第06講塞函數(shù)

BI學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解累函數(shù)的概念.

1.通過(guò)幕函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

2.結(jié)合函數(shù)yx,yx2,yx3,yx~\y=?的

2.借助幕函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究，培養(yǎng)直觀想象、邏

圖象，了解他們的變化情況.

輯推理等核心素養(yǎng).

3.掌握五種累函數(shù)的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用.

鎬思維導(dǎo)圖

/1.鬲函數(shù)的概念

/2.求幕函數(shù)的解析式

L3.定義域問(wèn)題

幕函數(shù)的概念.L4.值域問(wèn)題

_______________飛_L5.募函數(shù)的圖像

常見(jiàn)幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)—?零函數(shù)一題型-J-6.圖像過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

『數(shù)的特,正|、7.利用單調(diào)性解不等式

、8.比較大小問(wèn)題

19.奇偶性問(wèn)題

j10.鬲函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

'11.新定義問(wèn)題

B!知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)討叫做幕函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

【即學(xué)即練1】（2024?高一?上海?隨堂練習(xí)）下列函數(shù)是塞函數(shù)的是（）

D.y=

知識(shí)點(diǎn)02常見(jiàn)幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3

塞函數(shù)四yx2yxyx1

定義域RRR「0,+8)(一8,0)U(0,+8)

值域R[0,+°°)R[0,+°0){小?R,且尸0}

奇偶性直偶查非奇非偶直

xe[0,+8),增；元￡(0,+°°),減;

單調(diào)性增增增

%G(—8,0],遮%E(—oo,0),城

公共點(diǎn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）

【即學(xué)即練2】已知哥函數(shù)/（尤）的圖象過(guò)（2,4）,那么〃尤）在［0,e］上的最大值為.

知識(shí)點(diǎn)03幕函數(shù)的特征

幕函數(shù)隨著。的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：

（1）所有的嘉函數(shù)在（0,+◎都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（口）；

（2）a>0時(shí)，熹函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,y）上是增函數(shù).特別地，當(dāng)1>1時(shí)，塞函數(shù)

的圖象下凸；當(dāng)0<夕<1時(shí)，幕函數(shù)的圖象上凸；

（3）。<0時(shí)，塞函數(shù)的圖象在區(qū)間（0,+oo）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖

象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近無(wú)軸正半軸.

題型精講

題型01塞函數(shù)的概念

【典例1］現(xiàn)有下列函數(shù):③>=4號(hào)@y=x5+l；⑤y=(x-l)2；⑥丁二壬⑦

y=a\a>X）,其中嘉函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式1］（2024?高一?河北滄州?期末）下列函數(shù)是新函數(shù)的是（）

A.y=2x2B.y=~7

x

C.y=--D.y=2x

【變式2】（2024.高一.陜西?期中）下列函數(shù)是募函數(shù)的是（）

A.y=--B.y=x+lc.y=GD.y=2x2

x

【變式3】函數(shù)/（x）=（/-根-1）/是幕函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

【變式4］（2024.高一.云南德宏.期末）下列函數(shù)既是新函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）

A.y=l［xB.y=與C.y=2x2D.y=x+—

xx

題型02求幕函數(shù)的解析式

【典例2】（2024.高一.江蘇南通?期中）己知事函數(shù)/（尤）為偶函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞減，則/（無(wú)）的解析式

可以為.（寫(xiě)一個(gè)即可）

【變式1】若累函數(shù)了（無(wú)）過(guò)（2,3）點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為.

【變式2】已知事函數(shù)/（尤）=（病-機(jī)-1）/的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則/（M=

【變式3］（23-24高一上?安徽淮北?期中）已知募函數(shù)/（尤）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,；］,求〃-3）=

【變式4】（2024.高一.安徽馬鞍山?期中）已知累函數(shù)/（x）滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②

Yxge（0,+s）,〃網(wǎng)）一〃無(wú)2）＜o(jì),寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)解析式__________.

xx—x2

題型03定義域問(wèn)題

【典例3】（2。24高一福建龍巖,期末）若塞函數(shù)-的圖象過(guò)點(diǎn)（4,2）,則戶售修的定義域是（

A.(-2,0)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

754212

【變式1】（2024?高一?上海?課后作業(yè)）在函數(shù)①y=J；?y=x6；?y=xi-,@y=x5；?y=x3；?y^x3

中，定義域是R的有個(gè).

【變式2】（2024?高一?黑龍江綏化?期末）函數(shù)/（無(wú)）=（尤-1）4+*「匚的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

Vx+2

A.（1,+8）B.（-2,4-00）C.（-2,l）u（l,+e）D.R

【變式3】（2024.高一.湖北?期中）函數(shù)/3=（1-尤,+3-1）°的定義域是（）

A.（-oo,l]B.1C.（-co,-l）D.

題型04值域問(wèn)題

2

【典例4】（2024.高一.遼寧.階段練習(xí)）函數(shù)>=/,-14苫40的值域?yàn)?

【變式11若累函數(shù)/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4,上],則/⑺的值域?yàn)?/p>

x,0<x<1,

【變式2】函數(shù)〃引=1的值域?yàn)開(kāi)_____.

一,%21.

21

【變式3】（2024?高一.全國(guó)?課后作業(yè)）函數(shù)>=/+2戶+4,其中x…-8,則其值域?yàn)?

2

【變式4】（2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè)）（1）使用五點(diǎn)作圖法，在圖中畫(huà)出/的圖象，并注明定義域.

（2）求函數(shù)力（力=W-2聲-3的值域?

【變式5】（2024?高一?全國(guó)?單元測(cè)試）已知幕函數(shù)/（》）=伏2一"14次?R）,且在區(qū)間（0,+8）內(nèi)函數(shù)圖

象是上升的.

（1）求實(shí)數(shù)上的值；

（2）若存在實(shí)數(shù)歷。使得函數(shù)尤）在區(qū)間團(tuán)，切上的值域?yàn)槲?，b],求實(shí)數(shù)a,b的值.

題型05募函數(shù)的圖像

【典例5】幕函數(shù)城，2,一，/一1在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線（）

C.。3，。2，Cl,C4D.ClfC4,C2,C3

4

【變式1］（2024.高一.上海.課堂例題）函數(shù)y=戶的圖象是（）

【變式3】已知函數(shù)〃尤）的圖象如圖所示，則“力的解析式可能是（）

A..B.y=x^C.y=xD.,=戶

-2八

JQX＜0

【變式4】（2024.高一.山東濟(jì)南.期末）己知函數(shù)/（x）=J'則y=-〃x）的圖象大致為（）

x^,x＞0,

【變式5】已知事函數(shù)〃力=（后-+呀3,其圖像與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)根的值為

【變式6】已知幕函數(shù)yjCZ且PM互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，貝。（）

A.p,q均為奇數(shù),且

Q

B.q為偶數(shù),p為奇數(shù)，且/＜。

C.q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且‘＞。

q

D.q為奇數(shù),p為偶數(shù),且/＜。

題型06圖像過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

【典例6】（2024.高一.福建莆田.期中）已知函數(shù)〉=J的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在一次函數(shù)丫=〃眈+〃的

圖象上，其中機(jī)＞0,n＞0,則'的最小值為.

mn

【變式1】（2024?高一?上海徐匯?期末）當(dāng)aeR時(shí)，函數(shù)了=丁-2的圖象恒過(guò)定點(diǎn)4則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

【變式2］（2024?高一?上海靜安?期中）不論實(shí)數(shù)。取何值，函數(shù)y=（x-l）“+2恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是

【變式3］（2024.高一.上海靜安?期中）不論實(shí)數(shù)。取何值，函數(shù)、=（尤-1）"+2恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是

題型07利用單調(diào)性解不等式

【典例7】（2024?高一?天津?期中）若塞函數(shù)'=/2-?時(shí)3（加?1＜）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在（。,內(nèi)）上單調(diào)遞

減，則滿足（。+1）一機(jī)＞（3-2a）-"的a的取值范圍為.

【變式1】（2024?高一?廣西百色?開(kāi)學(xué)考試）已知幕函數(shù)〃同=小*滿足條件/（3-《）＞〃《）,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

33

【變式2】（2024?高一?全國(guó)?期中）若（根+2A＜（4-3根戶，則實(shí)數(shù)冽的取值范圍為.

【變式3］（2024?高一?廣東梅州?期末）已知幕函數(shù)f（x）=x"的圖象過(guò)點(diǎn)（2,；］,若/（2m+1）＜/（3）,則加

的取值范圍是.

【變式4】（2024?高一?重慶永川?期中）已知幕函數(shù)f（x）=（/+3加-9）產(chǎn)|在（0,+向上是減函數(shù)，meR.

若（2-a向＞（2a-1向，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

題型08比較大小問(wèn)題

【典例8】（2024?高一?云南昆明?期中）已知幕函數(shù)〃%）=%，且。則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A./)B.卜弓卜/伊)</2)

C"/）</&）<心）<心）D.撲小卜0八町

221

【變式11（2024?高一.廣東佛山?階段練習(xí)）若°）=［］，c=］。：，則a、。、。的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

422

【變式2］（2024?高一?重慶?期中）已知°=23/=43,0=33，貝1J（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【變式3］（2024.高三.黑龍江牡丹江.階段練習(xí)）已知塞函數(shù)/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)

尸是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.芯/（石）>尤2〃無(wú)2）B.石〃龍2）<X2，（石）

XX

p/（%））/（%2）nf（l）f（2）

x2石5x2

【變式4】函數(shù)=（療--7-1）/+*是幕函數(shù),對(duì)任意看,X2c（o,y）,且占#%,滿足"6"~）>0,

玉一馬

若a,6eR,且a+>>0,ab<0,則f（a）+〃6）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無(wú)法判斷

題型09奇偶性問(wèn)題

【典例9】已知幕函數(shù)y=〃x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,0）,則下列關(guān)于〃尤）的說(shuō)法正確的是（）

A.〃尤）是奇函數(shù)B.〃尤）是偶函數(shù)

C.“X）的定義域?yàn)椋?,+8）D.“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增

【變式1】已知哥函數(shù)/（%）=匯/+2"-3（meZ）在區(qū)間（0,+8）上是單調(diào)增函數(shù)，且y=的圖象關(guān)于y軸

對(duì)稱，則m的值為（）.

A.-1B.0C.1D.2

【變式2】函數(shù)/(%)=/+)(%￡?,^/(m+l)+/(2+m-m2)>0,則實(shí)數(shù)加的范圍是

【變式3】已知暴函數(shù)"切=乂?戊6/?)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)且f(a+l)</(3),貝M的取值范圍為()

A.(—8,2)B.(2,+oo)

C.(-oo,-4)52,+8)D.JU)

題型10幕函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用

【典例10】(2024?高一?陜西西安?期末)已知事函數(shù)〃耳=9/一3弘+3卜源為偶函數(shù)，g(x)=f(x)+x+2.

⑴求y=的解析式；

⑵若g(x)2辰對(duì)于x目1,2］恒不成立，求上的取值范圍.

【變式1】(2024?高一?廣西河池?期末)已知事函數(shù)“X)的圖象過(guò)點(diǎn)(g,：).

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=2/(x)-8x-。+2,若g(x)>0對(duì)任意xe［-3,2］恒不成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式2】(2024.高一.江蘇淮安?期末)已知“尤)是定義在R上的函數(shù)，滿足：〃-尤)+〃尤)=0,

/(-%)=/(2+x),且當(dāng)xe［0,l］時(shí)，/(x)=%2+x.

⑴求的值；

⑵當(dāng)xw［-l,0］時(shí)，求的表達(dá)式；

⑶若函數(shù)”力在區(qū)間［。,可(a<b)上的值域?yàn)椋?°,2可，求a+6的值.

【變式3】(2024?高一?陜西商洛?期中)已知幕函數(shù)〃力=無(wú)一'"2的+3(_2<機(jī)<2,機(jī)€2)滿足：

①/(X)在(0,+8)上為增函數(shù)，

②對(duì)VxeR,都有f(-x)-f(x)=0,

求同時(shí)滿足①②的嘉函數(shù)“力的解析式，并求出相［1，4］時(shí)，/(x)的值域.

題型11與嘉函數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題

【典例11］（2024?高一?廣西欽州?開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)G在〃74尤4〃（〃，<〃）上的最大值記為Nmax，最小值記為

ymin，且滿足Vmax-Nmin=1，則稱函數(shù)G是在7〃<X上的“美好函數(shù)”.

⑴函數(shù)①>=x+l；②y=|2x|；③>=/，哪個(gè)函數(shù)是在1W2上的“美好函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（2）己知函數(shù)G:y—cvC-2or-3a（aW0）.

①函數(shù)G是在14尤42上的“美好函數(shù)”，求。的值；

②當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)G是在yW1上的“美好函數(shù)”，求f的值.

【變式1］（2024?高一?貴州六盤水?期末）對(duì)于定義域?yàn)镺的函數(shù)y=〃x）,如果存在區(qū)間卜%"］=，同時(shí)

滿足:①“X）在卜72,〃］上是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，/（x）e［m,n］,則稱卜是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.

⑴求證：［0,3］是函數(shù)=的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”；

⑵求證：函數(shù)g（x）=l-g不存在“優(yōu)美區(qū)間”；

⑶已知函數(shù)4尤）=（aeR,aw0）有“優(yōu)美區(qū)間''［私司，當(dāng)…取得最大值時(shí)求?的值.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（23-24高一?上海?課堂例題）下列命題中，正確的是（）

A.當(dāng)九=0時(shí)，函數(shù)y=x"的圖象是一條直線；

B.幕函數(shù)y=x"的圖象都經(jīng)過(guò)（0,0）和（U）兩個(gè)點(diǎn)；

C.若塞函數(shù)、=/的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則>=/在區(qū)間（-?,0）上是嚴(yán)格增函數(shù);

D.基函數(shù)的圖象不可能在第四象限.

2.（23-24高一上?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?期末）已知2（司=（9—2）/是募函數(shù),則〃2）=（）

A.1B.2C.4D.8

233

3.（23-24高一上?福建福州?期中）已知“=（3丫，［邛，)

b=bJc=>則。，b,c的大小關(guān)系是（

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

4.(23-24高一上?江蘇宿遷?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=6-J匚三，貝U()

A./(x)的最大值為&B./(x)的最大值為1

C./(x)的最小值為1D.7(x)的最小值為0

5.(23-24高一上?北京海淀?期末)在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)〃x)=log“x,g(x)=L,=的圖象可

取值范圍是()

7.(23-24高一上?吉林延邊?期末)已知幕函數(shù)〃x)=(l-5m+5)x%2是R上的偶函數(shù)，且函數(shù)

g(x)=〃x)-(2a-6戶在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(3,4)B.(-oo,4]C.[6,+oo)D.(^?,4][6,+co)

8.(23-24高一上?山東青島?階段練習(xí))已知函數(shù)=二圖象與函數(shù)g(尤)=(尤-1)3圖象有三個(gè)交點(diǎn),

分別為(為,%),(%,%)，(工3，%)，則%+必+%+%+尤3+%=()

A.1B.3C.6D.9

二、多選題

9.(24-25高一上?河南鄭州?階段練習(xí))下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=B.f(x)=x\x\

C./(x)=-——-D.f(x)=x3

x-\

10.(22-23高一上?廣東佛山?階段練習(xí))己知函數(shù)F(x)=x“圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2),則下列命題正確的有()

A.函數(shù)為增函數(shù)

B.函數(shù)為偶函數(shù)

C.若x>l,則〃x)>l

D.若0<為<々，則

11.（23-24高一上,云南昆明,期末）若函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域上的任意x,恒有f（x）+f（r）=O；

②對(duì)于定義域上的任意看,馬,當(dāng)％時(shí)，恒有二⑷＜0,則稱函數(shù)/（x）為“理想函數(shù)下列四個(gè)

函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)"的是（）

A.=-xB./（x）=x2C./（x）=-x3D.f（x）=l-x

三、填空題

12.（23-24高一上?安徽亳州?期末）已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（243,；],那么的解析式為.

13.（23-24高三上?上海靜安?期中）函數(shù)y=（3x-2產(chǎn)的定義域?yàn)?

14.（23-24高一下?北京?開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)"X）在定義域內(nèi)的某區(qū)間M上是增函數(shù)，且」也在〃上是減函

X

數(shù)，則稱函數(shù)/（X）在M上是“弱增函數(shù)"，則下列說(shuō)法正確的是—

①若/（無(wú)）=/,則存在區(qū)間M使7'⑺為"弱增函數(shù)"

②若〃無(wú)）=尤+，,則存在區(qū)間〃使/（X）為"弱增函數(shù)"

③若/（X）=X+尤3,則/（X）為R上的“弱增函數(shù)”

④若/（x）=f+（4-耽+.在區(qū)間（0,2]上是“弱增函數(shù)"，則q=4

四、解答題

15.（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）己知幕函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,應(yīng)）.

⑴求暴函數(shù)解析式；

⑵求證：幕函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上是嚴(yán)格增函數(shù).

16.（23-24高一下上海?期中）已知幕函數(shù)〃%）=/2-2%3（相€2）為奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,+動(dòng)上是嚴(yán)格減函

數(shù).

⑴求函數(shù)y=的表達(dá)式；

（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)xe；』，不等式〃x）＜r+4,恒不成立，求實(shí)數(shù)r的取值范圍.

17.（23-24高一下?山東濱州?開(kāi)學(xué)考試）己知幕函數(shù)/■（x）=x。的圖象過(guò)點(diǎn)

⑴解不等式：/（3x+2）＞y（l-2x）；

⑵設(shè)g（x）=2F（x）-8x+2-。，若存在實(shí)數(shù)xe[-3,3],使得。（久）＜0不成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.（23-24高一下河北石家莊,開(kāi)學(xué)考試）已知事函數(shù)=（/-+4）-f2在（―⑼上單調(diào)遞減.

（1）求函數(shù)的解析式；

(2)若/(I—2x)</(x+2),求x的取值范圍；

⑶若對(duì)任意xe[L2],都存在ae[1,2],使得/(x)T+a+1不成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

19.(22-23高一上?山東聊城?期末)若在函數(shù)“X)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[0,可，使得“X)在[“，可上單調(diào),

且函數(shù)值的取值范圍是[〃肛〃咧(機(jī)是常數(shù))，則稱函數(shù)〃尤)具有性質(zhì)

(1)當(dāng)加=；時(shí)，函數(shù)/'(尤)=?否具有性質(zhì)M?若具有，求出。，b；若不具有，說(shuō)明理由；

4

⑵若定義在(0,2)上的函數(shù)〃x)=x+-5具有性質(zhì)“，求機(jī)的取值范圍.

第06講塞函數(shù)

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

2.了解塞函數(shù)的概念.

1.通過(guò)幕函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

2.結(jié)合函數(shù)yx,yx2,城，yx-1,y=?的

2.借助幕函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究，培養(yǎng)直觀想象、邏

圖象，了解他們的變化情況.

輯推理等核心素養(yǎng).

3.掌握五種事函數(shù)的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用.

1.鬲函數(shù)的概念

2.求皋函數(shù)的解析式

3.定義域問(wèn)題

4.值域問(wèn)題

5.鬲函數(shù)的圖像

6.圖像過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

7.利用單調(diào)性解不等式

8.比較大小問(wèn)題

9.奇偶性問(wèn)題

10.靠函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

11.新定義問(wèn)題

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)W叫做塞函數(shù)，其中%是自變量，a是常數(shù).

【即學(xué)即練1】（2024.高一.上海.隨堂練習(xí)）下列函數(shù)是塞函數(shù)的是（）

A.y=2xB.y=2x-l

C.y=(x+l)2D.y=療

【答案】A

【解析】根據(jù)暴函數(shù)的定義，A、B、C均不是幕函數(shù)，只有D選項(xiàng)y==形如y=x。(a為常數(shù)),

是暴函數(shù)，所以D正確

知識(shí)點(diǎn)02常見(jiàn)幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3

募函數(shù)川yr2yxyx~l

定義域RRR「0,+8)(-8,0)U(0,+8)

值域R[0,4-°°)R[0,+°0){ylydR,且尸0}

奇偶性直偶非奇非偶直

%￡[0,+8),增；%￡(0,+°°),減;

單調(diào)性增增增

8,0],減%E(—oo,0),減

公共點(diǎn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)

【即學(xué)即練2】已知嘉函數(shù)/(x)的圖象過(guò)(2,4),那么了。)在［0,e］上的最大值為.

【答案】?

【分析】先求事函數(shù)解析式，再根據(jù)幕函數(shù)單調(diào)性求最值.

【解析】設(shè)/(%)=",因?yàn)槲鰟竦膱D象過(guò)(2,4),

.?.2。=4，解得a=2,

/(x)=%2

/(x)在［0,e］上是單調(diào)遞增的

/(X)在［0,e］上的最大值為〃e)=e2,

故答案為:e2

知識(shí)點(diǎn)03幕函數(shù)的特征

暴函數(shù)隨著a的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：

(1)所有的嘉函數(shù)在(0,+◎都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1);

(2)a>0時(shí)，熹函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+?)上是增函數(shù).特別地，當(dāng)1>1時(shí)，塞函數(shù)

的圖象下凸；當(dāng)0<cr<l時(shí)，塞函數(shù)的圖象上凸；

(3)戊<0時(shí)，塞函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+oo)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖

象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近無(wú)軸正半軸.

【即學(xué)即練3】(2024.高一.全國(guó).隨堂練習(xí))函數(shù))=)的圖象是()

【解析】片/=正，定義域?yàn)椋?,+?）,排除A,B.

經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（U）,|>1，則第-象限圖象是單調(diào)遞增，且增長(zhǎng)率逐步變快.

題型精講

題型01幕函數(shù)的概念

【典例1】現(xiàn)有下列函數(shù)：①片尤3;②y=；③y=4x2；?y=x5+1；⑤y=（x-l）2；@y^X.⑦

>=優(yōu)（“>1）,其中塞函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)暴函數(shù)的定義逐個(gè)辨析即可

【解析】幕函數(shù)滿足y=x"形式，故y=x3,y=x滿足條件，共2個(gè)

【變式1]（2024?高一?河北滄州?期末）下列函數(shù)是基函數(shù)的是（）

A.y=2x2B-T

C.y=-x-1D.y=2x

【答案】c

【解析】B項(xiàng)可化為y=x-2,根據(jù)幕函數(shù)的概念，可知函數(shù)y=x-2是幕函數(shù)，即函數(shù)y=二是哥函數(shù).ACD

x

均不是嘉函數(shù).

【變式2】（2024?高一.陜西?期中）下列函數(shù)是募函數(shù)的是（）

A.y=B.y=x+lC.y=4xD.y=2xi

x

【答案】D

【解析】根據(jù)幕函數(shù)的定義：形如>=—,而>=?=￡,符合幕函數(shù)的定義,正確.

ABD在形式上都不符合暴函數(shù)定義，錯(cuò)誤.

【變式3】函數(shù)l）x”是嘉函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為

【答案】-1或2

【解析】由題意加-加-1=1,解得m=2或-1

【變式4】（2024?高一?云南德宏?期末）下列函數(shù)既是塞函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）

A.y=y/xB.y-C.y=2x2D.y=x+—

'廠x

【答案】A

【解析】對(duì)于A,由基函數(shù)的定義知/=也=/是嘉函數(shù)，由題意可知/（X）的定義域?yàn)镽，

于（一x）=O=-W=T（x）,所以“X）是奇函數(shù)，符合題意；故A正確；

對(duì)于B,由幕函數(shù)的定義知y=*=x-2是幕函數(shù)，由題意可知/（X）的定義域?yàn)椋‵,o）（。,內(nèi)）,

/（一無(wú)）=7%=3=/（彳），所以是偶函數(shù)，不符合題意;

（一無(wú)）尤故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由幕函數(shù)的定義知y=2/不是幕函數(shù)，不符合題意；故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由幕函數(shù)的定義知y=x+!不是幕函數(shù)，不符合題意；故D錯(cuò)誤;

X

題型02求暴函數(shù)的解析式

【典例2】（2024?高一?江蘇南通?期中）已知幕函數(shù)/（X）為偶函數(shù)在（0,+e）上單調(diào)遞減，則/（無(wú)）的解析式

可以為.（寫(xiě)一個(gè)即可）

【答案】/（力=婷（答案不唯一）

【解析】因?yàn)槟己瘮?shù)〃x）=x“在（0,+“）上單調(diào)遞減，所以?<0,

又因?yàn)?（%）=%"為偶函數(shù)，

所以a=-2適合題意.

故答案為（答案不唯一）.

【變式1】若哥函數(shù)/（X）過(guò)（2,?）點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為.

【答案】了（力=尤；//（尤）=?

【分析】設(shè)代入所過(guò)點(diǎn)即可求得結(jié)果.

【解析】設(shè)幕函數(shù)〃X）=x。，貝廳（2）=2°=0,解得：⑺=%.

1

故答案為：〃彳）=廣.

【變式2】已知事函數(shù)/（尤）=何2一〃7-1）X"，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則〃租）=.

【答案】4

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的知識(shí)求得小的可能取值，根據(jù)/（力圖象關(guān)于y軸對(duì)稱求得，”的值，進(jìn)而即得.

【解析】由于/（無(wú)）是暴函數(shù)，所以瘍=解得〃2=2或機(jī)=-1.

當(dāng)帆=2時(shí)，/（x）=f,圖象關(guān)于，軸對(duì)稱，符合題意.

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，*尤）=/=_1_,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意.

X

所以機(jī)的值為2,

???./。）=/，〃2）=22=4.

故答案為：4.

【變式3】（23-24高一上?安徽淮北?期中）已知募函數(shù)/（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,g）,求/（-3）=

【答案】|

【分析】設(shè)塞函數(shù)為/（x）=x“,aeR,根據(jù)題意求得戊=-2,得至代入即可求解.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)為/■（x）=xa,ceR,

因?yàn)槿瘮?shù)/（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)[3]],可得"=3。，解得。=-2,即/。）=針，

所以/（-3）=（-3尸=，

故答案為：-

【變式4】（2024?高一?安徽馬鞍山?期中）已知基函數(shù)f（x）滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②

V尤“Ze（0,+8）,“6"無(wú)2）<0,寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)解析式__________.

xx-x2

【答案】/?=-（答案不唯一）

X

【解析】因?yàn)槲鯴）對(duì)內(nèi)，%e（0,+8）,一<0,則/（X）在（0,+8）上為減函數(shù)，

xx-x2

又因?yàn)槟缓瘮?shù)（a為常數(shù)），當(dāng)/（x）不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，aV0即可，

故可取/（無(wú)）=.「=」.

X

故答案為：/（X）=%-'=-（答案不唯一）.

X

題型03定義域問(wèn)題

【典例3】（2024.高一?福建龍巖?期末）若幕函數(shù)/（幻的圖象過(guò)點(diǎn)（4,2）,則>=%—的定義域是（）

A.（-2,0）B.（0,2]C.[0,2]D.（-2,2）

【答案】C

【解析】設(shè)"x）=x。，依題意可得￥=2,解得a=g，所以〃x）=￡,

所以〃力的定義域?yàn)閇0,依），值域?yàn)閇0,例）,且"0）=0,

對(duì)于函數(shù)y=則『一I”。，解得0<xW2,

/（x）[x>0

即函數(shù)y='消。的定義域是（0,2].

754212

【變式1]（2024?高一?上海,課后作業(yè)）在函數(shù)①>；②,=/；③；④>=￡，⑤y=￡5；⑥y=Q

中，定義域是R的有個(gè).

【答案】3

7

【解析】①y=^="的定義域?yàn)镽

5、

②y=/=療的定義域?yàn)閞[0，+”）；

4

③>=爐=正的定義域?yàn)镽；

_2]

@y=x5二刀十的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）5。,+8）；

yjx

1

⑤y=x3的定義域?yàn)椋?8,O）U（O,+8）;

y/x

2___

⑥y==底的定義域?yàn)镽

故定義域?yàn)镽的有①③⑥，共3個(gè),

故答案為：3.

【變式2】（2。24?高一?黑龍江綏化?期末）函數(shù)小）=（1）'+任的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.+B.(—2,+00)C.(-2,1)u(1,+<?)D.R

【答案】C

【解析】由已知白>°解得所以向的定義域?yàn)椋?2,+孫

【變式3】（2024?高一?湖北?期中）函數(shù)〃x）=（l-尤）3+（2工-1）°的定義域是（）

A.（-co,1］B.1c.（-=0,-1）D.

【答案】C

【解析】因?yàn)?（1-+（2x-l）°=-^=+（2x-l）°,

則有解得x<l且"g,因此〃尤）的定義域是1&Jug，J

題型04值域問(wèn)題

2

【典例4】（2024?高一?遼寧?階段練習(xí)）函數(shù)y=x"-l4xW0的值域?yàn)?

【答案】［0』

2

【解析】由幕函數(shù)性質(zhì)可知y=/在［0,+e）上單調(diào)遞增，

2

又易知y=x3,xeR為偶函數(shù)，

2

所以當(dāng)-IWXWO時(shí)，可知y=#在［T,0］上單調(diào)遞減，

可得04）41.

故答案為：［0,1］

【變式1】若幕函數(shù)/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)與］,則/（尤）的值域?yàn)?/p>

【答案】（O,E）

【分析】設(shè)/（%）=#,根據(jù)條件求出a,然后可得答案.

【解析】設(shè)/（幻=尤&,因?yàn)槟缓瘮?shù)/（幻的圖象過(guò)點(diǎn)（4,上］,所以4"=”=4-2

VIo/lo

所以。=一2,所以/（%）=4=《￡（（）,+co）

故答案為：（0,+oo）

x,0<x<l,

【變式2】函數(shù)〃x）=1的值域?yàn)開(kāi)______.

一,%之1.

【答案】［0』

【分析】根據(jù)/（尤）的解析式求得了（尤）的值域.

【解析】0Wx<l時(shí)，/（x）=xe［0,l）,

x21時(shí)，f（%）=^e（O,l］,

所以〃尤）的值域?yàn)椋?』.

故答案為：［0』

21

【變式3】（2024.高一.全國(guó)?課后作業(yè)）函數(shù)y=/+2/+4,其中x…-8,則其值域?yàn)?

【答案】［3,y）

【解析】設(shè)一1，則y=』+2f+4=?+l）2+3.因?yàn)?,所以心.-2.當(dāng)上一1時(shí)，=3.所以函數(shù)的值

I一人

域?yàn)椋?,+8）.

故答案為：［3,+8）

2

【變式4】（2024?高一.全國(guó)?課后作業(yè)）（1）使用五點(diǎn)作圖法，在圖中畫(huà)出〃“=聲的圖象，并注明定義域.

（2）求函數(shù)從同=/一2/一3的值域.

2

【解析】（1）由于〃x）=Q=療,

則"0)=0,/(-1>/(1)=1,/(-8)=/(8)=^=4,

2

所以“x)=/過(guò)點(diǎn)(0,0),(—1,1),(1,1),(—8,4),(8,4)，

2?

設(shè)/=f>0,則/?（尤）==/-2/-3=—1）—4>—4,

當(dāng)f=l時(shí)取等號(hào)，故Mx）的值域?yàn)椋跿-）.

【變式5］（2024?高一.全國(guó)?單元測(cè)試）已知累函數(shù)/（尤）=伊-左-14（左eR）,且在區(qū)間（0,+8）內(nèi)函數(shù)圖

象是上升的.

（1）求實(shí)數(shù)上的值；

（2）若存在實(shí)數(shù)歷。使得函數(shù)/（無(wú)）在區(qū)間