專題22專項題型專訓：一次函數與三角形面積問題

聚焦考點

考點一由一次函數圖象求面積考點二由面積求一次函數表達式

考點三一次函數中動點類面積問題考點四一次函數中與面積有關的存在性問題

:典型例題:

考點一由一次函數圖象求面積

例題：(2022?吉林長春?八年級期末)已知：如圖，直線y=?+4與無軸、y軸分別交于點A和點8.

(1)點A坐標是，點B的坐標是.

⑵求AOB的面積.

【答案】⑴(一8,0),(0,4)

⑵16

【分析】(1)根據坐標軸上點的坐標特征求A點和8點坐標;

(2)根據三角形面積公式求解；

(1)

解：當y=o時，g尤+4=0,解得x=—8,

當x=0時，y=4,

團A(-8,0),5(0,4),

故答案為：(-8,0),(0,4)；

(2)

13A(-8,0),3(0,4),

團OA=8,OB=4,

團SAOK=—%xOB=—x8x4=16.

AOB22

【點睛】本題考查了求一次函數與坐標軸的交點，坐標與圖形，求得一次函數與坐標軸的交點是解題的關

鍵.

【變式訓練】

1.(2021?山東棗莊?八年級期中)在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，若直線y=-5x+5與x軸、y軸

分別交于點A,B,則0A08的面積為.

【答案】2.5

【分析】先分別求解y=-5x+5與x軸、y軸的交點A,8的坐標，再利用面積公式求解三角形的面積即可.

【詳解】解：回當尤=0時，y=-5x+5=5,

當y=0時，-5x+5=0,解得x=l,

0A(1,0),B(0,5),

0AO=1,BO=5,

因為朋02是直角三角形，

回^AOxBO=|xlx5=2.5,

故答案為：2.5.

【點睛】本題考查的是一次函數與坐標軸的交點問題，掌握求解一次函數與坐標軸的交點坐標是解題的關

鍵.

2.(2021?山東德州.八年級期末)在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，若直線y=gx+5與X軸、y軸分

別交于點A,B,則AAO8的面積為.

【答案】5

【分析】分別令x=0和＞=0,求出A、8兩點坐標，進而求出A。、3。的長即可求出A03的面積.

【詳解】解：如圖：???當X=0時,y=|x+5=5,

當y=°時，|-x+5=0,解得x=-2,

，A(-2,0),B(0.5),

AO=2,BO=5,

因為A03是直角三角形，.

SAACR=—AOxBO=—x2x5=5,

M0B22

故答案為：5.

【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征，會求一次函數圖象與了軸、y軸的交點坐標是解題關鍵.

3.(2021?全國?八年級課時練習)直線y=2x-3與x軸交點坐標為，與y軸交點坐標；

圖像經過象限，y隨x的增大而,圖像與坐標軸所圍成的三角形的面積是.

【答案】(|可(0,-3)一、三、四增大!

【分析】根據一次函數解析式，分別令y=。，x=0即可求得其與蒼'軸的交點的坐標，根據一次項系數和

常數項即可確定經過的象限，進而確定函數的增減性，根據與坐標軸的交點坐標作出函數圖像進而求得與

坐標軸圍成的三角形的面積.

【詳解】由直線y=2x-3

33

令y=0解得冗=3，則與X軸交點坐標為(不,。)

令x=0解得、=-3,與y軸交點坐標為(0,-3)

k=2>0,b=-3,

二.直線y=2x-3,經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大，

根據已知條件作出函數圖像，如圖：

3

則A（2,0）,5Q-3）

則坐標軸圍成的三角形的面積為：j1x|3x3=^Q

故答案為：（0'一3），一、三、四，增大，|

【點睛】本題考查了一次函數的性質，一次函數與坐標軸的交點以及圍成的三角形面積，掌握一次函數的

性質是解題的關鍵.

4.（2022?湖北?武漢外國語學校美加分校八年級階段練習）已知y-3與x-2成正比例，且當x=-1時，y=2.

⑴求y與x的函數關系式；

（2）若（1）中函數的圖象分別交無軸，y軸于A、8兩點，求0AQB的面積.

_17

【答案】⑴

49

⑵不

【分析】（1）設y與x的關系式為丁-3=左（無-2）,把x=-l,y=2代入求出上值即可得出y與尤的關系式;

（2）求出一次函數與兩坐標軸的交點，即可求出三角形的面積.

（1）

解：設y與x的關系式為y-3=Hx-2）,

把工=一1,y=2代解析式得2—3=左（一1一2）,

解得人=;.

117

[3y—3——（%—2）,即>=§%+1

,,17

故函數解析式為y——.X+—；

（2）

17

當y=0,則y=§%+]=。，

解得：x=—7,

114（-7,0）,Q4=7

7

當x=0,則y=§,

魴OB=；

11749

團S八=—xOAxOB=—x7x—=—.

△A°B2236

【點睛】本題考查求一次函數的解析式，一次函數與坐標軸的交點.根據題意設出關系式是解題的關鍵.

5.(2022?廣東佛山市順德區東逸灣實驗學校八年級期中)已知一次函數％=-2了+。與％=工+6的圖象都經

過4(2,0),且與y軸分別交于B,C兩點.

(1)求Q6的值；

⑵在同一直角坐標系中畫出一次函數%=-2尤+。與%=x+b的圖象；

(3)求ABC的面積.

［答案］⑴a=4,6=-2

(2)見解析

(3)6

【分析】(1)將點4(2,0),分別代入％=-2x+a與％=尤+6，即可求解；

(2)根據(1)中解析式，分別求得與y軸的交點，進而根據兩點畫出一次函數的圖象；

(3)根據A8,C的坐標，根據5枷=*數*。4即可求解.

【詳解】(1)解：點4(2,0),分別代入％=-2x+a與%=尤+方，得

0=—4+a,0=2+6,

解得“=4/=-2；

(2)國一次函數％=-2X+4,%=了一2與y軸分另ij交于氏C兩點.

對于X=-2X+4,令X=0,得y=4,

對于%=尤-2,令x=0,,=-2,

EB(0,4),C(0,-2),

如圖所示，

(3)回。4=2,3。=4-(-2)=6,

x

團SARC---BCxOA=—x6x2=6.

ABC22

【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，畫一次函數，求一次函數與坐標軸的交點，數形結合

是解題的關鍵.

6.(2022?安徽?蚌埠第六中學八年級階段練習)已知一次函數的圖象經過點40,-4)，5(1,-2)兩點.

5

4

3

2

1

-5-4-3-2-1.012345x

-1

-2

-3

-4

-5

⑴求這個一次函數的解析式；

(2)畫出這個一次函數的圖象；

⑶求一次函數的圖象與兩坐標軸所圍成的三角形的面積.

【答案】⑴這個一次函數的解析式為y=2無-4；

(2)見解析

⑶一次函數的圖象與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為4.

【分析】(D利用待定系數法求函數解析式即可；

(2)連接A(0,-4),8(1,-2)兩點的直線即可；

(3)先求一次函數圖象與x軸的交點坐標，再利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：設這個一次函數的解析式為：y=kx+b(k^0).

將點40，-4),8(1,-2)代入上式

[b=-4[k=2

得：-c，解得,一

\k+b=-2[b=—4

回這個一次函數的解析式為：y=2x-4；

(2)解：一次函數的圖象如圖所示：

(3)解：回>=2尤-4,

國當y=0時，2x-4-0,貝!|x=2,

回圖象與x軸交于點C(2,0),

回一次函數的圖象與y軸交于點A(0，-4),

0SAnr=—OA-OC=—x4x2=4.

.AOC22

【點睛】本題主要考查待定系數法求一次函數解析式；先求出函數圖象與坐標軸的交點坐標是求三角形面

積的關鍵.

7.(2022?安徽,天長市炳輝中學八年級階段練習)已知一次函數>=2尤+4.

⑴畫出該函數的圖像；

⑵若該一次函數的圖像與x軸交于點4與y軸交于點8,求.。出的面積；

(3)結合圖像，寫出-2VyV6時x的取值范圍.

【答案】⑴見解析

⑵4

(3)-3<%<1

【分析】(1)分別求得一次函數與x軸和y軸的交點坐標，連線即可畫出函數的圖象；

(2)利用A、B兩點坐標求得。4與03,利用三角形的面積公式即可求解；

(3)分別畫出直線y=-2和直線y=6與直線y=2x+4的交點坐標，結合一次函數的增減性即可求解.

（1）

解：對于一次函數y=2x+4,

令x=0,貝!Jy=4,

團8的坐標為（0,4）；

令y=0,則》=-2,

回A的坐標為（-2,0）,

在平面直角坐標系中描出點A的坐標為（-2,0）,8的坐標為（0,4）,連線即可得到直線

y=2x+4的圖象，如圖所示：

（2）

由（1）可知A的坐標為（-2,0）,3的坐標為（0,4）,

團OA=2,OB=4,

0S.=-OA.OB=-x2x4=4；

/A\AUODR22

（3）

解：如圖所示，直線丫=-2與直線y=2x+4的交點坐標為（-3,-2）；

直線y=6與直線y=2x+4的交點坐標為（1,6）,且一次函數y=2x+4,＞隨x的增大而增大，

回一2VyV6時x的取值范圍為一3VXV1.

【點睛】本題考查了一次函數的圖象和性質，正確地畫出一次函數的圖象是解題的關鍵.

8.（2022?浙江?八年級專題練習）如圖，一次函數%=履+》的圖象與坐標軸交于A,B兩點，與正比例函數

%=-2x交于點C（m,4）,OA=6.

⑴求一次函數的表達式；

⑵求3OC的面積；

(3)在線段AB上是否存在點P,使是以04為底的等腰三角形？若存在，請求出點尸的坐標；若不存

在，請說明理由.

【答案】⑴％=-》+3

(2)3

⑶存在，(3,1|

【分析】(1)求出A、C點坐標，再用待定系數法求函數解析式即可；

(2)AB0C的面積=gxOBxM|;

(3)作0A的垂直平分線交x軸于點￡>,與直線的交點即為點P,再求尸點坐標即可.

【詳解】(1)解：由題意，點A的坐標為(6,0)

將CCm,4)代入％=-2x,得4=一2祖，解得機=-2

回點C坐標為(-2,4)

回一次函數％=丘+人的圖象過A(6,0),C(-2,4)

f6k+b=0

回4

[—2k+b=4

解得，k=_；,b=3

回一次函數的表達式為乂尤+3.

(2)令x=0,貝U%=3

回點8的坐標為(0,3),OB=3

03BOC的面積=^-OB-|xc|=Jx3x2=3.

(3)存在

作OA的垂直平分線交x軸于點D,與直線AB的交點即為點P

回OD=goA=3

即巧,=3

1cc3

回力=--x3+3=—

3

回點尸的坐標為（3,-）.

【點睛】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質是解題的

關鍵.

考點二由面積求一次函數表達式

例題：（2022?全國?八年級）直線/經過點4（2,2）,且與y軸交于點B,若0AoB的面積為1,則直線/的

解析式為.

13

【答案”亍+1或

【分析】過A作/⑦四軸于O,求出A。，根據三角形的面積公式求出OB,得出2的坐標，代入一次函數

解析式得出方程組，求出即可（注意有兩個解）.

【詳解】解：如圖，過A作ADffly軸于

團點A的坐標為（2,2）,

EAD=2,

EEAOB的面積為1,

0^OBxAD=l,

*02x2=1,

OB=\,

OB點的坐標是(0,1)或(0,-1),

[2=2k+b

①當8(0,1)時，把4、B的坐標代入丁=丘+6得：，，,

\l=b

解得：k=5,b=l,

(2=2k+b

②當3(0,-1)時，把A、5的坐標代入》=履+。得：＜17

[_]=力

3

解得：k=—,b=-l.

2

團直線I的解析式為尸或y=T

故答案為y=；x+l或y=-1.

z2

【點睛】本題考查了求一次函數的解析式，三角形的面積，解二元一次方程組等知識點，解題的關鍵是能

求出符合條件的所有情況.

【變式訓練】

I.(2022,河南?清豐鞏營鄉二中八年級期末)已知一次函數、=丘+優左片0)的圖象經過點A(3,0),與＞軸交

于點B,O為坐標原點.若0AOB的面積為6,則該一次函數的解析式為.

44

【答案】y=-§尤-4或y=§x+4

【分析】分兩種情況：當點2在y軸正半軸時，當點3在〉軸負半軸時，然后利用待定系數法進行計算即可

解答.

【詳解】解：一點43,0),

/.OA=3,

AAO3的面積為6,

???-OAOB=6,

2

—x3-OB=6,

2

..OB=4,

.項0,4)或(0,-4),

將A(3,0),5(0,4)代入y=履+6(kwO)得:

3k+b=0

,解得:

0=4

Z?=4

4

1?一次函數的解析式為：y=--x+4,

將A(3,0),3(0,-4)代入>="+雙左。0)得:

3k+b=0

b=Y'解得：3,

/?=-4

4

???一次函數的解析式為：y=-x-4,

...........44

綜上所述：一次函數的解析式為：y=-§x+4或y=§x-4,

44

故答案為：y=_§x+4或y=§尤-4.

【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數的性質，一次函數圖象上點的坐標特征，分

兩種情況討論是解題的關鍵.

2.（2022,廣東?廣州市第二中學九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中擺放16個邊長為1的正方形,

直線/：y=依將這16個正方形分成面積相等的兩部分，則上的值是.

【答案】-

【分析】設直線/：y=質與正方形的上邊緣交點為A,作/軸于2,再利用三角形的面積求解A的坐標,

再利用待定系數法求解函數解析式即可.

【詳解】解：設直線/：y=近與正方形的上邊緣交點為A,作軸于B,

016個邊長為1的正方形面積為16,

mAOB的面積為8-4+1=5,

團08=4,

5

0A3=5x2+4=一,

2

SA（-,4）,

2

即4=—k,

2

Q

解得左=￡,

Q

故答案為：—.

【點睛】本題考查的是坐標與圖形，利用待定系數法求解正比例函數的解析式，求解A的坐標是解本題的

關鍵.

3.（2022?安徽?定遠縣第一初級中學八年級階段練習）定義：在函數中，我們把關于x的一次函數'=〃箕+〃

與＞=加+機稱為一組對稱函數，例如＞=-2尤+3與y=3x—2是一組對稱函數.請完成下列問題：

（1）一次函數＞=-6x+4的對稱函數在〉軸上的截距為_；

（2）若一次函數y=-履+6（左＞0）的對稱函數與x軸交于點A,與＞軸交于點B,且三角形的面積為12,

則k的值為

【答案】-612

【分析】（1）先根據對稱函數的定義寫出一次函數y=-6x+4的對稱函數的解析式，再令x=o,求出對應

的y值即可；

（2）先求出y=-辰+6（左＞0）的對稱函數，再求出04,03的長度，利用三角形面積公式列出等式，即可求

解.

【詳解】解：（1）根據對稱函數的定義，

可知一次函數y=-6x+4的對稱函數是y=4x-6,

當x=0時，y=-6,

???一次函數y=4x-6在y軸上的截距為—6,

故答案為：-6；

（2）根據對稱函數的定義，

可知一次函數y=-丘+6（左＞0）的對稱函數為y=6%-左,

當％=0時，y=-k,

.??點5坐標為Q-幻,

左＞0,

OB=k,

k

當y=0時，X=-,

6

???點A坐標為0

°A=I

；三角形AQB的面積為12,

解得上=12或Z=—12（舍）,

故答案為：12.

【點睛】本題考查一次函數與坐標軸的交點問題，難度不大，解題的關鍵是理解題目中對稱函數的概念.

4.（2022?上海外國語大學蘇河灣實驗中學八年級期中）已知一次函數的圖像與直線y=2x+l平行，且它的

圖像與x軸、y軸所圍成的三角形面積為9,求一次函數的解析式.

【答案】y=2x+6或y=2x-6.

【分析】根據一次函數的圖象與直線y=2x+l平行，設一次函數的解析式為產2%+匕，結合題意，利用三角形

面積為9列出方程求解即可.

【詳解】解：回一次函數的圖象與直線y=2x+l平行

回設一次函數的解析式為y=2x+b,

當x=0時，y=b；

b

當y=0時，x=--；

__b

團與坐標軸的父點坐標分別為（0,。），（-萬，0）

回函數圖象與X軸、y軸所圍成的三角形面積為9,

回gx|b|x=9,

解得b=6或b=-6,

團一次函數的解析式為y=2x+6或y=2x-6.

【點睛】題目主要考查一次函數的綜合問題及利用平方根解方程，理解題意，熟練掌握運用一次函數的性

質是解題關鍵.

5.(2022?河北?石家莊市第二十二中學八年級階段練習)已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數

y=Tx+8的圖象分別與x、y軸交于點A、B,點尸在無軸的負半軸上，4AB尸的面積為12.若一次函數尸質+》

的圖象經過點P和點3求這個一次函數>=辰+6表達式.

【答案】y=8x+8

【分析】對于一次函數V=-4x+8,分別令y與x為0求出x與y的值，確定出A與B坐標，根據三角形皿

面積求出AP的長，確定出P坐標，將尸與8坐標代入求出左與6的值，即可確定出一次函數解析式.

【詳解】解：對于一次函數y=Tx+8,

令y=0,得x=2,r.A點坐標為(2,0)

令x=0,得y=8,點坐標為(0,8),

^&APB=12,

|.AP-8=12,即AP=3,

點的坐標分別為4(T，0)或2(5,。)，

,.點尸在無軸的負半軸上，

P(T0),

一次函數y=^+6的圖象經過點尸和點B,

-k+b=O

.??將P與8坐標代入得:

b=8

???這個一次函數y=kx+b的表達式為y=8%+8.

【點睛】此題考查了待定系數法求一次函數解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵.

6.(2022?廣東廣州?八年級期末)如圖，過點A(1,0)的兩條直線4，4分別交y軸于點8，C,其中點8

在原點上方，點C在原點下方，已知ABuJTS'.

⑴求點B的坐標；

⑵若0ABe的面積是3,求直線的解析式.

【答案】⑴(0,3)

⑵產3L3

【分析】(1)先根據勾股定理求得線段8。的長，再寫出點2的坐標；

(2)先根據0ABC的面積為3,求得線段CO的長，再根據點4、C的坐標，用待定系數法求得直線L的解

析式.

(1)

解：回點A坐標為(1,0),

0AO=1,

又朋3=&5,

團3。=-JAB2-AO2=3,

團點3在原點上方，

回點2的坐標為(0,3)；

(2)

解：團0ABe的面積為3,

團;BCgAO=3,

0—BCxl=3,即3c=6,

2

回2。=3,

0CO=3,

團點C坐標為（0,—3）,

設h的解析式為y-kx+b（k^Q）,

6=-3

則

k+b=Q'

k=3

解得

b=-3J

回直線h的解析式為y=3x—3.

【點睛】本題主要考查了勾股定理求點的坐標和待定系數法求一次函數表達式，解題的關鍵是利用勾股定

理和三角形面積公式求出點的坐標及待定系數法.

7.（2022.福建省福州格致中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點。的坐標為（8,0）,直

線/與x軸，y軸分別交于A（10,0）,B（0,10）兩點，點尸（x,y）是第一象限直線/上的動點.

⑴求直線/的解析式;

⑵設AP。。的面積為S,求S關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍;

⑶當AP。。的面積等于20時，在y軸上是否存在一點C,使國CPO=22.5。，若存在，請求點C的坐標；若

不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=-x+10

(2)5=-4x+40(0<x<10)

(3)存在，點C的坐標為(0,10-50)

【分析】⑴設直線的解析式為方履+6,把A(10,0),B(0,10)兩點代入解方程組即可.

(2)根據題意點P(x,y)可變形為P(尤，-x+10),根據5=；。。?%計算即可.

(3)過點尸作PL也軸，垂足為作尸C平分SDPO,交y軸于點C,作過點C作CE3OP,垂足為利

用勾股定理，等腰直角三角形的性質計算即可.

⑴

設直線的解析式為y=fcc+6,把A(10,0),B(0,10)兩點代入，得

110左+6=0

|Z?=10

回直線/的解析式為y=f+io.

⑵

回點尸是直線y=-x+io的點，

0P(x,-X+1O),

0S=；OQ?yp=；x8x(-x+10)=-4A+40(0<X<10).

(3)

團s=-4x+40=20,

解得m5,y=5,

故點P(5,5),

回過點P作尸。也軸，垂足為。，

貝1」尸。=。。=5,EDPO=EDOP=45O,PO=^52+52=542-

作尸C平分回QPO,交y軸于點C,

則EICPO=22.5°,

回過點C作C￡0OP,垂足為E,

則DC=CE,由PC=PC,得△POCEEPEC,

0PD=PE=5,

EE￡>OP=45°,C￡0OP,

SCE=OE=PO-PE=5-\/2—5，

0CO=V2CE=72（572-5）=10-572,

故點C的坐標為（0,10-5五）.

【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，勾股定理，三角形全等，等腰直角三角形的判定和性質，熟練

掌握待定系數法，靈活運用勾股定理和等腰直角三角形的性質是解題的關鍵.

考點三一次函數中動點類面積問題

例題：（2022?安徽?淮北一中八年級階段練習）如圖，在長方形ABCD中，AB=3,BCM,動點尸從點A開

始按A35fCfO的方向以每秒1個單位的速度運動到點。.設動點P運動的時間為/秒，三角形APD的

面積為S.（當點尸與點A或。重合時，v=0）

B

⑴寫出S與r之間的函數表達式;

（2）在圖2中畫出此函數的圖象;

S

5

4

3

2

1

~O1234567891011t

⑶根據圖象，點P運動多少時間三角形APD的面積為4?

2r(O<r<3)

【答案】（1）S=6（3<f<7）

-2r+20(7<r<10)

⑵見解析

（3）由圖象知點尸運動時間為2秒或8秒，的面積為4.

【分析】（1）分點P在AB上，點尸在BC上，點尸在OC上三種情況，根據三角形面積公式表示即可;

(2)先列表，再畫出三段圖象即可;

(3)代入關系式計算即可.

(1)

當0W/<3時，點尸在A3上.

S=-ADxAP=-x4t=2.t；

22

當33<7肘，點尸在8C上，

S=-ADxAB=-x4x3=6■

22

當74f<10時，點P在。C上.

S=^ADxDP=^x4x(10-t)=-2t+20.

2/(0<f<3)

所以S與1之時的函數表達式為5=6(3<?<7)

-2什20(74/410)

描點、連線得到如圖所示的函數圖象

(3)

當S=4時，2f=4,

解得Z=2；

-2z+20=4,

解得r=8.

所以點P運動時間為2秒或8秒，△APD的面積為4.

【點睛】本題主要考查了求一次函數關系式，畫分段函數圖像等，分情況討論是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022?全國?八年級課時練習）如圖，直線丫="-3與x軸、y軸分別交于點8與點A,OB=~OA,點C

是直線AB上的一點，且位于第二象限，當回OBC的面積為3時，點C的坐標為.

V

【答案】（一3,6）

【分析】過點C作CHW軸于點”，由題意易得05=1,04=3,然后根據回03c的面積可得點C的縱坐標,

進而問題可求解.

【詳解】解:過點C作CHHx軸于點H,如圖所示：

團直線了=履-3與x軸、y軸分別交于點3與點A,

回令x=0時，則有y=-3,即。4=3,

SOB=-OA,

3

團08=1,即3（-1,0）,代入直線解析式得：0=-后-3,解得：上=一3；

13直線AB的解析式為y=-3x-3,

回回。BC的面積為3,

^-OBCH=3,

2

旦CH=6,即點C的縱坐標為6,

回―3x—3=6,解得：x=—3,

0C(-3,6).

故答案為(-3,6).

【點睛】本題主要考查一次函數與幾何的綜合，熟練掌握利用待定系數法求函數解析式是解題的關鍵.

2.(2022?河南?三門峽市實驗中學八年級階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸，y軸

分別交于A,B兩點，點C(2,㈤為直線y=x+2上一點，直線y=-x+〃過點C.

⑴求加和6的值；

(2)直線y=-x+b與x軸交于點。，動點尸從點。開始以每秒1個單位的速度向x軸負方向運動(點尸不與

點。，點A重合).設點尸的運動時間為r秒.

①若點尸在線段D4上，且AACP的面積為10,求r的值；

②是否存在/的值，使AACP為等腰三角形？若存在，直接寫出r的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴"2=4,b-6

⑵①7=3；②存在，的值，使AACP為等腰三角形，「的值為8-40或8+40或4

【分析】(1)將點C(2,㈤代入y=x+2,求出機的值，再將確定的點C代入y=r+b中，即可求6的值；

(2)①由題意可知尸點的坐標為(6t,0),則AP=8T,再由%s=；x(8T)x4=l。，求出/的值即可；

②由①分別求出AC=4"AP=|8-/|,CP=J(4T)2+16,再根據等腰三角形的邊的關系分三種情況建

立方程，求出f的值即可.

【詳解】(1)解：將點。(2,㈤代入y=x+2,

0m=4,

團直線y=r過點C,

團—2+Z?=4,

角軍得b=6；

(2)解：①勖=6,

El直線解析式為y=-x+6,

00(6,0),

直線y=x+2與x軸交點A為(-2,0),與y軸交點夙0,2),

由題意可知P點的坐標為(6-，0),

回AP=6—f+2=8—t,

團^&ACP=萬x(8—1)x4=10,

解得r=3；

②存在/的值，使AACP為等腰三角形，理由如下：

她(-2,0),C(2,4),尸(6一,0),

EIAC=4倉AP^8-t\,CP=&4-疔+16,

當AC=AP時，40=|87|,

解得1=8-4后或/=8+4>/^;

當AC=CP時，472=7(4-f)2+16,

解得f=0(舍)或f=8(舍)；

當CP=AP時，18Tz(I)?+16，

解得r=4；

綜上所述：/的值為8-4夜或8+4應或4.

【點睛】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，分類討

論是解題的關鍵.

3.(2022?河北?原競秀學校七年級期中)已知：如圖1,線段AB=14aw,346的頂點P從點A出發沿折

線403運動時，346的面積隨著點尸運動路程的變化，發生了變化.圖2表示這種變化規律.

⑴在尸點運動5cm時，△RW的面積為cm2；當P點運動路程為的時，ARAB的面積最大為

cm2；

(2)求圖1中線段AO、OB的長，以及。到AB的距離；

⑶直接寫出a的值為.

【答案】⑴28,15,84

⑵。4=15的，0B=13cm,點。到AB的距離為12cm

(3)21.5

【分析】(1)根據圖2所示即可得出.

(2)根據三角形面積公式求解即可.

(3)求出一次函數解析式，進而即可求解.

(1)

當在尸點運動5。"時，根據圖2可得回物B的面積為28c療，當P點運動路程為150”時，SB4B的面積最

大為84c療；

故答案為：28,15,84；

(2)

由題意得，AO=15cm,08=28-15=13"：,

設。到AB的距離為貝U；*14〃=84,解得〃=12,

00到AB的距離為12cm；

(3)

解：設一次函數為y=Ax+Zb

把(15,84),(28,0)代入一次函數函數可得，

J15左+b=84

|28上+6=0

一

13

解得＜

2352

b=

13

842352

團y二-—x+------

1313

當產42時,解得:a=21.5

【點睛】此題考查了動點與函數圖像，一次函數的性質，解題的關鍵是把圖看懂，得出需要的信息，求出

一次函數解析式.

4.(2022?山東濟寧?八年級期末)將直角坐標系中一次函數的圖像與坐標軸圍成的三角形，叫做此一次函數

的坐標三角形(也稱為直線的坐標三角形).如圖，一次函數"依-7的圖像與x、y軸分別交于點A、B,那

么：ABO為此一次函數的坐標三角形(也稱為直線AB的坐標三角形).

⑴如果點C在x軸上，將二ABC沿著直線AB翻折，使點C落在點2(0,18)上，求直線8C的坐標三角形的

面積；

(2)如果一次函數廣履-7的坐標三角形的周長是21,求左值；

(3)在(1)(2)條件下，如果點E的坐標是(0,8),直線上有一點P,使得周長最小，求此時

的面積.

【答案】(1)84；

4

(2)^=--;

(3)112.

【分析】(1)先求出點B坐標，繼而可得03,由翻折性質可得：BC=BD=25,根據勾股定理可得OC的長，

根據三角形面積公式即可求解；

21

(2)設。4=x,AB=14-x,在用AAOB中，由勾股定理可得。4的長，從而得到點A坐標，將點A(,

4

0)代入戶區-7可得人的值；

(3)連接CE交43于點P,由軸對稱的性質可得當點P、C、E在一條直線上時，ADPE的周長最小，將

直線A3和直線CE的解析式聯立可得點尸，繼而利用分割法求出PBC的面積.

(1)

團將x=0代入V=后一7,得：y=-7,

田點B(0,-7),

回。3=7,

又回點。(0,18),即0。=18,

回BD=03+0/)=7+18=25,

由翻折的性質可得：BC=BD=25,

在R他30C中，由勾股定理可得：oc=1BC。-08?=儂2-72=24，

回直線BC的坐標三角形的面積為：10C.0B=1x24x7=84；

(2)

設Q4=x,AB=14-x,

El在RtZXAOB中，由勾股定理可得：AB2=O^+OB2,BP(14-x)2=x2+72,

21

解得：x=下，

4

21

團點A(一--,0),

4

2121

團將點A0)代入丁二履一7,得：—二%—7=0,

44

4

回左7二—；

3

(3)

如圖，連接CE交A3于點尸，

團點。與點。關于直線AB對稱,

⑦PC=PD,

”C+PE=PD+PE,

團當點P、。、石在一條直線上時，PC+尸石有最小值,

又現汨的長度不變,

團當點尸、C、石在一條直線上時，△。心的周長最小,

設直線CE的解析式，=丘+),

0=-24k+b

將點C(-24,0)、E(0,8)代入上式，得:

8=。

k=—

解得：3,

b=8

回直線CE的解析式y=；x+8,

y=-x+8

3x=-9

聯立解得:

4-

y=——x-7,y=5

3

回點尸(-9,5),

八

0SArPrRilC,=S/\<C>Rf>FP.—/\PirRirF,=-x15x24—x15x9=112.

【點睛】本題考查一次函數的綜合運用，涉及到翻折的性質、勾股定理、待定系數法求解析式、方程組與

交點坐標、軸對稱路徑最短等知識點，解題的關鍵是求得各直線解析式，明確當點尸、C、￡在一條直線上

時，AOPE的周長最小.

考點四一次函數中與面積有關的存在性問題

例題：（2021?重慶八中八年級期中）如圖，直線，J=X+4與x軸交于點3,與y軸交于點A,直線4與天軸

交于點C,與y軸交于點。，與直線（交于點￡（—2,2）,AO=2OD.

（1）求直線CD的解析式；

3

（2）直線上是否存在點Q,使得SMCLASMCE?若存在，求出點。的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=-2x-2；（2）Q（l,5）或Q（-5,-1）

【分析】（D先求出A點坐標，利用AO=2O。求出。點坐標，結合E點坐標求出解析式即可;

3

（2）設。（m,m+4）,求出&QC。和S/CE再由入℃。=萬3祿口求出機的值即可；

【詳解】解：（1）4：y=x+4,

當x=0時，y=4,

財(0,4)

回OA=4,

MO=20。

國0。二2

回。(0,-2)

設直線CD的解析式為y=ax+b

將￡(一2,2),D(0,-2)代入得:

2=-2a+b

-2=b

[a=—2

回

\b=-2

團直線CD的解析式為y=-2x-2

(2).直線CO的解析式為y=-2x-2

2

令y=。，解得4-1,則左=-1

設Q(m,m+4),

+4

過。作尸。〃龍軸交4于點尸，貝1

m+4+lx2=||3m+6|

LQCr>=gXB_尤/X僅J=：Xm-\---------

2

SzBC￡=1-x|xB-xc|x|y￡|=lx|-4-(-l)|x2=3

3

團S^QCD=萬S^BCE

I3Q

團一|3m+6|=.x3=_

212122

回3加+6=9或3m+6=—9

0m=1或m=-5

團。(1,5)或0(-5,-1)

【點睛】本題主要考查了一次函數綜合題的知識，此題涉及到求一次函數解析式、兩直線交點問題，三角

形的面積等知識.

【變式訓練】

3

1.(2022,廣東?佛山市順德區北洛鎮碧江中學八年級期中)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數＞尤+12

4

與兩坐標軸分別交于A,B兩點，OM^AB,垂足為點M.

⑴求點A,B的坐標；

⑵求的長；

⑶存在直線48上的點N,使得S^OAN,請求出所有符合條件的點N的坐標.

【答案】⑴A(16,0),5(0,12)；

(2)OM=9.6；

(3)N(8,6)或(24,-6).

【分析】(1)利用坐標軸上點的特點直接得出點43坐標;

(2)利用三角形的面積的計算即可求出OM；

(3)設出點N的坐標，利用三角形的面積列方程求解即可.

【詳解】(1)解:令x=0,

團y=12,

蛇(0」2),

令y=0,

3

團——x+12=0,

4

0x=16,

SA(16,0)；

(2)解：由(1)知，A(16,0),B(0,12),

回。4=16,05=12,

=-OAxOB=96,AB=V162+122=20,

△UAo2

^\OM±AB9

0S.=—ABxOM=—x20xOM=96,

ZACnZA/1DR22

團ON=9.6；

(3)解：由(2)知，S^0AB=96,ft4=16,

團直線AB上的點N,

3

團設N(m,——m+12),

4

團S小OAN=2S40AB,

團S^OAN=耳OAx.|yN|=-x16x|yN|=8x|yN|=-x96=48,

3

08x|一一機+12|=48,

4

團根=8或機=24,

回N(8,6)或(24,-6).

【點睛】此題是一次函數綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，三角形的面積公式，絕對值方程的求解，

列出方程是解本題的關鍵，是一道比較簡單的基礎題目.

2.(2021?河南安陽?八年級期末)直線AB：y=-x+b分別與x,y軸交于A,8兩點，已知點A(6,0),過

點3的直線交x軸負半軸于點C,且。氏OC=3：1.

(1)求直線BC的解析式；

(2)在直線BC上是否存在點。(點。不與點C重合)，使得若存在，求出點。的坐標；

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)>=3尤+6；(2)存在，D(2,12).

【分析】(1)把A(6,0)代入y=-x+6中即可求解，然后求出2的坐標，根據OB：OC得到C點坐標,

然后用待定系數法求出BC的解析式；

(2)根據兩個三角形同高，因此只需要令兩個三角形的面積就相等，然后根據2為CZ)的中點，

即可求出。的坐標.

【詳解】解：(1)把A(6,0)代入y=-x+b得到0=-6+b,

勖=6,

團直線A3的解析式是：y=-x+6,

團3(0,6),

團05=6,

國OB：OC=3：1,

團OC=2,

團。(-2,0),

設8。的解析式是y=〃x+6,把C(-2,0)代入得a=3,

回直線BC的解析式是：y=3x+6.

(2)存在，理由是：

設D(m,3m+6),

此A2D=S4ABC,

SBC=BD,

as為co的中點

E1C(-2,0),B(0,6),

麗=2,

團0(2,12).

【點睛】本題主要考查了待定系數法求一次函數解析式，兩點之間中點的坐標公式，三角形面積，解題的

關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

3.(2022?上海?八年級開學考試)如圖，在平面直角坐標系中，點C(T,0),點分別在x軸，y軸的正半

軸上，且滿足08=2,04=1.

(1)求點A8的坐標及直線AB的解析式；

(2)在x軸上是否存在點。，使以點3、C、。為頂點的三角形的面積5.8=：5卻^?若存在，請寫出點。

的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)A(1,0),8(0,2),y=-2x+2.(2)存在，1|，°［或［-￡，(

【分析】(1)由。5=2,。4=1,可得到點A、B的坐標，然后根據待定系數法即可求得直線AB的解析式;

(2)先求得0ABe的面積，然后根據SABC?=TSAABC得到關于x的方程，解方程求得x的值，即可求得。的

坐標.

【詳解】解：(1)08=2,04=1,

A的坐標為(1,0),8的坐標為(0,2),

設的解析式為>=履+2,

將A坐標代入得0=k+2,

/.k=—2,

y——2JV+2；

(2)存在，

設點D坐標為(無,0),

A的坐標為(1,0),B的坐標為(0,2),點C(T0),

AC=5,

SAABC=-X5X2=5,

53京皿

；.S…\cD.OB=[,Spl|x-(-4)|x2=|,

?小+4|=T,

3

二。的坐標為，。或

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質，待定系數法求一次函數的解析式，三角形面積公式以及一元

一次方程的應用，解題的關鍵是根據三角形面積公式列出方程.

4.(2021?廣東?深圳市高級中學八年級期中)已知直線心y=mx-3m(m^O)與％軸、y軸分別交于A、B

(2)在(1)的條件下，直線上是否存在點尸使得SA.B=S若存在，求出點尸坐標；若不存在，說

明理由.

(3)當相為何值時，AABC為等腰三角形？請直接寫出機的值.

3Q41

【答案】(1)A(3,0)、B(0,-4)；(2)存在，點尸坐標為(5,2