二次函數(shù)的圖像關(guān)鍵題型期末專題練

2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)人教版九年級上學(xué)期

一、單選題

1.學(xué)完一元二次方程和二次函數(shù)后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一元二次方程的解法有配方法，二次函數(shù)也可以用

配方法把一般形式、=依2+云+。（。邦）化成y=a（x-〃）2+上的形式.現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)通過配

方法將二次函數(shù)y=d-4x+5化成?=〃（尤-/?）2+上的形式如下：

甲：乙:

y=x2-4x^-5y=x2-Ax+5

=x2-4x+4-4+5y-5=x2-4x

=(X-2)2+(-4+5)y-5+4=x2-4x+4

=(X-2)2+1y-l=(x-2)2

y=(x-2)2+l

兩位同學(xué)做法正確的是()

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙正確

C.甲、乙都正確D.甲、乙都不正確

2.下列各點中，一定不在拋物線y=mx2'-2mx+2上的是（）

A.(1,1)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,3)

3.如圖，將函數(shù)y=g（x-2y+l的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點A（l,%），5（4,?）

平移后的對應(yīng)點分別為點4、B'.若曲線段A8掃過的面積為9（國中的陰影部分），則新圖象的函

數(shù)表達式是（）

191

A.y=—(x-2)+2B.y=—(x-2)+7

C.y=—(x—2)+5D.y=—(x—2)+4

4.拋物線y=/+x+i經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（）

A.y=x?B.y=x2-4C.y=x2+x-3D.y=7x2+x+l

5.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-（%+1）2+2關(guān)于,軸對稱的拋物線的解析式為（)

A.y——（%—l）2+2B.y=-（x+l）2-2

C.y=（%+l）2-2D.y=（x-1尸+2

6.拋物線y=-gd+x+l經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱后，不可能得到的拋物線是（）

121

A.y=——,v+xB.y-—x2-x-1

2-2

C.y——］尤2+2021尤一2022D.y=—x2++1

7.二次函數(shù)丫=〃7（*+3）2-3（加為常數(shù)且加力0）的圖象與，軸交于點A.將該二次函數(shù)的圖象以

原點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180。，旋轉(zhuǎn)后的圖像與y軸交于點8,若AB=12,則加的值為（）

A.1或—B.1或—3C.3D.—

33

8.如圖，是二次函數(shù)>="2+法+。圖象的一部分，其對稱軸是直線彳=-1,且過點（-3,0）,下列說

法：①歷<0；②2a—b=0；③若（TyJ,（-2,%）是拋物線上兩點，則X<%；@4a+2b+c>0；

⑤3o+c=0,其中正確的有（）

C.3個D.4個

9.一次函數(shù)、=依+》的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2'+法的圖象大致是（）

10.如圖，二次函數(shù)？=辦2+云+°（。*0）的圖象與龍軸分別交于48兩點，與，軸交于點C,點3的

坐標(biāo)為（-1,0）,下列結(jié)論中正確的是（）

C.a+Z?+c〉0D.4a+2Z?+c=0

11.已知二次函數(shù)y=/-4比-1,用配方法化為y=+左的形式是.

12.已知拋物線y=f一xT與x軸的一個交點為的0）,則代數(shù)式帚-機+2023的值為

1919

13.將函數(shù)尤+2）2的圖像沿x軸翻折后得到的函數(shù)解析式是；將函數(shù)y=\x+2）一的

圖像沿y軸翻折后得到的函數(shù)解析式是.

14.直線廠機是平行于x軸的直線，將拋物線y=—JN-4X在直線尸機上側(cè)的部分沿直線產(chǎn)加翻折,

翻折后的部分與沒有翻折的部分組成新的函數(shù)圖像，若新的函數(shù)圖像剛好與直線產(chǎn)一x有3個交點,

則滿足條件的m的值為

15.如圖所示，二次函數(shù)丫=62+6升。（。#0）的圖像的對稱軸是直線x=l,且經(jīng)過點（0,2）.有下列

結(jié)論：@abc>0；?b2-4ac>0;③。+62根（。〃+6）（機為常數(shù)）；④彳=-3和x=5時函數(shù)值相等;

⑤若（2,%），（-2,%）在該函數(shù)圖像上，則為<%<M;?8a+c<0.其中錯誤的結(jié)論是

（填序號）.

16.拋物線ynaN+bx+c中，b=4a,它的圖象如圖，有以下結(jié)論：①c>0；②〃+b+c>0；③Q-b+c

>0@b2-4ac<0；⑤a6c<0；⑥4a>c；其中正確的為(填序號).

17.已知二次函數(shù)y=x2-4x+5.

yjk

;一「8

\-\-T

，一沁

:-]-4

：-H-3

i-4-2

卜十1

-2-11Ol23456789

-U

(1)用配方法將二次函數(shù)的表達式化為y=(x-/7)2+k的形式，并寫出頂點坐標(biāo);

(2)在平面直角坐標(biāo)系x0y中畫出這個二次函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合圖象直接回答：當(dāng)0<x<3時，則y的取值范圍是.

18.已知：二次函數(shù)>=/+/+。的頂點尸在直線丁=7無上，并且圖象經(jīng)過點A(T,。).

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)。是線段3P上的一個動點，過點。作DELx軸于點E,E點的坐標(biāo)為(a,0).在BP上是否存在點

D,使△OCE為直角三角形？若存在，請求出點。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)了=:/+原+。的圖象與x軸交于4(-2,0),8(4,0)兩點，交y軸

于點C,點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)在二次函數(shù)y=^x2+6x+c的圖象上是否存在點M,使三角形ACM是以AC為直角邊的直角三角

形.若存在，求出點〃的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.已知，關(guān)于x的二次函數(shù)>=加+2依-3a(。>0)的圖象與x軸交于A、3兩點(點A在點B的左側(cè))，

與y軸交于點C,圖象頂點為。，連接AC、BC、CD.

(1)請直接寫出點A、B、C、。的坐標(biāo)(用數(shù)字或含“的式子表示)：

AB_；C_；D_；

(2)作出點C關(guān)于對稱軸的對稱點E,連接AE、CE、DE,若八4底和ADCE相似，求。的值;

⑶若NACBN9O。，直接寫出。的取值范圍.

參考答案:

1.C

解：兩位同學(xué)做法都正確，甲同學(xué)利用配方的要求只對函數(shù)式右邊的整式同時加或者減同一個數(shù)原

式結(jié)果不變進行配方；乙同學(xué)對利用等式的性質(zhì)對函數(shù)式兩邊同時進行加減配方，故都正確；

2.C

解：當(dāng)x=l時，y=-m+2=l,此時解得m=l,

???點（1,1）可以在拋物線》=如2一2如+2上，故選項A不符合題意；

當(dāng)x=2時，y=4m-4m+2=2,

.??點（2,2）在拋物線,=g2_2痛:+2上，故選項B不符合題意；

當(dāng)x=l時，y=-m+2=2,此時解得m=0,此時拋物線解析式不成立，

???點（1,2）一定不在拋物線》=如2一2g+2上，故選項C符合題意；

當(dāng)x=l時，y=-m+2=3,此時解得m=-l,

.??點（1,3）可以在拋物線丁=爾2一2如；+2上，故選項D不符合題意；

3.D

解：曲線段掃過的面積=（/7A）XA4'=3A4'=9,

則A4，=3,

故拋物線向上平移3個單位，則y（尤-2）一+4

4.D

由平移的性質(zhì)可知：拋物線經(jīng)過平移后，。的值不變.將y=/+x+l化成頂點式y(tǒng)=+

再通過各選項比較，得到各自平移方法，最后分析出y=7/+》+1無法通過平移拋物線y=f+X+1得

到.

解：A.?.?>=/+尤+1=「+工丫+3,拋物線丁=X2+方+1向右平移;，再向下平移;得到拋物線

12）424

y=/,故不符合題意；

B.?l-y=x^+x+lJx+^\+1,；.拋物線y=f+x+l向右平移;，再向下平移與得到拋物線

[2424

y=x2-4,故不符合題意;

C.?「y=%2+x+l=++；,y=%2+%—3=+一?'?二拋物線y=f+X+1向下平移日

得至|J拋物線y=f+x—3,故不符合題意；

D.丁=7/+冗+1,由平移的性質(zhì)，。的值變?yōu)?,無法通過平移得到，故符合題意.

5.A

解：拋物線y=-(%+1)2+2關(guān)于>軸對稱的拋物線的解析式為，y=-(%-I)2+2

即解析式為：y=-(x-I)2+2.

6.D

解：拋物線>=-g-+X+i經(jīng)平移后，不改變開口大小，所以“不變，

而D選項中。=-1,不可能是經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱得到，

7.A

解：??,二次函數(shù)y=m(%+3)2-3(加為常數(shù)且相。0)的圖象與V軸交于點A.

???當(dāng)兀=0時，y=9加一3,

A(0,9%-3),

???二次函數(shù)>=機(％+3)2-3的圖象以原點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180。，

???旋轉(zhuǎn)后的解析式為：—y=//z(—x+3)—3即y=—3)+3,

當(dāng)x=0時，y=-9m+3,

_B(0,-9//z+3),

'/AB=12,

A|9m-3-(-9m+3)|=12,即|18m-6|=12,

解得：m=1或加=一；；

8.D

解：??,二次函數(shù)對稱軸是直線產(chǎn)-1,且過點(-3,0),

???二次函數(shù)還過點(1,0),

補全二次函數(shù)的圖象，如圖所示:

；y

-3\-lj(9|/Ix

\I/

\I/

\II/

\I1/

\IA

I/\

I|

:圖象開口向上，則a>0,

h

???對稱軸是直線x=-==-l,

2a

b=2々>0

即：2“-b=0,故②正確；

:圖象與y軸交點在*軸下方，

c<0,

：.bc<Of故①正確；

V^<-2<-l,

由圖象可知，當(dāng)％<-1時，y隨工的增大而減小.

?'?X〉〉2，故③錯誤；

由圖象可知：當(dāng)％=2時，y=4〃+2Z?+c>0,

故④正確；

?.,當(dāng)％=1時，y=a+b+c=O,

又?：b=2a

???3Q+C=0,故⑤正確；

9.D

解：???一次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過一、三、四象限，

:.a>0,b<0,

/.--—>0,

2a

二?二次函數(shù)y=的圖象開口方向向上，圖象經(jīng)過原點，對稱軸在>軸右側(cè),

10.C

h

解：???拋物線的開口向下，對稱軸為％=-丁=1,交y軸于正半軸，

2a

二.av0,〃=—2a>0,c>0,

ac<0,故選項A錯誤；

???圖象經(jīng)過點(-1,0),

a-/?+c=0,故選項B錯誤；

由圖象可知當(dāng)工=1時，〃+Z?+c>0,故選項C正確；

?對稱軸為兀=1,

:?x=2與％=0時的函數(shù)值相同，即：4a+2b+c=c>0,故選項D錯誤；

11.y=(x-2)2-5

角麻y=x2-4x-l

=x2-4x+4-4-l

=(X-2)2-5,

故答案為：y=(x-2)2-5.

12.2024

得m2一根二1,

...m2-m+2023=1+2023=2024,

故答案為：2024.

13.y=—g(x+2『y=g(x—2『

解：???關(guān)于1軸對稱的點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

11

函數(shù)了=二(工+2)9一的圖象沿x軸翻折后得到的圖象的解析式為y=-?x+2『9；

:關(guān)于y軸對稱的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，

函數(shù)>=1(x+2)2的圖象沿y軸翻折后得到的圖象的解析式為y=1(x-2)2.

1919

故答案為：y=(x+2),y=—(x—2).

14.6或生

4

解：根據(jù)題意

\'y=-^-x2-4x=-^-(x+4)2+8,

，頂點為(-4,8),

???在直線尸相上側(cè)的部分沿直線產(chǎn)加翻折，翻折后的部分的頂點為(-4,-8+2m),

直線產(chǎn)-x與拋物線產(chǎn)-；x2-4x相交

，交點坐標(biāo)為(-6,6),(0,0)

：.m=6時，新的函數(shù)圖象剛好與直線尸-x有3個交點

翻折后的拋物線的解析式為(x+4)2-8+2m,

'1,、2

y=(x+4)-8+2m

由題意：2V7,

y=-x

消去y得到：x2+10x+4m=0,

由題意A=0時，滿足條件，

.\100-16m=0,

.25

??m=一,

4

綜上所述，機=6或多25.

4

15.①⑤

解：??,拋物線開口向下，

??av0,

?.?拋物線對稱軸是直線X=l,

b

-----=1,即Z?=—2a,

2a

"〉0,

???經(jīng)過點(0,2),

c=2,

.**abc<0,故①錯誤；

拋物線與％軸有兩個交點，

???△=〃-4QC〉0,故②正確；

:當(dāng)x=l時，函數(shù)取得最大值，最大值為a+〃+2,

**?當(dāng)九二機時，a+b+2>an^+bm+2，

：.a+b>m(am+b),故③正確；

???拋物線的對稱軸是直線1=1,

.??直線x=-3和直線x=5與對稱軸距離相等，則尤=-3和x=5時的函數(shù)值相等，故④正確;

:拋物線的對稱軸是直線x=l,且開口向下，

???離對稱軸x=l越近，函數(shù)值越大，

.1?%<%<%，故⑤錯誤；

?.?當(dāng)x=-2時，y<0,

4a-2b+c<0,

4a+4a+c-8a+c<0,故⑥正確；

故答案為：①⑤.

16.①②⑥.

解：：拋物線的開口向上，

.'.a>0,

:與y軸的交點為在y軸的正半軸上，

.\c>0,

???①正確；

b

?二對稱軸為=-1,得2a=b,

2a

?:同號,即>>0,

abc>0,

???⑤錯誤；

???拋物線與％軸有兩個交點，

b2-44c>0，

???④錯誤；

當(dāng)％=1時，y=〃+Z?+C>0,

???②正確；

當(dāng)x=-1時，y—a-Z?+c<0,

???③錯誤；

9?a-Z?+c<0,4。=/?,

??c<^~3a,

??4〃c,

???⑥正確.

故填空答案：①②⑥.

17.(l)y=(x-2)2+l,頂點坐標(biāo)為(2.1)

(2)見解析

(3)l<y<5

(1)解：VJ=X2-4X+5=(X-2)2+1,

，拋物線頂點坐標(biāo)為(2，D；

根據(jù)描點法畫二次函數(shù)圖象如下:

--2|-..........

(3)解：由圖象可知：當(dāng)0cx<3時，1<y<5.

故答案是：14y<5.

18.(1)y=x2-2x-3

⑵點D的坐標(biāo)為(-3+30,60-12)或g,-31

(1)解：設(shè)拋物線頂點坐標(biāo)為則拋物線解析式為y=(x-m)2-4,〃,

把A(—1,0)代入y=(x—m)2—4m中得：(―1-m)2—4m=0,

解得m=l,

??拋物線解析式為y=(工-1)2-4=爐_2%_3；

(2)解：在y=Y—2x—3中，當(dāng)％=0時，y=-3,

/.C(0,-3)；

在y三/_2x_3中，頂點尸(1,-4),

當(dāng)>=0時，/一2%—3=0,

解得：尤=3,或JT=—1,

故點8(3,0),

直線3P解析式為丁="+6,

將8(3,0),「(1,7)代入〉=依+6,

[3k+b=0

可得:

\k+b=—4

解得：k=2,b=-6；

故5P解析式為y=2x-6；

,：DEYx,E點的坐標(biāo)為(。,0),

D(a,2fl-6),

CE~=a2+32=a2+9,DE2=(6-2a)2=4/_24。+36,CD2=(a-0)2+(2a-6+3)2=5a2-12a+9,

當(dāng)NDCE=90°時，則CE2+CD2=DE2,

5。~—12。+9+u~+9=4a—-24。+36,

解得°=_3+3及或。=-3-3夜(舍去)，

當(dāng)Z.CDE=90°時，則CE2=CD2+DE2,

:.5a2—12a+9+4a2—24a+36=a2+9,2a2—9a+9=0,

3

解得。=；或。=3(舍去)，

???點0的坐標(biāo)為1|，-3)；

綜上所述，點D的坐標(biāo)為(-3+30,6近-12)或《T；

1

19.(l)y=-x29-x-4

75

(2)M(5,-),G(3,--)

(1)解：：二次函數(shù)y=1/+6x+c的圖象與X軸交于A(-2,0),8(4,0)兩點,

y=^(x+2)(x-4),

整理得＞=夫2_尤_4

則拋物線的表達式為：y=一元一4；

(2)解：存在，理由如下:

^.^y=；■尤2-尤一4的圖象交y軸于點C,

；.C（OT）,

???4-2,0）,

JAC=-2X-4,

當(dāng)以點A為直角頂點時，設(shè)直線AM與拋物線＞=交于點A,M,過點M作肱V，x軸

則/C4M=90。，

,?ZCAM=ZAOC=90°,

：.Z.CAN+ZMAN=/CAN+ZACO=90°,

即NM42V=NACO,

An21

tanAMAN=tanZACO=——=—=

OC42

MN1

即pn---=-,

AN2

設(shè)MN=r,

則⑷V=2r,NO=2—2,

即點M（2—2/）,

才巴M（2/一2"）代入y=；%2一%一4,

i9

m1r=-（2r-2）--（2r-2）-4,

解得廠=3.5或丁=—2（舍去），

???2x3.5—2=5,

則M（5,3.5）,

設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b,

???A（-2,0）,M（5,3.5）,

0=-2k+b

3.5=5k+b

k^-

解得2,

b=\

，直線AM的解析式為y=?+l.

當(dāng)以點C為直角頂點時，設(shè)直線CG與拋物線>=；/一尤一4交于點C,G,