的最小值.

【解析】設點尸（如y0）,由題意，得B（一小，0）,分（小，0）,則防尸（一小一孫-yo）,麗=（小一孫

一州），

所以動1+而2=（—2xo,-2州），

所以\PFi+PF2\=：4焉+4y$=2.4—4此+1=2丹—3M+4.

因為點尸在橢圓上，所以

所以當濟=1時，I訪i+防21取得最小值2.

72

變式1、橢圓，+全=1內有一點尸（1,-1）,尸為右焦點，在橢圓上有一點當MP+2M尸的值最小時,

求點M的坐標.

【解析】由題意，得“2=4,Z?2=3,

所以c=-\ja2-b2=l,

C1

所以橢圓的離心率e=￡=],右準線方程為x=1=4.

作出橢圓的右準線/,過點M作跖V，/于點N,

MF1

則礪=e=]，所以2MF=MN,

所以MP+2MF=MP+MN.

要求MP+IMF的最小值，即求MP+MN的最小值，

過點尸(1,—1)作于點No,交橢圓于點M),則當動點M在橢圓上運動，與點Mo重合時，MP

+2MF取得最小值.

Dr

設Mo(xo,-1),代入橢圓方程，得次=3"(舍負)，

所以當MP+2MF的值最小時，點M的坐標為(半，-1).

方法總結：與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法

(1)利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質；

(2)利用函數，尤其是二次函數；

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

wm

1、(2022?湖北?恩施土家族苗族高中高三期末)曲線C的方程是"(X-1)2+y2+J(x+1)2+/=4,則曲線C的

形狀是()

A.圓B.橢圓C.線段D.直線

【答案】B

【解析】方程表示動點尸(x，y)到兩定點A(-l,0),8(l,0)的距離之和為4.而|鉆|=2<4,因此尸的軌跡是以

A,8為焦點的橢圓.

故選：B.

22

2、(2022?湖北江岸?高三期末)已知橢圓。：3+2=1(°>6>0)的左右焦點分別為凡，片,離心率為e,

ab

下列說法正確的是（）

A.當6=正時，橢圓C上恰好有6個不同的點，使得《鳥尸為直角三角形

2

B.當6=正時，橢圓C上恰好有2個不同的點，使得.百鳥P為等腰三角形

2

C.當e=g時，橢圓C上恰好有6個不同的點，使得.月月尸為直角三角形

D.當e=g時，橢圓C上恰好有2個不同的點，使得一片鳥尸為等腰三角形

【答案】A

【解析】對于A,當e=Y2時，可得6=c,要使得丹瑪P為直角三角形，

2

則NRPB=90°或/月耳尸=90°或/4目尸=90°.

易知：當尸為上、下頂點時，/片尸瓦=90°,有2種情況，

當尸月，片入時，ZF2F,P=90°,有2種情況，

同理，當尸耳工，也有2種情況.故共有6個不同的點，使得“耳心尸為直角三角形，

選項A正確.

對于B,當e=Y2時，可得b=c,要使得刀工尸為等腰三角形，

2

則歸周=|尸肉或|尸耳卜閨閭或歸周=|耳聞.

根據對稱性易知，以上每一種情況都有2種等腰三角形，故共有6個等腰三角形，故B錯誤.

對于C,當e=；時，可得6=辰，當點P在上頂點或下頂點時代PF?最大，且最大角為60。，故要使得小工尸

為直角三角形，

則/與片尸=90°或/耳6尸=901

當尸片_1_片8時，/居與尸=90°,有2種情況，

同理，當片工，也有2種情況.共有4個不同的點，使得月鳥尸為直角三角形，故選項C錯誤.

對于D,要使得，耳鳥尸為等腰三角形，

則|「耳卜IPF2\或|尸耳卜耳劇或附i1=1耳圖.

根據對稱性易知，以上每一種情況都有2種等腰三角形，故共有6個等腰三角形，故D錯誤.

故選：A

22

3、（2022?山東淄博?高三期末）已知橢圓C*+}=l（a>b>0）的右焦點為F,上頂點為B,直線BF與C

相交于另一點4點A在x軸上的射影為4，O為坐標原點，若BO=2AA，則C的離心率為（）

A.BB.|C.