求景值中的幾何摟型

題型量詼I婁晏檢惠，［通―

題型他透

模型01將軍飲馬模型

將軍飲馬模型在考試中主要考查轉化與化歸等的數學思想，該題型綜合考查學生的理解和數形結合能力

具有一定的難度,也是學生感覺有難度的題型.在解決幾何最值問題主要依據是:①將軍飲馬作對稱點;②兩

點之間，線段最短；③垂線段最短，涉及的基本知識點還有:利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三

邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等;希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識.

模型02建橋選址模型

建橋選址模型，即沿一個方向平移的定長線段兩端到兩個定點距離和最小,解題時需要理清楚是否含有

定長平移線段，且利用平移求出最短路徑位置.求解長度時若有特殊角，通常采用構造直角三角形利用勾股

定理求解的方法.該題型主要考查了在最短路徑問題中的應用，涉及到的主要知識點有矩形的性質、平行四邊

形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理,解題的關鍵在于如何利用軸對稱找到最短路徑.

模型03胡不歸模型

胡不歸PA+型的最值問題:當看等于1時，即為“PA+PB”之和最短問題，可用我們常見的“將軍

飲馬，，問題模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理.當看不等于1時,若再以常規的軸對稱思想來解決問

題，則無法進行，因此必須轉換思路.此類問題的處理通常以動點P所在圖象的不同來分類，一般分為兩類研

究.即點P在直線上運動和點P在圓上運動.其中點P在直線上運動的類型通常為“胡不歸”問題.

更結?牌型福建;

模型01將軍飲馬模型

考I向I預I測

將軍飲馬模型問題該題型主要以選擇、填空形式出現，綜合性大題中的其中一問，難度系數較大，在各類考

試中都以中高檔題為主.本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質、

含30。角的直角三角形的性質、垂線段最短，解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉化為數學模型，把

兩條線段的和轉化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

答I題I技I巧

第一步：觀察所求為橫向還是縱向的線段長度（定長），將線段按照長度方向平移

第二步：同側做對稱點變異側，異側直接連線

第三步：結合兩點之間，線段最短;垂線段最短;三角形兩邊之和大于第三邊等常考知識點

第四步：利用數學的轉化思想，將復雜模型變成基本模型

霞型三例

⑴點A、B在直線小兩側

?-兩點連線，線段最短

［題目口（2023?四川）如圖，等邊三角形ABC的邊上的高為6,AD是BC邊上的中線，/■是線段AD上

的——個動點，后是AC中點，則EM+CM的最小值為.

A

（2）點A、B在直線同側

■

J?

\―}?"

?

B

???

題目0（2022?安徽）如圖,在銳角△48。中，6,ZABC=60°,/ABC的平分線交力。于點。，點P,

Q分別是皿，AB上的動點，則4P+PQ的最小值為（）

C

A.6B.6V3C.3D.3V3

模型02建橋選址模型

考|向|預|測

建橋選址模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現,一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考

查軸對稱——最短路徑問題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判定與性質，要利用“兩點之間

線段最短”等,但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化,即用與它相等的線段

替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題.目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進

行轉化.

答I題I技I巧

第一步：觀察點或圖形的變化規律，根據圖形的變化規律求出已知關鍵點的坐標；

第二步：分析變化規律得到一般的規律看是否具有周期性（如點變的循環規律或點運動的循環規律，點

的橫、縱坐標的變化規律等）

第三步：周期性的求最小周期看余數，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發現規律，根據最后的變化

次數或者運動時間登，確定要求的點與哪個點重合或在同一象限,或與哪個關鍵點的橫縱坐標

相等；

第四步：利用有理數的運算解題

簸型三停I

（1）兩個點都在直線外側：

輔助線:連接AB交直線m、n于點P、Q,則PA+PQ+QB的最小值為AB.

B

題目叵］（2022.湖北）如圖，在風△ABC中，乙4cB=90°,/48。=30°,47=2,以BC為邊向左作等邊

△BCE,點、。為AB中點,連接CD,點P、Q分別為CE、CD上的動點.求PD+PQ+QE的最小值為

（2）一個點在內側，一個點在外側：

3

輔助線:過點B作關于定直線n的對稱點B',連接AB,交直線小、幾于點P、Q,則PA+PQ+QB的最

小值為AB'.

H'

題目⑷（2023?山東）如圖，在知=槳=4■中，AB=6,PD=JCQ,QC=JQB,直線=是

需JT.OJJNO

PDnBC中舞=隰=±邊的垂直平分線，AP=［人。是直線CP=上的一動點，則SABPG=

OBBQ633

的周長的最小值為

O

⑶如圖3,兩個點都在內側：

輔助線：過點作關于定直線小、九的對稱點4、B，,連接40交直線小、九于點P、Q,則PA+

。口+。人的最小值為48.

題目回（2023.浙江）如圖所示，ZAOB=50°,/BOC=30°,OM=12,ON=4.點P、Q分別是。4、OB

上動點，則MQ+PQ+N產的最小值是.

模型03胡不歸模型

考|向|預|測?M

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生,主要考查轉化與化歸等的數學思想，近年在中考數學和各地的模擬考中常

以壓軸題的形式考查，學生不易把握.本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應試題分析,方便掌

握.在解決胡不歸問題主要依據是:點到線的距離垂線段最短.

答I題I技I巧

第一步：構造與kPB相等的線段，將“P4+fcPB”型問題轉化為“PA+PC”型；

第二步：借助三角函數，構造銳角a,將另一個系數也化為1；

第三步：利用“垂線段最短”原理構造最短距離；

第四步：數形結合解題

簸型三停I

題目⑹（2023?江蘇）如圖，口4BCD中，/D4B=45°,48=8,反7=3,9為邊8上一動點,則「6+

亨PO的最小值等于.

AB

真題-強化切練

題目①（2023?江蘇揚州）如圖所示，軍官從軍營C出發先到河邊（河流用AB表示）飲馬,再去同側的。地開

會，應該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個著名的“將軍飲馬”問題嗎？下列給出了四個圖形，你認為

符合要求的圖形是（）

題目囪（2023.浙江）如圖，等邊4ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線，F是4D邊上的動點，E是力。

邊上一點，若AE=2,當EF+CF取得最小值時，則ZECF=.

題目叵〕（2022.安徽）如圖，在平面直角坐標系中，AAOB=30°,F（5,0）,在OB上找一點加，在。4上找一

點N,使APMN周長最小,則此時"MN的周長為.

題目⑷（2023?廣東）如圖，在五杈\48。中，乙4cB=90°,AC=9,BC=12,AB=15,是/BAC的平分

線，若點P、Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是.

遮目回（2023?江蘇）如圖,高速公路的同一側有兩城鎮，它們到高速公路所在直線的距離分別為

47=2km,BD=4km,CD=8km.要在高速公路上C,D之間建一個出口P,使A,B兩城鎮到P的距

離之和最小，則這個最短距離為.

您?

題目回（2023?浙江）己知點P是△ABC內一點,且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫4ABC

的費馬點（Fermatpoint）.已經證明:在三個內角均小于120°的△ABC中，當NAPB=乙4PC=NBPC

=120°時，P就是LABC的費馬點.若點P是腰長為V2的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE

+PF=（）

A.2V3B.1+V3C.6D.373

題目兀（2023?浙江）如圖，平行四邊形ABCD中，=45°,AB=8,8。=2,P為邊CD上的一動點，

則PB+^-PD的最小值等于（）

DP

D.2V3

題目回（2023?四川）如圖，在4ABe中，ABAC=90°,=60°,AB=4,若。是邊上的動點，則2AD+

。。的最小值是（）

C.10D.12

題目司（2023?湖南）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型:

直線I同旁有兩個定點A.B,在直線I上存在點P,使得PA+PB的值最小.解法:如圖1,作人點關于直

線I的對稱點A，連接AB,則與直線Z的交點即為P,且PA+PB的最小值為AB.

請利用上述模型解決下列問題：

（1）幾何應用：如圖2,AABC中，90°,AC=BC=2,E是4B的中點，P是BC邊上的一動點，則PA

+PE的最小值為；

（2）幾何拓展:如圖3,4ABC中，2,乙4=30°,若在AB.力。上各取一點M、N使CM+MN的值最

小，畫出圖形,求最小值并簡要說明理由.

題目,（2023?陜西）在學習對稱的知識點時，我們認識了如下圖所示的“將軍飲馬”模型求最短距離.

問題提出：

（1）如圖1所示，已知是直線/同旁的兩個定點.在直線，上確定一點P,并連接AP與BP,使PA+

PB的值最小.

?B

問題探究：

（2）如圖2所示,正方形4BCD的邊長為2,E為4B的中點，P是AC上一動點.連接EP和BP,則PB+

PE的最小值是；

問題解決：

（3）某地有一如圖3所示的三角形空地AOB，已知ZAOB=45°,P是△AOB內一點，連接PO后測得PO

=10米,現當地政府欲在三角形空地AOB中修一個三角形花壇PQR,點Q,R分別是04,OB邊上的任

意一點（不與各邊頂點重合），求周長的最小值.

變天,簸空通美

題目［JD（2023?山東）如圖，已知點4（0,8）,5（0,-2）,E（0,5），F（-5,0）,。為直線EF上一動點，則

OACBD的對角線CD的最小值是（）

「版目叵（2023?上虞市）如圖，點P是ZAOB內任意一點，OP=6cm,點朋r和點N分別是射線和射線

OB上的動點，若△PA4N周長的最小值是6cm,則乙4OB的度數是（）

?M

B

N

A.15B.30C.45D.60

題目亙］（2023?山東）如圖，矩形ABC。的邊=—,BC=3,E為AB上一點，且力E=LF為AD邊上

的一個動點，連接EF,若以EF為邊向右側作等腰直角三角形EFG,EF=EG,連接CG,則CG的最小值

為（）

題目亙］（2023?四川）如圖，點河是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線6。上的動點，若AB=2,ZA

=120°,則PM+PC的最小值為（）

A.2B.V3C.V2D.1

:題目叵（2023?湖北）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點。恰好落在AB邊上的點M■處，。在3。上,點P

在線段AD上移動，若47=6,。。=3,8。=7,則4。兒田周長的最小值為.

、題目J6］（2023?北京）如圖，P是乙4OB內一定點，點N分別在邊OB上運動，若/AOB=30°,OP

=3,則△PMV的周長的最小值為

題目立（2023?廣東）如圖，菱形ABCD的邊長為6,%=120°.點P是對角線AC上一點（不與端點A重

題目運）（2023?廣東）如圖，在①△ABC中，乙民4。=90°,AB=2,AC=4.D,E分別是邊AB,AC上的動

點，且CE=2A。,則BE+2CD的最小值為.

題目亙（2023?內蒙古）如圖，己知菱形ABCD的邊長為8,點M是對角線力。上的一動點，且/ABC=

120°，則AM+MB+JWD的最小值是.

題豆JO］（2023?浙江）如圖，河的兩岸有A,B兩個水文觀測點,為方便聯絡,要在河上修一座木橋MN（河的

兩岸互相平行，垂直于河岸），現測得A,B兩點到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且4B兩點

之間的水平距離為12米，則AM+MN+NB的最小值是米.

題目H（2023?廣東）如圖所示，已知。為坐標原點，矩形ABCD（點A與坐標原點重合）的頂點D、B分別

在力軸、沙軸上,且點。的坐標為（-4,8），連接BD，將/\ABD沿直線BD翻折至△KBD,交CD于點E.

10

（i）求點n坐標.

（2）試在，軸上找點P,使AP+PB的長度最短,請求出這個最短距離.

版自叵（2023?吉林）數學興趣活動課上,小致將等腰4ABe的底邊與直線，重合.

（1）如圖（1）,在AABC中，AB=AC=4,2BAC=120°,點P在邊BC所在的直線I上移動，根據“直線外

一點到直線上所有點的連線中垂線段最短”，小致發現AP的最小值是.

（2）為進一步運用該結論，在⑴的條件下，小致發現,當AP最短時，如圖⑵，在AABP中，作4。平分

ABAP,交BP于點D,點E,F分別是邊4D,AP上的動點，連結PE、EF,小致嘗試探索PE+EF的最小

值，小致在AB上截取AN,使得AN=AF,連結NE,易證AAEFTA4EN,從而將PE+EF轉化為PE+

EN,轉化到（1）的情況,則PE+EF的最小值為；

（3）解決問題:如圖（3）,在△ABC中，/ACB=90°,/B=30°,AC=6,點。是邊CB上的動點，連結AD,

將線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AP,連結CP,求線段CP的最小值.

題目包（2023.河南）唐朝詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中

隱含著一個有趣的數學問題--將軍飲馬問題：

如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營.請

問怎樣走才能使總的路程最短？

作法如下:如圖1,從B出發向河岸引垂線,垂足為。，在BD的延長線上，取B關于河岸的對稱點S,連接

與河岸線相交于P,則P點就是飲馬的地方，將軍只要從人出發，沿直線走到P,飲馬之后，再由P沿

直線走到B,所走的路程就是最短的.

（1）觀察發現

如圖2,在等腰梯形ABCD中，48=8=人。=2,/。=120°,點￡；、干是底邊入。與5。的中點,連接

EF,在線段EF上找一點P,使BP+AP最短.

作點B關于EF的對稱點，恰好與點。重合，連接AC交EF于一點,則這點就是所求的點P,故BP+AP

???

的最小值為.

(2)實踐運用

如圖3,已知。O的直徑MN=1,點A在圓上，且AAMN的度數為30°,點B是弧AN的中點，點P在直徑

AW上運動，求BP+AP的最小值.

(3)拓展遷移

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(aW0)的對稱軸為2=1,且拋物線經過力(-1,0)、。(0,-3)兩點，與①軸

交于另一點B.

①求這條拋物線所對應的函數關系式；

②在拋物線的對稱軸直線c=l上找到一點使△ACM周長最小，請求出此時點河的坐標與△ACM周

長最小值.

求景值中的幾何摟型

題型量詼I婁晏檢惠，［通―

題型他透

模型01將軍飲馬模型

將軍飲馬模型在考試中主要考查轉化與化歸等的數學思想，該題型綜合考查學生的理解和數形結合能力

具有一定的難度,也是學生感覺有難度的題型.在解決幾何最值問題主要依據是:①將軍飲馬作對稱點;②兩

點之間，線段最短；③垂線段最短，涉及的基本知識點還有:利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三

邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等;希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識.

模型02建橋選址模型

建橋選址模型，即沿一個方向平移的定長線段兩端到兩個定點距離和最小,解題時需要理清楚是否含有

定長平移線段，且利用平移求出最短路徑位置.求解長度時若有特殊角，通常采用構造直角三角形利用勾股

定理求解的方法.該題型主要考查了在最短路徑問題中的應用，涉及到的主要知識點有矩形的性質、平行四邊

形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理,解題的關鍵在于如何利用軸對稱找到最短路徑.

模型03胡不歸模型

胡不歸PA+型的最值問題:當看等于1時，即為“PA+PB”之和最短問題，可用我們常見的“將軍

飲馬，，問題模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理.當看不等于1時,若再以常規的軸對稱思想來解決問

題，則無法進行，因此必須轉換思路.此類問題的處理通常以動點P所在圖象的不同來分類，一般分為兩類研

究.即點P在直線上運動和點P在圓上運動.其中點P在直線上運動的類型通常為“胡不歸”問題.

更結?牌型福建;

模型01將軍飲馬模型

考I向I預I測

將軍飲馬模型問題該題型主要以選擇、填空形式出現，綜合性大題中的其中一問，難度系數較大，在各類考

試中都以中高檔題為主.本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質、

含30。角的直角三角形的性質、垂線段最短，解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉化為數學模型，把

兩條線段的和轉化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

答I題I技I巧

第一步：觀察所求為橫向還是縱向的線段長度（定長），將線段按照長度方向平移

第二步：同側做對稱點變異側，異側直接連線

第三步：結合兩點之間，線段最短;垂線段最短;三角形兩邊之和大于第三邊等常考知識點

第四步：利用數學的轉化思想，將復雜模型變成基本模型

霞型三例

⑴點A、B在直線小兩側

?-兩點連線，線段最短

［題目0(2023?四川)如圖，等邊三角形ABC的邊上的高為6,AD是BC邊上的中線，/■是線段AD上

的——個動點，后是AC中點，則EM+CM的最小值為.

【答案】6

【詳解】解:連接8E,與交于點

?/AB=AC,AD是BC邊上的中線，

5、C關于AD對稱，則EM+CM=EM+BM,

則BE就是EM+CM的最小值.

?.?石是等邊△AB。的邊人。的中點，AD是中線

BE—AD—6,

.?.EA/+CM的最小值為6,

故答案為：6.

(2)點A、B在直線同側

?M

B

題目司（2022.安徽）如圖,在銳角△48。中，6,ZABC=60°,/ABC的平分線交于點。，點P,

Q分別是BD,AB上的動點，則AP+PQ的最小值為（）

A.6B.6A/3C.3D.3V3

【答案】。

【詳解】解:如圖，在BC上取E,使BE=BQ,連接PE,過人作Aff_LBC于

?.?BD是/ABC的平分線，AABD=^CBD,?：BP=BP,BE=BQ,：./\BPQ/\BPE（SAS）,

：.PE=PQ,：.AP+PQ的最小即是AP+PE最小，

當AP+PE=AH時最小，在RtAABH中，AB=6,ZABC=60°,

.?.AH=3，^,.?.4P+PQ的最小為3遍，

故選：D.

模型02建橋選址模型

考|向|預|測

建橋選址模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現,一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考

查軸對稱——最短路徑問題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判定與性質，要利用“兩點之間

線段最短”等,但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化,即用與它相等的線段

替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題.目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進

行轉化.

答I題I技I巧

第一步：觀察點或圖形的變化規律，根據圖形的變化規律求出已知關鍵點的坐標；

第二步：分析變化規律得到一般的規律看是否具有周期性（如點變的循環規律或點運動的循環規律，點

的橫、縱坐標的變化規律等）

第三步：周期性的求最小周期看余數，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發現規律，根據最后的變化

次數或者運動時間登，確定要求的點與哪個點重合或在同一象限,或與哪個關鍵點的橫縱坐標

相等；

第四步：利用有理數的運算解題

霞型三停I

（1）兩個點都在直線外側：

輔助線:連接AB交直線m、n于點P、Q,則PA+PQ+QB的最小值為AB.

題目⑶（2022?湖北）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90°,/ABC=30°,AC=2,以為邊向左作等邊

△BCE,點。為AB中點,連接CD,點P、Q分別為CE、CD上的動點.求PD+PQ+QE的最小值為

【答案】4.

【詳解】如圖，連接P4QB,

?M

?.?△BCE和△ADC都是等邊三角形，乙BCE=60°,乙4CD=60°,

ZACE=AACB-ZBCE=30°=yZACD,.?.CE垂直平分A。，：.PA=PD,

同理可得：CD垂直平分BE,.,.QB=QE,.?.PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,

由兩點之間線段最短可知,當點4P,Q,5共線時，PA+PQ+QB取得最小值AB,

故PD+PQ+QE的最小值為4.

(2)一個點在內側，一個點在外側：

輔助線:過點B作關于定直線n的對稱點B',連接AB,交直線小、n于點P、Q,則P4+PQ+QB的最

小值為AB'.

［題目⑷(2023?山東)如圖，在祟=需=3中，AB=6,PD=±CQ,QC=直線PD=3BQ是

CyQ2T.O332o

中簿=祟=］邊的垂直平分線，=是直線=上的一動點，則SABPC=

OBBQ633

?的周長的最小值為.

【答案】CQ=：BC

【詳解】解：?.?直線m垂直平分BC,r.B、。關于直線m對稱，

設直線小交AB于。，當P和。重合時，4P+CP的值最小，最小值等于4B的長,

.?.△APC周長的最小值是6+4=10.故答案為：10.

⑶如圖3,兩個點都在內側：

輔助線：過點作關于定直線m、n的對稱點4、0,連接49交直線于點P、Q,則PA+

PQ+Q4的最小值為4E.

5J（2023.浙江）如圖所示，ZAOB=50°,/BOC=30°,OM=12,ON=4.點P、Q分別是04、OB

上動點，則MQ+PQ+N尸的最小值是.

【答案】4V13

【詳解】解:如圖，作點N關于04的對稱點M,則NP=N'P,

作點河關于OB的對稱點M',則MQ=M'Q,：.MQ+PQ+NP=M'Q+PQ+N'P,

當N'M'在同一條直線上時取最小值,連接ON，,OM',

?/ZAOB=50°,ZBOC=30°則AN'OA=AAOC=NAOB—NBOC=20°,

ABOM'=/BOA=50°,^N'OM'=2x20°+30°+50°=120°,

?/ON'=ON=4,OM'=OM=12,/.AAON=AAOB-ZBOC=50°-30°=20°,

先作射線OM與射線ON關于對稱，由對稱的性質可知AAON'=20°,PN=PN',

6

同理作射線OM，與射線。W關于。8對稱，同理4BOM，=50°,QM=QM',

當N'、P、Q、四點共線時，MQ+PQ+NP最小，

則AN'OM'=AN'OP+AAOB+ABPM'=20°+50°+50°=120°,

作N'垂直OM，的延長線交于點E,：.AEON'=60°,AON'=ON=4,

在RtAN'OE中，AEN'O=30°,根據30°角所對的直角邊是斜邊的一半可知OE=2,

則EN'=2V3,OM=OM'=12，二EM'=OE+ON'=12+2=14,

則N'M=y/N'E2+N'M2=V142+(2V3)2=4V13.故答案為：4V13.

模型03胡不歸模型

考|向|預|測

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生,主要考查轉化與化歸等的數學思想，近年在中考數學和各地的模擬考中常

以壓軸題的形式考查，學生不易把握.本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應試題分析,方便掌

握.在解決胡不歸問題主要依據是：點到線的距離垂線段最短.

答I題I技I巧

第一步：構造與kPB相等的線段,將“P4+fcPB”型問題轉化為“P4+PC”型；

第二步：借助三角函數，構造銳角a,將另一個系數也化為1；

第三步：利用“垂線段最短”原理構造最短距離；

第四步：數形結合解題

題型三校I

題目回(2023?江蘇)如圖，LJABCD中，NDAB=45°,AB=8,5。=3,P為邊CD上一動點,則PB+

爭D的最小值等于.

/------7C

AB

【答案】4聲

【詳解】解:如圖，過點P作PE_LAD,交AD的延長線于點E,

?/AB//CD,2EDP=ADAB=45°,/.sinZEDP=黑=卷，:.EP=警PD，二PB+乎FD=PB

+PE,

當點B,點P,點E三點共線且BE_L4D時，PB+PE有最小值，即最小值為BE,

???sin/力=煞=殍，.?.m=<^8=警*8=4方，

7

故答案為：4

真題?強化和I線

題目刀（2023?江蘇揚州）如圖所示，軍官從軍營C出發先到河邊（河流用AB表示）飲馬，再去同側的。地開

會，應該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個著名的“將軍飲馬”問題嗎？下列給出了四個圖形，你認為

符合要求的圖形是（）

【答案】。

【詳解】解：由選項。中圖可知：

作。點關于直線AB的對稱點D,連接CZ7交于點N,

由對稱性可知，_DN=ZyN,

ACN+DN=CN+CD,

當C、N、D三點共線時，C7V+_DN的距離最短，

故選：D

題目習（2023.浙江）如圖，等邊△ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線，F是40邊上的動點，E是力。

邊上一點，若AE=2,當EF+CF取得最小值時,則AECF=.

【詳解】過E作EM//交AD于N,如圖所示：

VAC=4fAE=2,：.EC=2=AE,：.AM=BM=2,：.AM=AE,

49是BC邊上的中線，A4BC是等邊三角形，AD_LBC,EM7/BC,AD_L&W,

4W=AB,E和河關于AD對稱，連接CM交AD于F,連接EF,則此時E尸+CF的值最小，

?.?△ABC是等邊三角形，/ACB=60°,AC=BC,二人河:加，NECF=JZAC?=30°.

故答案為30°

題目⑶（2022?安徽）如圖,在平面直角坐標系中，AAOB=30°,P（5,0）,在OB上找一點M■，在04上找一

點N,使AWW周長最小,則此時ARWN的周長為.

【答案】5

【詳解】作點P關于03的對稱點。，作P點關于40的對稱點。，連接CD史OA于N,史OB于河，連接

MP,NP,OC,OD,：.CM=MP,NP=DN,

PM+PN+MN=CM+MN+DN>CD,：.當。、河、N、。點共線時，AP7W的周長最小，

?/ZBOA=30°,OP=OC=OB,：.ACOD=60°,△OCD是等邊三角形，：.CD=OP,

?：F（5,0）,：.OP=5,：.CD=5,.?.△PMN的周長最小值為5,

故答案為：5.

題目@（2023?廣東）如圖，在RtZkAB。中，乙4cB=90°,AC=9,BC^12,AB=15,AD是/BAC的平分

線，若點P、Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是.

【詳解】解:如圖，作Q關于AP的對稱點O,貝寸PQ=PO,所以O、P、。三點共線時,

CO=PC+PO=PC+PQ,此時PC+PQ有可能取得最小值,

當CO垂直于43即。。移到CM位置時，CO的長度最小，

.?.PC+PQ的最小值即為CM的長度，

S3c=9ABxCM=-j-AC乂CB,：.15cM=9x12,

9x12=36

??.CM=，即PC+PQ的最小值為尊,

1555

故答案為尊.

5

題目回（2023?江蘇）如圖,高速公路的同一側有A,B兩城鎮,它們到高速公路所在直線MN的距離分別為

AC=2km,BD=4km,CD=8km.要在高速公路上C,D之間建一個出口P,使A,B兩城鎮到P的距

離之和最小，則這個最短距離為

【詳解】解:如圖所示:作A點關于直線MN的對稱點4,再連接交直線MN于點P,

則此時4P+PB最小，過點B作理;_LC4交延長線于點E,

VAC=2km,BD=4km,CD=8km.

/.AE=4—2=2km,AA=4km,

/.AE=6km,BE=CD=8km,

在中，

AB—A/62+82=10km,

則AP+P石的最小值為10km.

故答案為：10km.

10

題目苴J（2023?浙江）已知點P是△AB。內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC

的費馬點（Femiatpoint）.已經證明：在三個內角均小于120°的△48。中，當乙4PB=/BPC

=120°時，P就是4ABC的費馬點.若點P是腰長為血的等腰直角三角形DEF的費馬點，則P。+PE

+PF=（）

A.2V3B.1+V3C.6D.3A/3

【答案】B

【詳解】解:如圖：等腰RtMJEF中，DE=DF=點,過點。作DM_LE尸于點”，過E、F分別作AMEP=

2則。“=卒，故DP=

4MFP=30°,則EM=DM=1,故cos30°=與惇解得：PE=PF=1

7FOO

-卒，則PD+PE+PF=2x^-+l-^-=V3+l.

OOO

［題目1（2023?浙江）如圖,平行四邊形ABCD中，/D4B=45°,AB=8,及7=2,P為邊CD上的一動點,

則PB+與PD的最小值等于（）

A.4V2B.3V3C.2V2D.2.73

【答案】A

【詳解】解:延長AD,過點B作BE_LAD交CD于點P,

?/四邊形ABCD為平行四邊形，/.AB//CD,：.2DEP=NDAB=45°,

BEYAD,/.DE=PE,則DE2+PE2^2DE?=PD2，則DE=半PD,

同理可得：BE=^AB,/.PB+^PD=PB+PE,

當點E、P、B在同一條直線上時，PB+警PD的值最小，

?/AB=8,：.PB+^PD=PB+PE=BE=^AB=472.

故選：A.

E

/?、、

［題目回（2023?四川）如圖，在△ABC中，/氏4C=90°,乙B=60°,AB=4,若。是邊上的動點，則2AD+

。。的最小值是（）

?M

【答案】。

【詳解】解:過點。作射線CE,使/8CE=30°,再過動點。作垂足為點F,連接4,如圖所示:

在Rt^DFC中，ADCF=30°,/.DF=-^DC,'：2AD+DC=2（AD+~DC）=2（AL?+DF）,

：.當在同一直線上，即AF_LCE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，

此時，ZB=ZADB=60,.?.△48。是等邊三角形，.[40=80=48=4,

在KtZXAB。中，ZA=90°,/B=60°,AB=4,.?.BC=8,.?.DF=^DC=2,,

：.AF=AD+DF=4+2=6,A2（AD+DF）=2AF=12,A2（AE>+Z>C）的最小值為12,

故選：D.

器9（2023?湖南）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：

直線I同旁有兩個定點力、B,在直線I上存在點P,使得PA+PB的值最小.解法:如圖1,作人點關于直

線I的對稱點A,連接AB,則A'B與直線1的交點即為P,且P4+PB的最小值為AB.

請利用上述模型解決下列問題：

（1）幾何應用：如圖2,/\ABC中，/。=90°,AC=口。=2,E是AB的中點，P是BC邊上的一動點,則PA

+PE的最小值為；

（2）幾何拓展:如圖3,/XABC中，AC=2,/A=30°,若在AB.AC上各取一點M、N使CM+MN的值最

小，畫出圖形,求最小值并簡要說明理由.

【答案】⑴函

（2）四，圖和理由見解析

【詳解】（1）解:如圖2所示，作點A關于BC的對稱點A,連接AE交BC于P,此時PA+PE的值最小.連

接BA',

12

由勾股定理得,BA=BA=^BC2+AC2=A/22+22=22，

是AB的中點，

/.BE==-^BA=V2,

???/C=90°,AC=BC=2,

：./ABC=/ABC=45°,

ZABA=90°,

APA+PE的最小值=AE=y/AB2+BE2=V(2V2)2+(A/2)2=VW.

故答案為：，語；

⑵解:如圖3,作點C關于直線AB的對稱點。,作C'N,于N,交于河,連接AC,

則C'A=CA=2,AC'AB=ACAB=30°,

:.ZCAC^60°

：.△C'A。為等邊三角形，

乙4CN=30°,

AN=^-C'A=1,

.,.CTW+MN的最小值為C'N=q*一弋=瓜.

題目亙）（2023?陜西）在學習對稱的知識點時，我們認識了如下圖所示的“將軍飲馬”模型求最短距離.

問題提出：

（1）如圖1所示，已知是直線/同旁的兩個定點.在直線，上確定一點P,并連接AP與BP,使PA+

PB的值最小.

?H

問題探究：

⑵如圖2所示,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點，P是AC上一動點.連接EP和BP,則PB+

PE的最小值是；

13

問題解決：

（3）某地有一如圖3所示的三角形空地AOB，已知ZAOB=45°,P是△AOB內一點，連接PO后測得PO

=10米,現當地政府欲在三角形空地AOB中修一個三角形花壇PQR,點Q,R分別是。人，邊上的任

意一點（不與各邊頂點重合），求周長的最小值.

【答案】（1）見解析

⑵祈

（3）1072

【詳解】（1）解:如圖所示，當P點在如圖所示的位置時,PA+PB的值最小;

⑵解:如下圖所示,

?.?四邊形4BCD是正方形，

AC垂直平分

：.PB=PD,

由題意易得：PB+PE=PD+PE>DE,

當。、P、E共線時，在&ADE中，根據勾股定理得，DE=