類型9探究性問題

壓軸例題精講

【例】有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點E,F分別在邊AB和AD上，

連接BF,DE,M是BF的中點連接AM交DE于點N.

(1)線段DE與AM之間的數(shù)量關系是，位置關系是；

⑵將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉45°，點G恰好落在邊AB上，如圖2,其他條件不變，線

段DE與AM之間的關系是否仍然成立？并說明理由.

【解】(1)DE=2AMDEXAM.

(2)仍然成立.理由如下：

如圖，延長AM到點H使MH=AM連接BH.

???點M是BF的中點；.BM=FM.

又/BMH=NAMF,

.,.ABHM^AFAM,

二BH=AF=AE,ZH=ZFAM,

；.AF〃BH,

.?.ZFAB+ZABH=180°.

又：ZEAF+ZBAD=ZDAE+ZBAF=180°,

NABH=NDAE.又AB=AD,

△ABH/ADAE,AH=DE.

,/AH=2AM,DE=2AM.

又ZBAH=ZADE,ZBAH+ZDAN=90°,

.?.ZADE+ZDAN=90°,

ZAND=90°,

即DEXAM.

1.問題提出如圖1,在4ABC中,AB=AC,D是AC的中點，延長BC至點E,使DE=DB延長ED交AB于點

F，探究卷勺值.

問題探究⑴先將問題特殊化.如圖2,當/BAC=60。時，直接寫出多勺值；

(2)再探究一般情形.如圖1,證明(1)中的結論仍然成立.

問題拓展如圖3,在小ABC中,AB=AC,D是AC的中點,G是邊BC上一點，^=-(n<2),延長BC至點E,

DCTl

2如圖，二次函數(shù)y=-+|刀+4的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C.

4乙

點P是第一象限內二次函數(shù)圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m.過點P作直線PDLx軸于點D,作直線B

C交PD于點E.

⑴求A,B,C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；

(2)當4CEP是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；

(3)連接AC,過點P作直線1〃AC,交y軸于點F,連接DF.試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P,

使得CE=FD,若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.

3.綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

⑴操作判斷

操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF,把紙片展平；

操作二:在AD上選一點P,沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30。的角:;

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照⑴中的方式操作,并延長PM交CD于點Q,連接BQ.

①如圖2,當點M在EF上時,NMBQ=。，/CBQ=°;

②改變點P在AD上的位置(點P不與點A,D重合)，如圖3,判斷/MBQ與NCBQ的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)拓展應用

在⑵的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm,當FQ=1cm時，直接寫出AP的長.

圖1

圖2圖3

4.在△ABC中,/ACB=90°,—=m,D是邊BC上一點，將△ABD沿AD折疊得到4AED,連接BE.

BC

⑴特例發(fā)現(xiàn)如圖1,當m=l,AE落在直線AC上時，

①求證:/DAC—EBC;

②填空：海勺值為「

CE

⑵類比探究如圖2,當m*l,AE與邊BC相交時，

在AD上取一點G,使NACG=NBCE,CG交AE于點H.探究(?的值(用含m的式子表示)，并寫出探究過程;

(3)拓展運用在(2)的條件下，當機=會＞是BC的中點時，若EB.EH=6,求CG的長.

5.問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題如圖①在口ABCD中,BE,AD,垂足為E,F為CD的中點，連

接EF,BF,試猜想EF與BF的數(shù)量關系，并加以證明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：⑵希望小組受此問題的啟發(fā)，將口ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C

的對應點為C，,連接DC并延長交AB于點G,請判斷AG與BG的數(shù)量關系，并加以證明；

問題解決：⑶智慧小組突發(fā)奇想，將口ABCD沿過點B的直線折疊,如圖③，點A的對應點為A1使A-B1C

D于點H,折痕交AD于點M,連接AM,交CD于點N.該小組提出一個問題：若此口ABCD的面積為20,邊長AB=

5,BC=2V5,,求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積.請你思考此問題，直接寫出結果.

A'

圖③

1.實驗與探究

操作一：如圖1是一張矩形紙片，點E在邊AB上把ABCE沿直線CE翻折，使點B落在對角線AC上的點

F處，連接DF,且點E,F,D在同一直線上.

(1)若/CEB=70。,貝!!/EDC=°;

⑵當AE=4時，求BE的長.

操作二:如圖2,矩形紙片中,AB=5,BC=4,點G是BC的中點點E是AB邊上的一動點，將ABGE沿EG所在

直線翻折得到△FEG.連接DF,則線段DF的最小值是_______.

2.如圖1,矩開鄉(xiāng)ABCD中,AB=10,BC=8.E為邊BC上一點，沿直線DE將矩形折.疊，使點C落在AB邊的點

C處.

(1)填空:AC的長為;

(2)如圖2,將ADCE沿線段AB向右平移，使點C與點B重合得到△DBE：DE與BC交于點F,D'B與DE

交于點G,求EF的長;

⑶在圖2中，連接GF,EE,則四邊形GEEF是平行四邊形嗎？若是，請予以證明；若不是，請說明理由.

3.已知拋物線y=ax2+bx+c關于y軸對稱，且過點((1」)和點(2,1).);

4

⑴求拋物線的解析式;

⑵若點D(-l,p)和點E(m-l,q)在拋物線上，試比較p,q的大小；

(3)過點F(0,1)作與y軸不垂直的直線交拋物線于點A和點B,線段AB的垂直平分線交y軸于點M,試探

究署是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.

FM

4如圖1,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,點P為線段CD上的一個動點，點P從D點出發(fā)，以每秒4個單位

長度的速度從點D向點C運動，過點P作AC的平行線交AD于點(2,將4PDQ沿PQ折疊，點D落在點E

處，連接DE,AE,如圖2,設運動的時間為t秒.

⑴觀察猜想:①當點P運動時,NADE的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，求sin/ADE的變化范圍；若不發(fā)生

變化，直接寫出sin/ADE的值；

②在P點運動過程中，線段AE的最小值為(直接寫出答案)；

(2)推理探究:設△PQE與△ACD的重疊部分的面積為S,請你直接寫出S與t的函數(shù)解析式，并寫出自變量

t的取值范圍；

(3)拓展延伸誕長PE交直線AC于點F，交直線BA于點G，在運動過程中，當F為EG的中點時(如圖3),

試求出t的值.

BGA

圖3

5.如圖1,M是線段AB上任意一點(不與點A,B重合)，分別以AM和BM為斜邊在AB同側構造等腰直角

三角形AMC和等腰直角三角形BMD,連接CD.取AB的中點E,CD的中點F,連接EF.

猜想驗證：

⑴如圖2,當點M與點E重合時，試判斷EF與CD之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(2)如圖3,當點M與點E不重合時，問題

(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

⑶如圖3若AB=2cm，線段EF是否存在最小值，若存在,請直接寫出最小值；若不存在,請說明理由.

圖2圖3

6.在學習研究完特殊的平行四邊形之后，某學習小組針對矩形中的折疊問題進行了研究.問題背景如下：在矩形

ABCD中，AB=4,BC=6.M為BC的中點,P,Q分別是AB,CD邊上的點，連接MP,MQ.

操作與發(fā)現(xiàn)

如圖1,WAMBP沿PM翻折，點B落在點B處，將AMCQ沿MQ翻折，點C落在點C處，連接B'C.

(1)當BC〃BC時,小組成員發(fā)現(xiàn)BP=CQ,請你完成證明；

⑵如圖2,小組成員進一步發(fā)現(xiàn)當MB1±MC',CQ=1時，還能求出BP的值，請你求出這個值；

(3)如圖3，小組成員沿著⑵小題的思路，提出了問題“當△MBC為等邊三角形，且CQ=1.5時，求BP的長”.

請你直接寫出BP的長.

7.如圖1,已知拋物線y=-打2+%+4與X軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,作

直線BC,點C關于x軸的對稱點是點C.

⑴求點C的坐標和直線BC的表達式；

⑵如圖2,點M在拋物線的對稱軸上，N為平面內一點，依次連接BM,CM,CN,NB,當四邊形BMCN是菱形

時.求點M坐標；

⑶如圖3,P是拋物線第一象限內一動點，過點P作x軸的平行線分別交直線BC和y軸于點Q和點E,

連接PC交直線BC于點D,連接QC,PB,設點P的橫坐標為m,AQCD的面積為Sx,APBD的面積為S2,求品

-52的最大值.

類型9探究性問題

1.問題探究(1);(2)略問題拓展竽

問題探究⑴證明/ADF=/CDE=/CED=30。,從而證明人艮人口=人口以8=1:2,即可得人5人;(2)取BC的中點H,連

接DH,證明△DBH^ADEC,AEDH-AEFB,再由相似三角形的性質證明結論；問題拓展利用全等三角形、相似

三角形的判定與性質即可證明.

解：問題探究⑴:

4

⑵證明:取BC的中點H,連接DH.

是AC的中點

1

???DHABDH=-AB.

f2

TAB=AC,

ADH=DC,

:.NDHONDCH.

,?BD=DE,

?,.ZDBH=ZDEC.

:.ZBDH=ZEDC.

.,.△DBH^ADEC.

???BH=EC.

EB3

----=—.

EH2

?.?DH〃AB,

JAEDH^AEFB.

.FB_EB_3

??DH-EH-2

.FB_3

,,——■

AB4

AF_1

,t,一■

AB4

另解ADF^AABD也可求解.

另解2:取AB的中點M,證明△ECD^ADMB也可以求解.

問題拓展早.

4

2.(l)A(-2,0),B(8,0),C(0,4)y=-1x+4(2)(4,6)(3)4或2V5-2

(1)根據(jù)拋物線的函數(shù)表達式求出點C,A,B的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式即可；(2)

易得點P(m--im2+jm+4),過點C作CG±PD于點G,由題中已知條件可證得四邊形CODG是矩形，再利用

矩形的性質與平行線的性質得到/1=/2，結合/CGE=NBOC,可證得△CGEs^BOC,從而可求出EG,根據(jù)等腰

三角形“三線合一”可得PG=EG,然后利用PD=PG+DG建立關于m的方程，解方程即可求出m的值，據(jù)此可得點

P的坐標;(3)過點C作CH±PD于點H,易得點P+|m+4),先求出直線AC的函數(shù)表達式，根據(jù)PF

〃AC,可得直線PF的函數(shù)表達式，從而可得點F的坐標，求出OF的長，利用HL定理證明RtACHEERSD

OF,則有/ECH=/FDO,進而得/FDO=/CBO,利用等角的正切相等，可建立關于m的方程，解方程即可求出m

的值.

解:⑴由y=-%2+|%+4得,

當x=0時,y=4.

???點C的坐標為(0,4).

當y=0時，--X2+-%+4=0,

"42

—

解,得.2,%2=8.

???點A在點B的左側，

二點A,B的坐標分別為A(-2,0),B(8,0).

直線BC的函數(shù)表達式為y=-1x+4.

(2);?點P在第一象限拋物線上，橫坐標為m,且PDLx軸于點D,

???點P的坐標為—]m?+|T71+4),00=TH.

13

.??PD=——7+-m+4.

42

丁點B的坐標為(8,0),點C的坐標為(0,4),

???OB=8,OC=4.

過點C作CGXPD于點G,則NCGD=90。.

ZPDO=ZCOD=90°,

???四邊形CODG是矩形.

???CG//OB,DG=OC=4,CG=OD=m.

：.Z1=Z2.

丁ZCGE=ZBOC=90°,

:.ACGE^ABOC.

EG_CG

??CO-BO'

即日=依，

48

???EG=-m.

2

在^CPE中,TCP=CE,CG_LPE,

I

???PG=EG=-m.

2

1

??.PD=PG+DG=-m+4.

2

1?31

???——mz+-m+4=-m+4.

422

解，得碼=4,m2=0(舍去).

m=4.

當m=4時，y=—im2+|m+4=6.

???點P的坐標為(4,6).

⑶m的值為4或26-2.

3.(1)ZABP或ZPBM或ZMBC或/BME⑵①15,15②/MBQ=/CBQ,理由略⑶*m或||cm

⑴過點M作MH_LBC于點H,則易證四邊形BEMH是矩形，則MH=BE根據(jù)折疊的性質可知/ABP=乙PBM

,AE=BE=IAB,AB=BM,再利用正弦的定義可得sinZMBH的值，從而可得NMBC=30。,結合/ABC=90。,可得

NABP=/PBM=30。從而可得/BME=3(F;(2)①根據(jù)(1)中結論可得NMBC=30。,根據(jù)HL證明RtAMBQ^RtAC

BQ,從而即可求解;②根據(jù)正方形的性質與軸對稱的性質得到對應邊相等、對應角相等,再根據(jù)HL證明RtAMBQ^

RtACBQ,從而即可得結論；(3)分點Q在線段DF上、線段CF上兩種情況進行討論，根據(jù)折疊的性質、勾股定理

即可求解.解:⑴NABP或/PBM或NMBC或/BME.(注:任意寫出一個即可)

(2)①15,15.

?ZMBQ=ZCBQ.

(注：若沒有寫出判斷結果，但后續(xù)證明正確，不扣分)

理由如下：

???四邊形ABCD是正方形，

.\AB=BC,ZA=ZC=90o.

由軸對稱性質彳導BM=AB,ZBMP=ZA=90°.

ZBMQ=ZC=90°,BM=BC.

VBQ是公共邊，

Z.RtAMBQ^RtACBQ.

-,.ZMBQ=ZCBQ.

4n

(3)—cni或2413cm.

4.(1)①略②1⑵m(3)V2

(1)①延長AD交BE于F,由折疊和等角的余角相等即可證明結論；②根據(jù)已知條件證明△ADC^ABEC,即

可求解；⑵延長AD交BE于F,根據(jù)折疊和等角的余角相等證明兩個角相等，并結合已知相等的角，證明△ACG

-△BCE,得比例式，即可求解；(3)根據(jù)折疊的性質，結合點D是BC的中點得三角形的中位線，根據(jù)平行得同

位角相等、內錯角相等，再利用⑵中的相似三角形得對應邊成比例，從而求出AC和CD的比值，即可求出CG

和AG的比值，設CG=x,再根據(jù)比例式、三角形全等、勾股定理,表示出各邊的長，根據(jù)EBEH=6，求出x的值，

取正值即可求解.

解:⑴①證明:延長AD交BE于點F.

由折疊得^AFB=90°=ZXCB.

ZDAC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°.

NADONBDF,

???ZDAC=ZEBC.

②法=「

⑵*=m.

理曲延長AD交BE于點F.

由折疊得^AFB=90°=ZXCB.

，ZADC+ZDAC=ZBDF+ZCBE=90°.

VZADC=ZBDF,

.\ZDAC=ZCBE.

VZACG=ZBCE,

AAACG^ABCE.

CGAC

—=—=TH.

CEBC

⑶由折疊得NAFB=90O,BF=FE.

???D是BC的中點,

???DF〃CE.

???ZBEC=ZBFD=90°,ZAGC=ZECG,ZGAH=ZCEA.

由(2)知4ACG^ABCE,

???NAGC=NBEC=90。,

AGCGACV2

—=—=—=TIT=—.

BECEBC2

AC

=V2.

CD

CG.，「人「DC1

—=tanziGAC=—

AGAC后

設CG=x，貝UAG=V2x,CE=s/2x,BE=2x.

,>.AG=CE.

-?.AAGH^AECH.

-?.AH=EH,GH=CH.

GH=-x.

2

在RtAAGH中，

由勾股定理得AH=ZAG?+GH2=|x.

VEBEH=6,

c3,

???2%?一%=6.

2

解得X=±&(負值舍去).

CG=V2.

5.(1)EF=BF(2)AG=BG,證明略(3)彳

(1)證法一：分別延長AD,BF交于點M,根據(jù)平行四邊形的性質可得對應角相等，結合中點得對應邊相等，

可證△MDF^ABCF，得對應邊相等，再利用直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半進行代換，可證明EF=B

F；證法二：過點F作FM±EB于點M,由已知條件結合平行線的判定得AD〃FM〃BC,由平行線分線段成比例

定理，得出EM=MB，進而由線段垂直平分線的性質得EF=BF；(2)證法一：根據(jù)折疊得對應角相等和對應邊相等，

結合中點和已知角相等進行代換，可證明四邊形DGBF是平行四邊形，等量代換后可證明AG=BG；證法二:連接C

C交FB于點N,根據(jù)折疊的性質得C'C±FB，根據(jù)平行線的判定得DG〃FB，進而證得四邊形DGBF是平行四邊

形，進而得出AG=BG;⑶過點M作MPLBH于點P,由折疊的性質得4BPM是等腰直角三角形根據(jù)SABCD=20

得BH的長,進而可求出AH的長.通過證明△A'HN-ACHB得NH的長，再證△AHNsaAPM,進而求得HP,

MP的長,即可求出陰影部分的面積.

解:(1)EF=BF.

證法一：如圖①，分別延長AD,BF相交于點M.

???四邊形ABCD是平行四邊形，,AD〃BC.

,?.Z2=ZC,ZM=Z1.

為CD的中點,；.DF=CF.

-?.△MDF^ABCF.

.*.FM=FB.即F為BM的中點.

1

BF=-BM.

2

VBE±AD,.\ZBEM=90°.

.?.在RtABEM中.EF=EF=BF.

證法二:如圖①，過點F作FMLEB于點M,

DFC

圖①

貝！］NEMF=90。.

?.*BE±AD,I.NAEB=90。.

???NAEB=NEMF.??.AD〃FM.

.??四邊形ABCD是平行四邊形,JAD/7BC.

NnEMDF

ADFMBC.*,?—=—.

MBFC

；F為CD的中點,...DF=FC.

.\EM=MB.

?/FM±EB,AFM垂直平分EB..\EF=BF.

(2)AG=BG.

證法一：如圖②，

由折疊可知：41=42=^CFC.

FC=FC.

圖②

???F為CD的中點，F(xiàn)C=FD=\CD.

???FC=FD.???N3=N4.

1

???ACFC=z3+z4,z4=jzCFCz.

.?./4=/l".DG〃FB.

??,四邊形ABCD為平行四邊形,，DC〃AB.

四邊形DGBF為平行四邊形.

???BG=DF.BG=-AB..-.AG=BG.

2

證法二:連接CC交FB于N.

DC

圖②

由折疊可知：FC'=FC,CC'±FB.

???乙CNB=90°.

為CD的中點，F(xiàn)C=FD=\CD.

FC=FD.Z1=Z2.

VFC'=FC..\ZFC'C=ZFCC'.^ADC'C中，Z1+Z.DCC+/.DCC=180°,

???zl+z2+Z.FCC+乙FCU=180°.

.*.2Z2+2ZFC'C=180°.

/2+/FC'C=9O。".ZDC'C=90°.

NDC'C=/C'NB.DG〃FB.

"/四邊形ABCD是平行四邊形,DC〃AB.

四邊形DGBF是平行四邊形.

122

BG=FD.BG="B.；.AG=BG.(3)y

過點M作MP_LBH于點P,在□ABCD中,AB〃DC.

?.?AB_LDC,；.A'B_LAB,

由折疊可知/ABM=/MBH=45。，

...APBM是等腰直角三角形,PM=PB.

又SaABCD=BH-DC=5BH=20,ABH=4.

由折疊知A'B=AB=5,A'H=1.

在RtABCH中，BC=2逐，由勾股定理可得CH=2.

由/A'=/C,/A'HN=/BHC=9O。,可得△A'HN^ACHB,.*=器，即|=等，［NH=2.

又由DC〃MP得△A'HNs/iAPM,.?.翳=禁.

設HP=x,貝！］A'P=l+x,BP=MP=4-x,

—=工，解得%=-,

4-x1+X3'

4210

???MP=4

33

=x

??.s=SAfMB-SAfNH|5Xy-|xlx2=y-1=等即陰影部分的面積為y

AB

壓軸預測

1.操作一。)4。(2)2V5-2操作二：回—2

操作一：(1)由四邊形ABCD是矩形得CD〃AB,/DAE=90°,由翻折得/CEF=ZCEB=70°,則/AE

D=40。,所以NEDC=NAED=40。。)設BE=x,根據(jù)折疊的性質與矩形的性質得到對應邊與對應角相等，根據(jù)CD〃AB

證明△DFCs/iEFA,根據(jù)相似三角形對應邊成比例，可建立方程求出x的值，從而可得BE的長；操作二：連接D

G,根據(jù)三角形三邊關系可知DF>DG-FG,當點F落在DG上時，線段DF=DG-FG,即DFNDG-FG根據(jù)勾股定理求

得DG的長,即可得DF的最小值.

解操作一:⑴40

(2)設BE=x,

由折疊得/CED=/CEB,EF=BE=x,在矩形ABCD中,CD=AB=x+4,CD〃AB,

；./CEB=/DCE,

ZCED=ZDCE,.\CD=DE,

；.DE=AB,

；.DE-EF=AB-BE,即DF=AE=4.

,/CD〃AB,ADFCsAEFA,

CD_DF

??AE-EFf

.x+4_4

-4-x

解得Xi=2遮一2,X2=-2V5-2(舍)，

；.BE=2V5-2.

操作二：V29-2.

2.(1)6(2)2⑶四邊形GEE'F不是平行四邊形，理由略

⑴由△ACD為直角三角形，利用勾股定理建立方程求得AC的長;(2)由勾股定理求得BE,連接EE,由平移的性

質、相似三角形的判定和性質求得EF；⑶作輔助線,由相似三角形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質計算出

D'F與DG的長度.從而得到GE與FE，的長度關系，根據(jù)平行四邊形的判定進行判斷.

解:⑴6.

⑵由折疊可知,DC=DC=10.

在RtADAC中根據(jù)勾股定理可求得AC=6,

ABC'=AB-AC'=10-6=4.

在RtABEC'中,設BE=x,

根據(jù)勾股定理，得（（8-x）2=%2+42,

解得x=3,即BE=3,EC'=EC=5.

連接EE,則由平移可知，

EE，=C'B=4,且EE'〃AB〃CD,

于是可得4FEE'S△FCD's/\ECD,

EF:EE'=CE:CD=5:10=l:2.

又EE'=4,；.EF=2.

⑶四邊形GEE'F不是平行四邊形.

理由如下：

由折疊可知ZCDE=ZCDE.

另由平移可知NC'DE=/BDE,且DE〃D'E：于是得NBDE=NDGD,

.?.NCDE=NDGDq|]ADD'G是等腰三角形,?,.DD,=DG=4.

如圖，過點D作DHLDG于點H,

貝[]DH=HG,B.ADD'H^ADEC,

貝D'H:DH=EC:DC=1:2.

設D'H=x,貝!]DH=2x.

在RtADD'H中根據(jù)勾股定理，

得/+（2刈2=42,解得*=誓，

DH=—DG=—,

55

而在RtAD'CF中,DC=DC-DD'=10-4=6,

CF=CE-EF=5-2=3,

根據(jù)勾股定理可求得D'F=3V5

；.DG我DF,即GE/FE',

故四邊形GEE'F不可能是平行四邊形.

3.(l)y=i%2(2)當m=0或m=2時,p=q;當m<0或m>2時,p<q;當0<m<2時,p>q(3)2

(1)根據(jù)拋物線關于y軸對稱可確定b的值，再根據(jù)已知兩點求出a,c的值，即可求出拋物線的解析式；⑵先

求出點D及其關于y軸的對稱點的坐標，再根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸確定橫坐標的關系，列出方程或

不等式，求出m的值，從而分情況比較出p和q的大小即可；或由p-q=--2>得p-q關于m的函

數(shù)，進而即可求解；或根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質直接求解即可；(3)設定點A,B的坐標及直線AB的解析式，

將其代入拋物線解析式，得到一元二次方程，求出方程的解(含待定系數(shù)k),即可分別求出自變量以及函數(shù)值

的和或差，再利用勾股定理、相似三角形的判定與性質即可求解；或設出A,B兩點坐標及直線AB的解析式,

將直線AB的解析式代入y=[/中，得關于x的一元二次方程,得方程的解再設AB的垂直平分線上的任意

一點Q(x,y),再由勾股定理進而即可求解.

解:⑴：拋物線關于y軸對稱，,b=o.

又：拋物線過點(1,7)，(2,1),

;Ja+c=]，解得卜.

(4a+c=1,(c=0,

，拋物線的解析式為y=i%2.

4

⑵解法一:：點D(-l,p)在拋物線y=卜2上，；.p=1

???拋物線圖象開口向上，且點。(-關于y軸的對稱點的坐標為((1,》，

由圖象可知，

當m-l=l或即當m=2或m=0時,p=q;當m-l<-l或即當m<0或m>2時,p<q;當即0<m

<2時,p>q,

當m=0或m=2時,p=q;當m<0或m>2時,p<p;當0<m<2時,p>q.

解法二：p—q=1—[(TH-1)2

=--m(m—2).

把p-q看成關于m的函數(shù)，由圖象可知，

當m=0或m=2時,p=q;

當m<0或m>2時,p<q;

當0<m<2時,p>q.

解法三：二次函數(shù)y=開口向上，對稱軸為y軸，

.??拋物線y=；/上距離y軸越遠的點，函數(shù)值越大.

???點D到y(tǒng)軸距離為1,

?,?由圖象可知，

當m-l=±l,即m=0或m=2時,p二q;

當或m-l>l,BPm<0或m>2時,p<q;

當一即0<m<2時,p>q.

(3)解法一：普為定值，且定值是2.

設A(xi),B(X2,y2)，直線AB的解析式為y=kx+l(krO).

把y=kx+1代入y=2中，得/—4kx—4=0.

???△=16k2+16>0,

???/=2/c+27k2+1,%2=2k-2V/c2+1,

貝[]%i+%2=4k,yi+丫2=fc(%i+%2)+2=4k2+2

xr—x2=47k2+L

=2

y-L—y2k(x]—犯)—4fcVfc+1.

如圖，過點B作BNJLy軸過點A作人?4〃丫軸，交點為N.

線段AB中點P的坐標為(2k,2k2+1).

又???F(0,1),根據(jù)勾股定理，可得

FP=V(2fc)2+(2fc2+1-l)2=

=2

??.AN=ly-L—y2l|4/c|V/c+1.

ZMPF=ZBNA=90°,ZMFP=ZBFO=ZBAN,

AAFPM^AANB,

AB_AN_|4k|〃2+l_2

**FM-FP-\2k\y/k2+l-'

解法.二：弓為定值，且定值是2.

FM

設A&,yi),B(X2，Y2)，直線AB的解析式為y=kx+l(k^0).

把y=kx+1代入y=中，得%2—4kx—4=0.

???△=16k2+16>0,

?,?=2/c+27k2+I,%2=2k-27k2+1,

貝!]%i+%2=4k,y±+y2=fc(%i+x2)+2=4k2+2

xr—x2=4〃2+L

2

yi-y2=Mx1-冷)=4fcVfc+1.

設AB的垂直平分線上的任意一點Q的坐標為(x,y).

-.-QA=QB,.-.QA2=QB2.

根據(jù)勾股定理，可得

222

(x-久1)2+(y-yi)=(%-x2)+(y-y2),

整理得y=一臺

?X+-2(yi-y2)-2J

/.y=---%+2k2+3.

k

令x=0彳導y=2k2+3,即M(0,2k2+3),

FM=2k2+2=2(/c2+1).

根據(jù)勾股定理，可得

22

AB=V(%i-%2)+(yi-y2)

=J16〃2+l)2=4(^2+1),

.AB__4(d+1)_2

**FM-2(fc2+l)-'

4.⑴①|②與⑵S={_]"北獲1黑2)(琥

(1)①由已知條件得/ADE=NACD,從而判斷出/ADE不發(fā)生變化并求得sin/ADE;②當AELDE時，AE=

雙

AD-sinZTlDE,即可求解;(2)當0<t<l時，S=Sp%;當1<92時，S=SPDQ-SEMM利用相似三角形的性質及邊關系表

示出EM和EN的長，進而求得結果；(3)結合(2)可表示出線段的長，進而表示出PG,過點G作GH_LCD于點

H,表示出PH的長，在R3GPH中利用勾股定理列方程求解即可.

解:⑴①由題意知PQ為DE的中垂線，由PQ〃AC知直線DE始終與AC垂直,二NADE=NACD,

???ZADE的大小不會發(fā)生變化，sin^ADE=

②線段AE的最小值為募

⑵由題意知PD=4t,PC=8-4t,當點E剛好落在AC上時，P為CD的中點，如圖1,

圖1

/.4t=4,t=l.

當0<t<l時，S=[x3tx4t=6t2；當l<tW2時，如圖2,

BA

CPD

圖2

設EQ,PE分別交AC于點N,M.

由折疊知N1=N2.

PQ〃AC,???N1=N4,N2=N3,

Z3=Z4,.'.PC=PM=8-4t,???EM=8t-8.

同理(QN=QA=6-3t,EN=6t-6,

.-.5=6t2-j(8t-8)-(6t-6)

—18t2+48t—24,

16t2(0<t<1),

l—18t2+48t—24(1<t<2).

(3)如圖3,由題意知PD=PE=4t,PC=PF=8-4t,EF=FG=GA=8-8t,/.PG=16-12t.

過點G作GHLCD于點H,

圖3

則DH=8-8t,PH=12t-8,

...在RtAGPH中，62+(12t-8)2=(16-12￡產解得t=—.

16

541)CD=2EF,理由略⑵成立，證明略⑶!

⑴利用直角三角形斜邊中線的性質證明即可；⑵延長AC交BD的延長線于點G,連接GM,GE,利用矩形

的性質，直角三角形斜邊中線的性質求解即可；⑶根據(jù)CD=2EF,CD=MG>EG求解EF的最小值.

解:⑴CD=2EF.

理由如下：

VAAMC和△BMD都是等腰直角三角形，

，ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

1

???5=乙AMC=1(180°-4ACM)=45°,

乙DMB=ZB=1(180°-4MDB)=45°,

ZCMD=18O°-ZAMC-ZDMB=90°.

是CD的中點，

1

MF=。，即CD=2MF.

?.?點M與點E重合，

.?.MF=EF,.".CD=2EF.

⑵成立.

證明：如圖，延長AC交BD的延長線于點G,連接GM,GE.

VAAMC和小BMD都是等腰直角三角形，

ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

1

???乙N=乙AMC=:(180°-4ACM)=45°,

乙DMB==1(1800-乙MDB)=45。，

ZMCG=ZAGB=ZGDM=90°,AG=BG,

四邊形MCGD是矩形，△AGB是等腰直角三角形，

,?.GM=CD.

；E是AB的中點,；.GEJ_AB,

???N&EG=90°.

?；F是CD的中點,，F(xiàn)是GM的中點

在RtAMEG中,F是GM的中點，

-1-1

EF=EF=|CD,BPCD=2EF.

⑶I

6.(1)略(2)|(3)1573-24

(1)由等邊對等角得./-MB'C=NMC'BI,由BC,〃BC得.乙MB'C'=乙BMB'/MC'B'=乙CMC',,再利用等腰

三角形兩底角相等和折疊的性質得到NBMP=NCMQ,通過三角函數(shù)的定義可證得BP=CQ；⑵延長PM與D

C,延長線交于點E，作QFXME于點F，由折疊及對頂角相等可得/QME=45。,在RtACMQ中，利用勾股定理求出

MQ的長，設BP=x,易證得ACME絲ABMP,表示出QE,QF,ME的長，再利用等面積法列方程解出x的值，即可

得到BP的長度；⑶延長QM交AB的延長線于點H,作PNXMH于點N.由折疊及對頂角相等可得/PMH=6

0。,在RtACMQ中利用勾股定理求出MQ的長，設BP=x易證得△CMQ絲ABMH,表示出PN,MH,PH的長，再利

用等面積法列方程解出x的值，即可得到BP的值.

解:⑴證明:；M為BC的中點,；.MB=MC.

由折疊知B'M=BM,C'M=CM,

MB'=MC,???乙MB'C=Z.MCB'.

VB'C'/7BC,

???Z-MB'C==/.CMC,

：.乙BMB'=/.CMC.

由折疊可知，APMB=|乙BMB'/CMQ=|/.CMC,

.\ZBMP=ZCMQ.

四邊形ABCD是矩形,ZB=ZC=90°.

在RtABMP和RtACMQ中可得，tan/BMP=焉,tan/CMQ=器

MB=MC,ZBMP=ZCMQ,.\BP=CQ.

⑵如圖所示延長PM與DC,延長線交于點E,作QF_LME于點F.

VMB'XMC,

.-,乙BMB'+/.CMC=90°.

再由折疊及對頂角相等可得ZQME=45°.

；BC=6,M是BC的中點，

；.BM=CM=3.

在RtACMQ中，由勾股定理得

MQ="Q2+CM2=“+32=710,

設BP=x，在RtABPM中面勾股定理得

PM2=BP2+BM2=%2+9.

在小CME和仆BMP中，

,?ZCME=ZBMP,CM=BM,

ZMCE=ZMBP=90°,

.?.△CME之△BMP