探究性問題 專項練習-2025年中考數(shù)學一輪復習_第1頁
探究性問題 專項練習-2025年中考數(shù)學一輪復習_第2頁
探究性問題 專項練習-2025年中考數(shù)學一輪復習_第3頁
探究性問題 專項練習-2025年中考數(shù)學一輪復習_第4頁
探究性問題 專項練習-2025年中考數(shù)學一輪復習_第5頁
已閱讀5頁,還剩21頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

類型9探究性問題

壓軸例題精講

【例】有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置,點E,F分別在邊AB和AD上,

連接BF,DE,M是BF的中點連接AM交DE于點N.

(1)線段DE與AM之間的數(shù)量關系是,位置關系是;

⑵將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉45°,點G恰好落在邊AB上,如圖2,其他條件不變,線

段DE與AM之間的關系是否仍然成立?并說明理由.

【解】(1)DE=2AMDEXAM.

(2)仍然成立.理由如下:

如圖,延長AM到點H使MH=AM連接BH.

???點M是BF的中點;.BM=FM.

又/BMH=NAMF,

.,.ABHM^AFAM,

二BH=AF=AE,ZH=ZFAM,

;.AF〃BH,

.?.ZFAB+ZABH=180°.

又:ZEAF+ZBAD=ZDAE+ZBAF=180°,

NABH=NDAE.又AB=AD,

△ABH/ADAE,AH=DE.

,/AH=2AM,DE=2AM.

又ZBAH=ZADE,ZBAH+ZDAN=90°,

.?.ZADE+ZDAN=90°,

ZAND=90°,

即DEXAM.

1.問題提出如圖1,在4ABC中,AB=AC,D是AC的中點,延長BC至點E,使DE=DB延長ED交AB于點

F,探究卷勺值.

問題探究⑴先將問題特殊化.如圖2,當/BAC=60。時,直接寫出多勺值;

(2)再探究一般情形.如圖1,證明(1)中的結論仍然成立.

問題拓展如圖3,在小ABC中,AB=AC,D是AC的中點,G是邊BC上一點,^=-(n<2),延長BC至點E,

DCTl

2如圖,二次函數(shù)y=-+|刀+4的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C.

4乙

點P是第一象限內二次函數(shù)圖象上的一個動點,設點P的橫坐標為m.過點P作直線PDLx軸于點D,作直線B

C交PD于點E.

⑴求A,B,C三點的坐標,并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式;

(2)當4CEP是以PE為底邊的等腰三角形時,求點P的坐標;

(3)連接AC,過點P作直線1〃AC,交y軸于點F,連接DF.試探究:在點P運動的過程中,是否存在點P,

使得CE=FD,若存在,請直接寫出m的值;若不存在,請說明理由.

3.綜合與實踐課上,老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

⑴操作判斷

操作一:對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平;

操作二:在AD上選一點P,沿BP折疊,使點A落在矩形內部點M處,把紙片展平,連接PM,BM.

根據(jù)以上操作,當點M在EF上時,寫出圖1中一個30。的角:;

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片,繼續(xù)探究,過程如下:

將正方形紙片ABCD按照⑴中的方式操作,并延長PM交CD于點Q,連接BQ.

①如圖2,當點M在EF上時,NMBQ=。,/CBQ=°;

②改變點P在AD上的位置(點P不與點A,D重合),如圖3,判斷/MBQ與NCBQ的數(shù)量關系,并說明理由;

(3)拓展應用

在⑵的探究中,已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm,當FQ=1cm時,直接寫出AP的長.

圖1

圖2圖3

4.在△ABC中,/ACB=90°,—=m,D是邊BC上一點,將△ABD沿AD折疊得到4AED,連接BE.

BC

⑴特例發(fā)現(xiàn)如圖1,當m=l,AE落在直線AC上時,

①求證:/DAC—EBC;

②填空:海勺值為「

CE

⑵類比探究如圖2,當m*l,AE與邊BC相交時,

在AD上取一點G,使NACG=NBCE,CG交AE于點H.探究(?的值(用含m的式子表示),并寫出探究過程;

(3)拓展運用在(2)的條件下,當機=會>是BC的中點時,若EB.EH=6,求CG的長.

5.問題情境:數(shù)學活動課上,老師出示了一個問題如圖①在口ABCD中,BE,AD,垂足為E,F為CD的中點,連

接EF,BF,試猜想EF與BF的數(shù)量關系,并加以證明;

獨立思考:(1)請解答老師提出的問題;

實踐探究:⑵希望小組受此問題的啟發(fā),將口ABCD沿著BF(F為CD的中點)所在直線折疊,如圖②,點C

的對應點為C,,連接DC并延長交AB于點G,請判斷AG與BG的數(shù)量關系,并加以證明;

問題解決:⑶智慧小組突發(fā)奇想,將口ABCD沿過點B的直線折疊,如圖③,點A的對應點為A1使A-B1C

D于點H,折痕交AD于點M,連接AM,交CD于點N.該小組提出一個問題:若此口ABCD的面積為20,邊長AB=

5,BC=2V5,,求圖中陰影部分(四邊形BHNM)的面積.請你思考此問題,直接寫出結果.

A'

圖③

1.實驗與探究

操作一:如圖1是一張矩形紙片,點E在邊AB上把ABCE沿直線CE翻折,使點B落在對角線AC上的點

F處,連接DF,且點E,F,D在同一直線上.

(1)若/CEB=70。,貝!!/EDC=°;

⑵當AE=4時,求BE的長.

操作二:如圖2,矩形紙片中,AB=5,BC=4,點G是BC的中點點E是AB邊上的一動點,將ABGE沿EG所在

直線翻折得到△FEG.連接DF,則線段DF的最小值是_______.

2.如圖1,矩開鄉(xiāng)ABCD中,AB=10,BC=8.E為邊BC上一點,沿直線DE將矩形折.疊,使點C落在AB邊的點

C處.

(1)填空:AC的長為;

(2)如圖2,將ADCE沿線段AB向右平移,使點C與點B重合得到△DBE:DE與BC交于點F,D'B與DE

交于點G,求EF的長;

⑶在圖2中,連接GF,EE,則四邊形GEEF是平行四邊形嗎?若是,請予以證明;若不是,請說明理由.

3.已知拋物線y=ax2+bx+c關于y軸對稱,且過點((1」)和點(2,1).);

4

⑴求拋物線的解析式;

⑵若點D(-l,p)和點E(m-l,q)在拋物線上,試比較p,q的大小;

(3)過點F(0,1)作與y軸不垂直的直線交拋物線于點A和點B,線段AB的垂直平分線交y軸于點M,試探

究署是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.

FM

4如圖1,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,點P為線段CD上的一個動點,點P從D點出發(fā),以每秒4個單位

長度的速度從點D向點C運動,過點P作AC的平行線交AD于點(2,將4PDQ沿PQ折疊,點D落在點E

處,連接DE,AE,如圖2,設運動的時間為t秒.

⑴觀察猜想:①當點P運動時,NADE的大小是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,求sin/ADE的變化范圍;若不發(fā)生

變化,直接寫出sin/ADE的值;

②在P點運動過程中,線段AE的最小值為(直接寫出答案);

(2)推理探究:設△PQE與△ACD的重疊部分的面積為S,請你直接寫出S與t的函數(shù)解析式,并寫出自變量

t的取值范圍;

(3)拓展延伸誕長PE交直線AC于點F,交直線BA于點G,在運動過程中,當F為EG的中點時(如圖3),

試求出t的值.

BGA

圖3

5.如圖1,M是線段AB上任意一點(不與點A,B重合),分別以AM和BM為斜邊在AB同側構造等腰直角

三角形AMC和等腰直角三角形BMD,連接CD.取AB的中點E,CD的中點F,連接EF.

猜想驗證:

⑴如圖2,當點M與點E重合時,試判斷EF與CD之間的數(shù)量關系,并說明理由;

(2)如圖3,當點M與點E不重合時,問題

(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由;

⑶如圖3若AB=2cm,線段EF是否存在最小值,若存在,請直接寫出最小值;若不存在,請說明理由.

圖2圖3

6.在學習研究完特殊的平行四邊形之后,某學習小組針對矩形中的折疊問題進行了研究.問題背景如下:在矩形

ABCD中,AB=4,BC=6.M為BC的中點,P,Q分別是AB,CD邊上的點,連接MP,MQ.

操作與發(fā)現(xiàn)

如圖1,WAMBP沿PM翻折,點B落在點B處,將AMCQ沿MQ翻折,點C落在點C處,連接B'C.

(1)當BC〃BC時,小組成員發(fā)現(xiàn)BP=CQ,請你完成證明;

⑵如圖2,小組成員進一步發(fā)現(xiàn)當MB1±MC',CQ=1時,還能求出BP的值,請你求出這個值;

(3)如圖3,小組成員沿著⑵小題的思路,提出了問題“當△MBC為等邊三角形,且CQ=1.5時,求BP的長”.

請你直接寫出BP的長.

7.如圖1,已知拋物線y=-打2+%+4與X軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,作

直線BC,點C關于x軸的對稱點是點C.

⑴求點C的坐標和直線BC的表達式;

⑵如圖2,點M在拋物線的對稱軸上,N為平面內一點,依次連接BM,CM,CN,NB,當四邊形BMCN是菱形

時.求點M坐標;

⑶如圖3,P是拋物線第一象限內一動點,過點P作x軸的平行線分別交直線BC和y軸于點Q和點E,

連接PC交直線BC于點D,連接QC,PB,設點P的橫坐標為m,AQCD的面積為Sx,APBD的面積為S2,求品

-52的最大值.

類型9探究性問題

1.問題探究(1);(2)略問題拓展竽

問題探究⑴證明/ADF=/CDE=/CED=30。,從而證明人艮人口=人口以8=1:2,即可得人5人;(2)取BC的中點H,連

接DH,證明△DBH^ADEC,AEDH-AEFB,再由相似三角形的性質證明結論;問題拓展利用全等三角形、相似

三角形的判定與性質即可證明.

解:問題探究⑴:

4

⑵證明:取BC的中點H,連接DH.

是AC的中點

1

???DHABDH=-AB.

f2

TAB=AC,

ADH=DC,

:.NDHONDCH.

,?BD=DE,

?,.ZDBH=ZDEC.

:.ZBDH=ZEDC.

.,.△DBH^ADEC.

???BH=EC.

EB3

----=—.

EH2

?.?DH〃AB,

JAEDH^AEFB.

.FB_EB_3

??DH-EH-2

.FB_3

,,——■

AB4

AF_1

,t,一■

AB4

另解ADF^AABD也可求解.

另解2:取AB的中點M,證明△ECD^ADMB也可以求解.

問題拓展早.

4

2.(l)A(-2,0),B(8,0),C(0,4)y=-1x+4(2)(4,6)(3)4或2V5-2

(1)根據(jù)拋物線的函數(shù)表達式求出點C,A,B的坐標,再利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式即可;(2)

易得點P(m--im2+jm+4),過點C作CG±PD于點G,由題中已知條件可證得四邊形CODG是矩形,再利用

矩形的性質與平行線的性質得到/1=/2,結合/CGE=NBOC,可證得△CGEs^BOC,從而可求出EG,根據(jù)等腰

三角形“三線合一”可得PG=EG,然后利用PD=PG+DG建立關于m的方程,解方程即可求出m的值,據(jù)此可得點

P的坐標;(3)過點C作CH±PD于點H,易得點P+|m+4),先求出直線AC的函數(shù)表達式,根據(jù)PF

〃AC,可得直線PF的函數(shù)表達式,從而可得點F的坐標,求出OF的長,利用HL定理證明RtACHEERSD

OF,則有/ECH=/FDO,進而得/FDO=/CBO,利用等角的正切相等,可建立關于m的方程,解方程即可求出m

的值.

解:⑴由y=-%2+|%+4得,

當x=0時,y=4.

???點C的坐標為(0,4).

當y=0時,--X2+-%+4=0,

"42

解,得.2,%2=8.

???點A在點B的左側,

二點A,B的坐標分別為A(-2,0),B(8,0).

直線BC的函數(shù)表達式為y=-1x+4.

(2);?點P在第一象限拋物線上,橫坐標為m,且PDLx軸于點D,

???點P的坐標為—]m?+|T71+4),00=TH.

13

.??PD=——7+-m+4.

42

丁點B的坐標為(8,0),點C的坐標為(0,4),

???OB=8,OC=4.

過點C作CGXPD于點G,則NCGD=90。.

ZPDO=ZCOD=90°,

???四邊形CODG是矩形.

???CG//OB,DG=OC=4,CG=OD=m.

:.Z1=Z2.

丁ZCGE=ZBOC=90°,

:.ACGE^ABOC.

EG_CG

??CO-BO'

即日=依,

48

???EG=-m.

2

在^CPE中,TCP=CE,CG_LPE,

I

???PG=EG=-m.

2

1

??.PD=PG+DG=-m+4.

2

1?31

???——mz+-m+4=-m+4.

422

解,得碼=4,m2=0(舍去).

m=4.

當m=4時,y=—im2+|m+4=6.

???點P的坐標為(4,6).

⑶m的值為4或26-2.

3.(1)ZABP或ZPBM或ZMBC或/BME⑵①15,15②/MBQ=/CBQ,理由略⑶*m或||cm

⑴過點M作MH_LBC于點H,則易證四邊形BEMH是矩形,則MH=BE根據(jù)折疊的性質可知/ABP=乙PBM

,AE=BE=IAB,AB=BM,再利用正弦的定義可得sinZMBH的值,從而可得NMBC=30。,結合/ABC=90。,可得

NABP=/PBM=30。從而可得/BME=3(F;(2)①根據(jù)(1)中結論可得NMBC=30。,根據(jù)HL證明RtAMBQ^RtAC

BQ,從而即可求解;②根據(jù)正方形的性質與軸對稱的性質得到對應邊相等、對應角相等,再根據(jù)HL證明RtAMBQ^

RtACBQ,從而即可得結論;(3)分點Q在線段DF上、線段CF上兩種情況進行討論,根據(jù)折疊的性質、勾股定理

即可求解.解:⑴NABP或/PBM或NMBC或/BME.(注:任意寫出一個即可)

(2)①15,15.

?ZMBQ=ZCBQ.

(注:若沒有寫出判斷結果,但后續(xù)證明正確,不扣分)

理由如下:

???四邊形ABCD是正方形,

.\AB=BC,ZA=ZC=90o.

由軸對稱性質彳導BM=AB,ZBMP=ZA=90°.

ZBMQ=ZC=90°,BM=BC.

VBQ是公共邊,

Z.RtAMBQ^RtACBQ.

-,.ZMBQ=ZCBQ.

4n

(3)—cni或2413cm.

4.(1)①略②1⑵m(3)V2

(1)①延長AD交BE于F,由折疊和等角的余角相等即可證明結論;②根據(jù)已知條件證明△ADC^ABEC,即

可求解;⑵延長AD交BE于F,根據(jù)折疊和等角的余角相等證明兩個角相等,并結合已知相等的角,證明△ACG

-△BCE,得比例式,即可求解;(3)根據(jù)折疊的性質,結合點D是BC的中點得三角形的中位線,根據(jù)平行得同

位角相等、內錯角相等,再利用⑵中的相似三角形得對應邊成比例,從而求出AC和CD的比值,即可求出CG

和AG的比值,設CG=x,再根據(jù)比例式、三角形全等、勾股定理,表示出各邊的長,根據(jù)EBEH=6,求出x的值,

取正值即可求解.

解:⑴①證明:延長AD交BE于點F.

由折疊得^AFB=90°=ZXCB.

ZDAC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°.

NADONBDF,

???ZDAC=ZEBC.

②法=「

⑵*=m.

理曲延長AD交BE于點F.

由折疊得^AFB=90°=ZXCB.

,ZADC+ZDAC=ZBDF+ZCBE=90°.

VZADC=ZBDF,

.\ZDAC=ZCBE.

VZACG=ZBCE,

AAACG^ABCE.

CGAC

—=—=TH.

CEBC

⑶由折疊得NAFB=90O,BF=FE.

???D是BC的中點,

???DF〃CE.

???ZBEC=ZBFD=90°,ZAGC=ZECG,ZGAH=ZCEA.

由(2)知4ACG^ABCE,

???NAGC=NBEC=90。,

AGCGACV2

—=—=—=TIT=—.

BECEBC2

AC

=V2.

CD

CG.,「人「DC1

—=tanziGAC=—

AGAC后

設CG=x,貝UAG=V2x,CE=s/2x,BE=2x.

,>.AG=CE.

-?.AAGH^AECH.

-?.AH=EH,GH=CH.

GH=-x.

2

在RtAAGH中,

由勾股定理得AH=ZAG?+GH2=|x.

VEBEH=6,

c3,

???2%?一%=6.

2

解得X=±&(負值舍去).

CG=V2.

5.(1)EF=BF(2)AG=BG,證明略(3)彳

(1)證法一:分別延長AD,BF交于點M,根據(jù)平行四邊形的性質可得對應角相等,結合中點得對應邊相等,

可證△MDF^ABCF,得對應邊相等,再利用直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半進行代換,可證明EF=B

F;證法二:過點F作FM±EB于點M,由已知條件結合平行線的判定得AD〃FM〃BC,由平行線分線段成比例

定理,得出EM=MB,進而由線段垂直平分線的性質得EF=BF;(2)證法一:根據(jù)折疊得對應角相等和對應邊相等,

結合中點和已知角相等進行代換,可證明四邊形DGBF是平行四邊形,等量代換后可證明AG=BG;證法二:連接C

C交FB于點N,根據(jù)折疊的性質得C'C±FB,根據(jù)平行線的判定得DG〃FB,進而證得四邊形DGBF是平行四邊

形,進而得出AG=BG;⑶過點M作MPLBH于點P,由折疊的性質得4BPM是等腰直角三角形根據(jù)SABCD=20

得BH的長,進而可求出AH的長.通過證明△A'HN-ACHB得NH的長,再證△AHNsaAPM,進而求得HP,

MP的長,即可求出陰影部分的面積.

解:(1)EF=BF.

證法一:如圖①,分別延長AD,BF相交于點M.

???四邊形ABCD是平行四邊形,,AD〃BC.

,?.Z2=ZC,ZM=Z1.

為CD的中點,;.DF=CF.

-?.△MDF^ABCF.

.*.FM=FB.即F為BM的中點.

1

BF=-BM.

2

VBE±AD,.\ZBEM=90°.

.?.在RtABEM中.EF=EF=BF.

證法二:如圖①,過點F作FMLEB于點M,

DFC

圖①

貝!]NEMF=90。.

?.*BE±AD,I.NAEB=90。.

???NAEB=NEMF.??.AD〃FM.

.??四邊形ABCD是平行四邊形,JAD/7BC.

NnEMDF

ADFMBC.*,?—=—.

MBFC

;F為CD的中點,...DF=FC.

.\EM=MB.

?/FM±EB,AFM垂直平分EB..\EF=BF.

(2)AG=BG.

證法一:如圖②,

由折疊可知:41=42=^CFC.

FC=FC.

圖②

???F為CD的中點,F(xiàn)C=FD=\CD.

???FC=FD.???N3=N4.

1

???ACFC=z3+z4,z4=jzCFCz.

.?./4=/l".DG〃FB.

??,四邊形ABCD為平行四邊形,,DC〃AB.

四邊形DGBF為平行四邊形.

???BG=DF.BG=-AB..-.AG=BG.

2

證法二:連接CC交FB于N.

DC

圖②

由折疊可知:FC'=FC,CC'±FB.

???乙CNB=90°.

為CD的中點,F(xiàn)C=FD=\CD.

FC=FD.Z1=Z2.

VFC'=FC..\ZFC'C=ZFCC'.^ADC'C中,Z1+Z.DCC+/.DCC=180°,

???zl+z2+Z.FCC+乙FCU=180°.

.*.2Z2+2ZFC'C=180°.

/2+/FC'C=9O。".ZDC'C=90°.

NDC'C=/C'NB.DG〃FB.

"/四邊形ABCD是平行四邊形,DC〃AB.

四邊形DGBF是平行四邊形.

122

BG=FD.BG="B.;.AG=BG.(3)y

過點M作MP_LBH于點P,在□ABCD中,AB〃DC.

?.?AB_LDC,;.A'B_LAB,

由折疊可知/ABM=/MBH=45。,

...APBM是等腰直角三角形,PM=PB.

又SaABCD=BH-DC=5BH=20,ABH=4.

由折疊知A'B=AB=5,A'H=1.

在RtABCH中,BC=2逐,由勾股定理可得CH=2.

由/A'=/C,/A'HN=/BHC=9O。,可得△A'HN^ACHB,.*=器,即|=等,[NH=2.

又由DC〃MP得△A'HNs/iAPM,.?.翳=禁.

設HP=x,貝!]A'P=l+x,BP=MP=4-x,

—=工,解得%=-,

4-x1+X3'

4210

???MP=4

33

=x

??.s=SAfMB-SAfNH|5Xy-|xlx2=y-1=等即陰影部分的面積為y

AB

壓軸預測

1.操作一。)4。(2)2V5-2操作二:回—2

操作一:(1)由四邊形ABCD是矩形得CD〃AB,/DAE=90°,由翻折得/CEF=ZCEB=70°,則/AE

D=40。,所以NEDC=NAED=40。。)設BE=x,根據(jù)折疊的性質與矩形的性質得到對應邊與對應角相等,根據(jù)CD〃AB

證明△DFCs/iEFA,根據(jù)相似三角形對應邊成比例,可建立方程求出x的值,從而可得BE的長;操作二:連接D

G,根據(jù)三角形三邊關系可知DF>DG-FG,當點F落在DG上時,線段DF=DG-FG,即DFNDG-FG根據(jù)勾股定理求

得DG的長,即可得DF的最小值.

解操作一:⑴40

(2)設BE=x,

由折疊得/CED=/CEB,EF=BE=x,在矩形ABCD中,CD=AB=x+4,CD〃AB,

;./CEB=/DCE,

ZCED=ZDCE,.\CD=DE,

;.DE=AB,

;.DE-EF=AB-BE,即DF=AE=4.

,/CD〃AB,ADFCsAEFA,

CD_DF

??AE-EFf

.x+4_4

-4-x

解得Xi=2遮一2,X2=-2V5-2(舍),

;.BE=2V5-2.

操作二:V29-2.

2.(1)6(2)2⑶四邊形GEE'F不是平行四邊形,理由略

⑴由△ACD為直角三角形,利用勾股定理建立方程求得AC的長;(2)由勾股定理求得BE,連接EE,由平移的性

質、相似三角形的判定和性質求得EF;⑶作輔助線,由相似三角形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質計算出

D'F與DG的長度.從而得到GE與FE,的長度關系,根據(jù)平行四邊形的判定進行判斷.

解:⑴6.

⑵由折疊可知,DC=DC=10.

在RtADAC中根據(jù)勾股定理可求得AC=6,

ABC'=AB-AC'=10-6=4.

在RtABEC'中,設BE=x,

根據(jù)勾股定理,得((8-x)2=%2+42,

解得x=3,即BE=3,EC'=EC=5.

連接EE,則由平移可知,

EE,=C'B=4,且EE'〃AB〃CD,

于是可得4FEE'S△FCD's/\ECD,

EF:EE'=CE:CD=5:10=l:2.

又EE'=4,;.EF=2.

⑶四邊形GEE'F不是平行四邊形.

理由如下:

由折疊可知ZCDE=ZCDE.

另由平移可知NC'DE=/BDE,且DE〃D'E:于是得NBDE=NDGD,

.?.NCDE=NDGDq|]ADD'G是等腰三角形,?,.DD,=DG=4.

如圖,過點D作DHLDG于點H,

貝[]DH=HG,B.ADD'H^ADEC,

貝D'H:DH=EC:DC=1:2.

設D'H=x,貝!]DH=2x.

在RtADD'H中根據(jù)勾股定理,

得/+(2刈2=42,解得*=誓,

DH=—DG=—,

55

而在RtAD'CF中,DC=DC-DD'=10-4=6,

CF=CE-EF=5-2=3,

根據(jù)勾股定理可求得D'F=3V5

;.DG我DF,即GE/FE',

故四邊形GEE'F不可能是平行四邊形.

3.(l)y=i%2(2)當m=0或m=2時,p=q;當m<0或m>2時,p<q;當0<m<2時,p>q(3)2

(1)根據(jù)拋物線關于y軸對稱可確定b的值,再根據(jù)已知兩點求出a,c的值,即可求出拋物線的解析式;⑵先

求出點D及其關于y軸的對稱點的坐標,再根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸確定橫坐標的關系,列出方程或

不等式,求出m的值,從而分情況比較出p和q的大小即可;或由p-q=--2>得p-q關于m的函

數(shù),進而即可求解;或根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質直接求解即可;(3)設定點A,B的坐標及直線AB的解析式,

將其代入拋物線解析式,得到一元二次方程,求出方程的解(含待定系數(shù)k),即可分別求出自變量以及函數(shù)值

的和或差,再利用勾股定理、相似三角形的判定與性質即可求解;或設出A,B兩點坐標及直線AB的解析式,

將直線AB的解析式代入y=[/中,得關于x的一元二次方程,得方程的解再設AB的垂直平分線上的任意

一點Q(x,y),再由勾股定理進而即可求解.

解:⑴:拋物線關于y軸對稱,,b=o.

又:拋物線過點(1,7),(2,1),

;Ja+c=],解得卜.

(4a+c=1,(c=0,

,拋物線的解析式為y=i%2.

4

⑵解法一::點D(-l,p)在拋物線y=卜2上,;.p=1

???拋物線圖象開口向上,且點。(-關于y軸的對稱點的坐標為((1,》,

由圖象可知,

當m-l=l或即當m=2或m=0時,p=q;當m-l<-l或即當m<0或m>2時,p<q;當即0<m

<2時,p>q,

當m=0或m=2時,p=q;當m<0或m>2時,p<p;當0<m<2時,p>q.

解法二:p—q=1—[(TH-1)2

=--m(m—2).

把p-q看成關于m的函數(shù),由圖象可知,

當m=0或m=2時,p=q;

當m<0或m>2時,p<q;

當0<m<2時,p>q.

解法三:二次函數(shù)y=開口向上,對稱軸為y軸,

.??拋物線y=;/上距離y軸越遠的點,函數(shù)值越大.

???點D到y(tǒng)軸距離為1,

?,?由圖象可知,

當m-l=±l,即m=0或m=2時,p二q;

當或m-l>l,BPm<0或m>2時,p<q;

當一即0<m<2時,p>q.

(3)解法一:普為定值,且定值是2.

設A(xi),B(X2,y2),直線AB的解析式為y=kx+l(krO).

把y=kx+1代入y=2中,得/—4kx—4=0.

???△=16k2+16>0,

???/=2/c+27k2+1,%2=2k-2V/c2+1,

貝[]%i+%2=4k,yi+丫2=fc(%i+%2)+2=4k2+2

xr—x2=47k2+L

=2

y-L—y2k(x]—犯)—4fcVfc+1.

如圖,過點B作BNJLy軸過點A作人?4〃丫軸,交點為N.

線段AB中點P的坐標為(2k,2k2+1).

又???F(0,1),根據(jù)勾股定理,可得

FP=V(2fc)2+(2fc2+1-l)2=

=2

??.AN=ly-L—y2l|4/c|V/c+1.

ZMPF=ZBNA=90°,ZMFP=ZBFO=ZBAN,

AAFPM^AANB,

AB_AN_|4k|〃2+l_2

**FM-FP-\2k\y/k2+l-'

解法.二:弓為定值,且定值是2.

FM

設A&,yi),B(X2,Y2),直線AB的解析式為y=kx+l(k^0).

把y=kx+1代入y=中,得%2—4kx—4=0.

???△=16k2+16>0,

?,?=2/c+27k2+I,%2=2k-27k2+1,

貝!]%i+%2=4k,y±+y2=fc(%i+x2)+2=4k2+2

xr—x2=4〃2+L

2

yi-y2=Mx1-冷)=4fcVfc+1.

設AB的垂直平分線上的任意一點Q的坐標為(x,y).

-.-QA=QB,.-.QA2=QB2.

根據(jù)勾股定理,可得

222

(x-久1)2+(y-yi)=(%-x2)+(y-y2),

整理得y=一臺

?X+-2(yi-y2)-2J

/.y=---%+2k2+3.

k

令x=0彳導y=2k2+3,即M(0,2k2+3),

FM=2k2+2=2(/c2+1).

根據(jù)勾股定理,可得

22

AB=V(%i-%2)+(yi-y2)

=J16〃2+l)2=4(^2+1),

.AB__4(d+1)_2

**FM-2(fc2+l)-'

4.⑴①|②與⑵S={_]"北獲1黑2)(琥

(1)①由已知條件得/ADE=NACD,從而判斷出/ADE不發(fā)生變化并求得sin/ADE;②當AELDE時,AE=

AD-sinZTlDE,即可求解;(2)當0<t<l時,S=Sp%;當1<92時,S=SPDQ-SEMM利用相似三角形的性質及邊關系表

示出EM和EN的長,進而求得結果;(3)結合(2)可表示出線段的長,進而表示出PG,過點G作GH_LCD于點

H,表示出PH的長,在R3GPH中利用勾股定理列方程求解即可.

解:⑴①由題意知PQ為DE的中垂線,由PQ〃AC知直線DE始終與AC垂直,二NADE=NACD,

???ZADE的大小不會發(fā)生變化,sin^ADE=

②線段AE的最小值為募

⑵由題意知PD=4t,PC=8-4t,當點E剛好落在AC上時,P為CD的中點,如圖1,

圖1

/.4t=4,t=l.

當0<t<l時,S=[x3tx4t=6t2;當l<tW2時,如圖2,

BA

CPD

圖2

設EQ,PE分別交AC于點N,M.

由折疊知N1=N2.

PQ〃AC,???N1=N4,N2=N3,

Z3=Z4,.'.PC=PM=8-4t,???EM=8t-8.

同理(QN=QA=6-3t,EN=6t-6,

.-.5=6t2-j(8t-8)-(6t-6)

—18t2+48t—24,

16t2(0<t<1),

l—18t2+48t—24(1<t<2).

(3)如圖3,由題意知PD=PE=4t,PC=PF=8-4t,EF=FG=GA=8-8t,/.PG=16-12t.

過點G作GHLCD于點H,

圖3

則DH=8-8t,PH=12t-8,

...在RtAGPH中,62+(12t-8)2=(16-12£產解得t=—.

16

541)CD=2EF,理由略⑵成立,證明略⑶!

⑴利用直角三角形斜邊中線的性質證明即可;⑵延長AC交BD的延長線于點G,連接GM,GE,利用矩形

的性質,直角三角形斜邊中線的性質求解即可;⑶根據(jù)CD=2EF,CD=MG>EG求解EF的最小值.

解:⑴CD=2EF.

理由如下:

VAAMC和△BMD都是等腰直角三角形,

,ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

1

???5=乙AMC=1(180°-4ACM)=45°,

乙DMB=ZB=1(180°-4MDB)=45°,

ZCMD=18O°-ZAMC-ZDMB=90°.

是CD的中點,

1

MF=。,即CD=2MF.

?.?點M與點E重合,

.?.MF=EF,.".CD=2EF.

⑵成立.

證明:如圖,延長AC交BD的延長線于點G,連接GM,GE.

VAAMC和小BMD都是等腰直角三角形,

ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

1

???乙N=乙AMC=:(180°-4ACM)=45°,

乙DMB==1(1800-乙MDB)=45。,

ZMCG=ZAGB=ZGDM=90°,AG=BG,

四邊形MCGD是矩形,△AGB是等腰直角三角形,

,?.GM=CD.

;E是AB的中點,;.GEJ_AB,

???N&EG=90°.

?;F是CD的中點,,F(xiàn)是GM的中點

在RtAMEG中,F是GM的中點,

-1-1

EF=EF=|CD,BPCD=2EF.

⑶I

6.(1)略(2)|(3)1573-24

(1)由等邊對等角得./-MB'C=NMC'BI,由BC,〃BC得.乙MB'C'=乙BMB'/MC'B'=乙CMC',,再利用等腰

三角形兩底角相等和折疊的性質得到NBMP=NCMQ,通過三角函數(shù)的定義可證得BP=CQ;⑵延長PM與D

C,延長線交于點E,作QFXME于點F,由折疊及對頂角相等可得/QME=45。,在RtACMQ中,利用勾股定理求出

MQ的長,設BP=x,易證得ACME絲ABMP,表示出QE,QF,ME的長,再利用等面積法列方程解出x的值,即可

得到BP的長度;⑶延長QM交AB的延長線于點H,作PNXMH于點N.由折疊及對頂角相等可得/PMH=6

0。,在RtACMQ中利用勾股定理求出MQ的長,設BP=x易證得△CMQ絲ABMH,表示出PN,MH,PH的長,再利

用等面積法列方程解出x的值,即可得到BP的值.

解:⑴證明:;M為BC的中點,;.MB=MC.

由折疊知B'M=BM,C'M=CM,

MB'=MC,???乙MB'C=Z.MCB'.

VB'C'/7BC,

???Z-MB'C==/.CMC,

:.乙BMB'=/.CMC.

由折疊可知,APMB=|乙BMB'/CMQ=|/.CMC,

.\ZBMP=ZCMQ.

四邊形ABCD是矩形,ZB=ZC=90°.

在RtABMP和RtACMQ中可得,tan/BMP=焉,tan/CMQ=器

MB=MC,ZBMP=ZCMQ,.\BP=CQ.

⑵如圖所示延長PM與DC,延長線交于點E,作QF_LME于點F.

VMB'XMC,

.-,乙BMB'+/.CMC=90°.

再由折疊及對頂角相等可得ZQME=45°.

;BC=6,M是BC的中點,

;.BM=CM=3.

在RtACMQ中,由勾股定理得

MQ="Q2+CM2=“+32=710,

設BP=x,在RtABPM中面勾股定理得

PM2=BP2+BM2=%2+9.

在小CME和仆BMP中,

,?ZCME=ZBMP,CM=BM,

ZMCE=ZMBP=90°,

.?.△CME之△BMP

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論