專題04受力分析與共點力的平衡

目錄

題型一受力分析與整體法和隔離法的應(yīng)用.........................................................1

題型二共點力的靜態(tài)平衡........................................................................6

類型1合成法求解共點力靜態(tài)平衡..........................................................6

類型2正交分解法求解共點力靜態(tài)平衡......................................................8

類型3相似三角形法求解共點力靜態(tài)平衡...................................................16

類型4正弦定理求解共點力靜態(tài)平衡........................................................21

類型5整體法、隔離法解決共點力靜態(tài)平衡..................................................24

題型三動態(tài)平衡問題...........................................................................29

類型1"一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題.........................................30

類型2"一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題.......................................36

類型3輕繩套輕環(huán)的動態(tài)平衡模型.........................................................39

題型四平衡中的臨界、極值問題................................................................48

題型一受力分析與整體法和隔離法的應(yīng)用

【解題指導(dǎo)】1.受力分析的兩種順序：

(1)先場力再彈力后摩擦力，接觸力要逐個接觸面排查.

(2)先已知的力、確定的力，而后再結(jié)合運動狀態(tài)推斷未知的力、不確定的力.

2.多個物體系統(tǒng)問題通常整體法和隔離法交替使用.

3.三重檢驗：

(1)明確各力的施力物體、受力物體.

(2)判斷研究對象是否能保持原來運動狀態(tài).

(3)換角度(整體隔離)或換研究對象(相鄰的物體)再次受力分析，判斷兩次分析是否一致.

【例1】(2024?四川涼山?三模)A、B兩物體如圖疊放，在豎直向上的力尸作用下沿粗糙豎直墻面向上勻速

運動，則A的受力個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】對AB整體受力分析，整體受力平衡，受重力和力尸，如果墻壁對整體有支持力，整體水平方向不

能平衡，故墻壁對整體水平方向沒有彈力，也就沒有摩擦力；隔離分析物體A,受重力、B對A的支持力和

靜摩擦力，共3個力。

故選Bo

【變式演練1】如圖所示，一質(zhì)量為0.3kg的白板擦靜止在豎直磁性白板上，現(xiàn)給白板擦一個恒定的水平推

力4.0N,重力加速度g取10m/s。，則推力作用后（）

A.白板擦可能做水平方向勻速直線運動B.白板擦可能做勻加直線運動

C.白板擦受到的摩擦力大小為5.0ND.白板擦共受6個力

【答案】B

【詳解】AB.水平推力作用后，重力與推力的合力為5N,白板擦不可能做水平方向運動。若最大靜摩擦

力大于5N,則白板擦靜止，若最大靜摩擦力小于5N,則沿重力與推力的合力方向做勻加速直線運動，故

A錯誤，B正確；

C.此時摩擦力大小與彈力成正比，具體大小未知，故C錯誤；

D.推力作用后，白板擦共受重力、彈力、摩擦力、推力、磁力5個力，故D錯誤。

故選B。

【變式演練2】.（2024?江西南昌?三模）如圖所示，一梯子斜靠在光滑的豎直墻壁上，下端放在粗糙的水平

地面上，某工人站立于梯子上，下列說法正確的是（）

A.地面對梯子的摩擦力方向水平向右

B.人和梯子組成的系統(tǒng)受三個力作用

C.梯子對工人的作用力豎直向上

D.地面對梯子的作用力豎直向上

【答案】C

【詳解】A.對人和梯子組成的系統(tǒng)受力分析，由平衡條件可得，梯子在水平方向受到豎直墻壁水平向右的

支持力和地面水平向左的摩擦力，故A錯誤；

B.人和梯子組成的系統(tǒng)在豎直方向上受重力、地面的支持力，因為墻光滑，所以豎直墻對梯子沒有摩擦力;

在水平方向上，受到豎直墻壁水平向右的支持力和地面水平向左的摩擦力，共四個力作用，故B錯誤；

C.對人受力分析，人受到豎直向下的重力，根據(jù)平衡條件，梯子對工人的作用力豎直向上與重力平衡，故

C正確；

D.地面對直梯的作用力為支持力和摩擦力的合力，方向斜向左上方，故D錯誤。

故選Co

【變式演練3】.（2024?北京朝陽?二模）如圖所示，光滑水平桌面上木塊A、B疊放在一起，木塊B受到一

個大小為尸水平向右的力，A、B一起向右運動且保持相對靜止。已知A的質(zhì)量為加、B的質(zhì)量為2m，重力

加速度為g。下列說法正確的是（）

A

A.木塊A受到兩個力的作用

B.木塊B受到四個力的作用

F

C.木塊A所受合力大小為］

D.木塊B受到A的作用力大小為/加g丫+尸2

【答案】C

【詳解】A.由于桌面光滑，則兩木塊一起向右做加速運動，則木塊A受到重力、支持力和摩擦力三個力的

作用，選項A錯誤；

B.木塊B受到重力、地面的支持力、A對B的壓力和摩擦力以及力尸共五個力的作用，選項B錯誤；

C.整體的加速度

F

ci——

3m

則木塊A所受合力大小為

「F

匕=ma=—

，3

選項C正確；

D.木塊B受到A的壓力為加g,摩擦力為

則作用力大小為

FAB=+r=3mgy+ga

選項D錯誤。

故選Co

【例2】如圖所示，質(zhì)量為M的斜面體靜止在水平地面上，質(zhì)量為〃?的滑塊沿著斜面向下做加速運動，斜

面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知重力加速度為g,在滑塊下滑的過程中，下列說法正確的是（）

A.滑塊與斜面體之間的動摩擦因數(shù)〃大于tan。

B.斜面體對滑塊的支持力大小為“gcose

C.地面對斜面體的支持力大于（M+機）g

D.地面對斜面體的摩擦力方向水平向左

【答案】B

【詳解】A.滑塊加速下滑說明mgsin。＞〃幽geos6,滑塊與斜面體之間的動摩擦因數(shù)，小于tan。，選項A

錯誤；

B.斜面體對滑塊的支持力大小為加gcose,選項B正確；

C.對整體進行受力分析可知，豎直方向有向下的加速度，因此地面對斜面體的支持力小于（M+s）g,選

項c錯誤；

D.對整體受力分析可知，地面對斜面的摩擦力水平向右，選項D錯誤。

故選B。

【變式演練1】如圖所示，傾角為e的斜面體c置于水平面上，B置于斜面上，通過細繩跨過光滑的定滑輪

與A相連，連接B的一段細繩與斜面平行，A、B、C都處于靜止?fàn)顟B(tài)。則（）

A.B受到C的摩擦力一定不為零

B.C受到水平面的摩擦力一定不為零

C.水平面對C的支持力與B、C的總重力大小相等

D.若將細繩剪斷后，B物體依然靜止在斜面上，則水平面對C的摩擦力一定不為零

【答案】B

【詳解】A.當(dāng)B受到繩子的拉力與B的重力在沿斜面向下的分力大小相等，即

mBgsin3=mAg

時，B在斜面上沒有運動趨勢，此時B、C間沒有摩擦力，A錯誤；

B.把B、C當(dāng)成一個整體進行受力分析，可知繩子的拉力在水平方向上的分量不是零，整體有向右的運動

趨勢，所以C受到地面的摩擦力一定不會是零，B正確；

C.把B、C當(dāng)成一個整體進行受力分析，在豎直方向上有

N+mAgsin6=(mB+mc)g

繩子的拉力在豎直方向上的分量加Agsin。不是零，所以水平面對C的支持力與B、C的總重力大小不相等,

C錯誤；

D.若將細繩剪斷，B物體依然靜止在斜面上，以B、C為整體進行受力分析，受重力和地面的支持力作用，

在水平方向沒有力作用，所以水平面對C的摩擦力是零，D錯誤。

故選Bo

【變式演練2】如圖所示，質(zhì)量為加的物體A放在質(zhì)量為M、傾角為9的斜面B上，斜面B置于粗糙的水

平地面上，用平行于斜面的力尸拉物體A,使其沿斜面向下勻速運動，斜面B始終靜止不動，則下列說法

中不正確的是（）

A.斜面B相對地面有向左運動的趨勢

B.地面對斜面B的靜摩擦力大小為尸cos。

C.地面對斜面B的支持力大小為（M+加）g+^sin。

D.斜面B與物體A間的動摩擦因數(shù)為tan。

【答案】D

【詳解】D.對物體A進行受力分析如圖所示

根據(jù)平衡條件有

fi=piNx=mgsin0+F,N、=mgcos0

解得

4=tan0+-----------

mgcos0

D錯誤；

ABC.對A、B整體進行受力分析如圖所示

f2=Fcos3,N2=（m+Af）g+Fsin0

可知，斜面B受到地面水平向右的靜摩擦力，大小為尸cos。，B相對地面有向左運動的趨勢，地面對斜面

B的支持力大小為（M+〃?）g+尸sin。，ABC正確。

故選D。

題型二共點力的靜態(tài)平衡

【解題指導(dǎo)】1.遇到多物體系統(tǒng)時注意應(yīng)用整體法與隔離法，一般可先整體后隔離.

2.三力平衡，一般用合成法，根據(jù)平行四邊形定則合成后，“力的問題”轉(zhuǎn)換成“三角形問題”，再由三角函

數(shù)、勾股定理、正弦定理或相似三角形等解三角形.

3.多力平衡，一般用正交分解法.

類型1合成法求解共點力靜態(tài)平衡

【例1】（2024?山東濟南?三模）高空滑索因其驚險刺激而深受年輕人追捧。人通過輕繩與輕質(zhì)滑環(huán)相連，開

始下滑前，輕質(zhì)滑環(huán)固定在鋼索上O點處，滑環(huán)和人均處于靜止?fàn)顟B(tài)，鋼索和輕繩的夾角關(guān)系如圖所示。

設(shè)。4段鋼索的拉力大小為北，03段鋼索的拉力大小為％,OC段輕繩的拉力大小為北，下列判斷正確的

是（)

A

O

A.T.>T2>T3B.TX>T3>T2

C.T2>T}>T}D.

【答案】A

【詳解】以結(jié)點。為研究對象，受力情況如圖所示

這樣的三個力可以組成一個首尾相接的封閉的矢量三角形如下

北

故選Ao

【例2】在科學(xué)研究中，人們利用風(fēng)速儀測量風(fēng)速的大小，其原理如圖所示。儀器中有一根輕質(zhì)金屬絲，懸

掛著一個金屬球。若某次受到沿水平方向來的風(fēng)時，穩(wěn)定后，金屬絲偏離豎直方向夾角為6。已知風(fēng)力產(chǎn)

與風(fēng)速v的大小關(guān)系為尸=人2,左為常量，金屬球的質(zhì)量為相，重力加速度為g,則風(fēng)速大小為（）

、mgtang/mgmgtan9

BD.

Vkvktan0

【答案】A

【詳解】對小球受力分析，有

TsinO=5

Tcos0=mg

又因為

廠風(fēng)=而

聯(lián)立解得

mgtan9

V

k

故選Ao

【變式演練1】（2024?廣西桂林?三模）如圖所示，P、Q是兩個光滑的定滑輪，吊著A、B、C三個小球的三

條輕繩各有一端在。點打結(jié)，懸吊A、C兩個球的輕繩分別繞過定滑輪P、Q,三個球靜止時，。。段輕繩

與豎直方向的夾角a=74。。已知B、C兩球的質(zhì)量均為加，sin37°-0.6,則A球的質(zhì)量為（）

A.mB.1.2mC.1.5mD.1.6m

【答案】B

【詳解】對。點受力分析如下

由題可知。0、。8段的拉力滿足

Foo=F0B=儂

將與2、&合成如上圖所示，由于三個球靜止，。點受力平衡，根據(jù)幾何關(guān)系有耳°、是平行四邊形的

兩邊，有

Fop=F合=2FOBsin37O=1.2mg

則有A球的質(zhì)量為

%=2=9=1的

gg

故選Bo

【變式演練2】如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，。為球心，重力為G的小滑塊在水平力尸的

作用下靜止于尸點。設(shè)滑塊所受支持力為FN,下列關(guān)系正確的是（）

A.尸一定大于G

B.三個力中網(wǎng)最大

C.及與尸大小之和等于G

D.尸與G的合力方向沿0P連線指向。點

【答案】B

【詳解】滑塊受力如圖

由平衡條件知Ev與尸矢量之和等于G,方與G的合力方向沿。9連線背離。點，有

m2八

----=tan0

F

所以

tan。

F二地

Nsin。

可知，夾角。大小不確定，所以b和G的大小無法確定，但三個力中bN最大。

故選Bo

類型2正交分解法求解共點力靜態(tài)平衡

【例1】（2024?河北?高考真題）如圖，彈簧測力計下端掛有一質(zhì)量為0.20kg的光滑均勻球體，球體靜止于帶

有固定擋板的斜面上，斜面傾角為30。，擋板與斜面夾角為60。.若彈簧測力計位于豎直方向，讀數(shù)為L0N,g

取lOm/s2,擋板對球體支持力的大小為（）

C.巫N

A.￡NB.1.0ND.2.0N

3

【答案】A

【詳解】對小球受力分析如圖所示

由幾何關(guān)系易得力尸與力外與豎直方向的夾角均為30。，因此由正交分解方程可得

心sin30°=尸sin30°,FNcos30°+Fcos300+7'=mg

解得

口口6

f=T

故選Ao

【例2】.（2024?湖北?高考真題）如圖所示，兩拖船P、。拉著無動力貨船S一起在靜水中沿圖中虛線方向

勻速前進，兩根水平纜繩與虛線的夾角均保持為30。。假設(shè)水對三艘船在水平方向的作用力大小均為方方

向與船的運動方向相反，則每艘拖船發(fā)動機提供的動力大小為（）

->

AGV21

DC-2fD-3f

33

【答案】B

2Tcos300=

所以有

對p受力分析如圖

Q

則有

(Tsin300)2+(/+TCOS30°『=F2

解得

FR

3

故選Bo

【變式演練1】(2024?全國?高考真題)將重物從高層樓房的窗外運到地面時，為安全起見，要求下降過程中

重物與樓墻保持一定的距離。如圖，一種簡單的操作方法是一人在高處控制一端系在重物上的繩子尸，另一

人在地面控制另一根一端系在重物上的繩子。，二人配合可使重物緩慢豎直下降。若重物的質(zhì)量〃?=42kg,

重力加速度大小g=10m/s2,當(dāng)P繩與豎直方向的夾角。=37。時，。繩與豎直方向的夾角

/7=53°,(sin37°=0.6)

(1)求此時尸、0繩中拉力的大小；

(2)若開始豎直下降時重物距地面的高度〃=10m,求在重物下降到地面的過程中，兩根繩子拉力對重物

做的總功。

【答案】(1)1200N,900N；(2)-4200J

【詳解】(1)重物下降的過程中受力平衡，設(shè)此時P、0繩中拉力的大小分別為工和石,豎直方向

I]cosa=mg+T2COS/3

水平方向

7]sina=4sin￡

聯(lián)立代入數(shù)值得

4=1200N,T2=900N

(2)整個過程根據(jù)動能定理得

W+mgh=0

解得兩根繩子拉力對重物做的總功為

哈—4200J

【變式演練2】如圖所示，三角形斜面A放置于水平地面上，將光滑滑塊B放置于斜面A上，在滑塊B上

施加水平向右的恒力F,斜面A和滑塊B一起向右勻速運動，已知滑塊B的質(zhì)量為m,斜面A的質(zhì)量為2m,

斜面傾角為30。，則斜面與地面之間的動摩擦因數(shù)為()

【答案】D

Fcos0=mgsin0

對A、B整體受力分析，如圖所示

際

----------------------------------AF

3mg

可得

F=f

4=3mg

其中摩擦力

代入數(shù)據(jù)解得

產(chǎn)石

故選D。

【變式演練3】如圖甲所示，推力下垂直斜面作用在斜面體上，斜面體靜止在豎直墻面上，若將斜面體改成

如圖乙所示放置，用相同大小的推力廠垂直斜面作用到斜面體上，則下列說法正確的是（）

甲乙

A.墻面受到的壓力一定變小

B.斜面體受到的摩擦力一定變小

C.斜面體受到的摩擦力可能變大

D.斜面體可能沿墻面向上滑動

【答案】B

【解析】受力分析如圖所示

甲圖中，F(xiàn)NI=FCOS0,ai=〃7g+Fsin把尸fin；乙圖中，BN2=FCOS仇所以墻面受到的壓力不變，A項錯誤；

若Psin8=mg,貝!］居2=0,Fsin9>mg,則?打方向向下，F(xiàn)f2=Fsin0—mg,若Fsin6<7Mg,則居2方向向

上，mg-Fsin3,所以斜面體受到的摩擦力一定變小，B項正確，C項錯誤；因為墻面受到的壓力沒有

變，所以Ffm不變，甲圖中，F(xiàn)n=mg+Fsm0<F{m,推不動斜面體，乙圖中，F(xiàn)G=Fsm0-mg,肯定比尸的

小，所以斜面體肯定不沿墻面向上滑動，D項錯誤.

【變式演練4】如圖，環(huán).、6的質(zhì)量分別為町=2kg、牡=4kg,用不可伸長的細線連接，分別套在水平

25

粗糙細桿加和豎直光滑細桿。N上，。點離地面的高度，4m,細線長工pm，且已知細線能承受的

張力最大值為竽N。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，細線與水平桿間夾角為仇重力加速度為g取lOm/s?。

(sin530=0.8,cos53。=0.6)

（1）初始時整個裝置靜止，當(dāng)6=53。時，6環(huán)恰好不滑動，求。環(huán)與水平粗糙桿間動摩擦因數(shù)〃;

（2）在第一問條件下，若整個裝置以豎直桿ON為軸勻速轉(zhuǎn)動，求當(dāng)細線剛好斷裂時裝置轉(zhuǎn)動的角速度0；

（3）若細線斷裂時環(huán)a剛好位于橫桿最右端M點，求圓環(huán)a落地時離ON軸的水平距離。

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/

4=0.5；(2)co=5rad/s；(3)s=^^-m

【答案】（1）

3

【詳解】（1）對兩環(huán)受力分析，如圖所示

f=Tcos0

對b環(huán)有

Tsin。=加2g

解得

/=30N

f="N

對兩小球整體分析

F^=mxg+m2g

代入數(shù)據(jù)

〃=0.5

（2）當(dāng)細線斷裂時細線與水平面夾角為4,

4mxsin仇=m2g

解得

4=37°

&xcosq+〃然?=叫療廠

其中

尸=Leos'

解得

co=5rad/s

（3）小球離開M點后做平拋運動初速度為v,可得

V=COLCQSO.

豎直方向

712

h=2gt

水平位移

x=vt

有幾何關(guān)系

s=Jx2+（￡cos^）2

聯(lián)立解得

5410

s=-------m

3

類型3相似三角形法求解共點力靜態(tài)平衡

【例1】（2024?貴州銅仁?二模）輕桿的兩端固定有可視為質(zhì)點的小球A和B,不可伸長的輕質(zhì)細繩兩端與兩

小球連接，輕繩掛在光滑水平固定的細桿。上，平衡時的狀態(tài)如圖所示。已知A的質(zhì)量是B的質(zhì)量的2倍,

則。/與OB的長度之比為（）

o

【答案】B

【詳解】由于是一個繩子掛在細桿。上，所以繩子。/段和03段的拉力大小相等，過。做豎直線與N3交

與。，如圖所示

O

TT

fflAgOAWBg_OB

OD~OA'OD~OB

結(jié)合之前的分析，以及題意有

加A=2加B，TOA=TOB

解得

OA_1

~OB~2

故選B。

【變式演練1】如圖所示，半徑為R的光滑圓環(huán)豎直固定，原長為0R的輕質(zhì)彈簧一端固定在圓環(huán)的最高

點/，另一端與套在環(huán)上的質(zhì)量為機的小球相連。小球靜止在2點時，彈簧與豎直方向夾角430。，己知重

力加速度大小為g,則（）

A

A.小球?qū)A環(huán)的彈力方向背離圓心

B.圓環(huán)對小球的彈力大小為

C.彈簧的勁度系數(shù)為（3+痣）等

D.若換用原長相同，勁度系數(shù)更大的輕質(zhì)彈簧，小球?qū)⒃?點下方達到受力平衡

【答案】C

【詳解】A.彈簧處于伸長狀態(tài)，彈簧彈力尸的方向如圖所示

小球處于平衡狀態(tài)，合力為0,故圓環(huán)對小球的彈力縱沿半徑向外，由牛頓第三定律知小球?qū)A環(huán)的彈力方

向指向圓心，故A錯誤；

B.由相似三角形法得

mg=FN=F

RR2Reos0

可得

綜=mg

故B錯誤；

C.彈簧的長度為

I=27?cos30°=27?x—=737?

2

彈簧的形變量為

x=I—lQ=#)R—>/2R

由胡克定律

F=kx

可得

F=k^R-?R）=&g

解得

故C正確；

D.換用勁度系數(shù)更大的某輕質(zhì)彈簧，若拉伸到同樣的長度，小球?qū)⑸弦疲瑒t小球?qū)⒃贐點上方達到受力平

衡，故D錯誤。

故選C。

【變式演練2】如圖所示，兩個質(zhì)量分別為"人和恤的帶電小球A、B（可視為質(zhì)點）通過一根絕緣輕繩跨

放在光滑的定滑輪上（滑輪大小不計），兩球靜止，O為滑輪正下方N3連線上的一個點。兩球到。點距離

分別為4和馬，到滑輪的距離分別為人和“，且/A"B=1：2,細繩與豎直方向的夾角分別為仇和耳，兩球

A.<7A>%B.4>%C.wA:mB=1:2D.xA：xB=1：2

【答案】D

【詳解】A.由于兩球的電場力是相互作用力，故無法比較兩球電荷量的大小，A錯誤;

B.繩子上的力處處相等，對繩子跨過定滑輪的節(jié)點受力分析可知

T'cosOx=T'cosa

所以

4=2

B錯誤；

CD.對兩球受力可知，根據(jù)相似三角形

%g=7I..F

h，A苫人

mBg_T'_F

hZBxB

可得

mA:mB=2:1

xA:xB=1:2

故C錯誤，D正確。

故選D。

【變式演練3】（2024?廣東深圳?一模）如圖所示，用一輕繩通過定滑輪將質(zhì)量為根的小球靜置在光滑的半

圓柱體上，小球的半徑遠小于半圓柱體截面的半徑R,繩4B長度為L,長度為〃的桿8c豎直且與半圓柱

體邊緣相切，。/與水平面夾角為仇不計一切摩擦，重力加速度為g,下列表達式表示繩對小球的拉力尸

是（）

mgL、mg7?(l+cos6?)

H("+Rtan6)cos。

mgLmgLtan0

H+Rtan0Htan6+R

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，對小球受力分析，受拉力、支持力和重力，把拉力和支持力平移，組成矢量三角形,

延長4。和交于。點，如圖所示

Fmg

LH+Rtan6

解得

FmgL

-H+Rtan3

故選C。

類型4正弦定理求解共點力靜態(tài)平衡

【例1】（2023?河南?模擬預(yù)測）半徑為式內(nèi)壁光滑的半球形碗固定放置在水平地面上，。是球心，碗的邊

緣B兩點的連線是碗的水平直徑，一質(zhì)量為小的均勻硬桿放置在3、C兩點間處于靜止?fàn)顟B(tài)，硬桿很

細，B,C兩點也是硬桿的兩端點，硬桿的受力分析如圖所示，已知C點對硬桿的彈力與硬桿的夾角為仇

且B、C三點處在豎直的半圓面上，重力加速度為g,求：

（1）硬桿的長度；

（2）B點對硬桿的彈力大小以及C點對硬桿的彈力大小。

【答案】（1）27?cose；（2）生="98s2",Fc=m^anO

cos3

【詳解】（1）由彈力的定義，C點對硬桿的彈力由C點指向圓心。點，由幾何關(guān)系可得

OB=OC=R,ZOBC=ZOCB=0

則硬桿的長度

Lr=2Rcos0

（2）硬桿處于三力平衡狀態(tài)，三力平衡構(gòu)成的矢量三角形如圖所示

TT

由彈力的定義可知及與硬桿垂直，重力加g與心的夾角為0,為與己的夾角為萬+&重力機g與心的夾角

為北,由正弦定理可得

F

FcB-g

sm8sin|^|-2^sing+oj

綜合解得

黃鬻’—取

【變式演練1】如圖所示，。、6兩個小球穿在一根光滑的固定桿上，并且通過一條細繩跨過定滑輪連接,

已知6球質(zhì)量為1kg,桿與水平面的夾角為30。，不計所有摩擦，當(dāng)兩球靜止時，段繩與桿的夾角也為

30°,。6段繩沿豎直方向，則。球的質(zhì)量為（）

ASkg

D.2kg

【答案】A

【解析】分別對。、b兩球受力分析，如圖所示

根據(jù)共點力平衡條件，得尸r=wg,根據(jù)正弦定理列式，可得二憶=為!菰，解得“〃=3kg,故選A.

sin30sin120

【變式演練2】如圖，懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質(zhì)細繩上。點處；繩的一端固定在墻上，

另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連.系統(tǒng)平衡時，O點兩側(cè)繩與豎直方向的夾角分別為a和及若a=75。，￡

=60°,則甲乙兩物體質(zhì)量之比是（）

A.1：IB.1：2

C.A/3:/DJ2:3

【答案】D

【解析】甲物體是拴牢在。點，且。點處于平衡狀態(tài)，受力分析如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系有＞=180。-60。-75。=45。，由正弦定理有四值=也圓，故％里=近絲=#,故選D.

sinysin/m乙sin60°

【變式演練3】如圖所示，內(nèi)壁光滑的等邊三角形框架中放置一鐵球，鐵球跟三角形框架的三個面剛好接觸,

在一次搬運過程中，工人將框架以《為軸逆時針緩慢抬起，當(dāng)/C邊轉(zhuǎn)到向左偏離豎直方向的夾角為15。時

sin75o='勺。N2邊與NC受到的壓力之比為（）

7

【答案】A

【詳解】當(dāng)ZC邊以/為軸逆時針轉(zhuǎn)動到向左偏離豎直方向15。角時，對鐵球進行受力分析可知，此時2C

邊跟鐵球之間沒有作用力，鐵球受到重力G、邊作用力廠和NC邊作用力/三個力作用，力的方向及力

的矢量三角形如圖所示，根據(jù)正弦定理有

FABsin75°V3+1

FACsin45°2

故選Ao

類型5整體法、隔離法解決共點力靜態(tài)平衡

【例1】如圖所示，帶有‘弧形槽的滑塊/放在水平面上，其中。為弧的圓心，尸為弧的最低點，o尸垂直

4

于水平面，可視為質(zhì)點的光滑小球2用輕質(zhì)線拴接并固定在天花板上，當(dāng)整個裝置靜止時，細線與豎直方

向的夾角為夕=30。，小球到。尸的距離為圓弧半徑的已知小球3的質(zhì)量為加，滑塊/的質(zhì)量為2%,重

力加速度為g。

Cl）整個裝置靜止時，輕質(zhì)線對小球的拉力為多大；

（2）如果滑塊與地面之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且滑塊與地面之間的動摩擦因數(shù)為〃，欲使整

個裝置保持靜止?fàn)顟B(tài)，分析〃應(yīng)滿足的條件。

【答案】（1）——mg;（2）>——

315

【詳解】（1）以小球為研究對象，受力分析如圖甲所示。水平方向上有

Fcos30°+然cos30°=mg

豎直方向上有

Fsin30°=FNsin30°

解得輕質(zhì)線的拉力大小

F=Fz=~rng

（2）如圖乙，對槽進行受力分析。豎直方向上有

FN1=7^cos30°+2mg

水平方向上有

Ff=F^sm30°

且有

Ff工〃練1

又因為

W號/g

聯(lián)立解得

乙

【變式演練1】（2024?浙江金華?三模）新春佳節(jié)，大街小巷總會掛起象征喜慶的中國紅燈籠。如圖所示，由

4根等長輕質(zhì)細繩A8、BC、CD、OE懸掛起3盞質(zhì)量相等的燈籠，繩兩端的結(jié)點/、E等高，AB繩與豎直

方向的夾角為繩中張力大小為月；繩與豎直方向的夾角為尸，繩中張力大小為耳，則（)

AE

A.F1<3F2

B.若將懸掛點/往E靠近少許，片的大小保持不變

C.若在C處再增加一盞質(zhì)量較大的燈籠，平衡時&可能等于萬

D.若在2、。處各增加一盞質(zhì)量較大的燈籠，平衡時月可能等于90。

【答案】A

【詳解】A.由對稱性可知繩和。E繩張力大小相等，大小為耳。對三個燈籠的整體分析可知

2F、cosa=3mg

同理，對中間的燈籠受力分析，可得

2F2COS(3=mg

聯(lián)立，可得

2cosa2cosp

因為

a<(3

所以

耳<36

故A正確;

B.若將懸掛點/往￡靠近少許，則&減小，由

F:3mg

12cosa

可知耳的大小減小。故B錯誤;

C.對結(jié)點8受力分析，有

Fxsina=F2sinP,Fxcosa=mg+F2cos0

聯(lián)立，解得

3tana=tan13

若在C處再增加一盞質(zhì)量較大的燈籠，平衡時a不可能等于尸。故C錯誤；

D.若在3、。處各增加一盞質(zhì)量較大的燈籠，假設(shè)平衡時"等于90。，則對結(jié)點C受力分析，如圖

---<--------->---

C

可知其受力不平衡。所以假設(shè)不成立。故D錯誤。

故選A。

【變式演練2】如圖所示，豎直平面內(nèi)的支架由粗糙的水平細桿和光滑的傾斜細桿CW組成，用細

線相連的兩個小球A、B分別穿在兩根細桿上。初始時，兩小球均處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)用外力尸將小球A緩慢

向。點推動一小段距離到圖中虛線位置處后，撤去外力尸，小球A、B仍能保持靜止?fàn)顟B(tài)，則該狀態(tài)與初始

狀態(tài)相比，下列說法正確的是（）

A.細線中的拉力變大B.小球A受到細桿的支持力不變

C.小球A受到細桿的摩擦力變小D.小球B受到細桿的支持力變大

【答案】C

當(dāng)推動小球A緩慢向O點移動一小段距離到圖中虛線位置處后，細線中的拉力T減小，ON桿對小球B的支

持力耳減小，故AD錯誤;

BC.對兩小球整體受力分析可知，?減小，其水平向左的分力減小，故小球A受到的摩擦力減小；片減小,

其豎直向上的分力減小，兩小球整體的重力不變，故小球A受到的細桿的支持力且變大，故B錯誤，C正

確。

故選Co

【變式演練3】如圖所示，質(zhì)量為冽的正方體和質(zhì)量為/的正方體放在兩豎直墻和水平面間，處于靜止?fàn)?/p>

態(tài)。切和M的接觸面與豎直方向的夾角為a,重力加速度為g,若不計一切摩擦，下列說法正確的是()

A.水平面對正方體/的彈力大于(M+冽尼

B.水平面對正方體M的彈力大小為(M+⑼gcosa

C.墻面對正方體m的彈力大小為mgtana

D.墻面對正方體M的彈力大小為/駕

tana

【答案】D

【詳解】AB.對M和m構(gòu)成的整體進行受力分析，如圖甲所示，整體受重力(W+〃z)g、水平面的支持力M

兩墻面的支持力N和N,由于兩正方體受力平衡，根據(jù)共點力平衡條件，水平面對正方體M的彈力大小為

N=(M+m)g

故AB錯誤；

CD.對加進行受力分析，受重力機g、兩墻面的支持力N、"的支持力V,如圖乙所示，根據(jù)共點力平衡

條件有，豎直方向

mg=N,sina

水平方向

N=Ncosa

解得

tana

即墻面對正方體m的彈力大小等于/旦；由整體法可知

tana

N=N

則墻面對正方體M的彈力大小為

tana

故C錯誤，D正確。

(M+m)g

甲乙

故選Do

【變式演練4］（多選）如圖所示，滑塊/與小球8用同一根不可伸長的輕繩相連，且滑塊/套在水平桿上。

現(xiàn)用大小為10N、與水平方向成30。角的力尸拉3,使/、2一起向右勻速運動，運動過程中保持相對靜止。

已知43的質(zhì)量分別為2kg、1kg,取g=10m/s2,則（）

A.輕繩與水平方向的夾角0=60。

B.輕繩與水平方向的夾角。=30。

C.滑塊N與水平直桿之間的動摩擦因數(shù)為也

4

D.滑塊/與水平直桿之間的動摩擦因數(shù)為:

【答案】BD

【解析】對3受力分析，3受重力、拉力廠及繩子的拉力而處于平衡狀態(tài)；將兩拉力合成，因拉力為10N,

小球的重力為10N,則由幾何關(guān)系可知，輕繩的拉力也為10N,方向與水平方向成30。角，故B正確，A

錯誤；對工、2整體受力分析可知，/受到的支持力尸N=（小+加B）g一/sin3（T=25N,摩擦力等于尸沿水平

方向的分力尸f=Fcos30o=53N,由尸N',FN'=FN,解得〃=量="，故D正確，C錯誤。

FN5

題型三動態(tài)平衡問題

【解題指導(dǎo)】1.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡

狀態(tài).

2.做題流程

受力分析，化"動''為靜＞畫不同狀態(tài)平衡圖構(gòu)造矢量三角形“靜”中求動＞

里”根據(jù)矢量三角形邊長關(guān)系確定矢量的大小變化

_戶角函數(shù)關(guān)系

‘定量計算工正弦定理找關(guān)系求極值