第十二章全等三角形（單元重點綜合測試）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列各項中，兩個圖形屬于全等圖形的是（）

0

A（J）?"O

C.0°D,6<今

2.如圖，點P是/A08平分線OC上一點，PD1OB,垂足為點。，若尸￡>=2,則點尸到邊0A

的距離是（）

A

。一

uDR

A.1B.2C.1.5D.4

3.如圖，一塊三角形的玻璃碎成3塊（圖中所標(biāo)1、2、3）,小華帶第3塊碎片去玻璃店，

購買形狀相同、大小相等的新玻璃，這是利用三角形全等中的（)

A.SSSB.ASAC.AASD.；SAS

4.如圖，點。在AABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，連接OB,OC.若ZBOC=120。，則2A的度

數(shù)是（）

A

A.30°B.45°C.60°D.70°

5.如圖，已知ZABC=/OCB.添加一個條件后，不能證明△ABC四△DCB的是（)

AD

A.ZABD=ZDCAB.ZA=ZD

C.AB=DCD.AC=DB

6.如圖，方格紙是由9個相同的正方形組成，則N1與N2的和為（)

B.70°C.80°D.90°

7.如圖，已知△ABC絲△。所（點A、3、C的對應(yīng)點分別為點。、E、尸），若ZA=25。，4=35。,

則NF的度數(shù)是（）

A.120°B.115°C.110°D.100°

8.如圖，三條公路把A,B,C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，現(xiàn)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)

修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在（）

A.三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點

B.三角形三條邊的垂直平分線的交點

C.三角形三條高的交點

D.三角形三條中線的交點

9.如圖，AC平分—A4D,ZB+ZD=180°,CE上AB于點E,AD=6cm,AB=10cm,則BE的

長度為（）

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

10.如圖，已知NABC、/￡AC的角平分線3尸、AP相交于點尸，PMLBE,PNLBF,垂足分

別為M、N.現(xiàn)有四個結(jié)論：

①CP平分ZAC5；?ZBPC=^ZBAC；（3）ZAPC=90°-1ZABC；APM+SCPiV>SAAPC.

其中結(jié)論正確的是（填寫結(jié)論的編號）（）

A.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，四邊形ABCD四四邊形A'3'C'D',若？390?,ZC=6O°,ZZ7=105。，則ZA，='

12.如圖，要測量河兩岸相對的兩點A8的距離，先在A8的垂線砥上取兩點C,D,使CD=BC,

再確定出所的垂線DE,使得點AC,E在同一條直線上，測得ED=30米，因此，的長是

米.

E

13.如圖是兩把完全相同的長方形直尺，一把直尺壓住射線。8,且與射線04交于點C,另

一把直尺壓住射線以并且與第一把直尺交于點P,連接。P,已知/PC?=40。，則ZACP的度

數(shù)是.

A.

P

OB

14.如圖，在"IBC中，CO是AB邊上的高線，,ABC的平分線交CO于E,當(dāng)3c=4,。慮的

面積為2時，DE的長為

15.如圖，8為AABC的中線，點E在。C的延長線上，連接8E,且BE=AC,過點3作5HLCD

于點“，連接A//,若CE=BH,SAAB”=18,則DH的長為.

AC=3D=6cm,點P在線段上以lcm/s的速度由點A向點3

運動，同時，點Q在線段3D上以xcm/s的速度由點B向點。運動.它們運動的時間為Ms）.當(dāng)

三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）

17.如圖，在RtA4BC中，ZC=90°,A。是，C43的平分線，過點。作若山M=15,

CD=3.求AB的長.

A

18.如圖，△庫和ADCF的頂點C,E,E3在同一直線上，點A,點。在BC兩側(cè)，已知AB〃CD,

AE=DF,ZA=ZD.與ADCF全等嗎？說明理由.

19.如圖，已知AABC公△￡>￡?,點E在A3邊上，OE與AC相交于點尸.

⑴若AE=2,BC=3,求線段DE的長；

(2)若/D=35。，ZC=50°,求ZAQ的度數(shù).

20.如圖是4x4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

\A\

L-十一十一十-…

IIIII

IIIII

IIII

|-----------------1----------------1--------------I-----------4

IIII

|IIII

|IIII

\-C-.\---\--，\-B-」

圖2

⑴在圖1中過點C作一條線段，使點C到A3所在直線的距離最短;

⑵在圖2中過點C作一條直線，，使點A,3到直線/的距離相等.

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

21.如圖，AABC的外角ZDAC的平分線交邊的垂直平分線于P點，PZ〃鉆于D,PELAC

于E,連接旅，CP.

⑴求證：BD=CE；

⑵若AB=4cm,AC=10cm,求AD的長.

22.在AABC中，ZACB=90。，AC=23C=2a,點。是AC邊上一點，。尸〃3c交AB于點RAEYAB

交直線。尸于點E.

(2)如圖2,若CM,短于點M,當(dāng)點。運動到某一位置時恰有AF=a,則CM與DE有何數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

Ap

⑶連接CV,當(dāng)ZACF=45。時，求隹的值.

23.如圖，443C中，點。在邊BC延長線上，ZACB=100°,NABC的平分線交AO于點E,過

點E作EHLBD,垂足為H,且NCE"=50。.

⑴求/ACE的度數(shù)；

(2)求證：AE平分/。4尸；

⑶求ZA￡B的度數(shù)；

(4)若AC+CD=14,鉆=8.5,且工皿=21,求△樨的面積.

五、(本大題共2小題，每小題12分，共24分)

24.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,射線AE在/腸W的內(nèi)部，點3、C分別在/M4N的邊AM、AN

上，且AB=AC,若NBAC=NBFE=NCDE=90°,求證：AABF^CAD；

(2)類比探究：如圖2,AB^AC,且ZBAC=NBFE=NCDE.(1)中的結(jié)論是否仍然成立，

請說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,在AASC中，AB^AC,點E在BC邊上，CE=2BE,點、D、

R在線段AE上，ZBAC=ZBFE=ZCDE.若4BC的面積為15,DE=2AD,求△BEF與ACDE的

面積之比.

CNCN

圖1圖2圖3

25.【發(fā)現(xiàn)問題】(1)數(shù)學(xué)活動課上，王老師提出了如下問題：如圖1,在AABC中，筋=6,

AC=4,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

【探究方法】第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：

①延長AD到E,使得DE=AD;

②連接防，通過三角形全等把48、AC、2">轉(zhuǎn)化在AABE中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得AE的取值范圍為AB-BE<AE<AB+BE,從而得到AD的取值范

圍是.

方法總結(jié)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形，

把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

(2)如圖2,AD是AABC的中線，AE是△ADC的中線，S.AC=DC,ZCAD=ZCDA,下列四

個選項中：直接寫出所有正確選項的序號是.

@ZCAE=ZDAE?AB^2AE③NDAE=/DAB?AE=AD

【問題拓展】

(3)如圖3,OA=OB,OC=OD,NA03與NCOD互補，連接AC、BD,E是AC的中點，求

證：OE=；BD.

(4)如圖4,在(3)的條件下，若ZAO3=90。，延長E。交于點憶OF=2,OE=4,則AAOC

的面積是.

第十二章全等三角形（單元重點綜合測試）

答案全解全析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列各項中，兩個圖形屬于全等圖形的是（）

【分析】利用全等圖形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形可得答案.

【詳解】解：A、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意;

B、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；

C、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；

D、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎(chǔ)題.

2.如圖，點P是/493平分線OC上一點，PDLOB,垂足為點D,若PD=2,則點尸到邊OA

的距離是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)直接可得.

【詳解】解：如圖，過點P作垂足為點G,

A

C

根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，PG=PD=2.

故選：B.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)；掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題

的關(guān)鍵.

3.如圖，一塊三角形的玻璃碎成3塊（圖中所標(biāo)1、2、3）,小華帶第3塊碎片去玻璃店，

購買形狀相同、大小相等的新玻璃，這是利用三角形全等中的（）

A.SSSB.ASAC.AASD.SAS

【答案】B

【分析】根據(jù)題意應(yīng)先假定選擇哪塊，再對應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗證.

【詳解】解：1、2塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶

它們?nèi)?

只有第3塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA,滿足題目要求的條件，是符合題意的，

故選：B.

【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，看這3塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定.判

定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS,SAS、HL.

4.如圖，點。在AASC內(nèi)，且到三邊的距離相等，連接OBOC.若4OC=120。，則NA的度

數(shù)是（）

【答案】C

【分析】由點。在AABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，可知。是角平分線的交點，則=

ZOCB=^ZACB,由NO8C+NOCB+NBOC=180。，可得ZABC+ZACS=120。，根據(jù)

ZA+ZABC+ZACB=1SO0,計算求解即可.

【詳解】解：???點。在AASC內(nèi)，且到三邊的距離相等，

???。是角平分線的交點，

/.ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

ZOBC+Z.OCB+ZBOC=180°,

/.-ZABC+-ZACB+120°=180°,即ZABC+ZACB=120°,

22

'：ZA+ZABC+ZACB=18Q°,

：.ZA=60°,

故選：C.

【點睛】本題考查了角平分線的判定定理，三角形內(nèi)角和定理.解題的關(guān)鍵在于明確角度之

間的數(shù)量關(guān)系.

5.如圖，已知ZABC=/OCB.添加一個條件后，不能證明△ABC/△DCB的是()

A.ZABD=ZDCAB.ZA=ZD

C.AB=DCD.AC=DB

【答案】D

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，逐個進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、?:ZABC=NDCB,ZABD=ZDCA,

：.ZABC-ZABD=ZDCB-ZDCA,即ZACB=Z.DBC,

在AABC和ADCB中，

ZABC=ZDCB

<BC=BC,

ZACB=ZDBC

：.△ABCEDCB(ASA),故A不符合題意;

B、在AABC和△￡?中，

NABC=ZDCB

<NA=ND,

BC=BC

：.AABC均DCB(AAS),故B不符合題意；

C、在AABC和△DCB中，

AB=DC

<ZABC=ZDCB,

BC=BC

：.△ABCdDCB（SAS）,故C不符合題意;

D、在AABC和中，ZABC=/DCB,AC=DB,BC=BC,SSA不能得出△ABC四△OCB,

故D符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法有：

SSS,SAS,ASA,AAS,HL.

6.如圖，方格紙是由9個相同的正方形組成，則N1與N2的和為（）

A.45°B,70°C.80°D.90°

【答案】D

【分析】由全等三角形的判定與性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為L如圖所示：

:.NBAD=ZAEC=N1

ZBAD+Z2=90°

.-.Zl+Z2=90o

故選：D

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì).掌握相關(guān)幾何結(jié)論是解題關(guān)鍵.

7.如圖，已知△ABC絲△。所（點A、3、C的對應(yīng)點分別為點。、E、尸），若ZA=25。，4=35。,

則Nb的度數(shù)是（）

A.120°B.115°C.110°D.100°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出/ACB的度數(shù)，再利用全等三角形的性質(zhì)得到/歹的度數(shù).

【詳解】解：：ZA=25。，ZB=35°,

：.ZACB=180?！猌A-=120°,

4ABC%八DEF

ZF=ZACB=120°

故選：A.

【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的定理，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)

角相等是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，三條公路把A,B,C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，現(xiàn)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)

修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在（）

A.三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點B.三角形三條邊的垂直平分線的交點

C.三角形三條高的交點D.三角形三條中線的交點

【答案】A

【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可.

【詳解】解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在三個角的角平分線的交點處.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

9.如圖，AC平分—54。，ZB+ZD=180°,CE人A5于點E,4)=6cm,yW=10cm,則BE的

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【答案】D

【分析】過C作C尸，AD交相)延長線與R先根據(jù)角平分線的定義和全等三角形的判定與性

質(zhì)，證明RGAFC絲RQAEC和RtACFZ運RtKEB得到AF=AE,DF=BE,進(jìn)而可求解.

【詳解】解：過C作交AD延長線與E

平分44D,CF±AD,CE1AB,

：.ZFAC=ZEAC,ZF=ZCEB=ZCEA=90°,

ZFAC=ZEAC

在RtAAFC和RtAAEC中，＜NF=NCEA,

AC=AC

：.RSAFC絲RQAEC（A4S）,

AF^AE；

'：ZB+ZADC=1S0a,ZCDF+ZADC=180°,

/.ZCDF=ZB,

在RIACFD和RtACEB中，

NF=NCEB

<ZCDF=ZB,

CF=CE

:

RtAC/D^RtACE'B（AAS）,

/.DF=BE,

"：AD+DF=AB-BE,AD=6cm,AB=10cm,

：.6+BE^10-BE,則3E=2cm,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握全等三角形

的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

10.如圖，已知/ABC、/E4C的角平分線BP、AP相交于點P,PM±BE,PNLBF,垂足分

別為M、N.現(xiàn)有四個結(jié)論：

①CP平分ZAC5；

②NBPC=；NBAC；

(3)ZAPC=90°-1ZABC；

④S^APM+$dCPN>S&APC.

其中結(jié)論正確的是(填寫結(jié)論的編號)()

A.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④

【答案】A

【分析】作PDLAC于點。，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷①結(jié)論；根據(jù)

角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可判斷②結(jié)論；先根據(jù)四邊形內(nèi)角和，得出

>

ZMPZV=180°-ZABC,再證明Rt“!MP/RtAADP(HL),RtAC￡>P^RtACA7(HL),得至I」=,

ZCPD=^ZNPD,即可判斷③結(jié)論；根據(jù)全等三角形面積相等，即可判斷④結(jié)論.

【詳解】解：①作PDLAC于點D,

E

??.的平分/ABC，PMA.BE,PN-LBF9

:.PM=PN

平分/E4C,PMA.BE,PD1AC

:.PM=PD,

：.PN=PD,

???點月在ZAb的角平分線上，

.?.C尸平分/ACF,①結(jié)論正確；

②???族平分/ABC,CP平分ZAC尸，

.\ZABC=2ZPBC9ZACF=2/PCF,

ZACF=ZABC+ZBAC,ZPCF=ZPBC+ZBPC,

/.ZABC+ZBAC=2(/PBC+/BPC),

2ZPBC+ZBAC=2ZPBC+2ZBPC,

:.ZBAC=2ZBPC,

:.ZBPC=^ZBAC9②結(jié)論正確；

?yPM.LAB,PN1BC,

:.ZAMP=ZCNP=90°,

?.-ZABC+ZCNP-^ZMPN+ZAMP=360°,

ZMPN=360°-90°-90°-ZABC=180°-ZABC,

???PM=PN=PD,

在RtAAMP和RUADP中，

[AP=AP

[PM=PD9

AMP^RtAAZ)P(HL),

同理可證，RMCDPgRtKNP(HL),

/.ZAPD=ZAPM=-ZMPD,ZCPD=ZCPN=-ZNPD,

22

ZAPC=ZAPD+ZCPD=1(ZMPD+ZNPD)=|ZMPN=1(1800-ZABC)=90°-1ZABC,故③結(jié)論正確；

④RSAAffZRtAADP,RtACD叫RtAOVP

-Q—vq=q

…°AAMP-9"&CDP-°ACNP，

?*,S4AMp+SqCNP=S^ADP+S4CDP=S&APC,故④結(jié)論不正確；

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③，

故選：A.

【點睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，三角形外角的定義，四邊形內(nèi)角和,

全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

11.如圖，四邊形ABCD四四邊形A'3'C'D',若？390?,NC=60。，ZZ>=105。，則NA，=°,

【答案】105

【分析】根據(jù)全等圖形的性質(zhì)，ZD=NU,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。得到/A,進(jìn)而求解

即可.

【詳解】解：：四邊形MCD四四邊形AECD,

ZA=ZA',ND=/D',

*.*ZDf=105°,

/./。=105。，

VZB=90°,/C=60。，

=360°-1.5°-90°-60°=105°,

，/A'=105。，

故答案為：105.

【點睛】本題考查了全等圖形，熟練掌握全等圖形的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，要測量河兩岸相對的兩點A8的距離，先在A8的垂線砥上取兩點C,。，使CD=3C,

再確定出所的垂線DE,使得點AC,E在同一條直線上，測得功>=30米，因此，48的長是

_________米.

【答案】30

【分析】由8尸，可得ZABC=NCDE=90。，利用ASA可以證出△ABC絲△即C,再

根據(jù)全等三角形，對應(yīng)邊相等可得到AB=D￡.

【詳解】解：VBF^AB,DE^BD,

：.ZABC=NCDE=90°,

在AABC和AEQC中

ZABC=ZEDC^90°

<CB=CD,

ZACB=ZECD

/.AABC^AEDC(ASA),

/.AB=DE,

'：E￡）=30米，

/.E￡）=30米，

故答案為：30.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、

ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題

的關(guān)鍵.

13.如圖是兩把完全相同的長方形直尺，一把直尺壓住射線。3,且與射線04交于點C,另

一把直尺壓住射線以并且與第一把直尺交于點P,連接。P,已知/PC?=40。，則ZACP的度

數(shù)是.

【答案】80。/80度

【分析】根據(jù)兩把完全相同的長方形直尺，可知平分203，又/POB=40。,進(jìn)而可得/A05

的度數(shù).再由長方形直尺可得CP〃3，利用平行線的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：由題意，得。尸平分/A03,

/.ZAOB=2NPOB=2x40°=80°,

由長方形直尺可知：CP//OB,

：.ZACP=ZAOB=SO°,

故答案為：80°.

【點睛】此題主要考查角平分線的判定，平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握角平分線的判定定

理：到角兩邊距離相等的點在這角的平分線上.

14.如圖，在AABC中，CD是邊上的高線，,ABC的平分線交于E,當(dāng)3c=4,ABCE的

面積為2時，DE的長為

【分析】過E作跖工于R根據(jù)角平分線性質(zhì)得到DE=￡F,根據(jù)三角形面積公式求出即

可.

【詳解】解：過點E作防工3c于點R如圖所示.

:郎平分/ABC,且￡D_LA5,

DE=EF.

???S^BCE=^BCEF,

即2=gx4.EF,

/.EF=\,

DE=1.

故答案為：L

【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OE=￡F是解此題的關(guān)鍵,

注意：在角的內(nèi)部，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

15.如圖，8為AABC的中線，點E在。C的延長線上，連接8E,且BE=AC,過點B作皿，CD

于點連接若CE=BH,S^ABH=18,則DH的長為.

【分析】過點A作4^及于點歹，證明AAPF%瓦汨(AAS),RtACAF^RtAEBW(HL),得出

BH=HD+DF=2DH,再由8為AMC的中線及3H，CD,根據(jù)S.由的面積列出關(guān)于“￡＞的方程,

求解即可.

【詳解】解：如圖，過點A作AFLEF于點下

?.?CD為44BC的中線，BH±CD

;.AD=BD,ZAFD=ZBHD=90°

又?.ZADF二ZBDH

..△AO/也△BOH(AAS)

；.AF=BH,FD=HD

在RtACAF和RtAEBH中

(AF=BH

\AC=BE

...RtAC4F^RtA^BH(HL)

:.EH=CF

:.EH-CH=CF-CH,BPEC=HF

-,BH=EC,EC=HF=HD+DF,HD=DF

:.BH=HD+DF=2DH

???C￡)為AABC的中線，BHLCD

X

SABHD=5LABH="18=9

又?

/、s^DRrlHUn=L2HDHB=L2HDx2HD

-HDx2HD=9

2

解得：HD=3

故答案為：3.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等底同高三角形的面積關(guān)系及直角三角形的

面積公式，屬于中檔題.

16.如圖，AB=8cm,ZA=NB,AC=即=6cm，點尸在線段AB上以lcm/s的速度由點A向點8

運動，同時，點。在線段8D上以xcm/s的速度由點B向點。運動.它們運動的時間為1s).當(dāng)

△ACP與V8PQ全等時，x的值為.

【分析】由題意知當(dāng)△ACP與VBPQ全等，分"CP絲AB尸。和△APC0ABPQ兩種情況，根據(jù)

全等的性質(zhì)列方程求解即可.

【詳解】解：由題意知，AP^t,BP=8-t,BQ=xt,

△ACP與V8PQ全等，ZA=ZB,

???分兩種情況求解：

①當(dāng)/\ACP=ABPQ時，AP=BQ,即f=w,解得x=1；

3

②當(dāng)△APC-BPQ時，AP=BP,即"8-/,解得f=2,AC^BQ,即6=H,解得xg

綜上所述，x的值是1或1

故答案為：1或I".

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于分情況求解.

三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）

17.如圖，在RtA4BC中，ZC=90°,AD是/C鉆的平分線，過點。作DE2鉆，若以勖=15,

CD=3.求AB的長.

【答案】AB=10

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，得小=3,再由三角形面積公式可得結(jié)論.

【詳解】解：是/。8的平分線，NC=90。，DEJ.AB,

：.DE=CD=3.

又S?AB￡）=15,

13

:.-ABDE=-AB=\5,

22

/.AB^IO.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式的應(yīng)用.熟練掌握角平分線的性質(zhì)定

理是解答本題的關(guān)鍵.

18.如圖，△口￡和ADCF的頂點C,E,F,B在同一直線上,點A,點。在BC兩側(cè)，已知鉆〃CD,

AE=DF,ZA=ZD.AABE與△DCP全等嗎？說明理由.

【答案】4ABEmADCF.理由見解析

【分析】根據(jù)AB〃CD,得到々=NC,再根據(jù)AAS證明△ABE/ADCF.

【詳解】證明：

:.NB=NC,

在AABE和△■DCf'中,

ZB=ZC

ZA=ZD,

AE=DF

AABE^ADCF(AAS).

【點睛】本題考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，已知AABC絲ADEB,點E在AB邊上，DE與AC相交于點尸.

⑴若AE=2,BC=3,求線段OE的長；

(2)若/。=35。，ZC=50°,求ZAJ力的度數(shù).

【答案】(1)5

(2)120°

【分析】(1)由得至U3E=3C=3,DE=AB,而AB=AE+3E,即可得至lj￡>E=5；

(2)由AABC絲SEB,得到N/=NO=35。，ZDBE=ZC=50°,由三角形外角的性質(zhì)得到

ZAFD=ZA+ZD+ZEBD=35o+350+50o=120。.

【詳解】(1)解：???△MCZZXQEB,

.".BE=BC=3,DE—AB9

???AB=AE+BE=2+3=5,

..DE=5；

(2)解：yAABC^ADEB,

：.ZA=ZD=35°,ZDBE=/C=50。，

\-ZAFD=ZA+ZAEF,ZAEF=ZD+ZEBD9

ZA/D=ZA+ZD+ZEBD=35。+35。+50。=120。.

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.

20.如圖是4x4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

\A\

-f—<

II

II

II

-1---------------1-

II

II

II

II

圖1圖2

⑴在圖1中過點C作一條線段，使點C到A3所在直線的距離最短;

⑵在圖2中過點C作一條直線/,使點A,3到直線/的距離相等.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）如圖1,取格點E,作直線CE,作直線CE,交線段A2于點。，則線段。即為

所求做的線段；

（2）如圖2,取線段AB中點。，做直線CO,則直線CO即為所求做的直線/即為所求做的直

線.

【詳解】（1）解：如圖1,取格點E,作直線CE,交線段于點。，則線段8即為所求做

的線段；

圖1

證明：在和ACM中,

AF=CB=2

<ZAFB=ZCBE=90°,

FB=BE

：.VAFBKCBE,

/.ZBAF=ZECB,

ZAFB=90°,

：.ZBAF+ZABF^90°,

：.ZECB+ZABF=90°,

：.NCDB=90。,

即點C到AB所在直線的距離最短；

(2)解：如圖2,直線/即為所求做的直線;

證明：過點A作AM，/,過點3作的V，/,垂足分別為M,N,

：.ZAMO=NBNO=90。,

由題意得，點。為線段中點，

/.OA=OB,

在AAMO和ABNO中，

ZAMO=ZBNO

<ZAOM=ZBON,

OA=OB

AAMgABNO,

：.AM=BN,

即點A,5到直線/的距離相等.

【點睛】本題考查了“垂線段最短”，點的直線的距離，全等三角形的性質(zhì)與判定等知識，熟

知相關(guān)知識，并結(jié)合格點三角形的知識靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

21.如圖，AABC的外角/R4C的平分線交BC邊的垂直平分線于P點，鉆于D,PELAC

于E,連接旅，CP.

DiP

1

Qc

⑴求證：BD=CE；

⑵若AB=4cm,AC=10cm,求AD的長.

【答案】(1)見解析

(2)6cm

【分析】(1)連接收、CP,根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得3尸=CP,

根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DP=石尸，然后利用“小，”證明Rt力。尸和Rt^CEP

全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；

(2)禾U用“HL”證明Rt~4DP和Rt△用全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得=AE,再根

據(jù)AB、AC的長度表示出AD、CE,然后解方程即可.

【詳解】(1)證明：???點P在BC的垂直平分線上，

:.BP=CP,

?.?AP是/ZMC的平分線，

\DP=EP,

在RL5Q夕和RaCEP中,

[BP=CP

\DP=EP"

Rtz^DP^RtJCEP(HL),

:.BD=CE；

(2)解：在RSADP和RtA4￡P(guān)中，

[AP=AP

[DP=EP'

RtAADP^RtAAEP(HL),

AD=AE9

AB=4cm9AC=10cm,

:A+AD=10-AE,

即4+AD=W-AD,

解得AD=6cm.

【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到

兩端點的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

22.在AABC中，ZACB=90。，AC=23C=2a,點。是AC邊上一點，。尸〃3C交A8于點R,AE±AB

交直線D尸于點E.

圖1備用圖

(1)如圖1,當(dāng)。為AC的中點時，證明：AADE經(jīng)也CA.

(2)如圖2,若于點當(dāng)點。運動到某一位置時恰有則CN與DE有何數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

(3)連接CP,當(dāng)ZACF=45。時，求隹的值.

Dr

【答案】(1)見解析

Q)CM=DE,理由見解析

(3)2

【分析】(1)由題意可知4=ZACB=/EDA=90°,AD=BC=a,利用ASA即可證明

結(jié)論；

(2)先證明"BC四△EE4(ASA),再證明△E4Z闿4M(AAS),即可得OW=DE；

S-ACDF-AFh

(3)過點/作可證△DCF絲△HCF,易得DF=HF,由孑叫-------=j-----

'△BCF-BCHF-BFh

22

即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?ZAC8=90。，AE±AB,

：.ZB+ABAC=90°,ZEAC+ZBAC=Z.BAE=90°,

ZB=ZEAC,

"：DF//BC,

ZADF=ZACB=90°,貝!JZACB=N￡ZM=90。，

???。為AC的中點時，AC=2BC=2a9

/?AC=2AD,則AD=BC=a,

在VADE與V5c4中，

ZEAC=ZB

<AD=BC,

ZEDA=ZACB

：.ZW)E^Z\BC4(ASA)；

(2)解：CM=DE,理由如下：

由(1)可知ZACB=NB4E=NEZM=90o,

DF//BC,

ZB=ZAFE9

VAC=2BC=2a9AF=a,

/?BC=AF=a,

：.△ABCHEFA(ASA),

.**AE=AC,

CM1AE,

：.ZEAD=ZCMA=90°,

又,:ZEAD=ZCAM9

：.AEAD^ACAM(AAS),

：.CM=DE；

(3)過點/作貝(JNWC=NFDC=9O。,

/.ZBCF=ZACF=45°,

XVCF=CF,

ADCF^/\HCF,

：.DF=HF,

q-ACDF-AF-h

又??JAADF_2_2

,△BCF-BCHF-BFh

22

.AF_AC_2。_2

【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

23.如圖，443C中，點。在邊8C延長線上，ZACB=100°,/ASC的平分線交AD于點E,過

點E作EHLBD,垂足為H,且NCEH=50。.

⑴求/ACE的度數(shù)；

(2)求證：AE平分NC4F；

⑶求ZAEB的度數(shù)；

(4)若AC+CD=14,AB=8.5,且山?)=21,求△樨的面積.

【答案】(1)40。

(2)見解析

(3)50°

,八51

⑷了

【分析】(1)由平角的定義可求解-ACD的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解NES=40。,

進(jìn)而可求解；

(2)過E點分別作斯于〃，ENLAC與N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證得EM=EN,進(jìn)

而可證明結(jié)論；

(3)設(shè)=分別表示出za4c=80。-2了，ZCAE=x+50°,求出/區(qū)短=130。-了，再利用三角形

內(nèi)角和定理計算；

(4)利用三角形的面積公式可求得EN的長，再利用三角形的面積公式計算可求解.

【詳解】(1)解：?.?ZACB=100。，

/.ZACD=180°-100°=80°,

QEH工BD,

ZCHE=90°,

???NCEH=50。,

ZECH=90°-50°=40°,

/.ZACE=80°-40°=40°；

(2)證明：過￡點分別作石MLB尸于EN1AC與N,

???3￡平分/ABC,

EM=EH,

\-ZACE=ZECH=40°,

.?.CE平分NACD,

:.EN=EH,

:.EM=EN,

.?.AE平分NC4F；

(3)設(shè)ZA3￡=x,???跖平分/ABC,

ZABC=2ZABE=2x,

ZACH=ZACE^-ZECD=SO0,

ZBAC=ZACD-ZABC=S0°-2x,

*/ZCAF=ZABC+ZACB=2x+100°,平分NC4方，

ZCAE=-ZCAF=x+50°,

2

ZBAE=ZBAC^ZCAE=80°-2x+x^-5(r=130o-x,

/.ZAEB=180°-ZBAE-ZABE=180°-(130°-x)-x=50°.

(4)VAC+CD=14,SAACD=21,EM=EN=EH,

???SAACLSAACE+SACED=^AC-EN+^CDEH=^(AC+CD)-EM=21,

即|xl4-￡M=21,

解得EM=3,

?.?AB=8.5,

?■?^￡=|AB-￡M=1x8.5x3=^.

【點睛】本題主要考查角平分線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積，掌握

角平分線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

五、(本大題共2小題，每小題12分，共24分)

24.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,射線AE在/版W的內(nèi)部，點3、C分別在NWN的邊417、AN

上，且AB=AC,若NBAC=NBFE=NCDE=90°,求證：^ABF^CAD；

(2)類比探究：如圖2,AB^AC,且ZBAC=NBFE=NCDE.(1)中的結(jié)論是否仍然成立，

請說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,在AABC中，AB^AC,AB>BC.點E在BC邊上，CE=2BE,點、D、

R在線段A￡上，ZBAC=ZBFE=ZCDE.若zsABC的面積為15,DE=2AD,求△BEF與ACDE的

面積之比.

【答案】(1)證明見詳解；(2)成立，證明見詳解；(3)1:4

［分析］(1)根據(jù)ABAC=ZBFE=ZCDE=90°即可得至UNBAF+Z.CAF=90°,ZDCA+Z.CAF=90°,

從而得到NBAF=ZDC4,即可得到證明；

(2)根據(jù)Zfi4c=N3FE=NCDE得至UN5AF+/G4F=Zr)C4+NG4F,即可得至ljZBAF=ZDC4,

即可得到證明；

(3)根據(jù)AABC的面積為15,CE=2BE,即可得至5A￡C=10,結(jié)合￡>E=2AD可得

%仞0=不，S.ac=7,根據(jù)AB=AC,㈤。=4莊=/86得至曙48尸24。^，即可得至13△助一

即可得到答案；

【詳解】(1)證明：?；ZBAC=NBFE=NCDE=90。,

：.ZBFA=ZCDA=90°,NB4F+NC4F=90。，ZDC4+ZC4F=90°,

ZBAF=ZDCA,

在△回齊與△CW中，

ZBFA=ZCDA

\?{ZBAF=ZDCA,

AB=AC

：.△ABF^ACAT)(AAS)；

(2)解：成立，理由如下，

?.?ZBAC=ZBFE=ZCDE,

：.ZBAF+ACAF=ADCA+ACAF,ZBFA=ZCDA,

：.ZBAF=ZDCA,

在AABF與AC4D中，

ZBFA=ZCDA

?.?(ZBAF=ZDCA,

AB=AC

：.AABF^ACADCAAS)；

(3)解：AABC的面積為15,CE=2BE,

??S^ABE=5,S^AEC=10,

DE=2AD9

?S-12520

??0/\ADC~c，°AEDC

*.?ZBAC=NBFE=/CDE,

：.ZBAF+ZCAF=ZDCA+ZCAF9ZBFA=ZCDA,

：.ZBAF=ZDCA,

在/與中，

ZBFA=ZCDA

\?\ZBAF=ZDCA,

AB=AC

△ABF^ACAZ