/河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)5月月考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。4.考試一、單選題（每小題5分，共計(jì)40分）1．已知由樣本數(shù)據(jù)組成一個(gè)樣本，可得到回歸直線方程為，且，則樣本點(diǎn)的殘差為（

）A．0.3 B．-0.3 C．1.3 D．-1.32．兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為，加工出來(lái)的零件放在一起，現(xiàn)已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍，則任意取出一個(gè)零件是合格品的概率是（

）A． B． C． D．3．已知下列說(shuō)法：①對(duì)于經(jīng)驗(yàn)回歸方程，變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加3個(gè)單位；②甲?乙兩個(gè)模型的分別為0.98和0.80，則模型甲的擬合效果更好；③對(duì)分類變量與，隨機(jī)變量越大，則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大；④兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1.其中說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．若，則等于（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)（a＞0且a≠1）是R上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．（0，] B．[） C． D．（]6．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知半徑為2的球O有一內(nèi)接正四面體，則（）A． B．C． D．8．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，（

）A．170 B．168 C．130 D．172多選題（每小題6分共計(jì)18分）9．李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時(shí)34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，則（

）A．P(X＞32)＞P(Y＞32)B．P(X≤36)＝P(Y≤36)C．李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車D．李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車10．已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線11．在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線（Cassinioval）.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積等于3，化簡(jiǎn)得曲線C.則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱 B．的最小值為C．面積的最大值為 D．的取值范圍為三、填空題（每小題5分，共計(jì)15分）12．已知某果園中獼猴桃單果的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，若從該果園中隨機(jī)挑選4個(gè)獼猴桃，則恰有2個(gè)單果的質(zhì)量均不低于的概率為.13．在銳角中，依次為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，已知，求的取值范圍為.14．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且，則的最大值為.四、解答題15．（13分）.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量，，，．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若，，，求的面積．16.（15分）定義運(yùn)算：，已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：；(3)證明：．17.（15分）如圖，在三棱錐中，，.

(1)證明：平面；(2)若是棱上一點(diǎn)且，求二面角的大小.18.（17分）某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果，某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020（1）若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率；（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）（2）用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，若表示抽到的精品果的數(shù)量，求的分布列.（17分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)別為，，離心率為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長(zhǎng)為，直線與E交于另一點(diǎn)C，直線與E交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P為橢圓E的下頂點(diǎn)，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)數(shù)學(xué)答案1．A【分析】先將中心代入回歸方程求出，將代入回歸方程求得，結(jié)合殘差的定義即可求解.【詳解】由題意知，將點(diǎn)代入，得，所以，將代入，解得，所以樣本點(diǎn)的殘差為.故選：A2．C【分析】根據(jù)全概率公式直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)“任意取出一個(gè)零件是第臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的”，；“任意取出一個(gè)零件是合格品”，.故選：C.3．B【分析】根據(jù)回歸方程、相關(guān)指數(shù)、卡方值、相關(guān)系數(shù)的實(shí)際意義判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】①對(duì)于經(jīng)驗(yàn)回歸方程，變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位，錯(cuò)；②甲?乙兩個(gè)模型的分別為0.98和0.80，由甲模型的值較大，故模型甲的擬合效果更好，對(duì)；③對(duì)分類變量與，隨機(jī)變量越大，變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大，對(duì)；④兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近1，錯(cuò).所以，錯(cuò)誤的共有2個(gè).故選：B4．C【分析】按照導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則求導(dǎo)即可．【詳解】．故選：C．5．C【分析】由題意可知，在R上單調(diào)遞減，則應(yīng)滿足在遞減，在遞減，且當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的值大于等于對(duì)應(yīng)的值，解出的范圍即可.【詳解】由題意，分段函數(shù)是在R上單調(diào)遞減，則應(yīng)滿足在遞減，即，在遞減，即，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的值大于等于對(duì)應(yīng)的值，即，所以解得∴a的取值范圍是.故選：C.本題考查分段函數(shù)在上單調(diào)，應(yīng)滿足各部分單調(diào)，且在分段處有相應(yīng)的大小關(guān)系，屬于中檔題.6．B【分析】由題意可得，令，根據(jù)奇偶性的定義，可得為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，將題干條件化簡(jiǎn)可得，即，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性即可求解.【詳解】由，得，記，則有，即為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，即，所以，所以，即，解得：，故選：B.7．C【分析】如圖，在正四面體中，作底面于，則為的中心，由，可得球心O在底面的射影也是，可得A，O，三點(diǎn)共線，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，求得a的值，即棱長(zhǎng)，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可得出答案.【詳解】解：如圖，在正四面體中，作底面于，則為的中心.因?yàn)椋郧蛐腛在底面的射影也是，于是A，O，三點(diǎn)共線，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則，，，所以，又，由此解得，故正四面體的棱長(zhǎng)為.，因?yàn)椋瑒t.故選：C.8．D【分析】先根據(jù)題意得到的值，再后續(xù)數(shù)列的周期性求得，從而得解.【詳解】依題意，，故，又，所以．所以．故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解“冰雹猜想”的定義，找到數(shù)列的周期性，從而得解.9．BCD【分析】首先利用正態(tài)分布，確定和，再結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，和的原則，即可求解.【詳解】A.由條件可知，，根據(jù)對(duì)稱性可知，故A錯(cuò)誤；B.,，所以，故B正確；C.=，所以，故C正確；D.，，所以，故D正確.故選：BCD10．AC【分析】A項(xiàng)，分析函數(shù)的單調(diào)性即可得出極點(diǎn)個(gè)數(shù)；B項(xiàng)，利用零點(diǎn)定理即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；C項(xiàng)，構(gòu)造并分析奇偶性，利用是圖象的對(duì)稱中心得出點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心；D項(xiàng)，設(shè)出切點(diǎn)并得出切線方程，將代入切線方程即可得出過(guò)點(diǎn)的切線.【詳解】由題意，在中，．令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極值點(diǎn)，A正確．由的單調(diào)性且極大值，極小值，又，，所以函數(shù)在定義域上有3個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤．令，因?yàn)椋瑒t是奇函數(shù)，所以是圖象的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，C正確．設(shè)切點(diǎn)為，則切線的方程為，代入，可得，解得．所以過(guò)點(diǎn)的切線有1條，D錯(cuò)誤．故選：AC．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)性，零點(diǎn)定理，函數(shù)的切線，考查學(xué)生分析和處理問(wèn)題的能力，具有較強(qiáng)的綜合性.11．ABD【分析】根據(jù)條件得到，從而求得，利用換元法，令，得到，對(duì)于A選項(xiàng)：令即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)：結(jié)合條件利用基本不等式得到即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)：由面積為即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和條件得到即可判斷.【詳解】由題意得：，即，則，解得：，令，則，所以.對(duì)于A選項(xiàng)：方程中的x換成方程不變，所以曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：面積為，則面積的最大值為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：因?yàn)椋瑒t的取值范圍為，所以D選項(xiàng)正確，故選：ABD.12．/0.375【分析】服從正態(tài)分布可得，由二項(xiàng)分布公式可求恰有2個(gè)單果的質(zhì)量均不低于的概率.【詳解】由題可知，若從該果園中隨機(jī)挑選4個(gè)獼猴桃，則恰有2個(gè)單果的質(zhì)量均不低于的概率為.故答案為.13．【分析】由銳角三角形可得，由余弦定理可得，令，法一：利用導(dǎo)數(shù)可求的取值范圍.法二：令，利用二次函數(shù)可求的取值范圍.【詳解】由三角形為銳角三角形可得，又，所以，同理：，所以，所以，將看作常數(shù)，上式可以看作關(guān)于的函數(shù)，故只需求分母的取值范圍，令，解法一：，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)，又，代入.故答案為.解法二：令，令，則，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)或時(shí)，取，所以，即，代入.故答案為.14．99【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和，然后借助數(shù)列單調(diào)性求解即得.【詳解】依題意，，則，數(shù)列的前n項(xiàng)和，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，所以使得成立的的最大值為99.故9915．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，二倍角公式，輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求其最小值；（2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根據(jù)三角形面積公式求結(jié)論.【詳解】（1）．因?yàn)椋裕援?dāng)，即時(shí)，有最小值．（2）因?yàn)椋裕裕驗(yàn)椋裕烧叶ɡ恚裕忠驗(yàn)椋裕茫捎嘞叶ɡ碛校海裕裕?6．(1)1(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后，分類討論單調(diào)性，進(jìn)而得到最值，求出a的值即可；（2）條件等價(jià)于有兩個(gè)不等的正根，結(jié)合判別式非負(fù)，以及韋達(dá)定理求出a的范圍，要證，即證，令求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，證明結(jié)論．（3）利用（1）結(jié)論可得則當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消求和證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：，①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，不存在最大值．②當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)，；，，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．，．（2）“函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，”等價(jià)于“方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根”；故，解得．要證，即證，，不妨令，故由得，令在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故．成立．（3）由（1）知，，即，當(dāng)時(shí)，．知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以新定義為載體，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，考查了不等式的放縮，裂項(xiàng)相消求和知識(shí)，屬于難題.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證得和，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）由（1），得到，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和的一個(gè)法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕瑒t，所以，因?yàn)椋移矫妫云矫?（2）解：由題設(shè)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由（1），可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，因?yàn)椋深}意易得，所以為正三角形，可得，因?yàn)椋裕裕O(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，又由平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，且為銳角，所以，可得即二面角的大小為.

18．（1）；（2）分布列見(jiàn)解析.(1)先求出從個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè),抽到禮品果的事件的概率,則抽到禮品果的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布,利用二項(xiàng)分布的概率公式可得答案；(2)通過(guò)分層抽樣的方法可以求出從個(gè)水果中抽取個(gè),精品果、非精品果的個(gè)數(shù),由題意可知：服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的公式列出的分布列．【詳解】（1）設(shè)從這100個(gè)水果中隨機(jī)抽取1個(gè)，其為禮品果的事件為，則，現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為，則，∴恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率為.（2）用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，其中精品果有4個(gè)，非精品果有6個(gè)，再?gòu)闹须S機(jī)抽取3個(gè)，則精品果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為0,1，2,3，則.的分布列為0123方法點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)分布、超幾何分布，考查了離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，求解離散型隨機(jī)變量分布列的步驟是：1.首先確定隨機(jī)變量的所有可能取值；2.計(jì)算取得每一個(gè)值的概率，可通過(guò)所有概率和為來(lái)檢驗(yàn)是否正確；3.進(jìn)行列表，畫(huà)出分布列的表格；4.最后扣題，根據(jù)題意求數(shù)學(xué)期望或者其它．19．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用橢圓的定義和離心率，求解橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，，的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，根據(jù)對(duì)稱性，如果直線CD過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在x軸上，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由橢圓定義可知，，所以的周長(zhǎng)為，所以，又因?yàn)闄E圓離心率為，所以，所以，又，所以橢圓的方程：