微專題04數列的性質、蛛網圖、最值問題、恒成立問題、插

項問題、公共項問題、規律問題、奇偶問題

【秒殺總結】

1、數列的周期性，此類問題的解法是由定義求出數列的前幾項，然后歸納出周期性.

2、函數與數列的綜合問題，解決該問題應該注意的事項：

（1）數列是一類特殊的函數，它的圖象是一群孤立的點；

（2）轉化以函數為背景的條件時，應該注意題中的限制條件，如函數的定義域，這往往是很容易被忽視

的問題；

（3）利用函數的方法研究數列中的相關問題時，應準確構造相應的函數，注意數列中相關限制條件的轉

化.

3、證明數列｛4｝單調性的方法：根據。用-%與。的關系判斷出數列的單調性（當｛a,J恒為正或者負

時，可以考慮利用馱與1的大小關系判斷數列單調性）.

an

4、當出現與年份有關的數列選擇題，題目本身難度比較大的時候，比如，出現2019、2020、2021類似

這樣的數字，我們完全可以通過逐個分析選項，通過選項找規律后判斷是否符合題意，來決定哪個選項正確.

比如求邑021，可以令2021=〃，將選項中的所有數字用”來表示，然后通過Sp邑來驗證哪個選項正確?如

果題目問的是§2020、$2018之類的偶數年份，最好是通過§2、S,這樣的偶數項來驗證.

【典型例題】

例1.（2024?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學校考期中）已知數列｛%｝滿足am=e%"+l（〃eN*,e為

自然對數的底數），且對任意的”>0都存在〃wN*,使得|%-2|<加成立，則數列｛。“｝的首項內須滿足

（）

A.?）<1B.l<a!<2C.^<2D.flj>2

【答案】C

【解析】設=令r（x）=e*-l=0,得到x=0.

當xe（-oo,0）時，/（九）單調遞減；

當了￡（0,+oo）時，f\x）>0,/（九）單調遞增.

故/（%）之/（0）=。，即/之九+1（當且僅當時％=0取等號）.

故%+1=尸2+12％—2+1+1（當且僅當時4=2取等號）.

即an+i>an.要使對任意的〃>0都存在〃￡N*,使得L-21VM成立，

顯然4=2時，。〃=2,一定能滿足題意;

當%>2時，%>2,如圖此時不滿足題意;

當為<2時，a“<2,如圖此時滿足題意;

綜上，442.

故選：C

例2.（2024?全國?模擬預測）定義：滿足—=^7（^為常數，〃eN*）的數列｛。“｝稱為二階等比數

an+\an

列，4為二階公比.已知二階等比數列I%｝的二階公比為忘9=1,見=及，則使得4>2024成立的最小

正整數〃為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】由題意知二階等比數列I4｝的二階公比為忘,％=1,/=啦，貝血,

故4=（可，也=（近廠,…牛=血，

an-\an-2a\

（〃一）〃1（n-1

將以上各式累乘得：+網一.四一??…V2=（V2）—=2-

故6=2誓，令2號>2024，由于2Kl=1°24,2"=2°48，

故土尸>10,即（〃—1），>40,

又（〃一1）〃的值隨”的增大而增大，且（7-l）x7=42,（8-l）x8=56,

、/r-jQ_L(〃T)〃21

當〃=7日寸，24=22=2i°x0<2i°x2=2O24'

當〃=8時，2'^=2“>2024,

故n的最小值為8,

故選：B

例3.（2024?湖北武漢?統考模擬預測）法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應用時，用光波依次透

過"層薄膜，記光波的初始功率為《，記《為光波經過第左層薄膜后的功率，假設在經過第左層薄膜時光

波的透過率￡=今=（,其中％=1,2,為使得123,貝產的最大值為（）

底—1/。

A.31B.32C.63D.64

【答案】C

11

P1P.1P,1_11_9-2024

［解析］由題意昔=三=行，…，”=孑，所以萬一3*尸乂…y*5=七而>22,

P

?-12匕22Po2/2~

所以1）82024,即“（“+1）44048,

顯然〃"）="（"+1）關于"單調遞增，其中“eN*,

又/（63）=4032<4048<f（64）=4160，所以〃的最大值為63.

故選：C.

例4.（2024?陜西咸陽?統考模擬預測）數學家也有許多美麗的錯誤，如法國數學家費馬于1640年提出了以

下猜想：月=22"+1（〃=0,1,2,…）是質數.直到1732年才被善于計算的大數學家歐拉算出

^=641x6700417,不是質數.現設為=1（^（月-1）,數列｛%｝的前〃項和為S“，則使不等式

2024

〈初成立的正整數"的最大值為)

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【解析】依題意，a-log(/^—1)=log22=2",S=-----------=2(2"-1),

n22n1—2

—11

貝I-------------------------7n,,+1

snsn+l4(2"-1)(2"+1-1)22-l2-l'

2223T2n+1111111111、

貝nlIj------1---------HLH---------=—(z-----------------1—；-----；---1—;--------2------Tl-LH---------------：---)

22334K+1

S,S2S2S3S?Sn+122-12-12-l2-l2-l2-l2"-12-1

112024

=5（1一不口）〈茄均，即2向<4050,而〃eN*,解得〃<10,

所以滿足條件的正整數〃的最大值為10.

故選：B

例5.（2024.全國.模擬預測）已知“eN*,匕，或=十￡/數列｛4｝與數列也,｝的公共項按

從大到小的順序排列組成一個新數列｛%｝,則數列｛5｝的前99項和為（）

19619899

A.——cd

197199199

【答案】D

【解析】因為數列｛2〃-1｝是正奇數數列，對于數列｛（〃+1）2-1｝,當〃為奇數時，設"=2左則

（〃+1）2-1=4/-1,為奇數；當”為偶數時，設〃=2左（丘N*）,貝|（〃+1）2-1=（2k+1）2-1=4左（左+1）,為

]

偶數,所以g=

4n2-l

]_]_j_1______1_

4?2-1-(21)(2〃+1)-2,2〃-1.2n+l

*,、，1,11111,1,199

\以Ci+Q+???+CQQ=-X（1--1------F??--------）=-X（1----）=---,

129923351971992199199

故選：D.

例6.（2024?廣東廣州?華南師大附中校考一模）在數列｛4｝中的相鄰兩項。,與%之間插入一個首

項為%-工1公差為-上1的等差數列的前〃項，記構成的新數列為也,｝,若%=37,則也｝前65項的和

nnn+1

為（）

2527

A.——B.-13C.——D.-14

22

【答案】A

]121

【解析】數列｛2｝為：4，4-1,々2，。2一個。2一1，。3，。3一不。3一不。3一1，…，1〃，。〃,

233n

設。”及其后面〃項的和為s“，貝”,,=5+1”“-山土9x^=2-四=工（3-冷,

2n22

所以數列｛、｝是以1為首項，公差為的等差數列.

所以也｝前65項的和為00°25,

3]++,,?+3]0=--------=----

故選：A.

例7.（2024.河南.河南省內鄉縣高級中學校考模擬預測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲

后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一

個正整數，如果是奇數就乘以3再加1,如果是偶數就除以2,這樣經過若干次運算，最終回到1.對任意

正整數4,按照上述規則實施第“次運算的結果為為（〃?N）,若。5=1,且a,[=1,2,3,4）均不為1,則

%=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【答案】B

3%+1,4,為奇數

【解析】由題知4M因為“5=1，則有:

率,見為偶數

若〃4為奇數，貝Ij%=3。4+1=1，得。4=。，不合題意，所以〃4為偶數，則。4=2%=2;

若。3為奇數，則。4=3%+1=2,得。3=g，不合題意，所以〃3為偶數，%=2〃4=4;

若。2為奇數，則。3=3g+1=4,得。2=1,不合題意，所以的為偶數，且。2=2%=8；

7

若％為奇數，貝1]%=3%+1=8,得％=1,不合題意，所以％為偶數，且4=2%=16；

若。o為奇數，貝!J%=34+1=16,可得佝=5；若%為偶數，則/=2〃]=32.

綜上所述：。（）=5或32.

故選：B

例8.（2024.陜西安康.陜西省安康中學統考模擬預測）已知數列｛見｝的首項為1,

+師，〃為奇數,則數列｛%.2“，｝的前2023項和為（）

an+cos師,〃為偶數

A.2022-22024+2B.2022-22023+2

C.2022-22024+1D.2022-22024-2

【答案】A

【解析】當"為奇數時，n=2k-\,左eN*,cosnn=cos（2Z:-1）n=cos（-71）=-1,ZeN*,

當〃為偶數時，n=2k,左eN*,COS/OT=COS2歷i=cos0=l,ZeN*,

.----an-i,n=2k-l*

??4+|=Jn,左eN，

an+l,n=2k

當〃=2左，女￡N*時，

(2左—1)+22Z+1*

a2k+\="2女+1=〃(22-1)+1+1=~]~~--a2k-l-1+1=^2k-lf左￡N，

—iZK—1

.?.魯^二粵十，%eN*,即"為奇數時，數列是常數列，&=?=1,

2左+12k-1In)”1

.?.當”為奇數時，an=n.

又：當“為偶數時，"+1為奇數，an+i=an+\,：.an=all+l-l=n+l-l=n,

綜上所述，數列｛%｝的通項公式為4=".

數列(??-2°"｝的通項公式為%2”=〃.2”，其前2023項和T2023為，

1232023

T1sm=1X2+2X2+3X2+.--+2023X2,①

①x2,得

25023=1x2?+2x23+3x24+...+2023x22024,②

①-②，得

Yo23Tx2】+（2-l）x22+（3-2）x23+…+（2023-2022）x22?3-2023x2284,

12320232024

/.-7；023=2+2+2+---+2-2023x2,

2（l-22023）

一1023=—------------2023x22024>

20231-2

20242024

-7；023=2-2-2023x2,

-^023=-2-2022x22024;

2024

7；023=2022X2+2.

故選：A.

例9.（2024.江西?金溪一中校聯考模擬預測）如圖，有一列曲線外，A，8，…已知外所圍成的圖形是面

積為1的等邊三角形，匕旬是對《進行如下操作得到：將4的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為

邊,向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（左=0,1,2,…）。記S”為曲線與所圍成圖形的面

積。則數列⑸｝的通項公式

【答案】*-1通

【解析】設《圖形的邊長為“，由題意可知，旦2=1,邊數是3；

4

根據圖形規律，A圖形邊長為邊數為B每一條邊都擴大4倍，即3x4；

8圖形邊長為差，邊數為3x4%

以此類推，匕」圖形邊長為號，邊數為3x4"、

《圖形邊長為右,邊數為3x4"；

而根據圖形規律可知曲線乙所圍成圖形的面積S,等于曲線A-所圍成的面積加上每一條邊增加的小等邊三

角形的面積，

每一個邊增加的小等邊三角形面積為乎X(/)2,

則S,=%+(3x4"T)x4x(三)2,整理后得S“=S,T+：X

45Jy

又占圖形的面積5=1+3、￥*0|)2=(

由累加法可知，S2=d+gx(gy,s3=s2+1x(J，……，S“=S,i+；x(#,

得如耳

1

"3]_i55⑺

9

故答案為：S?=---xW

【過關測試】

一、單選題

1.(2024.全國.校聯考模擬預測)已知等差數列{a?}滿足3%=8aI?＞。，記數列

{2}：2=凡見+9川心右河^的前n項和為Sn,則當S"有最大值()

A.%B.九C.,醺D.S7

【答案】A

【解析】設等差數列｛%｝的公差為d,由3%+8%2>0,得3%=8（%+7d）,解得/=—三/>0,

則d<0,4=-gd，數列｛4｝是首項為正數的遞減數列，

、八--d+（n-l）d>0

r>0511

由"，即"，解得15￡<“<16￡,

a?<07655

i〃+1i---------a+na<0

[5

即。16>0，%7<0，于是4>%>。3>???>66>0>%7>。18>???而％=44+4+2,

（），

因止匕4>b2>b3"?>%>>%>bl8>???,且九二q5%6%7<0瓦6=?16?17018>0，

則S[4>S[3>…>S],Sl4>S]5,Sl5<S]6，S]6>S[7>S]8>L，

693

又S]6-S14—b、5+bl6=Q]6%7（%5+〃18）=%6%（—+=工d%6c%>0，

所以s〃中九最大，即當〃=16時，s〃取得最大值.

故選：A

2.（2024?陜西咸陽?統考模擬預測）等差數列｛%｝中的。2，?2024是函數〃力=/-6爐+仆2024的極值

點，則1。88/3=（）

A.-B.—3C.3D.—

33

【答案】A

【解析】由/（力=d-6/+4%—2024求導得：尸（X）=3/-12X+4,

WA=122-4X3X4>0,即廣（》）=。有兩個不等實根玉，三，

顯然為，三是/（X）的變號零點，即函數的兩個極值點，

2

依題意，a2+a2024=xl+x2=4,在等差數列｛q｝中，0=%+；*2,

所以logs-3=1%2=；.

故選：A

「、[a+2,n=2k-l

3.（2024?廣東深圳?統考一模）已知數列｛4｝滿足4=%=1，%+2=_9,（左eN*）,若S“為數列

｛為｝的前"項和，則/=（）

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

,、&+2,〃=2%-1*

【解析】數列｛%｝中，4=%=1,風+2=（壯N*）,

[_,TI_z/c

當"=2"l/wN*時，an+2-an=Z,即數列｛叫的奇數項構成等差數列，其首項為1,公差為2,

n,cl125x24c_

貝U4+/+%+,,?+Q49=25xIH---——x2=625,

當〃=2k?eN*時，—=-1,即數列｛。”｝的偶數項構成等比數列，其首項為1,公比為T,

an

1X”（―1產］

則%+%+。6+,,,+050二二1

1-（-1）

所以S5Q=（q+%+%+049）++。4+46+,,,~。5。）=626.

故選：C

4.（2024?湖南岳陽?統考一模）已知兩個等差數列2,6,10,…及2,8,14,....200,將這兩個等差數

列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列｛%｝,則數列｛%｝的各項之和為（）

A.1666B.1654C.1472D.1460

【答案】A

【解析】有兩個等差數列2,6,10,…及2,8,14,200,

由這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列：

194-2

2,14,26,38,50,182,194,共有一^—+1=17項，是公差為12的等差數列,

2+194

故新數列前17項的和為二「xl7=1666,

即數列｛4｝的各項之和為1666.

故選：A.

5.（2024.海南?校聯考模擬預測）“大衍數列”來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于

解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，是中華傳統文化中的一大瑰寶.已知“大衍數列”的前10項分別為

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,???,據此可以推測，該數列的第15項與第60項的和為（）

A.1012B.1016C.1912D.1916

【答案】C

【解析】觀察此數列，偶數項為2,8,18,32,50,…，可得此時滿足%,=2/,

奇數項為0,4,12,24,40,…,可得%?=-2",

所以％6=2x8?=128,Ogg=2x302=1800,則。監=“2x8-1=—2x8=112,

所以％5+。60=112+1800=1912.

故選：C.

6.（2024?江西宜春?校聯考模擬預測）圖1是第七屆國際數學教育大會的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如

圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中==-=44=1，如果把圖2中的直角三角

形繼續作下去，記。4，。4,L,。4的長度構成的數列為｛4｝,則%5=（）

ICME-7

圖1

A.25B.24D.4

【答案】C

【解析】由題意知，04=44=44=…=44=1,

△。44，△。44，L,AOA74,L都是直角三角形,

，4=1,且d=4.+1(〃22),故片一4_1,

二數列｛4｝是以1為首項，1為公差的等差數列,

「.a；=l+(n-l)xl=n.

又%>°，，

，數列｛%｝的通項公式為%=冊，

%5==5,

故選：C.

7.(2024?浙江溫州?溫州中學模擬預測)已知數列｛。“｝滿足4=。(。>0),向冠=a.+l,給出下列三個結

論：①不存在。，使得數列｛4｝單調遞減；②對任意的。，不等式凡+2+凡<2。前對所有的“eN*恒成立；

③當。=1時，存在常數C,使得。“<2〃+C對所有的〃eN*都成立.其中正確的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

aa

【解析】由小4+1。“=%+1,q=a(a>0)可得>0,貝I]。用=包土D-=a,+1+2,?+\-?=—+2>0,

anan%

則Va>0,都有數列｛%｝單調遞增，故①正確；

aa

由?+i~?=-+2可得(a?+2-a,+i)-(4+i-。“)==~但,又數列｛%｝單調遞增，貝U

anan+lan

4_4+i<0，

則(凡+2一凡+1)一(%+1一％)<°，即4+2+%<2%+i,②正確；

由〃〃+i=%+—+2可得〃”+]-2(〃+l)=a〃_2〃+—,貝=+---,L,

ananan-l

“3-2x3=%-2x2+—,%-2x2=q-2xlH,將以上等式相加得

ci?

cc11111

。〃一2〃=q—2H-----1------1-----1-------=------1-----1-------,

〃21。21

又冊>0,｛%｝單調遞增，則又由為+1=4,+,+2可得

an

a〃+i—3(〃+1)=-3〃H-------1V〃〃一3〃,

%

11111/11、

又q-3<0,則a“一3w<0,即——>丁，貝!]——+—+--->-X(-+T+--+-7),設

an3na2an_x323n-1

￡/、1111

f(n)=—+-+—+-?-+-----,

234n-1

zx1<11W111C111?口「/、,、,,/、

g(n)=-+-+-++++易得/(〃)2g(〃)，當〃一”時，g(〃)f+oo,

2<44)\ooooy2Z2

則〃〃)f+8,-+???+-―->+”,故不存在常數C,使得4<2〃+C對所有的“eN*都成立，故③錯誤.

a、

故選：A.

8.(2024?浙江紹興.浙江省新昌中學校考模擬預測)設等差數列｛%｝的前”項和為S,,首項％>0,公差

d<0,若對任意的總存在上eN*,使邑1=(2左一1電.貝必―9〃的最小值為()

A.-74B.-64C.-53D.-43

【答案】C

【解析】由題意得(21)(3+*)=Qk-1)5,,

則得電,即%=S,,

令〃=2得以=邑，即q+(4一l)d=2q+d①，即得左_2=幺.

d

因為首項4>0，公差d<0,則得左一2=幺<。，即左<2.

a

又因為上eN*,所以％=1,代入①得1=-％.

當d=一1時，由％=S“得%-(k-1)0,=nax-―

,(n-l)(n-2)?,1221上。

即0nk=-----------------1-1,所以左一9九=—〃---n+2

222

即蓑

NIZJo

因此當”=10或11時，左-9〃的最小值為-53.

故選：C

9.(2024?浙江?統考二模)已知｛4｝為非常數數列且4片。，4=〃，

aa

n+i=n+sin(2an)+2(/z,AGR,nGN*),下列命題正確的是()

A.對任意的％,〃，數列｛%｝為單調遞增數列

B.對任意的正數￡,存在2,〃，%(附wN*),當〃>%時，

C.存在4,〃，使得數列｛%｝的周期為2

D,存在2,〃，使得％+an+2-2%+J>2

【答案】B

［解析］當2<-1時：%=sin(24)+2<0恒成立.此時數列也｝為單調遞減數列.A錯誤.

令2=—sin2,記g(%)=%+sin2元一sin2,h(x)=x,則g(l)=l,令1)=1.

g'(x)=1+2cos2x,令g'(x)=1+2cos2］=0ncos2x=——,取1二—

則g(x)在。1］上單調遞增.

JI

令g(尤)=h(x)=>%=5—1或％=1.

如圖所示：在區間內總能找到一個外,使得%的極限為1.B正確.

假設存在4，〃，使得數列｛4｝的周期為2,即乙+2=%.

則14+i=a“+sin(2%)+2①

'1%+2=%+sin(24+J+4②

②-①：4+2-。用=%+i-%+sin(23,+J—sin(2%),又%+2=。“.

化簡得：2%+sin(2an)=2an+1+sin(2an+1).

記f(x)=x+sinx,/'(x)=1+cosXN0恒成立.

故/(%)=x+sinx在A上單調遞增.

要使2an+sin(2%)=2an+1+sin(2??+1),

則需2an+1=24.與｛??｝為非常數數列矛盾.C錯誤.

因為4+1=a?+sin(2a?)+2

所以4+2=%+i+sin(2%+])+2

則寓+an+2-2a?+1|=|(an+2-a?+1)-(a?+1-a?)|=|sin(2a?+1)-sin(2a?)|<2.

不存在4,〃，使得|q+。“+2-2%」>2。錯誤.

10.(2024?浙江紹興?高三校考階段練習)己知數列｛%｝,“eN*,an+1=a；-2an+m,meR,下列說法正確

的是()

A.對任意的根e(0,1),存在q使數列｛%｝是遞增數列；

95一

B.對任意的，”e(存在使數列｛4｝不單調；

C.對任意的me(0,D,存在％使數列｛%｝具有周期性；

D.對任意的〃ze(0,l),當qe[l,2]時,存在%>3.

【答案】C

【解析】A選項，要想保證數列｛%｝是遞增數列，則必有。2>%,其中

%-q=〃；一3〃[+相=[q+加一t,因為q￡[l,2],所以當q=l或2時，一十加一\取得最大

值，此時為機-2,故根-2>0,解得：m>2,而根￡（0,1）,不合題意，故A錯誤；因為

aa=aa+m=a

n+l~nn~^n\n~~\+加一[，加《'所以4+1.4=d.3%+機=[4-]J+m-->Q,

數列｛%｝是遞增數列，故B錯誤；

令〃x）=f一2x+機，令Y-2X+M=X,解得：%=三與四，三題，即

.3+V9-4m3+的―4加1」3—49一4m3-^9-4m”小丁二-「、r小

A—七——，—七——，B———，二^——為其不動點，因為血￡（0,1）,所以

122JI22）

3-的一4加（3-^^

演=----二----E°，---，

X=3+J：4M￡3+^j,令％2_2x+根=1得：4=1+，2——￡（2,1+夜）,x4=l-yj2-m<0,且

2I2）

巧<%2，從蛛網模型可以看出，

當弓式1,2]時，隨著〃的增大，”“）趨向于不動點4產年4”,3+年4加]或不動點

I22）

3—，9—4M3—J9—4zn

B—————或變為周期數列，且此時數列的值均在A點的左邊，故對任意的相￡（。,1）,當

11.（2024?浙江?高三專題練習）已知函數/（x）=（d-2x）（d+依+6）+6,且對任意的實數尤，

〃x）=〃4-x）恒成立.若存在實數入巧，…，x?e[0,5]（〃eN*）,使得27（x“）=￡/（%）成立，則〃

Z=1

的最大值為（）

A.25B.26C.28D.31

【答案】B

【解析】由題意得〃/4、)=/(O/、),〃/3、)"⑴/、，所以命8(16++泣4G+兒Z?)+66==一6,(1+?)+6解得[a=所-6,以

=(尤2-2尤)(彳2_6彳+8)+6=x(x-4)(x—2)~+6=(工一2)4-4(x—2)2+6

=[(x-2『-2]+2.

令(x-2)2=t,若無e[0,5],則fe[0,9].

令//(。=(7-2)2+2,?e[0,9],故/z(f)e[2,51],即當xe[0,5]時，e[2,51].存在耳，巧，…，

馬目0,5](weN*)使得成立，即存在天，巧，…，x?e[0,5](〃―*),使得

;=1

)(4)"(%)+/(%)+…+/(X"-1)，由xe[0,5]時,/(力的最小值為2,最大值為51,得

51>/(x?)=f(Ai)+/(x2)4-..+/(x?.1)>2(77-l),得〃4手，又“eN*，所以可得W的最大值為26.

故選：B.

12.(2024?浙江舟山?舟山中學校考模擬預測)設數列｛%｝滿足a.-2區用+4>1對任意的〃eN*恒成立,

則下列說法正確的是()

A.an+2an>a^I+1

B.數列｛4｝單調遞增

C.存在正整數當〃>"時，恒成立

一

D.存在正整數M,當〃〉V時，%>土恒成立

"3

【答案】D

【解析】an+2-2%+i+an=(a?+2-an+i)-(an+l-a?)

令2=%+「%，則％

對A：反例：q=T,2=2",bn+l-bn=2

滿足“+1-6">1

此時。2=1，%=5,a3ax<al,故A錯誤；

f—2,n=lf6,n=l

對3：反例：4=1,,bn+l-bn=\

[2n,n>2\2,n>2

滿足2+1-2>1,

此時，q=1,a2=-l,%=3,數列｛〃〃｝不是單調遞增數列.

對C：反例：b?,+>1滿足條件.

但對任意的切有an+l-an=bn<n,

因此不存在正整數當〃〉“時，見+|恒成立.

對。：當“22時，2一偽=（2一口）+（包「*）+…+（a一4）>"一2

因此用>仇+（〃-2）,

an~a\={an~)+(an-l~4-2)+…+(2-°!)

—+b〃_2+...+b]>[(7?—2)+(〃—3)+...+1]+(〃—1)Z?!

(〃一2)(〃一1)/八71

即>------------F(幾-l)Z?j+%=-n〃+1+4—仄

4」/」/+仿一3"+l+“i』2

b1—n-11+%-Z?j|n

3612/6

?-6|bx--+11+%-Z?j|n

62

因此存在正整數M>6[4-1+|1+%-可

當”時，應-;〃2>。恒成立，故。正確.

故選：D

13.（2024?浙江.高二平湖市當湖高級中學校聯考期中）已知數列｛4,｝滿足

?1=31,——n+1—=—Tr〃/e、N丁*\,若不等式二8+—1+而20對任意的〃eN*都成立，則實數九的取值范圍

2nnan+1/n-n

是（）

A.B.[-15,-K?）C.[一4五-9,+oo）D.[—18,

【答案】A

-nEN

【解析】由數列｛%｝滿足％=不，---。〃+1=----1（）,

LKiIi

可得。2=乙，易知/。。，

6

n+1

因為---4+i

nan+l

nna+1

所以

〃+1)a

n+l

]

所以—=1

九+1)〃〃+1nan

因為％=;,

所以是首項為2,公差為1的等差數列，

所以——1=—1+(/〃—八1)=〃+1,,

nanax

1

所以。

Q1

因為不等式=+—+丸。〃20恒成立，

nn

所以整理得22_(8+w)(w+1.)恒成立，

n

因為/⑺=_(8+中+1)=_"］+9卜_］2^^+9=-472-9,當且僅當“=：n〃=2夜時取等

號，舍去.

當”=2時，/(2)=-15=-y；當〃=3時,/(3)=-y,

所以丸之一_—,

即實數4的取值范圍是［「-T44，+"J、,

故選：A.

14.(2024?浙江紹興?校考模擬預測)已知正項數列｛%｝滿足［彳。，；］,片-l=ln(2〃口+J(〃EN*),則

)

A.對任意的〃EN*,都有。

B.對任意的〃EN*,都有為＞〃“+1＞。

C.存在〃￡N*,使得

D.對任意的〃￡N*,都有。〃+1N寸

【答案】D

—1=111(24%+]),不妨令4=%,貝彳五[-1=Infz--,即

【解析】因為

a=

^2>0,tz2>1,故AB錯誤;

ln(2tzA+1)=ln((2?A+1-l)+l),構造“x)=ln(x+l)-x,貝ij尸(%)=々—1=三，^xe(-l,0),

/^x)>0,單增，當xe(O,y)時，/'(“<0，單減，故/(x)<〃0)=0,即ln(x+l)Mx,所

以ln((2aaa用—1)+1)(2為%+1-1,即4一1V24aM-1,因為。，>0,所以4累乘法可得

an,

號寧合！,即等也即％2果.故c錯誤，D正確.

UnUn-\%44/2

故選：D

15.(2024.江西.江西省豐城中學校聯考模擬預測)大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的

推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經

歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.已知數列｛見｝滿足：

=cos2--sin2—,記d=(3九一1)%,〃EN*,則數歹U抄〃｝的前60項和是()

A.130B.-845C.90D.-860

【答案】C

2〃兀.2〃兀2〃兀

【解析】???〃〃=cos----sin—=cos---,

333

2(幾+3)兀(2mi,、2ml

,,an+3=cos-------=cos----F2兀=cos---=a,

33)3

數列｛叫是以3為周期的周期數歹！J,

又q=cosg=

如__J_a=cos2兀=1,

21"一一53

???｛%｝的前60項和為(4+"+以+…+〃55+々8)+(&+么+4+~+々6+a9)+色+4+4+3+仇7+40)

=(2+ll+20+---+173)xl+(5+14+23+???+176)x1-1j+(8+17+26+…+179)x1

120x(2+173)120x(5+176)20x(8+179)

=-------XX=—875—905+1870=90.

22222

故選：C.

16.(2024?湖南長沙?高三長郡中學校考階段練習)已知數列｛4｝滿足：。向+(-1)"%=3〃-中7€M).則

｛%｝的前60項的和為()

A.1240B.1830C.2520D.2760

【答案】D

【解析】由。”+1+(—1),=3〃—1,

故4—%=2,%+%=5,4一仆=8,〃5+〃4=11，…

故%+〃3=3,。5+%=3,%+〃9=3,.…

從第一項開始，依次取2個相鄰奇數項的和都等于3；

%+%=13,&+。8=37,+^10-61,....

從第二項開始，依次取2個相鄰偶數項的和構成以13為首項，以24為公差的等差數列.

[5x"14

故S060n=3x15+13x15+----2----x24=2760.

故選：D.

17.（2024?河南駐馬店?高三校聯考階段練習）數列｛4｝滿足。用+（-1嚴%=2〃，則數列｛%｝的前60項和

等于（）

A.1830B.1820C.1810D.1