專題04難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動(dòng)態(tài)問題

聚焦考點(diǎn)

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題

類型二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長及最值問題

類型三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題

:典型例題:

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題

例題：（2021?山東臨沂?八年級(jí)期中）如圖，C4_LAB,垂足為點(diǎn)A,射線垂足為點(diǎn)B,AB=12cm,

AC=6cm.動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。在射線8M上，隨著￡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)

動(dòng)，始終保持￡E>=CB.若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為①>0）,則當(dāng)t=個(gè)秒時(shí)，ADEB與V8C4全等.

【解析】

【分析】

分兩種情況：①當(dāng)E在線段上時(shí)，②當(dāng)E在上，再分別分成兩種情況AC=BE,AB=BE進(jìn)行計(jì)算即

可.

【詳解】

解：①當(dāng)E在線段A2上，AC=BE5i,AACB*BED

???AC=6,

BE=6,

AE=12-6=6,

.??點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6+3=2（秒）.

②當(dāng)E在BN上，AC=2E時(shí)，AACB="BED

AC=6,

BE=6,

/.AE=12+6=18.

???點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為18+3=6（秒）.

③當(dāng)E在BN上，A3=8E時(shí)，AACB*BDE

：.AE=12+12=24.

，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為24+3=8（秒）

④當(dāng)E在線段上，時(shí)，AACB三ABDE這時(shí)E在A點(diǎn)未動(dòng)，因此時(shí)間為0秒不符合題意.

故答案為：2或6或8.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,ASA.44S、HL.注意:

AA4、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，

角必須是兩邊的夾角.

【變式訓(xùn)練】（2021?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在長方形A8CO中，48=6,40=10延長BC到點(diǎn)

E,使CE=4,連接DE,動(dòng)點(diǎn)廠從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿3C-CO-D4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，

設(shè)點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)，的值為時(shí)，入鉆產(chǎn)和AOCE全等.

【答案】2或11

【解析】

【分析】

分兩種情況討論，根據(jù)題意得出BF=2t=4和AF=26-2/=4即可求得答案.

【詳解】

解：???ADCE為直角三角形，

且AB=DC,

...當(dāng)AAB廠烏AOCE時(shí)，

有BF=2t=CE=4,

解得：t=2；

當(dāng)△應(yīng)!/四AOCE時(shí),

有AF=CE=4,

止匕時(shí)詼=BC、CD+DA—2t=10+6+10-2t=26-2t=4,

解得：t=ll,

故答案為：2或11.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定，注意到AOCE為直角三角形，S.AB=DC,故只有BF=2u4和AP=26-2/=4兩

種情況.

類型二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長及最值問題

例題：（2019?江蘇?宜興市周鐵中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，ZB=90°AB//DF,AB^cm,BD=8cm,

點(diǎn)C是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是直線DF上一動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AC±CE,若AC=CE，則DE的長為.

【答案】5

【解析】

【分析】

根據(jù)全等得出對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出答案.

【詳解】

解:VZB=90°,AB//DF,

：.ZD=ZB=90°,

'：AC±CE,

：.ZACE=90°,

：.ZECD+ZCED=90°,ZACB+ZECD=90°,

NACB=/CED；

.?.在△ABC和△COE中

/ACB=/CED

<NB=ND

AC=CE

：.AABC^ACDE(A4S),

:.AB=CD=3cm,

DE=BC=8cm-3cm=5cm

故答案為5.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2020?江蘇?泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)階段練習(xí))如圖，"BC中，點(diǎn)。在邊BC上，DELABE,DH

_LAC于H,且滿足/為AE的中點(diǎn)，G為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，滿足DG=OF,若AE=4cm,貝UAG=

【解析】

【詳解】

?：DE±AB,DHLAC,

：.ZAED=ZAHE=90°.

在△AOE和ZiADH■中，

,/AD=AD,DE=DH,：.△ADEZAADH(H￡),

.'.AH=AE-^cm.

?.?/為AE的中點(diǎn)，；.AF=EF=2cm.

在和△GO"中，

DF=DG,DE=DH,：.4FDE出△GDH(HL),

：.GH=EF=2cm.

當(dāng)點(diǎn)G在線段AH上時(shí)，AG=AH-GH=^-2=2cm;

當(dāng)點(diǎn)G在線段HC上時(shí)，AG=AH+GH=4+2=6cm-

故AG的長為2或6.

2.(2021.重慶八中八年級(jí)開學(xué)考試)如圖，在必aABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=1Q,A。平分/

CAB交BC于。點(diǎn)，E,尸分別是A。，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為.

24

【答案】y

【解析】

【分析】

在A8上取點(diǎn)巴使A尸=A凡過點(diǎn)C作SLAB,垂足為H.因?yàn)镋F+CE=EF+EC,推出當(dāng)C、E、尸共線,

且點(diǎn)F與H重合時(shí)，F(xiàn)E+EC的值最小.

【詳解】

解：如圖所示：在上取點(diǎn)/，^AF'=AF,過點(diǎn)C作CHLA2,垂足為"

平分NC4B,

NCAD=/BAD,

又AE=AE,

.".△AEF^AAEF(SAS),

：.FE=EF',

SABC=-AB-CH=~AC-BC,

A22

AC?BC24

???CH=

AB5

?:EF+CE=EF'+EC,

???當(dāng)C、E、9共線，且點(diǎn)尸與“重合時(shí)，/E+EC的值最小，最小值為彳，

24

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，明確當(dāng)C、E、

尸共線，且點(diǎn)尸與點(diǎn)”重合時(shí)，CE+EB的值最小.

類型三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題

例題：(2022.遼寧葫蘆島.八年級(jí)期末)如圖，在AABC中，ZBAC=90。,A3=AC.點(diǎn)。是直線上一動(dòng)

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上時(shí)，直接寫出8C8與CE之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在邊BC的延長線上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CD與CE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(3)如圖3,若點(diǎn)。在邊CB的延長線上，且點(diǎn)A,E分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若CD=10,3C=6,

直接寫出CE的長度.

【答案】(1)CE+CZ)=BC,證明見解析

⑵CE=BC+CD,證明見解析

(3)CE=4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)條件AB=AC,ZBAC=90°,AD=AE,ND4E=90。，判定(SAS),即可得出8。和

CE之間的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到CE+CD=BC；

(2)根據(jù)已知條件，判定△ABDgZ\ACE(SAS),得出BD=CE,再根據(jù)80=8。+。，即可得到CE=BC+CD；

(3)根據(jù)條件判定AAB。0△ACE(SAS),得出BD=CE,即可解決問題.

(1)

解：如圖1,

圖1

"?ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在“BD和ZkACE中，＜/BAD=ZCAE,

AD=AE

二.△ABD咨AACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BC=BD+CD=CE+CD,

(2)

線段BC,CD與CE之間存在的數(shù)量關(guān)系為BC=CE-CD.

理由：如圖2中，由(1)同理可得，

圖2

ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即ZBAD=ZCAE,

AB=AC

：.在"2。和AACE中，＜/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BD=BC+CD,即CE=BC+CD.

(3)

如圖3,

圖3

由（1）同理可得，"：ZBAC=ZDAE=90°,

：.ABAC-ABAE=ZDAE-ZBAE,即/BAD=NEAC,

同理，bABD"XACE（SAS）,

：.BD=CE,

?：CD=10,BC=6,

：.DB=DC-BC=4,

：.CE=4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì).解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三

角形全等.解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.

【變式訓(xùn)練】（2022?遼寧葫蘆島?八年級(jí)期末）如圖①，點(diǎn)C在線段A8上（點(diǎn)C不與A,8重合），分別以

AC,8c為邊在AB同側(cè)作等邊及4。和等邊ABCE,連接AE,80交于點(diǎn)P.

(1)觀察猜想：

1.AE與BD的數(shù)量關(guān)系為；

2./APD的度數(shù)為；

(2)數(shù)學(xué)思考：

如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在線段外時(shí)，(1)中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)

你寫出正確結(jié)論再給予證明.

【答案】⑴①AE=BD；②60。

(2)上述結(jié)論成立.ZAPD=60°,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件只要證明ADCB且ZWCE,即可證明出AE于的數(shù)量關(guān)系，以及NAPD的角度；

(2)根據(jù)△AC。，ABCE均為等邊三角形，可知=AC,BC=EC,ZDCA=ZBCE=60°,進(jìn)而可知/OCA

+ZACB=ZACB+ZBCE,即NDCB=NACE,從而可證ADCB絲ZVICE(S4S),貝UNCDB=

/CAE,根據(jù)NDCA=NOB4=60°可證NAP￡)=60°.

(1)

解：,..△AC。和ACBE都是等邊三角形，

：.AC=DC,CE=CB,ZACD=ZECB=60°,

'：ZACE=ZACD+ZDCE,ZDCB=ZDCE+ZECB,

：.ZDCB=ZACE,

：.ADCB^AACE,

：.AE=BD,ZBDC=ZCAE,

ZDOP=ZCOA,

：.ZAPD=ZACD=60°,

故答案是：AE=BD,60°；

E

⑵

上述結(jié)論成立，

VAACD,ABCE均為等邊三角形，

：.DC=AC,BC=EC,ZDCA=ZBCE^60°,

：.ZDCA+ZACB=ZACB+ZBCE,即ZDCB=ZACE,

DC^AC

在AOCB和AACE中，＜NDCB=NACE,

CB=CE

：.ADCB^AACE（SAS）,

：.DB=AE,

ZCDB=ZCAE,

如圖，設(shè)8。與AC交于點(diǎn)0,易知/。（^7=/4。尸（對(duì)頂角相等）,

ZCDB+ZDCA=ZCAE+ZDPA,

：.ZDCA^ZDIU^60°,即NAPD=60°.

圖2

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解決本

題的關(guān)鍵.

i課后訓(xùn)練j

一、填空題

1.（2022?江蘇?景山中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，CA±BC,垂足為C,AC=2cm,BC=6cm,射線

垂足為8,動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度沿射線CQ運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為射線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足尸N=AB,

隨著尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，ABG4與APBN全等.

【答案】。或2或4或6

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可分點(diǎn)尸在點(diǎn)8的左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行分類求解即可.

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，由題意得：CP=2tcm,

①當(dāng)U0時(shí)，即點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，滿足AACB咨ANBP,

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，且滿足AC=8P=2t7",

<?,PN=AB,

:.AACB'PBN（HL）,

CP=2tcm,

BP=（6-2f）cm,即6-2/=2,

解得：f=2；

③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，且滿足AC=BP=2cm,貝隈ACB絲APBN,

BP=（2f-6）cm,gp2t-6=2,

解得：r=4；

④當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，且滿足BC=2P=6cm,貝IJAACB也AA?P,

/.BP—（2t—6）cm,即2f—6=6,

解得：f=6；

綜上所述：當(dāng)f=2或。或4或6秒時(shí)，ABG4與APBN全等.

故答案為。或2或4或6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?貴州?北京市日壇中學(xué)貴陽分校七年級(jí)期中）如圖，B,C都是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)A是直線上

方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接河,4。得到^45。，D,E分別為ACAB上的點(diǎn)，且仞=5E>,AE=3C,OE=￡）C.當(dāng)

線段AC與BC具有的位置關(guān)系時(shí)滿足DELAB.

【答案】AC1BC

【解析】

【分析】

利用“SSS”證明4AED和&BCD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得ZAED=ZC,再根據(jù)垂直的定義證明

即可.

【詳解】

當(dāng)AC_L8C時(shí)，DE_LAB；

?：AC.LBC,

AZC=90°,

AD=BD

?：在AAED和△BCD中他=BC,

DE=DC

：./\AED^/\BCD（SSS）,

：.ZAED=ZC=90°,

：.DE±AB.

故答案為：ACLBC.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在AASC中，=為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)3、C重合）,

連接AO,作=且AO=AE,連接CE,當(dāng)CE〃AB,N54D=36。時(shí)，NDEC=______度.

【答案】24

【解析】

【分析】

由“&4S”可證A4SD名△ACE,可得NB=NACE,可證AABC是等邊三角形，可得NBAC=ND4E=NAC3=N

ACE=60°,即可求解.

【詳解】

解：VZDAE=ZBAC,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,

即NAW=/C4E,

AB=AC

在"BD和AACE中，/BAD=ZCAE,

AD=AE

；.AABD咨AACE(SAS),

：.ZB=ZACE,

?：CE//AB,

：.ZBAC=ZACE,

：./BAC=NB,

:.AC=BC,

：.△ABC是等邊三角形，

ZBAC=ZDAE=ZACB=ZACE=60°,

：.△以￡是等邊三角形,

，ZA￡D=60°,

ZDEC=180°-36o-60o-60o=24°,

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?廣西?桂林市田家炳中學(xué)八年級(jí)期末）如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD中，E、下分別為AD、

3c的中點(diǎn)，尸為對(duì)角線50上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+EP的最小值的是.

【答案】26

【解析】

【分析】

連接CP,當(dāng)點(diǎn)E,P,C在同一直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】

解：如圖，連接CP,

由AD=C￡）,ZADP=ZCDP=45°,DP=DP,可得母位》尸等（SAS）,

：.AP=CP,

：.AP+PE=CP+PE,

...當(dāng)點(diǎn)E,P,C在同一直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長，

???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CD=AB=4,ZADC=90°,

是AD的中點(diǎn)，

:.ED=2,

由勾股定理得：CE=y/cD2+DE2=742+22=275-

故答案為：2君.

AED

【點(diǎn)睛】

本題考查的是軸對(duì)稱，最短路線問題，根據(jù)題意作出A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C是解答此題的關(guān)鍵.

二、解答題

5.（2020?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在MAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P、。是邊AC、BC上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P￡>_LA8于點(diǎn)。，QELA8于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f秒G>0）.若點(diǎn)尸從C點(diǎn)出發(fā)沿

CA以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)

Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)/為何值時(shí)，AAPD

和△QBE全等.

【答案】2s或4s

【解析】

【分析】

QQ

分兩種情況：①oq<§時(shí)，點(diǎn)P從C到A運(yùn)動(dòng)，則AP=AC-CP=8-36BQ=t,求得t=2,②侖］時(shí)，點(diǎn)P

從A到C運(yùn)動(dòng)，貝i1AP=3f-8,BQ=t,求得U4.

【詳解】

Q

解：①時(shí)，點(diǎn)尸從C到A運(yùn)動(dòng)，則AP=AC-CP=8-3r,BQ=t,

當(dāng)AAOP絲△QBE時(shí)，

則AP=BQ,

HP8-3t=t,解得：t=2,

Q

②侖］時(shí)，點(diǎn)P從A到C運(yùn)動(dòng)，貝1］4尸=3-8,BQ=t,

當(dāng)"OPgZkQBE時(shí)，

貝UAP=BQ,

即3t-8=3

解得：仁4,

綜上所述：當(dāng)r=2s或4s時(shí)，4ADP沿LQBE.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了全等三角形的判定，正確進(jìn)行分類討論，不要漏解以及找到全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等列出方

程是解題的關(guān)鍵.

6.(2020?山東濟(jì)南?七年級(jí)期末)如圖，在AABC中，/AC8=90。，AC=8C=2,點(diǎn)。是射線8c上一動(dòng)點(diǎn)，

(1)如圖(1),若點(diǎn)。在BC的延長線上，且點(diǎn)E在線段上，試猜想AP,CD,8C之間的數(shù)最關(guān)系，

并說明理由；

(2)如圖(2),若點(diǎn)。在線段3c上，試猜想AP,CD,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)BC=AP+CD,理由見解析；(2)AP=BC+CD,理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題意可得根據(jù)“ASA”可證△ACD四△BCP,可得CD=CP,即可求出AP,CD,BC

之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)由題意可得/以根據(jù)“ASA”可證△ACZ^ABCP,可得C￡?=CP,即可求出AP,CD,BC

之間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】

解：⑴BC=AP+CD,

理由如下：VZACB=90°,BELAD,

：.ZD+ZDAC=90°,ZD+ZDBE=90°,

AZDAC=ZDBE,S.ZACB=ZACD,AC=BC,

：.AACD^ABCP(ASA),

：.CD=CP,

"：BC=AC=CP+AP,

：.BC=AP+CD,

(2)AP=BC+CD,

理由如下：；NACB=90。，BE±AD,

：.ZP+ZPAE=90°,ZP+ZPBC=90°,

：.ZPAE=ZPBC,KZACB=ZBCP,AC=BC,

:.AACgABCP(ASA),

：.CD=CP,

'：AP=AC+CP,

：.AP^BC+CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的兩銳角互余，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)解決

問題是本題的關(guān)鍵.

7.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))AWC中，A8=AC,點(diǎn)。是射線C8上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)，

以AD為一邊在4。的右側(cè)作AAOE,使AO=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段上，且N8AC=90。時(shí)，那么NOCE=度；

(2)設(shè)/R4C=a,ZDCE=P.①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上，N8ACR90。時(shí)，請(qǐng)你探究。與用之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段的延長線上，NBACW90。時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整，

寫出此時(shí)a與夕之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

【答案］⑴90

(2)①a+夕=180。，證明見解析；②a=B,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)易證/A4￡)=/。1區(qū)即可證明△BADgZkCAE,可得/ACE=/B,即可解題；(2)易證/54。=/

CAE,即可證明△BAOgZkCAE,可得NACE=NB,根據(jù)N8+/ACB=180。-a即可解題；

(3)易證N&ir>=NCAE,即可證明ABAD之△C4E,可得NACE=/8,根據(jù)NADE+NAED+a=180°,

NCZ)E+/CEr>+/?=180。即可解題.

(1)-：ZBAD+ZDAC^9Q0,/DAC+NCAE=90°,J.ZBAD^ZCAE,在ABA。和ACAE中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,；.△BAZ汪△CAE(SAS),ZACE=ZB,'：ZB+ZACB=90°,：.ZDCE=ZACE+

AD=AE

NACB=90。；故答案為90.

(2)①：/BAZ)+/ZMC=a,ZDAC+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在△BAD和ACAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,.?.△BA。也△C4E(SAS),:./ACE=/B,VZB+ZACB=180°-?,/.ZDCE=Z

AD=AE

ACE+ZACB=180°-?=/?,a+夕=180。；

AB=AC

,：ZBAD+ZBAE=a,ZBAE+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在ABA。和ACAE中，|/2AD=/CAE,

AD=AE

：.^XBAD^/\CAECSAS\：.ZAEC=ZADB,VZADE+ZAED+a=180°,ZCDE+ZCED+/?=180°,

ZCED=ZAEC+ZAED,:.a=fj.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證A2A。0△C4E是解題的

關(guān)鍵.

8.(2022?云南?景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級(jí)期末)如圖1,點(diǎn)P,。分別是等邊AABC邊

AB,8c上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從頂點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度

都相同.

(1)連接A。，CP交于點(diǎn)M則在尸、。運(yùn)動(dòng)的過程中，NCMQ的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若

不變，則求出它的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)P、。在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB,上運(yùn)動(dòng)，直線A。、CP交點(diǎn)、為M,則NCM2的大

小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

【答案】(1)不變；60°

⑵不變；120°

【解析】

【分析】

(1)通過證明絲4P(&4S)得到NBAQ=NACP,再利用三角形外角的性質(zhì)即可求解；

(2)同樣通過證明△AB。絲4P(&1S)得到ZBAQ=ZAW,再利用三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和

的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

(1)

解：⑴點(diǎn)尸、。在運(yùn)動(dòng)的過程中，NCM2不變.

,/AASC是等邊三角形，

/.ZABQ=ZCAP=60°,AB^CA,

又丁點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，

AP=BQ,且NABQ=NOLP,AB^AC,

：.Z\ABQ^Z\CAP(SAS),

NBAQ=ZACP.

,/AQMC=AACP+ZMAC,

：.ZQMC=ZBAQ+ZMAC=ABAC=60°

⑵

點(diǎn)、P、。在運(yùn)動(dòng)的過程中，NCMQ不變.

由（1）可知：AABQ^CAP,

；.ZBAQ=ZACP,

,/ZQMC=ZBAQ+ZAPM,

ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-ZPAC=180°-60°=120°,

...點(diǎn)尸、。在運(yùn)動(dòng)的過程中，NCW不變.

【點(diǎn)睛】

本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，涉及到了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是180。等

知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確找到全等三角形.

9.（2020?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在AABC中，。為的中點(diǎn)，AB=AC=10cm,BC=8cm.動(dòng)點(diǎn)

尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿2c方向以3cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4方向以3cm/s的速

度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts.

（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)C位于線段尸。的垂直平分線上時(shí)，求出『的值；

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)VBPD也VCQP時(shí)，求出,的值;

（3）是否存在某一時(shí)刻，，使ABPD當(dāng)ACPQ?若存在，求出?的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4

【答案】（1）t==時(shí)，點(diǎn)C位于線段尸。的垂直平分線上；（2）-1；（3）不存在，理由見解析.

3

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意求出BP,CQ,結(jié)合圖形用含f的代數(shù)式表示CP的長度，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到

CP=CQ,列式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算；

(3)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算，判斷即可.

【詳解】

解：(1)由題意得BP=CQ=3r,

貝UC48-3f,

當(dāng)點(diǎn)C位于線段P。的垂直平分線上時(shí)，CP=CQ,

8—3/—3t,

解得，/=:4，

3

則當(dāng)/二I4時(shí)，點(diǎn)。位于線段尸。的垂直平分線上；

3

(2)???。為45的中點(diǎn)，AB=AC=10,

：.BD=5,

?.?NBPD^/CQP,

.?.BD=CP,

**?8—3%=5,

解得，r=l,

則當(dāng)VBPDACQ尸時(shí)，f=i；

(3)不存在，:4BPD組叢CPQ,

；.BD^CQ,B—CP,

貝U3尸=5,3-8-31

解得，5t=14,

不存在某一時(shí)刻f,使LBPD也△CP。.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是幾何動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

10.(2019?內(nèi)蒙古?赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))已知：如圖，4=90。，AB//DF,AB=3cm,

3D=8aw,點(diǎn)C是線段3。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是直線。尸上一動(dòng)點(diǎn)，且始終保持ACLCE.

(1)證明：ZACB=NCED；

(2)若點(diǎn)C在線段8。上滿足AC=CE時(shí)，求DE的長？

(3)在線段8。的延長線上，是否存在點(diǎn)C,使得AC=CE,若存在，請(qǐng)求出8C的長度；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

【答案】(1)見解析；(2)5cm；(3)存在，

【解析】

【分析】

(1)由題意易得NO=N3=90。，進(jìn)而可證NECD+/CEO=90。，ZACB+ZECD^90°,然后問題得證；

(2)由題意可證AABC/ACDE,則有AB=CD=3cm,然后根據(jù)線段的和差關(guān)系可求解；

(3)由題意易得NCDE=ZB=90。，進(jìn)而可證NECD=/BAC,當(dāng)CD=AS=3cm時(shí)，AC^CE,則有

MBC^CDE,最后根據(jù)線段的關(guān)系可求解.

【詳解】

解：(1)VZB=90°,AB//DF,：.ZD=ZB=90°,

VACLCE,...ZACE=90。，

/ECD+ZCED=90°,ZACB+ZECD=90°,

ZACB^ZCED

ZACB=ZCED

(2):在AABC和ACDE中=

AC=CE

\ABC之ACDE(AAS),:.AB=CD=3cm,

DE=BC=8cm-3cm=5cm

(3)存在，理由如下:

VZB=90°,AB//DF,：.ZCDE=ZB=90°,

VACA.CE,.?.NACE=90。，

AZECD+ZACB^90°,ZACB+ABAC=90°,;.NECD=NBAC；

ZB=ZCDE

?：在MBC和ACDE中，NBAC=ZECD

AC=CE

：.AABC^ACDE(AAS),

AC=CE,

AB-3cm,BD=8cm

BC=BD+CD=BD+AB=8cm+3cm=11cm.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

11.(2022.安徽?九年級(jí)期末)如圖，RfAACB中，ZACB=90°,AC=BC,E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)

AE,^AF±AES.AF=AE.

(1)如圖1,過尸點(diǎn)作FDLAC交AC于。點(diǎn)，求證：FD=BC；

(2)如圖2,連結(jié)交AC于G點(diǎn)，若AG=3,CG=1,求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn).

4G

(3)當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)2尸與直線AC交子G點(diǎn)，若BC=4,BE=3,則=7=.(直接寫

出結(jié)果)

cc

4圖］BA圖28

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)，或g

【解析】

【分析】

(1)證明△A/Dg/kEAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC,等量代換證明結(jié)論；

(2)作尸OLAC于￡),證明△FOGgZkBCG,得到。G=CG,求出CE,CB的長，得到答案；

(3)過產(chǎn)作FDLAG的延長線交于點(diǎn)。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD,AD=CE=7,代入計(jì)算即可.

【詳解】

(1)證明：\-FD_LAC,

：.ZFDA=90°,

：.Z￡>M+Z￡>AF=90