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文檔簡介
類型9探究性問題
壓軸例題精講
【例】有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置,點E,F分別在邊AB和AD上,
連接BF,DE,M是BF的中點連接AM交DE于點N.
(1)線段DE與AM之間的數(shù)量關系是,位置關系是;
⑵將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉45°,點G恰好落在邊AB上,如圖2,其他條件不變,線
段DE與AM之間的關系是否仍然成立?并說明理由.
【解】(1)DE=2AMDEXAM.
(2)仍然成立.理由如下:
如圖,延長AM到點H使MH=AM連接BH.
???點M是BF的中點;.BM=FM.
又/BMH=NAMF,
.,.ABHM^AFAM,
二BH=AF=AE,ZH=ZFAM,
;.AF〃BH,
.?.ZFAB+ZABH=180°.
又:ZEAF+ZBAD=ZDAE+ZBAF=180°,
NABH=NDAE.又AB=AD,
△ABH/ADAE,AH=DE.
,/AH=2AM,DE=2AM.
又ZBAH=ZADE,ZBAH+ZDAN=90°,
.?.ZADE+ZDAN=90°,
ZAND=90°,
即DEXAM.
1.問題提出如圖1,在4ABC中,AB=AC,D是AC的中點,延長BC至點E,使DE=DB延長ED交AB于點
F,探究卷勺值.
問題探究⑴先將問題特殊化.如圖2,當/BAC=60。時,直接寫出多勺值;
(2)再探究一般情形.如圖1,證明(1)中的結論仍然成立.
問題拓展如圖3,在小ABC中,AB=AC,D是AC的中點,G是邊BC上一點,^=-(n<2),延長BC至點E,
DCTl
2如圖,二次函數(shù)y=-+|刀+4的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C.
4乙
點P是第一象限內二次函數(shù)圖象上的一個動點,設點P的橫坐標為m.過點P作直線PDLx軸于點D,作直線B
C交PD于點E.
⑴求A,B,C三點的坐標,并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式;
(2)當4CEP是以PE為底邊的等腰三角形時,求點P的坐標;
(3)連接AC,過點P作直線1〃AC,交y軸于點F,連接DF.試探究:在點P運動的過程中,是否存在點P,
使得CE=FD,若存在,請直接寫出m的值;若不存在,請說明理由.
3.綜合與實踐課上,老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.
⑴操作判斷
操作一:對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平;
操作二:在AD上選一點P,沿BP折疊,使點A落在矩形內部點M處,把紙片展平,連接PM,BM.
根據(jù)以上操作,當點M在EF上時,寫出圖1中一個30。的角:;
(2)遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片,繼續(xù)探究,過程如下:
將正方形紙片ABCD按照⑴中的方式操作,并延長PM交CD于點Q,連接BQ.
①如圖2,當點M在EF上時,NMBQ=。,/CBQ=°;
②改變點P在AD上的位置(點P不與點A,D重合),如圖3,判斷/MBQ與NCBQ的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)拓展應用
在⑵的探究中,已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm,當FQ=1cm時,直接寫出AP的長.
圖1
圖2圖3
4.在△ABC中,/ACB=90°,—=m,D是邊BC上一點,將△ABD沿AD折疊得到4AED,連接BE.
BC
⑴特例發(fā)現(xiàn)如圖1,當m=l,AE落在直線AC上時,
①求證:/DAC—EBC;
②填空:海勺值為「
CE
⑵類比探究如圖2,當m*l,AE與邊BC相交時,
在AD上取一點G,使NACG=NBCE,CG交AE于點H.探究(?的值(用含m的式子表示),并寫出探究過程;
(3)拓展運用在(2)的條件下,當機=會>是BC的中點時,若EB.EH=6,求CG的長.
5.問題情境:數(shù)學活動課上,老師出示了一個問題如圖①在口ABCD中,BE,AD,垂足為E,F為CD的中點,連
接EF,BF,試猜想EF與BF的數(shù)量關系,并加以證明;
獨立思考:(1)請解答老師提出的問題;
實踐探究:⑵希望小組受此問題的啟發(fā),將口ABCD沿著BF(F為CD的中點)所在直線折疊,如圖②,點C
的對應點為C,,連接DC并延長交AB于點G,請判斷AG與BG的數(shù)量關系,并加以證明;
問題解決:⑶智慧小組突發(fā)奇想,將口ABCD沿過點B的直線折疊,如圖③,點A的對應點為A1使A-B1C
D于點H,折痕交AD于點M,連接AM,交CD于點N.該小組提出一個問題:若此口ABCD的面積為20,邊長AB=
5,BC=2V5,,求圖中陰影部分(四邊形BHNM)的面積.請你思考此問題,直接寫出結果.
A'
圖③
1.實驗與探究
操作一:如圖1是一張矩形紙片,點E在邊AB上把ABCE沿直線CE翻折,使點B落在對角線AC上的點
F處,連接DF,且點E,F,D在同一直線上.
(1)若/CEB=70。,貝!!/EDC=°;
⑵當AE=4時,求BE的長.
操作二:如圖2,矩形紙片中,AB=5,BC=4,點G是BC的中點點E是AB邊上的一動點,將ABGE沿EG所在
直線翻折得到△FEG.連接DF,則線段DF的最小值是_______.
2.如圖1,矩開鄉(xiāng)ABCD中,AB=10,BC=8.E為邊BC上一點,沿直線DE將矩形折.疊,使點C落在AB邊的點
C處.
(1)填空:AC的長為;
(2)如圖2,將ADCE沿線段AB向右平移,使點C與點B重合得到△DBE:DE與BC交于點F,D'B與DE
交于點G,求EF的長;
⑶在圖2中,連接GF,EE,則四邊形GEEF是平行四邊形嗎?若是,請予以證明;若不是,請說明理由.
3.已知拋物線y=ax2+bx+c關于y軸對稱,且過點((1」)和點(2,1).);
4
⑴求拋物線的解析式;
⑵若點D(-l,p)和點E(m-l,q)在拋物線上,試比較p,q的大小;
(3)過點F(0,1)作與y軸不垂直的直線交拋物線于點A和點B,線段AB的垂直平分線交y軸于點M,試探
究署是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.
FM
4如圖1,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,點P為線段CD上的一個動點,點P從D點出發(fā),以每秒4個單位
長度的速度從點D向點C運動,過點P作AC的平行線交AD于點(2,將4PDQ沿PQ折疊,點D落在點E
處,連接DE,AE,如圖2,設運動的時間為t秒.
⑴觀察猜想:①當點P運動時,NADE的大小是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,求sin/ADE的變化范圍;若不發(fā)生
變化,直接寫出sin/ADE的值;
②在P點運動過程中,線段AE的最小值為(直接寫出答案);
(2)推理探究:設△PQE與△ACD的重疊部分的面積為S,請你直接寫出S與t的函數(shù)解析式,并寫出自變量
t的取值范圍;
(3)拓展延伸誕長PE交直線AC于點F,交直線BA于點G,在運動過程中,當F為EG的中點時(如圖3),
試求出t的值.
BGA
圖3
5.如圖1,M是線段AB上任意一點(不與點A,B重合),分別以AM和BM為斜邊在AB同側構造等腰直角
三角形AMC和等腰直角三角形BMD,連接CD.取AB的中點E,CD的中點F,連接EF.
猜想驗證:
⑴如圖2,當點M與點E重合時,試判斷EF與CD之間的數(shù)量關系,并說明理由;
(2)如圖3,當點M與點E不重合時,問題
(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由;
⑶如圖3若AB=2cm,線段EF是否存在最小值,若存在,請直接寫出最小值;若不存在,請說明理由.
圖2圖3
6.在學習研究完特殊的平行四邊形之后,某學習小組針對矩形中的折疊問題進行了研究.問題背景如下:在矩形
ABCD中,AB=4,BC=6.M為BC的中點,P,Q分別是AB,CD邊上的點,連接MP,MQ.
操作與發(fā)現(xiàn)
如圖1,WAMBP沿PM翻折,點B落在點B處,將AMCQ沿MQ翻折,點C落在點C處,連接B'C.
(1)當BC〃BC時,小組成員發(fā)現(xiàn)BP=CQ,請你完成證明;
⑵如圖2,小組成員進一步發(fā)現(xiàn)當MB1±MC',CQ=1時,還能求出BP的值,請你求出這個值;
(3)如圖3,小組成員沿著⑵小題的思路,提出了問題“當△MBC為等邊三角形,且CQ=1.5時,求BP的長”.
請你直接寫出BP的長.
7.如圖1,已知拋物線y=-打2+%+4與X軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,作
直線BC,點C關于x軸的對稱點是點C.
⑴求點C的坐標和直線BC的表達式;
⑵如圖2,點M在拋物線的對稱軸上,N為平面內一點,依次連接BM,CM,CN,NB,當四邊形BMCN是菱形
時.求點M坐標;
⑶如圖3,P是拋物線第一象限內一動點,過點P作x軸的平行線分別交直線BC和y軸于點Q和點E,
連接PC交直線BC于點D,連接QC,PB,設點P的橫坐標為m,AQCD的面積為Sx,APBD的面積為S2,求品
-52的最大值.
類型9探究性問題
1.問題探究(1);(2)略問題拓展竽
問題探究⑴證明/ADF=/CDE=/CED=30。,從而證明人艮人口=人口以8=1:2,即可得人5人;(2)取BC的中點H,連
接DH,證明△DBH^ADEC,AEDH-AEFB,再由相似三角形的性質證明結論;問題拓展利用全等三角形、相似
三角形的判定與性質即可證明.
解:問題探究⑴:
4
⑵證明:取BC的中點H,連接DH.
是AC的中點
1
???DHABDH=-AB.
f2
TAB=AC,
ADH=DC,
:.NDHONDCH.
,?BD=DE,
?,.ZDBH=ZDEC.
:.ZBDH=ZEDC.
.,.△DBH^ADEC.
???BH=EC.
EB3
----=—.
EH2
?.?DH〃AB,
JAEDH^AEFB.
.FB_EB_3
??DH-EH-2
.FB_3
,,——■
AB4
AF_1
,t,一■
AB4
另解ADF^AABD也可求解.
另解2:取AB的中點M,證明△ECD^ADMB也可以求解.
問題拓展早.
4
2.(l)A(-2,0),B(8,0),C(0,4)y=-1x+4(2)(4,6)(3)4或2V5-2
(1)根據(jù)拋物線的函數(shù)表達式求出點C,A,B的坐標,再利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式即可;(2)
易得點P(m--im2+jm+4),過點C作CG±PD于點G,由題中已知條件可證得四邊形CODG是矩形,再利用
矩形的性質與平行線的性質得到/1=/2,結合/CGE=NBOC,可證得△CGEs^BOC,從而可求出EG,根據(jù)等腰
三角形“三線合一”可得PG=EG,然后利用PD=PG+DG建立關于m的方程,解方程即可求出m的值,據(jù)此可得點
P的坐標;(3)過點C作CH±PD于點H,易得點P+|m+4),先求出直線AC的函數(shù)表達式,根據(jù)PF
〃AC,可得直線PF的函數(shù)表達式,從而可得點F的坐標,求出OF的長,利用HL定理證明RtACHEERSD
OF,則有/ECH=/FDO,進而得/FDO=/CBO,利用等角的正切相等,可建立關于m的方程,解方程即可求出m
的值.
解:⑴由y=-%2+|%+4得,
當x=0時,y=4.
???點C的坐標為(0,4).
當y=0時,--X2+-%+4=0,
"42
—
解,得.2,%2=8.
???點A在點B的左側,
二點A,B的坐標分別為A(-2,0),B(8,0).
直線BC的函數(shù)表達式為y=-1x+4.
(2);?點P在第一象限拋物線上,橫坐標為m,且PDLx軸于點D,
???點P的坐標為—]m?+|T71+4),00=TH.
13
.??PD=——7+-m+4.
42
丁點B的坐標為(8,0),點C的坐標為(0,4),
???OB=8,OC=4.
過點C作CGXPD于點G,則NCGD=90。.
ZPDO=ZCOD=90°,
???四邊形CODG是矩形.
???CG//OB,DG=OC=4,CG=OD=m.
:.Z1=Z2.
丁ZCGE=ZBOC=90°,
:.ACGE^ABOC.
EG_CG
??CO-BO'
即日=依,
48
???EG=-m.
2
在^CPE中,TCP=CE,CG_LPE,
I
???PG=EG=-m.
2
1
??.PD=PG+DG=-m+4.
2
1?31
???——mz+-m+4=-m+4.
422
解,得碼=4,m2=0(舍去).
m=4.
當m=4時,y=—im2+|m+4=6.
???點P的坐標為(4,6).
⑶m的值為4或26-2.
3.(1)ZABP或ZPBM或ZMBC或/BME⑵①15,15②/MBQ=/CBQ,理由略⑶*m或||cm
⑴過點M作MH_LBC于點H,則易證四邊形BEMH是矩形,則MH=BE根據(jù)折疊的性質可知/ABP=乙PBM
,AE=BE=IAB,AB=BM,再利用正弦的定義可得sinZMBH的值,從而可得NMBC=30。,結合/ABC=90。,可得
NABP=/PBM=30。從而可得/BME=3(F;(2)①根據(jù)(1)中結論可得NMBC=30。,根據(jù)HL證明RtAMBQ^RtAC
BQ,從而即可求解;②根據(jù)正方形的性質與軸對稱的性質得到對應邊相等、對應角相等,再根據(jù)HL證明RtAMBQ^
RtACBQ,從而即可得結論;(3)分點Q在線段DF上、線段CF上兩種情況進行討論,根據(jù)折疊的性質、勾股定理
即可求解.解:⑴NABP或/PBM或NMBC或/BME.(注:任意寫出一個即可)
(2)①15,15.
?ZMBQ=ZCBQ.
(注:若沒有寫出判斷結果,但后續(xù)證明正確,不扣分)
理由如下:
???四邊形ABCD是正方形,
.\AB=BC,ZA=ZC=90o.
由軸對稱性質彳導BM=AB,ZBMP=ZA=90°.
ZBMQ=ZC=90°,BM=BC.
VBQ是公共邊,
Z.RtAMBQ^RtACBQ.
-,.ZMBQ=ZCBQ.
4n
(3)—cni或2413cm.
4.(1)①略②1⑵m(3)V2
(1)①延長AD交BE于F,由折疊和等角的余角相等即可證明結論;②根據(jù)已知條件證明△ADC^ABEC,即
可求解;⑵延長AD交BE于F,根據(jù)折疊和等角的余角相等證明兩個角相等,并結合已知相等的角,證明△ACG
-△BCE,得比例式,即可求解;(3)根據(jù)折疊的性質,結合點D是BC的中點得三角形的中位線,根據(jù)平行得同
位角相等、內錯角相等,再利用⑵中的相似三角形得對應邊成比例,從而求出AC和CD的比值,即可求出CG
和AG的比值,設CG=x,再根據(jù)比例式、三角形全等、勾股定理,表示出各邊的長,根據(jù)EBEH=6,求出x的值,
取正值即可求解.
解:⑴①證明:延長AD交BE于點F.
由折疊得^AFB=90°=ZXCB.
ZDAC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°.
NADONBDF,
???ZDAC=ZEBC.
②法=「
⑵*=m.
理曲延長AD交BE于點F.
由折疊得^AFB=90°=ZXCB.
,ZADC+ZDAC=ZBDF+ZCBE=90°.
VZADC=ZBDF,
.\ZDAC=ZCBE.
VZACG=ZBCE,
AAACG^ABCE.
CGAC
—=—=TH.
CEBC
⑶由折疊得NAFB=90O,BF=FE.
???D是BC的中點,
???DF〃CE.
???ZBEC=ZBFD=90°,ZAGC=ZECG,ZGAH=ZCEA.
由(2)知4ACG^ABCE,
???NAGC=NBEC=90。,
AGCGACV2
—=—=—=TIT=—.
BECEBC2
AC
=V2.
CD
CG.,「人「DC1
—=tanziGAC=—
AGAC后
設CG=x,貝UAG=V2x,CE=s/2x,BE=2x.
,>.AG=CE.
-?.AAGH^AECH.
-?.AH=EH,GH=CH.
GH=-x.
2
在RtAAGH中,
由勾股定理得AH=ZAG?+GH2=|x.
VEBEH=6,
c3,
???2%?一%=6.
2
解得X=±&(負值舍去).
CG=V2.
5.(1)EF=BF(2)AG=BG,證明略(3)彳
(1)證法一:分別延長AD,BF交于點M,根據(jù)平行四邊形的性質可得對應角相等,結合中點得對應邊相等,
可證△MDF^ABCF,得對應邊相等,再利用直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半進行代換,可證明EF=B
F;證法二:過點F作FM±EB于點M,由已知條件結合平行線的判定得AD〃FM〃BC,由平行線分線段成比例
定理,得出EM=MB,進而由線段垂直平分線的性質得EF=BF;(2)證法一:根據(jù)折疊得對應角相等和對應邊相等,
結合中點和已知角相等進行代換,可證明四邊形DGBF是平行四邊形,等量代換后可證明AG=BG;證法二:連接C
C交FB于點N,根據(jù)折疊的性質得C'C±FB,根據(jù)平行線的判定得DG〃FB,進而證得四邊形DGBF是平行四邊
形,進而得出AG=BG;⑶過點M作MPLBH于點P,由折疊的性質得4BPM是等腰直角三角形根據(jù)SABCD=20
得BH的長,進而可求出AH的長.通過證明△A'HN-ACHB得NH的長,再證△AHNsaAPM,進而求得HP,
MP的長,即可求出陰影部分的面積.
解:(1)EF=BF.
證法一:如圖①,分別延長AD,BF相交于點M.
???四邊形ABCD是平行四邊形,,AD〃BC.
,?.Z2=ZC,ZM=Z1.
為CD的中點,;.DF=CF.
-?.△MDF^ABCF.
.*.FM=FB.即F為BM的中點.
1
BF=-BM.
2
VBE±AD,.\ZBEM=90°.
.?.在RtABEM中.EF=EF=BF.
證法二:如圖①,過點F作FMLEB于點M,
DFC
圖①
貝!]NEMF=90。.
?.*BE±AD,I.NAEB=90。.
???NAEB=NEMF.??.AD〃FM.
.??四邊形ABCD是平行四邊形,JAD/7BC.
NnEMDF
ADFMBC.*,?—=—.
MBFC
;F為CD的中點,...DF=FC.
.\EM=MB.
?/FM±EB,AFM垂直平分EB..\EF=BF.
(2)AG=BG.
證法一:如圖②,
由折疊可知:41=42=^CFC.
FC=FC.
圖②
???F為CD的中點,F(xiàn)C=FD=\CD.
???FC=FD.???N3=N4.
1
???ACFC=z3+z4,z4=jzCFCz.
.?./4=/l".DG〃FB.
??,四邊形ABCD為平行四邊形,,DC〃AB.
四邊形DGBF為平行四邊形.
???BG=DF.BG=-AB..-.AG=BG.
2
證法二:連接CC交FB于N.
DC
圖②
由折疊可知:FC'=FC,CC'±FB.
???乙CNB=90°.
為CD的中點,F(xiàn)C=FD=\CD.
FC=FD.Z1=Z2.
VFC'=FC..\ZFC'C=ZFCC'.^ADC'C中,Z1+Z.DCC+/.DCC=180°,
???zl+z2+Z.FCC+乙FCU=180°.
.*.2Z2+2ZFC'C=180°.
/2+/FC'C=9O。".ZDC'C=90°.
NDC'C=/C'NB.DG〃FB.
"/四邊形ABCD是平行四邊形,DC〃AB.
四邊形DGBF是平行四邊形.
122
BG=FD.BG="B.;.AG=BG.(3)y
過點M作MP_LBH于點P,在□ABCD中,AB〃DC.
?.?AB_LDC,;.A'B_LAB,
由折疊可知/ABM=/MBH=45。,
...APBM是等腰直角三角形,PM=PB.
又SaABCD=BH-DC=5BH=20,ABH=4.
由折疊知A'B=AB=5,A'H=1.
在RtABCH中,BC=2逐,由勾股定理可得CH=2.
由/A'=/C,/A'HN=/BHC=9O。,可得△A'HN^ACHB,.*=器,即|=等,[NH=2.
又由DC〃MP得△A'HNs/iAPM,.?.翳=禁.
設HP=x,貝!]A'P=l+x,BP=MP=4-x,
—=工,解得%=-,
4-x1+X3'
4210
???MP=4
33
=x
??.s=SAfMB-SAfNH|5Xy-|xlx2=y-1=等即陰影部分的面積為y
AB
壓軸預測
1.操作一。)4。(2)2V5-2操作二:回—2
操作一:(1)由四邊形ABCD是矩形得CD〃AB,/DAE=90°,由翻折得/CEF=ZCEB=70°,則/AE
D=40。,所以NEDC=NAED=40。。)設BE=x,根據(jù)折疊的性質與矩形的性質得到對應邊與對應角相等,根據(jù)CD〃AB
證明△DFCs/iEFA,根據(jù)相似三角形對應邊成比例,可建立方程求出x的值,從而可得BE的長;操作二:連接D
G,根據(jù)三角形三邊關系可知DF>DG-FG,當點F落在DG上時,線段DF=DG-FG,即DFNDG-FG根據(jù)勾股定理求
得DG的長,即可得DF的最小值.
解操作一:⑴40
(2)設BE=x,
由折疊得/CED=/CEB,EF=BE=x,在矩形ABCD中,CD=AB=x+4,CD〃AB,
;./CEB=/DCE,
ZCED=ZDCE,.\CD=DE,
;.DE=AB,
;.DE-EF=AB-BE,即DF=AE=4.
,/CD〃AB,ADFCsAEFA,
CD_DF
??AE-EFf
.x+4_4
-4-x
解得Xi=2遮一2,X2=-2V5-2(舍),
;.BE=2V5-2.
操作二:V29-2.
2.(1)6(2)2⑶四邊形GEE'F不是平行四邊形,理由略
⑴由△ACD為直角三角形,利用勾股定理建立方程求得AC的長;(2)由勾股定理求得BE,連接EE,由平移的性
質、相似三角形的判定和性質求得EF;⑶作輔助線,由相似三角形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質計算出
D'F與DG的長度.從而得到GE與FE,的長度關系,根據(jù)平行四邊形的判定進行判斷.
解:⑴6.
⑵由折疊可知,DC=DC=10.
在RtADAC中根據(jù)勾股定理可求得AC=6,
ABC'=AB-AC'=10-6=4.
在RtABEC'中,設BE=x,
根據(jù)勾股定理,得((8-x)2=%2+42,
解得x=3,即BE=3,EC'=EC=5.
連接EE,則由平移可知,
EE,=C'B=4,且EE'〃AB〃CD,
于是可得4FEE'S△FCD's/\ECD,
EF:EE'=CE:CD=5:10=l:2.
又EE'=4,;.EF=2.
⑶四邊形GEE'F不是平行四邊形.
理由如下:
由折疊可知ZCDE=ZCDE.
另由平移可知NC'DE=/BDE,且DE〃D'E:于是得NBDE=NDGD,
.?.NCDE=NDGDq|]ADD'G是等腰三角形,?,.DD,=DG=4.
如圖,過點D作DHLDG于點H,
貝[]DH=HG,B.ADD'H^ADEC,
貝D'H:DH=EC:DC=1:2.
設D'H=x,貝!]DH=2x.
在RtADD'H中根據(jù)勾股定理,
得/+(2刈2=42,解得*=誓,
DH=—DG=—,
55
而在RtAD'CF中,DC=DC-DD'=10-4=6,
CF=CE-EF=5-2=3,
根據(jù)勾股定理可求得D'F=3V5
;.DG我DF,即GE/FE',
故四邊形GEE'F不可能是平行四邊形.
3.(l)y=i%2(2)當m=0或m=2時,p=q;當m<0或m>2時,p<q;當0<m<2時,p>q(3)2
(1)根據(jù)拋物線關于y軸對稱可確定b的值,再根據(jù)已知兩點求出a,c的值,即可求出拋物線的解析式;⑵先
求出點D及其關于y軸的對稱點的坐標,再根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸確定橫坐標的關系,列出方程或
不等式,求出m的值,從而分情況比較出p和q的大小即可;或由p-q=--2>得p-q關于m的函
數(shù),進而即可求解;或根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質直接求解即可;(3)設定點A,B的坐標及直線AB的解析式,
將其代入拋物線解析式,得到一元二次方程,求出方程的解(含待定系數(shù)k),即可分別求出自變量以及函數(shù)值
的和或差,再利用勾股定理、相似三角形的判定與性質即可求解;或設出A,B兩點坐標及直線AB的解析式,
將直線AB的解析式代入y=[/中,得關于x的一元二次方程,得方程的解再設AB的垂直平分線上的任意
一點Q(x,y),再由勾股定理進而即可求解.
解:⑴:拋物線關于y軸對稱,,b=o.
又:拋物線過點(1,7),(2,1),
;Ja+c=],解得卜.
(4a+c=1,(c=0,
,拋物線的解析式為y=i%2.
4
⑵解法一::點D(-l,p)在拋物線y=卜2上,;.p=1
???拋物線圖象開口向上,且點。(-關于y軸的對稱點的坐標為((1,》,
由圖象可知,
當m-l=l或即當m=2或m=0時,p=q;當m-l<-l或即當m<0或m>2時,p<q;當即0<m
<2時,p>q,
當m=0或m=2時,p=q;當m<0或m>2時,p<p;當0<m<2時,p>q.
解法二:p—q=1—[(TH-1)2
=--m(m—2).
把p-q看成關于m的函數(shù),由圖象可知,
當m=0或m=2時,p=q;
當m<0或m>2時,p<q;
當0<m<2時,p>q.
解法三:二次函數(shù)y=開口向上,對稱軸為y軸,
.??拋物線y=;/上距離y軸越遠的點,函數(shù)值越大.
???點D到y(tǒng)軸距離為1,
?,?由圖象可知,
當m-l=±l,即m=0或m=2時,p二q;
當或m-l>l,BPm<0或m>2時,p<q;
當一即0<m<2時,p>q.
(3)解法一:普為定值,且定值是2.
設A(xi),B(X2,y2),直線AB的解析式為y=kx+l(krO).
把y=kx+1代入y=2中,得/—4kx—4=0.
???△=16k2+16>0,
???/=2/c+27k2+1,%2=2k-2V/c2+1,
貝[]%i+%2=4k,yi+丫2=fc(%i+%2)+2=4k2+2
xr—x2=47k2+L
=2
y-L—y2k(x]—犯)—4fcVfc+1.
如圖,過點B作BNJLy軸過點A作人?4〃丫軸,交點為N.
線段AB中點P的坐標為(2k,2k2+1).
又???F(0,1),根據(jù)勾股定理,可得
FP=V(2fc)2+(2fc2+1-l)2=
=2
??.AN=ly-L—y2l|4/c|V/c+1.
ZMPF=ZBNA=90°,ZMFP=ZBFO=ZBAN,
AAFPM^AANB,
AB_AN_|4k|〃2+l_2
**FM-FP-\2k\y/k2+l-'
解法.二:弓為定值,且定值是2.
FM
設A&,yi),B(X2,Y2),直線AB的解析式為y=kx+l(k^0).
把y=kx+1代入y=中,得%2—4kx—4=0.
???△=16k2+16>0,
?,?=2/c+27k2+I,%2=2k-27k2+1,
貝!]%i+%2=4k,y±+y2=fc(%i+x2)+2=4k2+2
xr—x2=4〃2+L
2
yi-y2=Mx1-冷)=4fcVfc+1.
設AB的垂直平分線上的任意一點Q的坐標為(x,y).
-.-QA=QB,.-.QA2=QB2.
根據(jù)勾股定理,可得
222
(x-久1)2+(y-yi)=(%-x2)+(y-y2),
整理得y=一臺
?X+-2(yi-y2)-2J
/.y=---%+2k2+3.
k
令x=0彳導y=2k2+3,即M(0,2k2+3),
FM=2k2+2=2(/c2+1).
根據(jù)勾股定理,可得
22
AB=V(%i-%2)+(yi-y2)
=J16〃2+l)2=4(^2+1),
.AB__4(d+1)_2
**FM-2(fc2+l)-'
4.⑴①|②與⑵S={_]"北獲1黑2)(琥
(1)①由已知條件得/ADE=NACD,從而判斷出/ADE不發(fā)生變化并求得sin/ADE;②當AELDE時,AE=
雙
AD-sinZTlDE,即可求解;(2)當0<t<l時,S=Sp%;當1<92時,S=SPDQ-SEMM利用相似三角形的性質及邊關系表
示出EM和EN的長,進而求得結果;(3)結合(2)可表示出線段的長,進而表示出PG,過點G作GH_LCD于點
H,表示出PH的長,在R3GPH中利用勾股定理列方程求解即可.
解:⑴①由題意知PQ為DE的中垂線,由PQ〃AC知直線DE始終與AC垂直,二NADE=NACD,
???ZADE的大小不會發(fā)生變化,sin^ADE=
②線段AE的最小值為募
⑵由題意知PD=4t,PC=8-4t,當點E剛好落在AC上時,P為CD的中點,如圖1,
圖1
/.4t=4,t=l.
當0<t<l時,S=[x3tx4t=6t2;當l<tW2時,如圖2,
BA
CPD
圖2
設EQ,PE分別交AC于點N,M.
由折疊知N1=N2.
PQ〃AC,???N1=N4,N2=N3,
Z3=Z4,.'.PC=PM=8-4t,???EM=8t-8.
同理(QN=QA=6-3t,EN=6t-6,
.-.5=6t2-j(8t-8)-(6t-6)
—18t2+48t—24,
16t2(0<t<1),
l—18t2+48t—24(1<t<2).
(3)如圖3,由題意知PD=PE=4t,PC=PF=8-4t,EF=FG=GA=8-8t,/.PG=16-12t.
過點G作GHLCD于點H,
圖3
則DH=8-8t,PH=12t-8,
...在RtAGPH中,62+(12t-8)2=(16-12£產解得t=—.
16
541)CD=2EF,理由略⑵成立,證明略⑶!
⑴利用直角三角形斜邊中線的性質證明即可;⑵延長AC交BD的延長線于點G,連接GM,GE,利用矩形
的性質,直角三角形斜邊中線的性質求解即可;⑶根據(jù)CD=2EF,CD=MG>EG求解EF的最小值.
解:⑴CD=2EF.
理由如下:
VAAMC和△BMD都是等腰直角三角形,
,ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,
1
???5=乙AMC=1(180°-4ACM)=45°,
乙DMB=ZB=1(180°-4MDB)=45°,
ZCMD=18O°-ZAMC-ZDMB=90°.
是CD的中點,
1
MF=。,即CD=2MF.
?.?點M與點E重合,
.?.MF=EF,.".CD=2EF.
⑵成立.
證明:如圖,延長AC交BD的延長線于點G,連接GM,GE.
VAAMC和小BMD都是等腰直角三角形,
ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,
1
???乙N=乙AMC=:(180°-4ACM)=45°,
乙DMB==1(1800-乙MDB)=45。,
ZMCG=ZAGB=ZGDM=90°,AG=BG,
四邊形MCGD是矩形,△AGB是等腰直角三角形,
,?.GM=CD.
;E是AB的中點,;.GEJ_AB,
???N&EG=90°.
?;F是CD的中點,,F(xiàn)是GM的中點
在RtAMEG中,F是GM的中點,
-1-1
EF=EF=|CD,BPCD=2EF.
⑶I
6.(1)略(2)|(3)1573-24
(1)由等邊對等角得./-MB'C=NMC'BI,由BC,〃BC得.乙MB'C'=乙BMB'/MC'B'=乙CMC',,再利用等腰
三角形兩底角相等和折疊的性質得到NBMP=NCMQ,通過三角函數(shù)的定義可證得BP=CQ;⑵延長PM與D
C,延長線交于點E,作QFXME于點F,由折疊及對頂角相等可得/QME=45。,在RtACMQ中,利用勾股定理求出
MQ的長,設BP=x,易證得ACME絲ABMP,表示出QE,QF,ME的長,再利用等面積法列方程解出x的值,即可
得到BP的長度;⑶延長QM交AB的延長線于點H,作PNXMH于點N.由折疊及對頂角相等可得/PMH=6
0。,在RtACMQ中利用勾股定理求出MQ的長,設BP=x易證得△CMQ絲ABMH,表示出PN,MH,PH的長,再利
用等面積法列方程解出x的值,即可得到BP的值.
解:⑴證明:;M為BC的中點,;.MB=MC.
由折疊知B'M=BM,C'M=CM,
MB'=MC,???乙MB'C=Z.MCB'.
VB'C'/7BC,
???Z-MB'C==/.CMC,
:.乙BMB'=/.CMC.
由折疊可知,APMB=|乙BMB'/CMQ=|/.CMC,
.\ZBMP=ZCMQ.
四邊形ABCD是矩形,ZB=ZC=90°.
在RtABMP和RtACMQ中可得,tan/BMP=焉,tan/CMQ=器
MB=MC,ZBMP=ZCMQ,.\BP=CQ.
⑵如圖所示延長PM與DC,延長線交于點E,作QF_LME于點F.
VMB'XMC,
.-,乙BMB'+/.CMC=90°.
再由折疊及對頂角相等可得ZQME=45°.
;BC=6,M是BC的中點,
;.BM=CM=3.
在RtACMQ中,由勾股定理得
MQ="Q2+CM2=“+32=710,
設BP=x,在RtABPM中面勾股定理得
PM2=BP2+BM2=%2+9.
在小CME和仆BMP中,
,?ZCME=ZBMP,CM=BM,
ZMCE=ZMBP=90°,
.?.△CME之△BMP
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