難點03全等三角形的應用常考題型

（5大熱考題型）

麴型盤點N

題型一：全等三角形的性質

題型二：添加條件證明三角形全等

題型三：全等三角的綜合問題

題型四：角平分線性質定理

題型五：線段垂直平分線的性質與判定

.精淮提分

題型一：全等三角形的性質

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東濟南?中考真題）如圖，己知ZVWC絲ADEC,NA=60。，/3=40。，則/DCE的度數為

60°C.80°D.100°

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質、三角形內角和定理等知識點，掌握全等三角形的對應角相等

成為解題的關鍵.

先根據三角形內角和定理求得/ACB,然后根據全等三角形的對應角相等即可解答.

【詳解】解：：在VABC中，ZA=60°,ZB=40°,

ZACB=180°—ZA—=80°,

*/AAByADEC,

"CE=ZACB=80°.

故選C.

【變式1-1］（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖，在VABC中，AB=AC=A,N54C=120。，點。，E分別

是邊AB,BC上的動點，且AD=BE,連接AE,CD,當AE+CD的值最小時，NAEB的度數為（）

A

C.135°D.150°

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的判定和性質.將AWC拼接到△BEF,連接AF交BC

于點G,推出AE+CD=AE+砂NAF,當點E與點G重合時，AE+CD的值最小，據此求解即可.

【詳解】解：如圖，將"DC拼接到△BEF,連接AF交3C于點G,

A

:.CD=EF,AC=BF,NEBP=NTMC=120°,

AE+CD=AE+EF>AF,

二當A,E,尸三點共線，即點E與點G重合時，AE+CD的值最小,

AB=AC,ABAC=120°,

：.ZABC=ZACB=30°,

ZABF=150°,AB=AC=BF,

ZBAF=ZBFA=15°,

：.ZAGB=135°

即AE+CD最小時，/AEB的度數為135。.

故選：C.

【變式1-2］（2024.河北秦皇島.二模）如圖，△ABC四尸，有以下結論：①AC=AE；（2）ZFAB=ZEAB；

③EF=BC；④ZEAB=ZFAC.其中正確的個數是（）

E、

A

BFC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查的是全等三角形的性質；掌握三角形全等的性質是解題的關鍵.

根據已知找準對應關系，運用三角形全等的性質“全等三角形的對應角相等，對應邊相等”求解即可.

【詳解】解：ABC^AEF,

:.BC=EF,ZBAC=ZEAF,故③正確；

:.ZEAB+ZBAF=ZFAC+ZBAF,

即NE4B=NE4C,故④正確；

AC與AE不是對應邊，不能求出二者相等，也不能求出=

故①、②錯誤；

.?.正確的有③④共2個.

故選：B.

【變式1-3］（2024?四川成都?模擬預測）如圖，CAE/EBD,C4LAB,且NICE=55。，則/由定的度數

【分析】本題考查了全等三角形的性質以及直角三角形的性質等知識，熟練掌握全等三角形的性質是解題

的關鍵.

【詳解】解：

NA=90。，

又：NACE=55。，

ZAEC=90°—ZACE=90°一55°=35°,

又,：-CAEW'EBD,

NBDE=ZAEC=35°,

故答案為：35°.

5.(2024.江蘇鎮江?中考真題)如圖，ZC=ZD=9O°,ZCBA=ZDAB.

(1)求證：ABC^BAD；

⑵若/D4B=70。，則'

【答案】（1）答案見解析

（2）20

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解

題的關鍵.

（1）利用A4s即可證得，ABCqBAD；

（2）先根據三角形內角和定理求出NDR4的度數，再根據全等三角形的性質即可得出的度數.

【詳解】⑴證明：在VABC和aRW中，

ZC=ZD=90°

，ZCBA=DAB

AB=BA

ABC^BAD（AAS）.

（2）解：ZDAB=70。,ID90?,

ZDBA=90°-70°=20°,

由（1）知。

:.ZCAB^ZDBA^20°,

故答案為：20.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?江蘇南通?模擬預測）下面四個幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖是全等圖形的幾何圖形是（）

A.圓柱B.正方體C.三棱柱D.圓錐

【答案】B

【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖及全等圖形的概念，熟練掌握常見幾何體的三視圖是解題的關鍵.根

據簡單幾何體的三視圖逐個判斷即可.

【詳解】解：A.圓柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是圓形，故此選項不符合題意；

B.正方體的三視圖都是正方形，且大小一樣，即全等，故此選項符合題意；

C.三棱柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是三角形，故此選項不符合題意；

D.圓錐的主視圖和左視圖是三角形，俯視圖是帶圓心的圓，故此選項不符合題意；

故選：B.

2.（2024?江蘇常州?模擬預測）如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC平分/54D,ZBCA=2NDCA,點、E

在AC上，/EDC=ZABC.若8c=5,CD=2石，AD=2AE,則AC的長為.

■小人.16,_1

【答案】—/5-

33

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，解

題關鍵是注意探究題中的隱含條件，通過適當添加輔助線構造全等三角形和相似三角形；

根據角平分線的特點，在上截取=連結CF,構造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的

性質求出AC的長；

【詳解】解：如圖，在A8上取一點產，使=連接C/,

:.ZFAC^ZDAC,

AC=AC,

:..AEC%ADC(SAS),

:.CF=CD,AFCA=ADCA,AAFC=AADC,

ZFCA+ZBCF=NBCA=2NDCA,

:.ZDCA=ZBCF,

即ZDCE=ZBCF,

/EDC=ZABC,即NEDC=NFBC,

DCEsBCF,

/DEC=/BFC

BC=5,CF=CD=25

.C￡=CD^F=M=4；

BC5

ZA￡D+ZDEC=180°,

ZAFC+ZBFC=180°,

:.ZAED=ZAFC=ZADC,

:.ZEAD=ZDAC,

:._EAD^_DACf

AD=2AE,

.AD_l

,AP-AC-2，

4416

二.AC=2AD=4AE=-CE=-x4=—,

故答案為：—

3.（2024.上海?模擬預測）如圖，已知點A,B,C在同一直線上，點3在點A,。之間，點0,E在直線AC

同側，AB<BC,/A=/C=90。，EABmBCD,連接。E,設=BC=b,DE=c,下列結論正

確的數量為（）

1aBbJ

(1)a+b<c(2)Ja?+正<b(3)V2(tz+b)>c

A.0C.2D.3

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質，過點。作。尸?AC,則四邊形ABG尸、BCDG是

矩形，即可判斷（1）；根據，E鉆絲BCD可以得BE=BD,然后根據勾股定理即可判斷（3）；根據全等三

角形得到AE=3C=6,然后利用勾股定理判斷（2）.

【詳解】（1）過點。作D尸AC,交4E于點尸，過點B作3GLFD.交尸￡）于點G.

二DF±AE,

又，:BG1FD,

：.BGAE,

.??四邊形ABG尸為矩形，

同理可得，四邊形BCDG也為矩形，

FD=FG+GD=a+b,

.?.在RtEFD中,直角邊a+6<c.

故(1)正確，符合題意；

(2),?EAB竺BCD.

：.AE=BC=b,

在RtEAB中，BE=yjAB2+AE2=yJ(T+b2,

AB+AE>BE,

.,.〃+/?>J，+/,

故(2)正確，不符合題意；

(3)EAB0BCD,

ZAEB=/CBD,BE=BD,

又：ZAEB+ZABE=90°,

:"CBD+ZABE=9伊,

:.ZEBD=9Q°,

BE=BD,

:./BED=NBDE=45。，

:.BE=y/a2+b2=^c,

c=y/2y/a2+b2，

.?.(A/I]2(a3-&)?=2(a2+2^+^2)=2(a2+&?)+ab>(a+b),

:.y/2(a+b)＞c,故(3)正確，符合題意；

故選：C.

4.(2024?廣東汕頭?一模)如圖，VA3C和△OCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC^BC,

DC=EC,連接AD,BE.

⑴求證：AACD沿ABCE；

(2)直接寫出A￡＞和BE的位置關系.

【答案】(1)見解析

(2)AD±BE

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形兩銳角互余，對頂角相等，證明△ACD四△3CE

是解答本題的關鍵.

(1)先證明/ACD=/3CE,然后根據SAS即可證明△ACD絲△BCE；

(2)延長AD交8E于點R交BC于點N,由全等三角形的性質得/。S=NCBE,由/。ID+/ANC=90。

可證NCBE+/3NF=90。，進而可證結論成立.

【詳解】(1)VZACB=ZDCE=90°,

：.ZACB-/BCD=ZDCE一/BCD,

Z.ZACD=NBCE,

VAC^BC,DC=EC,

：..AC￡＞瑪BCE(SAS)；

(2)延長AD交正于點交BC于點N

B

'：Z\ACD^Z\BCE,

：.ZCAD=ZCBE

,：ZACB=90°,

：.ZCAD+ZANC^90°,

ZANC=ZBNF,

NCBE+NBNF=90。,

：.NBFN=90。,

：.AD±BE.

5.（2024.山西?模擬預測）綜合與實踐

【問題情境】

“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，

表示為7ABe和4DFE,其中ZACB=ZDEF=90°,ZA=ZD,將7ABe和4DFE按圖2所示方式擺放，

其中點2與點尸重合（標記為點B）.當4RE=NA時，延長DE交AC于點G,試判斷四邊形3CGE的形

狀，并說明理由.

【數學思考】

（1）請你解答以上老師提出的問題；

【深入探究】

（2）老師將圖2中的一八郎繞點8逆時針方向旋轉，使點E落在VABC內部，讓同學們提出新的問題并請

你解答此問題.

“善思小組’'提出問題：如圖3,當=時，過點A作4〃，BE交BE的延長線于點M,BM與AC

交于點N.證明：AM=BE.

【拓展提升】

（3）如圖4,當NCBE=44C時，過點A作A"，DE于點X,若BC=3,AC=4,求AH的長.

9

【答案】（1）正方形，見解析；（2）見解析；（3）|

【分析】對于（1）,先根據“三個角是直角的四邊形是矩形”證明四邊形3CGE為矩形，再根據一ACB二一

得BC=BE,即可得出答案；

對于（2）,先根據“等角對等邊”得AN=3N,進而確定再根據三角形面積相等得BC=A",

然后由（1）得出答案；

對于（3）,設A8,OE的交點為并作根據,ACB/DEB得出NCBE=/DBM,再根據“等

角對等邊”得=再根據勾股定理求AB,

進而求出DG,然后由cosND=V1=空，求出DM,可得再證明根據相似三

DMBD

角形的對應邊成比例得A笠J-f=黑A]\4，即可得出答案.

BEBM

【詳解】（1）結論：四邊形5CGE為正方形.

理由如下：

ZBED=90。,

/.ZBEG=180。—/BED=90°,

ZABE=ZA,

AC//BE,

/.ZCGE=ABED=90°,

ZC=90°,

二?四邊形3CGE為矩形.

AC的DEB,

BC=BE.

「?矩形BCGE為正方形；

（2）證明：ZABE=ABAC,

:.AN=BN,

,ZC=90°,

.\BC.LAN.

AM.LBE,即AM_L5N,

S.^-ANBC^-BNAM,

皿BW22

AN=BN,

:.BC^AM.

由（1）得BE=BC,

:.AM=BE-,

(3)解：如圖，設AB,DE的交點為M,過M作MGLBD于點G,

一.BE=BC=3,DE=AC=4,DB=AB,ABAC=ZD,XABC=Z.DBE,

:.ZCBE=ZDBM.

/CBE=/BAC,

.\ZDBM=ZD,

:.MD=MB.

MG±BDf

???點G是80的中點,

由勾股定理得AB=A/AC2+BC2=5，

/.DG=-BD=-

22

2=四DE

DMBD

X5

DG-BD_225,

:.DM

DE-48

25

^BM=DM=—

8

2515

:.AM=AB-BM=5——=—

88

AH±DE,BEJ.DE,ZAMH=ZBME,

BME,

._AM3

.?法一血—

339

:.AH=—BE=—x3=—,

555

9

即AH的長為

【點睛】本題主要考查了正方形的判定，全等三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，余弦

等，勾股定理是求線段的長的常用方法.

題型二：添加條件證明三角形全等

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東德州?中考真題）如圖，C是48的中點，CD=BE,請添加一個條件,使

ACD^CBE.

【答案】40=直或/4€?=/3

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定.熟練掌握全等三角形的判定定理，是解決問題的關鍵.

要使ACD^,.CBE,已知AC=3C,CD=BE,則可以添加一對邊AD=CE,從而利用SSS來判定其全等，

或添加一對夾角NACD=N3,從而利用SAS來判定其全等（填一個即可，答案不唯一）.

【詳解】解：是A8的中點，

AC^BC,

,/CD=BE,

二添加AD=CE或NACO=,

可分別根據SSS、SAS判定aACZ注二CBE（填一個即可，答案不唯一）.

故答案為：AD=CE或ZACD=ZB.

【典例2】（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，VABC中，D是A3上一點，CF//AB,D、E、尸三點共

線，請添加一個條件,使得AE=CE.（只添一種情況即可）

【答案】DE=EF或AD=CF（答案不唯一）

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答.根

據題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一.

【詳解】解：

，ZA=NECF,ZADE=Z.CFE,

.?.添加條件=,可以使得，ADE=CFE（AAS）,

添加條件AD^CF,也可以使得，ADE^CFE（ASA）,

：.AE^CE；

故答案為：DE=EF或AD=CF（答案不唯一）.

【變式2-1］（2024?湖南株洲?模擬預測）如圖，銳角三角形ABC中，NABC=ZACB,點D,E分別在邊A8,

AC上，連接BE,CD.下列命題中，假命考是（）

A.若ZACD=ZABE,則CD=3EB.若BD=CE,則3E=CD

C.若CD=BE,^\ZACD=ZABED.若=則=

【答案】C

【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質.由NABC=NACB,可得筋=AC,

再分別利用全等三角形的判定和性質即可得出結論.

【詳解】解：：乙鈣C=/ACB,

AB=AC,

若NACD=NABE,又NCAD=NBAE,AB=AC,

△CAZ涇△BAE(ASA),

：.CD=BE,則原命題是真命題，故選項A不符合題意；

若BD=CE,：.AD=AE,又NCAD=NBAE,AB=AC,

.C4。與BAE(SAS),

CD—BE,則原命題是真命題，故選項B不符合題意；

若CD=BE,又/CAD=/BAE,AB=AC,

不能證明，C4D與_54E全等，則NAC。與NA6E1不一定相等，

則原命題是假命題，故選項C符合題意；

若AD=AE,又NCAD=NBAE,AB=AC,

：..CAD^SA￡(SAS),

ZACD=ZABE,

---ZABC=ZACB,

:./CBE=/DCB,則原命題是真命題，故選項D不符合題意；

故選：C.

【變式2-2](2024?四川成都?模擬預測)如圖，已知A3與C。相交于點O,AC//BD.只添加一個條件，

能判定△AOC四△300的是()

Azn

A.AO^DOB.AO=BOC.ZA=ZBD.NAOC=NBOD

【答案】B

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，ASA,

ASA,SSS,SAS,HL.根據全等三角形的判定方法，逐項進行判斷即可.

【詳解】解：

AZA=ZB,ZC=ZD.

A.添加AO=DO不能判斷△AOC/ABOD,故此選項錯誤；

B.添加40=30可以根據—5或"5能夠判斷440。絲43。￡>,故此選項錯誤；

C.添加NA=NB,不能判斷△AOC/△38,故此選項錯誤；

D.添加/4OC=/3O￡>,不能判斷△AOC絲△38,故此選項錯誤.

故選：B.

【變式2-3］（2024?貴州黔東南.一模）如圖，點A,B,C,。在同一直線上，AB=DC,EC=FB,

在①=②屆〃EB這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充在上面的橫線上，并加以解答.

【答案】見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，選擇①利用SSS證明AAEC沿ADFB,即可;選擇②,利用SAS,

證明△AEC/ZXDEB,即可.

【詳解】證明：選條件①，AB=DC,

AB+BC=DC+BC,

AC=DB,

AE=DF,

在△AEC和△DFS中，\AC=DB,

EC=FB,

AAECdDF6（SSS）,

:.ZA=ZD,

AE//DF.

選條件②，EC//FB,

ZACE=ZDBF,

AB=DC,

:.AB+BC=DC+BC,

AC=DBf

'AC=DB,

在AAEC和/\DFB中,乙ACE=/DBF,

EC=FB,

AECqDFB,

/.ZA=ZD,

AE//DF.

【中考模擬即學即練】

1.（2024.北京西城二模）如圖，點C為線段AB的中點，NBAM=NABN,點3E分別在射線AM,BN上,

NAC￡＞與/BCE均為銳角，若添加一個條件一定可以證明VACD^VBCE,則這個條件不能是（）

A.ZACD=NBCEB.CD=CE

C.ZADC=/BECD.AD=BE

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵.選用哪

一種方法，取決于題目中的已知條件.

由于AC=3C,ZA=NB,則可根據全等三角形的判定方法可對各選項進行判斷.

/.AC=BC,

ZA=ZB,

二?A、當添加NACO=/BCE時，VACD^VBCE（ASA）,故本選項不符合題意；

B、當添加CD=CE時，不能確定VAQ汪V3CE,故本選項符合題意；

C、當添加NADC=/3EC時，ACDWBCE（AAS）,故本選項不符合題意；

D、當添加ADuBE時，△ACD/△BCE（SAS）,故本選項不符合題意.

故選：B.

2.（2024?黑龍江雞西?二模）如圖，已知=ZA=ZD,請你添加一個條件（一個即可）：

使/\ABC^/\DEC.

c

【答案】NACB=NOCE（合理即可）

【分析】本題是開放性題目，考查了全等三角形的判定，由已知條件：AB=DE,ZA=ZD,再添加一組

角相等或AC=DC即可證明全等.

【詳解】添加條件：ZACB=NDCE；

證明：?:AB=DE,ZA=ZD,ZACB=Z.DCE

：./XABC0△DEC（AAS）,

故答案為：NACB=NDCE（合理即可）.

3.（22-23八年級上?福建福州?期中）如圖，AB=AC,點。，E分別在與AC上，CO與8E相交于點?只

填一個條件使得ABE^ACD,添加的條件是：.

【答案】ZB=/C（答案不唯一）

【分析】本題主要考查的是全等三角形的判定定理，根據全等三角形的判定定理添加條件即可.

【詳解】添加的條件是：NB=NC

VZB=ZC,AB=AC,ZA=ZA

：.AABE^AACD（SAS）

故答案為：ZB=NC（答案不唯一）.

4.（2024?北京?模擬預測）如圖，AD,3E是VABC的兩條高線，只需添加一個條件即可證明

（不添加其它字母及輔助線），（不添加其它字母及輔助線），這個條件可以是.（寫出

一個即可）

【答案】BD=AE(答案不唯一)

【分析】本題考查了添加條件使三角形全等，添加=通過“HL”即可證明熟練掌

握三角形全等的判定是解此題的關鍵.

【詳解】解：添加BD=AE,

AD,是VABC的兩條高線，

.-.ZBEA=ZADB=90°,

在RtAEB和RtBDA中，

jBD=AE

[AB=BA'

.'.RtAEB=RtBJDA(HL),

故答案為：BD=AE(答案不唯一).

5.(2024?河南安陽?模擬預測)如圖，在VABC和中，AD與3c相交于點0,BC=AD,添加一個條

件可以證明AC=3D.

(1)①N1=N2；@ZCAD=ZCBD-,③OC=OD；?ZC=ZD,上面四個條件可以添加的是(填序

號).

(2)請你選擇一個條件給出證明.

【答案】(1)①③

(2)詳見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定：

(1)添加①或③，即可；

(2)添加①，根據等腰三角形的判定可得。4=03,從而得到OC=OD,可證明，AOC絲MOD,即可；

添加③，可得。4=05,可證明即可.

【詳解】(1)解：上面四個條件可以添加的是①；

故答案為：①③

(2)若添加①N1=N2；

,/N1=N2,

OA=OB,

'：BC=AD,

：.OC=OD,

在449。和&50。中，

VOC=OD,NAOC=NBOD,OA=OB,

：.,AOC2BOD(SAS),

AC=BD；

若添加③OC=OD；

VBC=AD,OC=OD,

：.OA=OB,

在△AOC和中，

VOC=OD,NAOC=/BOD,OA=OB,

/..AOC^BOD(SAS),

/.AC=BD.

6.(2024?江蘇鹽城?中考真題)已知：如圖，點A、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

若,則AB=CD.

請從①CE〃OF；②CE=DF；③NE=NF這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并

說明理由.

【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據平行線的性質得出=再由

全等三角形的判定和性質得出AC=BD,結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據全等三角形的

判定得出“AEC9,8ED（SAS）,結合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵.

【詳解】解：選擇①CE〃。尸；

VAE//BF,CE//DF,

；.ZA=ZFBD,ZD=ZECA,

*.?AE=BF,

AEC、BFD(AAS),

AC=BD,

：.AC-BC^BD-BC,即AB=CD；

選擇②CE=D尸；

無法證明AAEC會ABFD,

無法得出AB=CD；

選擇③NE=N廠；

,/AE//BF,

：.ZA=ZFBD,

"：AE=BF,ZE=NF,

：.tAEC^..BFD(ASA),

AC=BD,

AAC-BC=BD-BC,即AB=CD；

故答案為：①或③（答案不唯一）

7（2024?山東淄博?中考真題）如圖，已知AB=CD,點E,尸在線段3。上，且AF=CE.

請從①BF=DE；②/BAF=/DCE；③AF=b中.選擇一個合適的選項作為已知條件，使得

ZXABF烏ACDE.

你添加的條件是：（只填寫一個序號）.

添加條件后，請證明AECF.

【答案】①（或②）

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質及平行線的判定，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定

理與性質并靈活運用.利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解，再根據全等三角

形的性質及平行線的判定證明即可.

【詳解】解：可選取①或②（只選一個即可）,

證明：當選取①時，

在入鉆產與CD石中，

AB=CD

<AF=CE,

BF=DE

ABF^CDE(SSS),

:.ZB=ZD,

BF=DE,

:.BF+EF=DE+EF,

：.BE=DF,

在/AB石與VCDb中，

AB=CD

<NB=ND,

BE=DF

/.△ABE^ACDF(SAS),

..ZAEB=NCFD,

.\AE//CF；

證明：當選取②時，

在A4B尸與,CDE1中，

AB=CD

<ZBAF=ZDCE,

AF=CE

...AABF咨ACDE(SAS),

:.ZB=ZD,BF=DE,

:.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DFf

在445后與VCD產中，

AB=CD

</B=ND,

BE=DF

/.△ABE^ACDF(SAS),

ZAEB=NCFD,

.\AE//CF；

故答案為：①(或②)

題型三：全等三角的綜合問題

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東?中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點P之間的距離

,?、

gr

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具

【實踐活動】某班甲小組根據湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點8.測量A,8兩點間的距離以及/上4B

和NPBA,測量三次取平均值，得到數據：A5=60米，/PAB=79。，ZPBA=64°.畫出示意圖，如圖

【問題解決】（1）計算A,P兩點間的距離.

（參考數據：sin64°?0.90,sin79°?0.98,cos79°?0.19,sin37°?0.60,tan37°?0.75）

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2,選擇合適的點。，E,F,使得A,D,E在同一條直線上，SLAD=DE,ZDEF=ZDAP,當產,

D,P在同一條直線上時，只需測量跖即可.

D

F

圖2

(2)乙小組的方案用到了.(填寫正確答案的序號)

①解直角三角形②三角形全等

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據現場地形狀況選擇可實施的方案.

【答案】(1)A,尸兩點間的距離為89.8米；(2)②

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質的應用，解直角三角形的應用，靈活應用知識點是解本題

的關鍵；

(1)如圖，過8作于先求解A//=AB-cos79Oa60xQ19=11.4,

BH=AB-sin790工60x0.98=58.8,再求解ZAPB=37°及PH即可；

(2)由全等三角形的判定方法可得，血運，理才(ASA),可得心=跖，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，過B作于

=60米，ZPAB=79°,sin79°。0.98,cos79°?0.19,

AH=AB-cos79°-60x0.19=11.4,

BH=AB-sin79°?60x0.98=58.8,

VZPAB=79°,ZPBA=64°,

ZAPB=180°-79°-64°=37°,

：.tanZAPB=tan37°=—?0.75,

PH

.?"卷=784,

AP=AH+PH=11.4+78.4=89.8（米）；

即A,P兩點間的距離為89.8米；

(2),：AD=DE,ZDEF=NDAP，當歹，D,P在同一條直線上時,

ZADP=ZEDF,

_ADP^_EFD(ASA),

AP=EF,

只需測量跖即可得到AP長度；

???乙小組的方案用到了②；

【典例2】(2024?重慶?中考真題)在VABC中，AB=AC,點。是8C邊上一點(點。不與端點重合).點。

關于直線的對稱點為點E,連接AD,DE.在直線上取一點/，使/EFD=/BAC,直線所與直線

(1)如圖1,若乙84。=60。,8。<8,/54。=￡,求NAGE的度數(用含a的代數式表示)；

(2)如圖1,ABAC=6Q°,BD<CD,用等式表示線段CG與OE之間的數量關系，并證明；

(3)如圖2,若NMC=90。，點。從點8移動到點C的過程中，連接AE,當△AEG為等腰三角形時，請直

接寫出此時穿的值.

ACJ

【答案】(1)60。+夕

(2)CG=|A/3DE

【分析】(1)由三角形內角和定理及外角定理結合/瓦Z>=N54C即可求解；

(2)在CG上截取CM=8D,連接3M交A￡)于點X,連接先證明，再證明四邊形EBMG

是平行四邊形，可得CG=2BD,記AB與DE的交點為點N,則由軸對稱可知：DEJ.AB,NE=ND,再

解RtABND即可；

(3)連接BE,記A8與的交點為點N,由軸對稱知=,DELAB,NE=ND,

ZEBA=ZDBA=45。，當點G在邊AC上時，由于NEAG>90。，當AAEG為等腰三角形時，只能是AE=AG,

同（1）方法得ZBAD=tz,ZAGE=a,Rt^AbG中，a+2（z=90°,解得tz=30。，然后=解直角

三角形，表示出AG=2x,CG=(73-l)x,即可求解；當點G在C4延長線上時，只能是GE=G4,設

NBAD=NBAE=0,在Rt.AEE中，90。一6+180。-26=90。，解得￡=60。，設G/=x,解直角三角形求

出CG=(5+有卜，即可求解.

【詳解】⑴解：如圖，

?:NEFD=NBAC,ZBAC=60°,

：.ZEFD=6O0

?：/EFD=/1+/BAD=/1+a,

???N1=6O。—a,

NAGE+N1+NB4c=180。，

??.ZAGE=180°-60°-Z1=120°-Z1,

.?.AAGE=120°-（60°-cr）=60°+cr；

（2）解：CG=|V3DE,

在CG上截取=連接創BM交AD于點H,

???VBC4為等邊三角形,

??.ZABC=ZC=6009BC=ABf

???AABD^ABCM,

??./3=/4,

?.,NAHM=N3+N5,

???ZAHM=N4+N5=60。，

?；NEFD=/BAC=60。,

:.ZAHM=ZEFD,

：.EG//BM,

??,點D關于直線AB的對稱點為點E,

：.AE=AD,BE=BD,ZABE=ZABC=60°,

???ZEBC=120°,

???Z￡SC+ZC=180°,

EB//AC,

???四邊形EBMG是平行四邊形,

；?BE=GM,

：.BE=GM=BD=CM,

：.CG=2BD,

記AB與DE的交點為點N,

則由軸對稱可知：DELAB,NE=ND,

ARtDNB中,DN=BDsinZABC=—BD,

2

???DE=2DN=6BD,

?空=翹_二6

…DEy[3BD37'

??.CG=-y/3DE；

3

(3)解：連接記A5與。石的交點為點N,

?.?AB=AC,ZEFD=ABAC=90°,

???ZABC=45°,

由軸對稱知/EAB=ZDAB,NEBA=/DBA=45°,DELAB,NE=ND,

當點G在邊AC上時，由于NE4G>90。，

???當△AEG為等腰三角形時，只能是AE=AG,

同(1)方法得ZBAD=a,AAGE=oc,

ZEAB=a,

/./LEAD=2a,

,:AE=AG,EG±ADf

：./FAG=NEAD=2a,

尸G中，a+2c=9。。，解得&=30。，

AZ￡XP=60°,1^AE=AD,

???△AED為等邊三角形，

:?AE;ED,

設AF=x，

???NE4￡>=60。，

：.AG=AE=ED=——=2x,

cos60°

???DN=x,

???在Rt/xnw中,AN=———=^DN=后,

tan/DAB

?.?DELAB,ZABC=45°f

DN

：.BN=--------=DN=x,

tan45°

***AC=AB=6x+x,

CG=AC-AG=5/ir+x-2_r=(6—l);c,

.CG73-1

??----=--------;

AG2

當點G在C4延長線上時，只能是GE=G4,如圖:

設/BAD=/BAE=0,

ADAC=ZGAF=90°-J3,NE4/=180。一2分,

.?.ZGAE=ZEAF-ZGAF=90°-J3,

GE=GA,

：.ZGAE=ZGEA=90。—2，

?；NEFD=ZBAC=90。

???在RtA尸石中，90°-/?+180°-2/?=90°,

解得分=60。，

NZMC=90。—600=30°=NG4F,

^GF=x,貝UAG=G￡=2x,AF=6X,

在RtAEE4中，EF=2x+x=3x,由勾股定理求得AE=2氐,

在RtZ\EAN中,AN=AEcos600=后，EN=DN=BN=AEstn3=3x,

**-AB=AC=3x+^/3x,

JCG=AG+AC=（5+⑹％,

.CG_73+5

??--------,

AG2

綜上所述：生=也生或叵

AG22

【點睛】本題考查了三角形的內角和，外角定理，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，

解直角三角形，等腰三角形的分類討論，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是

解題的關鍵.

【變式3-1］（2023?湖南岳陽?一模）如圖，在VABC中，AB=AC,D、E是3C邊上的點.請從以下三個

條件：①BD=CE；②NB=NC；③=中，選擇一個合適的作為已知條件，使得=

（1）你添加的條件是（填序號）;

（2）添加了條件后，請證明=

【答案】（1）①（答案不唯一）

（2）見解析

【分析】（1）利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解即可；

（2）結合（1）進行求解即可.

【詳解】（1）解：可選取①或③（只選一個即可），

故答案為：①（答案不唯一）；

（2）證明：當選取①時，

AB=AC,

:.NB=NC,

在與"CE中，

AB=AC

<ZB=ZC,

BD=CE

.?△ABD絲△ACE（SAS）,

AD=AE；

當選取③時，

AB=AC,

:./B=NC,

在與"CE中，

ZBAD=ZCAE

<AB=AC,

ZB=ZC

;._AW4CE（ASA）,

AD=AE.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質并靈活

運用.

【變式3-2］（2024九年級下.全國?專題練習）如圖，在VABC和，。斯中，點A、E、8、。在同一條直線上，

AC//DF,AC=DF,只添加一個條件，不能判斷的是（）

E

H

FD

A.AE=DBB.NC=NFC.BC=EFD.ZABC=NDEF

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，先證明/4=",再根據三角形全等的判定方法做出選擇即

可.

【詳解】解：〃。尸,

ZA=ZD,

A,VAE=DB,ZA=ZD,AC=DF,：.AE+EB=DB+EB,：.ABC咨DEF（SAS）,該選項不符合題意;

B>VZC=ZF,AC=DF,ZA=ZD,：.ABC2DEF（ASA）,該選項不符合題意；

C、BC=EF,ZA=ZD,AC=D廠不能判斷“BC2該選項符合題意；

D、：ZABC=/DEF,ZA=ZD,AC=DF,：.ABC^D￡F（AAS）,該選項不符合題意.

故選：C.

【變式3-2］（2024?四川南充?模擬預測）如圖，在VABC中，ZACB=90°,ZCAB=35°,將VABC沿A8邊

所在直線翻折得△ABC,連接CC交AB于點。，則NBCC的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】A

【分析】本題考查由翻折，全等三角形的性質，由翻折得到ABC^ABC,43，。。'即可得到3。=3。，

ZABC=ZABC,ZACB=ZACB=90°,然后根據余角的性質得到ZBCC=Z.CAB=90°-ZACC=35°即

可.

【詳解】???將VA3C沿48邊所在直線翻折得△ABC,

￡ABC^,ABC,ABICC,

.：BC=BC,ZBDC'^ZAC'B^90°,NC'AB=NC4B=35°,

?.NBC'C=Z.CAB=90°-ZAC'C=35°,

故選：A.

【變式3-3］（2023?四川成都?二模）如圖，08是NAOC內的一條射線，D、E、尸分別是射線。4、射線。3、

射線OC上的點，D、E、F都不與0點重合，連接即、EF,添加下列條件，能判定MOE與R9E的是（）

A.NDOE=NEOF,NODE=NOEFB.OD=OF,EDLOA,EFYOC

C.DE=OF,/ODE=/OFED.OD=OF,ZODE=ZOFE

【答案】B

【分析】運用全等三角形的判定方法逐項判定即可.

【詳解】解：A.NDOE=NEOF,NOZ）E=/OEF不符合對應邊、對應角相等，故不能證明_OOE絲FOE,

故不符合題意；

B.OD=OF,EDLOA,EF1OC,運用HL可證DOE-FOE,故符合題意；

C.DE=OF,=不符合對應邊、對應角相等，故不能證明aOOE/FOE,故不符合題意；

D.OD=OF,/ODE=/O用再加上隱含條件OE=OE,運用SSA不能證得一。故不符合題

不一

故選B.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，知道SSA不能判定三角形全等是解答本題的關鍵.

【變式3-4］（2024.湖南長沙.模擬預測）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,NR4c的平分線交BC于點D,

過點。作DESAB于點E.

AB

E

(1)求證：AC=AE；

(2)若AC=4,BC=3,求CD的長.

【答案】(1)證明見解析；

4

(2)C￡)的長為

【分析】(1)根據角平分線的性質得到DE=CD,再證明Rt-CD/Rt&l￡D即可得到AC=AE；

(2)根據勾股定理求得AB=5,設CD=x,則OE=CD=x,BD=3-x,再應用勾股定理即可求解.

本題考查了解平分線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，掌握相關知識是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：80是N3AC的角平分線，ZC=90°,DEJ.AB,

：.DE=CD,

[DE=CD

?[AD=AD'

RtACD^RtAED(HL),

AC=AE；

(2)解：；/C=90。,AC=4,BC=3,AC^AE,

AB—y]AC2+BC2=J42+3?=5，—AC=4,

/.BE=AB—AE=T,

設CD=x,則DE—CD-x,BD—3—x,

在RtBEE(中，DEr+BE1=BDT,

即x2+l2=(3-x)2,

4

解得：x=§，

4

CD的長為

【變式3-5](2024?浙江寧波?三模)如圖，在6x6的方格紙中，有VABC,僅用無刻度的直尺，分別按要求

圖I圖2

(1)在圖1中，找到一格點。，使VABC與ACD全等;

(2)在圖2中，在8C上找一點E,使得S項E：?CE=2:3.

【答案】(D見解析

(2)見解析

【分析】本題考查作圖一應用與設計作圖，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識,

解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

(1)構造平行四邊形ABC。即可；

(2)取格點P,Q,連接尸。交于點E,連接AE即可(利用相似三角形的性質./CEs.QBE,證明：

BE:EC=BQ:PC=2:3).

【詳解】(1)解：如圖1中，點。即為所求；

(2)如圖2中，點E即為所求.

【中考模擬即學即練】

1.(2024?山東煙臺?中考真題)某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下,

其中射線。尸為—AO3的平分線的有()