專題07絕對值的化簡及解絕對值方程壓軸題三種模型全攻略

.【考點導航】

目錄

【知識點梳理】.................................................................................1

【典型例題】...................................................................................1

【類型一利用數軸化簡絕對值】.............................................................1

【類型二利用幾何意義化簡絕對值】........................................................2

【類型三解絕對值方程】...................................................................4

【過關檢測】...................................................................................5

尸，

【知識點梳理】

1.絕對值的定義

一般地，數軸上表示數。的點與原點的距離叫做數。的絕對值，記作同

2.絕對值的意義

①代數意義：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0；

②幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離

原點的距離越近，絕對值越小。

a(a>0)

3.絕對值的化簡：⑷=°(5)

—a(a<0)

尸飛

匚勺【典型例題】

【類型一利用數軸化簡絕對值】

例題：(2023春?黑龍江哈爾濱?六年級哈爾濱市蕭紅中學?？计谥?有理數”,4c在數軸上的位置如圖所示,

[?[ill/

一1。0\bc

化簡：性—

【變式訓練】

1.(2023春?上海浦東新?六年級上海市民辦新竹園中學校考期中)有理數。、b、。在數軸上的位置如圖,

化簡：|a+c|-|Z?+c|-|a-Z?|.

_______|_______________1__|________!II.

b-1c01a

2.(2023秋?海南省直轄縣級單位?七年級統考期末)已知有理數a>0,b>0,c<0,且例<卜|<同.

___________IIII>

()O()()

⑴在如圖所示的數軸上將a,6,c三個數表示出來；

⑵化簡：時+性+@—,一4.

【類型二利用幾何意義化簡絕對值】

例題：(2023秋?山西朔州?七年級?？计谀?閱讀與思考：

點A、8在數軸上分別表示有理數a、b,A、8兩點之間的距離表示為AB,在數軸上A、8兩點之間的距離

AB=\a-b\.回答下列問題：

AB

---111---->

a-0----------b

⑴數軸上表示2和5兩點之間的距離是一，數軸上表示1和-3的兩點之間的距離是_

⑵數軸上表示x和-3的兩點之間的距離表示為」

⑶七年級研究性學習小組在數學老師指導下，對式子|x-4|+卜+3|進行探究：

①請你在草稿紙上畫出數軸，當表示數尤的點在-3與4之間移動時，卜-4|+卜+3|的值總是一個固定的值

為一

②請你畫出數軸，探究：是否存在數x,使|x-4|+歸+3|=9?如果存在，則在數軸上表示出來，并寫出x

的值；如果不存在，簡要說明理由.

【變式訓練】

1.(2023?全國?七年級假期作業)點A,8在數軸上分別表示有理數b,A,8兩點之間的距離表示為AB,

在數軸上A,8兩點之間的距離AB=|a-b|,例如：數軸上表示-1與-2的兩點間的距離

=|-1-(-2)|=-1+2=1；而忖+2|=卜一(—2)|,所以|x+2|表示無與一2兩點間的距離.

AB

--------1-----------1

a0b

利用數形結合思想回答下列問題：

⑴數軸上表示-2和-5兩點之間的距離―；

⑵若數軸上表示點x的數滿足=2,那么x=；

(3)若數軸上表示點x的數滿足-4<%<3,求歸-3|+|x+4|的值；

(4)||x—3|+|x+4|+|x+8|的最小值是.

2.(2023,江蘇?七年級假期作業)點A、8在數軸上分別表示有理數a、b,A、8兩點之間的距離表示為AB,

則在數軸上A、8兩點之間的距離=所以式子|*-2|的幾何意義是數軸上表示無的點與表示2的

點之間的距離.借助于數軸回答下列問題：

A目

->

-ao~

⑴數軸上表示2和5兩點之間的距離是,數軸上表示1和-3的兩點之間的距離是.

⑵如果|x+l|=3,那么x=.

(3)若|。-3|=2,|6+2|=1,且數。力在數軸上表示的數分別是點4點3,則42兩點間的最大距離是

最小距離是.

(4)①若數軸上表示x的點位于-3與1之間，則|x-l|+|x+3|=；

②若|龍一3|+卜+1|=8,貝口=

【類型三解絕對值方程】

例題：(2023春?湖南衡陽?七年級校聯考階段練習)閱讀與探究：我們把絕對值符號內含有未知數的方程叫

做"含有絕對值的方程如：兇=3,卜2x+l|=2,...都是含有絕對值的方程，怎樣求含有絕對值的方程的

解呢?基本思路是：把“含有絕對值的方程"轉化為"不含有絕對值的方程”.例如：

解方程x+3|x|=4.

解：當xNO時，原方程可化為：x+3x=4,解得x=l,符合題意；

當x<0時，原方程可化為：x+3x=4,解得x=-2,符合題意.

所以，原方程的解為：x=l或x=-2.

根據以上材料解決下列問題：

(1)若|x—2|=2-x,則x的取值范圍是；

⑵解方程:x+2|x-l|=4.

【變式訓練】

1.(2023?浙江?七年級假期作業)解下列方程：

3

(l)|x+5|=3⑵|2x-l|=7(3)^x+4=1(4)-|x+5|-2=4

2.（2023秋?遼寧鞍山,七年級統考期末）閱讀材料并回答問題:

國的含義是數軸上表示數x的點與原點的距離，即國=卜-0|,也就是說，國表示在數軸上數x與數0對應

的點之間的距離；因此可以推斷卜-1表示在數軸上數尤與數1對應的點之間的距離.例如，|尤-1=2,就

是在數軸上到1的距離為2的點對應的數，即為x=-l或x=3；回答問題：

⑴若國=2,則x的值是；

⑵利用上述方法解下列方程：①卜一3|=2；@|x-l|+|x-3|=8

【過關檢測】

1.（2023?全國?九年級專題練習）根據數軸解方程：|x-2|+|x+3|=5.

IIII[[III

-4-3-2-101234

2.（2023?江蘇?七年級假期作業）有理數a/,c在數軸上的位置如圖所示.

_________II_______________________I____________|___________________W

ab0c

⑴用連接：a-a^-b.c-c.

（2）化簡：4+,+4+〃-d.

3.（2023春?廣東惠州?七年級博羅縣龍溪中學?？奸_學考試）有理數°、仇c在數軸上的位置如圖:

a06c

⑴用">"或"V"填空：b-c0,a+b0,—0.

⑵化簡：g—c|+|o+6|—|c—。|.

4.（2023秋?吉林松原?七年級統考期末）已知有理數八6、c在數軸上對應點的位置如圖所示.解答下列各

題：----------4----±---i_%-->

-2-101?

（1）判斷下歹U各式的符號（填或"<"）：a-b0,b-c0,c-a0,b+c0.

（2）化簡：\a-b\+\b-c\-|c-a|+|b+c\.

5.（2023秋?湖南邵陽?七年級統考期末）a,6,c在數軸上的位置如圖所示:

ab0c

⑴求忖+雪上_______

abc

（2）〃、b、。在數軸上的位置如圖所示，則：化簡：|。+。|-|。-闿+卜-。|；

6.(2023?浙江?七年級假期作業)(1)試用〃<”“或〃=〃填空:

①I+6IT+5I|(^)-(+5)|；(2)|^|-|-5||(-^)-(-5)|;

(3)1+6|-|-5||(+6)-(-5)|；

（2）根據（1）的結果，請你總結任意兩個有理數。、b的差的絕對值與它們的絕對值的差的大小關系為

\a\-\b\\a-b\；

(3)請問，當。、6滿足什么條件時，\a\-\b\=\a-b\7

7.(2023春?上海,六年級專題練習)如圖，已知a、b、c在數軸上的位置.

1II1A

aobc

(1)a+b0,abc0,-0.填(">"或"<")

c

(2)如果a、c互為相反數，求3=—.

c

(3)化簡：|6+c|-2\a-b\-\b-c\.

8.(2023秋?全國?七年級專題練習)我們知道數形結合是解決數學問題的重要思想方法，例如|3-1|可表示

為數軸上3和1這兩點的距離，而|3+1|即|3-(-1)|則表示3和-1這兩點的距離.式子卜-1|的幾何意義是數

軸上無所對應的點與1所對應的點之間的距離，而卜+2|=卜-(-2)|,所以|x+2版幾何意義就是數軸上無所

對應的點與-2所對應的點之間的距離.根據以上發現，試探索：

⑴直接寫出18-(一2)|=.

⑵結合數軸，找出所有符合條件的整數無，|x-2|+|x+3|=5的所有整數的和.

(3)由以上探索猜想，對于任何有理數x,|x+4|+|x-6|是否有最小值？如果有，請寫出最小值并說明理由；

如果沒有，請說明理由.

9.(2023秋?上海靜安,七年級新中初級中學?？计谀?我們知道，表示數。到原點的距離，這是絕對值

的幾何意義.進一步地，數軸上兩個點A、B,分別用。，b表示,那么A,B兩點之間的距離為A8=|"b|,

利用此結論，回答以下問題：

(1)數軸上表示2和5的兩點之間的距離是；數軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是；數

軸上表示1和-3的兩點之間的距離是；

(2)數軸上表示x和-1的兩點A,8之間的距離是,如果|筋|=2,那么x的值為；

(3)求1%+11+1%+2］的最小值是.

10.(2023秋?山東日照?七年級校考階段練習)已知點A在數軸上對應的數為點B在數軸上對應的數為b,

且k+3|+0-2|=0,A、B之間的距離記為或請回答問題：

⑴直接寫出a,b,口目的值，a=,b=,|AB|=.

(2)設點P在數軸上對應的數為x,若|尤-3|=5,則工=.

⑶如圖，點M,N,尸是數軸上的三點，點M表示的數為4,點N表示的數為一1,動點尸表示的數為x.

NM

-3-2-1012345678

①若點尸在點M、N之間，則卜+1|+卜一4|=；

②若|x+l|+k-4|=10,則彳=；

③若點P表示的數是一5,現在有一螞蟻從點P出發，以每秒1個單位長度的速度向右運動，當經過多少

秒時，螞蟻所在的點到點M、點N的距離之和是8?

11.(2023秋?江蘇鎮江?七年級統考期末)人們通過長期觀察發現如果早晨天空中棉絮的高積云，那么午后

常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨"的諺語.在數學的學習過程中，通過對簡單情形的觀察、

分析，從特殊到一般地探索這類現象的規律、提出猜想的思想方法稱為歸納.

【數學問題】數軸上分別表示數。和數6的兩個點A、8之間的距離該如何表示？

【問題探究】

(1)觀察分析(特殊)：

①當。=2,6=5時，A,8之間的距離A3=3；

②當a=-2,人=5時，A,B之間的距離AB=_；

③當a=—2,b=—5時，A,8之間的距離AB=_；

(2)一般結論：

數軸上分別表示有理數6的兩點A,8之間的距離表示為AB=_；

【問題解決】

(3)應用：

數軸上，表示x和3的兩點A和8之間的距離是5,試求x的值；

【問題拓展】

(4)拓展：

①若|x-2|=卜-6|,則x=_.

②若|x-l|+|x-7|=8,則x=_.

③若x,(滿足"1仲_5|)仙_1|+|〉+力=8,則代數式x+y的最大值是一