專題20排列組合原理與二項式定理經(jīng)典常考小題

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航.................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航.................................................3

03知識梳理?方法技巧................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測................................................6

05核心精講?題型突破................................................11

題型一：二項式定理之特定項、三項式問題11

題型二：二項式定理之系數(shù)和問題12

題型三：二項式定理之系數(shù)最值問題15

題型四：特殊優(yōu)先與正難則反策略17

題型五：相鄰問題與不相鄰問題19

題型六：定序問題21

題型七：多面手問題23

題型八：錯位排列問題25

題型九：涂色問題27

題型十：分組與分配問題31

題型十一：隔板法34

題型十二：環(huán)排與多排問題36

題型十三：電路圖模型38

重難點突破：機(jī)器人跳動、波浪數(shù)、卡特蘭數(shù)模型40

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

排列組合與二項式定理構(gòu)成了高考數(shù)學(xué)中的一個重要考查領(lǐng)域，預(yù)計未來的考試形式仍將側(cè)重于選擇

題或填空題。這些題目將主要測試學(xué)生對基本概念和基本方法的掌握程度，難度水平預(yù)計會保持在中等偏

下，與教材內(nèi)容保持一致。值得注意的是，這部分內(nèi)容與日常生活緊密相連，考生可以關(guān)注一些常見的排

列組合實例，例如體育比賽的賽程安排、彩票中獎規(guī)則等，以此來培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識

和能力。

考點要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年天津卷第11題，5分預(yù)計2025年高考數(shù)學(xué)

2024年甲卷第13題，5分將呈現(xiàn)以下新趨勢：一方

掌握定理應(yīng)用，提2023年北京卷第5題，4分

二項式定理面，小題形式將更為多樣，

升解題技能。2023年天津卷第11題，5分

可能涵蓋選擇題或填空

2022年I卷第13題，5分

題，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)

2021年浙江卷第13題，6分

抽象思維、數(shù)學(xué)建模能力、

邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)

算技巧，這些構(gòu)成了數(shù)學(xué)

2024年H卷第14題，5分

四大核心素養(yǎng)。另一方面，

2023年乙卷第7題，5分

理解概念公式，培2023年II卷第3題，5分考試的熱點內(nèi)容可能會聚

排列組合

養(yǎng)解題能力。2023年I卷第13題，5分焦于應(yīng)用二項式定理求解

2022年II卷第5題，5分系數(shù)相關(guān)問題，以及運(yùn)用

年乙卷第題，分

202165排列組合理論來解決實際

生活中的數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)

數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

匐2

知識導(dǎo)圖?思維引航

二頊?zhǔn)蕉ɡ?/p>

二項式定理二項展開式的通項

二頊?zhǔn)较禂?shù)的性質(zhì)

排列組合與二項式定理

排列的定義

排列組合

組合的定義

牛nt口偏孑里?二注怙工虧

1、如圖，在圓中，將圓分"等份得到".個區(qū)域“，M2,M3,■■■,M?(n..2),現(xiàn)取ML.2)種顏色對

這"個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有1)+(4-1)"種.

2、錯位排列公式2=(反包+1)?加

1=1，八

3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項

⑴解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子響題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)

在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即

優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討

論.

4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，

被限制的位置稱為特殊位置.這一類問題通常以三種途徑考慮：

(1)以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；

(2)以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；

(3)用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).

5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將"個不同元素排成一排，其中某%個元素排在相鄰位

置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這左個元素“捆綁在一起“，看成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素

一起排列，共有可宜;種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有4種排法.根據(jù)分步乘

法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有6二優(yōu).履種.

6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將〃個不同元素排成一排，其中某《個元素互不相鄰

(kWn-k+1),求不同排法種數(shù)的方法是：先將(〃-左)個元素排成一排，共有然1種排法；然后把上個

元素插入”-左+1個空隙中，共有種排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有

A比?小一斤+1種?

7、解決排列、組合綜合問題時需注意“四先四后”：

（1）先分類，后分步：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類加法計數(shù)原理解決或分

成若干步，再由分步乘法計數(shù)原理解決.常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步.

（2）先特殊，后一般：解排列、組合問題時，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮

其他情形.

（3）先分組，后分配：對不同元素且較為復(fù)雜的平均分組問題，常常“先分組，再分配”.

（4）先組合，后排列：對于既要選又要排的排列組合綜合問題，常常考慮先選再排.

8、求二項展開式中的特定項的方法

求二項展開式中的特定項問題，實質(zhì)是考查通項/川的特點，一般需要建立方程求「，再將「

的值代回通項求解，注意廠的取值范圍S=0,1,2L,〃）.

（1）第機(jī)項：止匕時廠+1=：九，直接代入通項；

（2）常數(shù)項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的累指數(shù)為0建立方程；

（3）有理項：令通項中“變元”的幕指數(shù)為整數(shù)建立方程.

特定項的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.

9、賦值法研究二項式的系數(shù)和問題

“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如（ox+b）",3?+bx+c）"（a,6,ceR）的式子求

其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=l即可；對形如（ax+與）"（a,beR）的式子求其展開式各

項系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.

10、二項式系數(shù)最大項的確定方法

（1）若"是偶數(shù)，則中間一項（第2+1項）的二項式系數(shù)最大；

2

（2）若〃是奇數(shù)，則中間兩項（第*項與第E+l項）的二項式系數(shù)相等數(shù)最大.

22

1.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，尤3的系數(shù)為（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】A

【解析】卜-&『的二項展開式為41一甸=C；（一1丫萬,（r=0,1,2,3,4），

令4-；=3,解得廠=2,

故所求即為C：（-葉=6.

故選：A.

2.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）+的展開式中，各項系數(shù)中的最:

【答案】5

xlO-r

【解析】由題展開式通項公式為%"0<r<10MreZ,

設(shè)展開式中第r+1項系數(shù)最大，貝IJ1（-d

[I

42933

n即一《廠工一,又廠eZ,故不=8，

r<——

4

所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為C：I

故答案為：5.

3.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，常數(shù)項為.

【答案】20

的展開式的通項為cj；

【解析】因為32q"5'=0,1,...,6,

令12—4，=0,可得r=3,

所以常數(shù)項為3℃：=20.

故答案為：20.

4.(2024年新課標(biāo)全國H卷數(shù)學(xué)真題)在如圖的4x4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個

方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值

是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【解析】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，

則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，

第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(4瓦Gd),a,"c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

5.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)在(2尤3一的展開式中，/的系數(shù)為

【答案】60

【解析】展開式的通項公式=Ci(2x3p=(-1)"x26-*xC*xx18-?,

令18—4左=2可得，k=4,

則爐項的系數(shù)為(一心2&*><或=4x15=60.

故答案為：60.

6.（2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這

8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作

答）.

【答案】64

【解析】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

（2）當(dāng)從8門課中選修3門，

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C：C；=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

7.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星

期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【解析】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有A；=12

種方法，

同理：6,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

8.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀

的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】首先確定相同得讀物，共有C：種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有=120種，

故選：C.

9.（2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽

樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和

200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有().

A.C：QC盛種B.C黑。C機(jī)種

C.C落C或種D.C%C機(jī)種

【答案】D

【解析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x步=40人，高中部共抽取60x照=20,

600o(J(J

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有c￡-c品種.

故選：D.

10.(2022年新高考全國n卷數(shù)學(xué)真題)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站

在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

11.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)已知多項式(x+2)(x-l)4=&+。逮+。2爐+。3%3+。4丁+45丁,則

a2=,%+o,+%+%+%=.

【答案】8-2

【解析】含/的項為：x.C^-x.(-1)3+2-C^-%2?(-1)2=+12x2=8x2,故出=8；

令x=0,即2=%,

令尤=],即0=+4+g+43++05，

q+%+%+〃4+=—2,

故答案為：8；-2.

12.(2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)卜-5](尤+>)8的展開式中/丈的系數(shù)為(用數(shù)字作

答).

【答案】-28

【解析】因為(l-1(x+y)8=(x+y)8-?(x+yy,

所以(l.J(x+y)8的展開式中含06的項為,一衿尤3y5-28尤2y6,

[l-￡j(x+y)8的展開式中/y6的系數(shù)為一28

故答案為：-28

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：二項式定理之特定項、三項式問題

【典例1力（--X+1）（%+1丫的展開式中，一的系數(shù)為（）

A.-55D.11

【答案】C

【解析】因為（彳2-彳+1）（尤+1），=（丁+］）（元+1），=*3（尤+］）4+（元+］）4.

4

（X+1）的二項展開式的通項公式為Tr+l=C；xj.

而/c3+C%4=5一,

所以公的系數(shù)為為5.

故選：C.

【典例1-2】的展開式中V的系數(shù)為（）

5/C

6

A.-6

5

【答案】B

【解析】11-卜）的展開式中爐的系數(shù)為c］.=-|,

故選：B

【變式1-1］（x+y-l）8的展開式中，含町4的項的系數(shù)為（）

A.240B.-280C.560

【答案】B

【解析】因為（x+y-l）8=［x+（y_l）?展開式的通項為第=q產(chǎn)，（匕了,

當(dāng)8-廠=1,即廠=7時，展開式中會出現(xiàn)X,此時4=C；x（y-l）7,

對于（y-1）’，通項為C%-氣-琰，要想得到力，則需左=3,

此時程=總》?、4（-1）3=_280孫4,即含個4的項的系數(shù)為一280,

故選：B.

【變式1-2】在（1+氐『的展開式中，系數(shù)為整數(shù)的項數(shù)是（）

A.9B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】根據(jù)題意有：1+1=《（g@”=段3七=《3?/,%=0,1,2,3,4,5,6,7,8,

\7

因為g左eZ,所以左=0,3,6,所以系數(shù)為整數(shù)的項為：1,4,7,故有3項

故選：C.

命題預(yù)測I

1.的展開式中，，的系數(shù)為（）

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

尤+1=］J1+J二］］的通項為小=晨-2廠,r=0,1,...,6,

【解析】由題意可知：

2

且（X—一尸的通項為S

y

令k=2,6-r-k=4,解得左=2/=0,

所以:的系數(shù)為cgy=6。.

故選：A

題型二：二項式定理之系數(shù)和問題

2024

［典例2-1】（多選題）若（1+2x）2024=%+〃/+------FtZ2024X,則下列正確的是（）

2024

A.a。=2024B.CLQ++???+^2024=3

C.—4+。2—〃3+??,+〃2024=1D.—2%+3%—…—2024/024=-2024

【答案】BC

【解析】對于A：令x=0,則％=1,故A錯誤;

對于B：令尤=1,則/+q+…+4024=3?°24,故B正確;

對于C：令％=-1,則佝—％+。2—。3+…+。2024=1，故C正確；

又寸D,由(1+2%)2024—+dyX+a?/+?,?+〃2024/°24，

22023

兩邊同時求導(dǎo)得2024x2x(l+2%)2°23=ax+2a2x+3dt3x+??.+2024dt2024x,

令x=—1,貝ijq-2%+3〃3+…一2。24〃2024=—4048,故D錯誤.

故選：BC.

939

【典例2-2](多選題)已知(2%—5)=4+%(%—2)+〃2(%—2)2+%(%—2)+???+u9{x—2),則下列結(jié)論成立

的是()

A.%+4+?.?+%=1B.28ao+2,4+2‘4+6/+,??+%=256

C.a0—q+2—“3+—“9=3。D.q+24+3/+?,,+9%=18

【答案】AD

【角軍析】設(shè)X—2=/,原式為(2,一1)9=%+4/+〃2,2+。3/+…+〃9產(chǎn)，

|

令，=1,Qo+qH------~。9=1人正確；

令「=:，則(1一l)9=g+g+魯+粵+...+黑，

22222329

同乘愛得。=2%+2，%+26%+25%+…+/+告，

%=2"28%+274+26%+25%+…+〃8=(=-28=—256,故B錯誤

t——1,貝U(-3)=%—%+4-/+,,,一%，。0—%+。2—%，%-3。，C

兩邊同時求導(dǎo)得：18(2%—1)8=4++3a3/2+,,,+9aJ*,

再令1=1,%+2〃2+3〃3+—+9〃9=1令故D正確.

故選：AD.

【變式2.1](多選題)已知(4—3x)7=4+4(1—3%)+%(1—3x)2H-----F%(1—3%),，則()

7

A.%=945B.Z〃i=47-1

i=l

C.a。+a?+a4+“6=2於+2，D.%+%+%+%=2‘-

【答案】AC

【解析】依題意得(4—3X)7=[3+(1—3x)y,所以%=C；X33=35X27=945,故A項正確；

177

令苫=三，得%=37,令尤=0,得±4=47,所以?,=47-37,故B項錯誤；

3i=oi=i

2

X——=CLQ-%+4—〃3+〃4-〃5+〃6-%CX)，

3^,4，=6ZQ+%+%+/+〃4+〃5+。6+%(X)，

47+?7

由①+②可得%+出+4+4=—~—=213+26,故C項正確；

同理，由②-①得4+/+。5+%=2"—2‘，故D項錯誤.

故選：AC.

【變式2-2](多選題)已知(2x+“)9=%+%(%+1)+〃2(工+1)2H--F〃9(x+1)9,若%=1,貝1！()

39-1

A.1=3B.%+〃2+〃4+〃6+〃8=~~~

C.%=84D.%+2%+3a2+4/+…?+104=7x

【答案】ABD

【解析】令%二—1,得(―2+。)9=%=1,解得。=3,故A正確；

以(2x+3)9=CLQ+%(x+1)+%(%+1)?+.?.+g(x+1))

令x=0,得%+〃]+4--F佝=3。，

令x=—2,得%—%…%-1，

39-1

所以〃0+%+〃4+〃6+〃8=一~一，故B正確；

(2%+3)9=口+2(%+1)了展開式的第用項7；+1=€：32(工+1)丁=2一G6+1)「(0049且廠一),

所以〃3=23XC：=672,故C錯誤；

令Z=尤+1,則(1+2,)9=%+dyt+a2t2+…+%產(chǎn),

f(才)=(1+2/)9=%+%/+,?,+a9t°,

貝！J/'(,)=18(1+2力8=%+2aJ+??,+9a9a,

令/=1,得^4+2〃2+,,,+9%=18x38=2x31°,

3^.%+4+/+,?,+%=，

月f以〃o+2q+3g+44+…+10。9

=(q+2^+??，+9佝)+(%+巧+/+,,,+%)=2x31°+3。=7x3。，故D正確.

故選：ABD

命題預(yù)測

1.(多選題)若(X+2+根)9=/+%(X+1)+〃2(X+1)2+1a9(%+1)9,且

(4+〃2^-----*"%)—(q+/H-----1■佝)=399則實數(shù)機(jī)的值可以是()

A.-5B.-3C.1D.5

【答案】BC

[解析]因為(X+2+機(jī))9—6Zg+4(X+1)+4(%+1)2+，??+%(%+1)9,

X——2I。—Q]+〃2—〃3+,,,+〃8—〃9二m9,

即(％+〃2+,,?+/)—("1+/+,,,+%)=加99

令X=0可得---)+(4+/H-------F佝)=(2+771)9,

:(4++,,,+/)—(4+/+■,,+%)=§9,

[(4。+〃2+?,,+%)+(4+“3+,,?+%)][(%+4+…+。8)—+4+…+%)]=3。,

(2+m)9-m9={2m+m2j=39,整理得2加+蘇=3,解得根=1或根=一3.

故選：BC.

題型三：二項式定理之系數(shù)最值問題

【典例3-1】在二項式。-2x)5的展開式中，系數(shù)最大的一項為.

【答案】80/

【解析】由題設(shè)，二項式的展開式通項為&|=G15T(-2x)'=(-2yq，，r=0,1,2,…,5,

易知廠=0,2,4時對應(yīng)項系數(shù)為正，『=1,3,5時對應(yīng)項系數(shù)為負(fù)，

222444

又工=1,7；=(-2)C^=40X,TS=(-2)C*X=80X,

所以系數(shù)最大的一項為80/.

故答案為：80/.

【典例3-2］在(l-x)2024的展開式中系數(shù)最大的項是第項.

【答案】1013

f

【解析】(1-X嚴(yán)4的展開式的通項為累+1=C晟(t)'=C；024(-l)V,r=0,1,2,...,2024,

則展開式的系數(shù)為C^4(-1)',r=0,1,2,…,2024,故廠為偶數(shù)時系數(shù)為正數(shù)，

由組合數(shù)C；°24=C^；T,可知當(dāng)r=2024—r,即r=1012時，取到最大值，也符合「為偶數(shù),

故展開式中系數(shù)最大的項是第1013項.

故答案為：1013.

【變式3-1］在(x-g］的二項展開式中，系數(shù)最小的項為.

【答案】-35尤

【解析】根據(jù)二項展開公式可得，

所以系數(shù)最小的項為C#,：1=_35尤

故答案為：-35x.

【變式3-2］在(1-2x)8的展開式中系數(shù)最大的項為.

【答案】1792%6

【解析】。-24的二項展開式的通項為=晨(一2尤廣上=(-2)1晨產(chǎn)二

其項的系數(shù)為(-2)~0,故當(dāng)上為偶數(shù)時，項的系數(shù)才有可能最大，

當(dāng)左=0,2,4,6,8時，項的系數(shù)分別為256,1792,1120,112,1,

故系數(shù)最大的項為1792/,

故答案為：1792f

命題預(yù)測

1.已知(1+2元『的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的項為a,系數(shù)最大的項為6,則2=

3%3

【答案】

22

【解析】由題意得aW>(2x)3=160/,通項加=晨2'龍'卜=0,1,2,3,4,5,6),

\Cr-2r>Cr+1-2r+1

當(dāng)滿足時，系數(shù)最大'

1>2

6-rr+1r+1>2(6-r)1114

即，解得—

—2>1----2(7-r)>r33

r1-r

又”=0,l,…,6

解得r=4,

所以b=C>(2x)4=240%4,

,,b3x

故廠E

故答案為：—

題型四：特殊優(yōu)先與正難則反策略

【典例4-1】在學(xué)校運(yùn)動會期間，學(xué)校安排甲、乙、丙、丁四名體育教師到A,民C三個比賽場地做比賽安全

指導(dǎo)工作，且每個場地至少安排一人，則甲不安排在C場地，乙安排在A場地的不同安排方法種數(shù)為（）

A.7B.10C.12D.24

【答案】A

【解析】因為甲不安排在C場地，乙安排在A場地，

所以甲有兩種安排方案：

若甲安排在A場地，此時乙也在A場地，

剩下丙，丁兩人安排去8,。場地，則有A；種不同的安排方法；

若甲安排在8場地，此時乙在A場地，

若C場地安排兩人，則有1種安排方法；

若C場地安排一人，從丙丁中選一人，有C；種安排方法，

另外一人去A3場地，有C；種安排方法，

由分步乘法計數(shù)原理可得，有C/C；=4種安排方法；

由分類加法計數(shù)原理可知，共有A；+1+C>C；=7（種）不同的安排方法.

故選：A.

【典例4-2】在某次太空游行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實驗要經(jīng)過5道程序，其中A,3兩道程序既不能放

在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有（）

A.18種B.36種C.72種D.108種

【答案】B

【解析】先排A,8兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，

則在第2,3,4道程序中選兩個放A,B,共有A；種安排方法；

再排剩余的3道程序，共有A；種安排方法，

所以一共有A；xA；=36種不同的順序安排方法.

故選：B.

【變式4-1】從包含甲、乙兩人的7人中選出3人分別擔(dān)任班長、團(tuán)支書、學(xué)習(xí)委員，則甲、乙至多有1人被

選中的不同選法有（）

A.60種B.120種C.180種D.210種

【答案】C

【解析】從包含甲、乙兩人的7人中選出3人分別擔(dān)任班長、團(tuán)支書、學(xué)習(xí)委員，不同的選法種數(shù)為A；=210

種，

若甲、乙兩人都被選中，則不同的選法種數(shù)為C；A；=30種，

因此，甲、乙至多有1人被選中的不同選法有210-30=180種.

故選：C.

【變式4-2】2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天.某單位安排7位員工值班，每人值

班1天，每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不

同的安排方案共有（）

A.1440種B.1360種

C.1282種D.1128種

【答案】D

【解析】采取對丙和甲進(jìn)行捆綁的方法：

如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：A：A；=1440種，

如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：C：A：A；A：=192種，

若“甲在除夕值班”，貝廣丙在初一值班”，則安排方案有：A；=120種.

則不同的安排方案共有1440-192-120=1128（種）.

故選：D.

命題預(yù)測

1.某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同學(xué)分別報名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步4個

項目，每名同學(xué)只能報1個項目，每個項目至少有1名同學(xué)報名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報名方法共

有（）

A.60種B.120種C.180種D.240種

【答案】C

【解析】滿足條件的報名方法可分為兩類：

第一類：甲單獨(dú)參加某項比賽，

先安排甲，由于甲不能參加跳遠(yuǎn)，故甲的安排方法有3種，

再將余下4人，安排到與下的三個項目，

由于每名同學(xué)只能報1個項目，每個項目至少有1名同學(xué)報名，

故滿足條件的報名方法有=36,

A2

所以甲單獨(dú)參加某項比賽的報名方法有3x36=108種,

第二類：甲與其他一人一起參加某項比賽，

先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項目，有C：A；=12種方法,

再安排余下三人，有A；=6種方法，

所以甲不單獨(dú)參加某項比賽的報名方法有12x6=72種，

所以滿足條件的不同的報名方法共有72+108=180種方法.

故選：C.

題型五：相鄰問題與不相鄰問題

【典例5-1】我校田徑隊有十名隊員，分別記為A民C2及廠,為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊

員分成甲、乙兩隊.其中將4注CAE五人排成一行形成甲隊，要求A與8相鄰，C在。的左邊，剩下的

五位同學(xué)排成一行形成乙隊，要求尸與G不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（）

A.432B.864C.1728D.2592

【答案】C

【解析】甲隊，先用捆綁法，將A與B捆綁有A；=2種，將A與8看作一個整體，再用除序法得公=12種，

利用計數(shù)原理可知，一共為2x12=24種；

乙隊，利用插空法得A；A；=72種；

按照計數(shù)原理可知，一共24x72=1728種.

故選：C

【典例5-2】春節(jié)是團(tuán)圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”.通過海選，現(xiàn)有6個自編

節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三

位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（）

A.240種B.188種C.144種D.120種

【答案】D

【解析】先將“相聲’與“小品”排在一起，有A；種排法，再與其它4個節(jié)目排序，有A；種排法，

最后考慮雜技節(jié)目在前三位或在后三位情況一樣，所以有達(dá)=120種.

2

故選：D.

【變式5-1】小明將1,4,0,3,2,2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2

不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）

A.144B.72C.36D.24

【答案】B

【解析】由題意知可將L4當(dāng)成一個整體來計算，和0,3總計有A；種排法，

再根據(jù)插空法可得總排法有A；?A；?C；=3x2x2x4x3+2=72.

故選：B

【變式5-2］北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3

人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”.隨

后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安.若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與

江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（）

A.144種B.204種C.156種D.240種

【答案】C

【解析】第一步，唐勝杰、江新林2人相鄰，有A；=2種排法；

第二步，分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論

第一種情況：景海鵬站最右邊，共有A：=24種排法;

第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有A；A；A；=54種排法,

故總共有2x（24+54）=156種排法.

故選：C.

;命題預(yù)測

1.某班上有5名同學(xué)相約周末去公園拍照，這5名同學(xué)站成一排，其中甲、乙兩名同學(xué)要求站在一起，丙

同學(xué)不站在正中間，不同的安排方法數(shù)有（）

A.24B.36C.40D.48

【答案】C

【解析】設(shè)剩下的兩人分別為丁和戊，

①甲、乙在丁、戊之間，將甲、乙捆綁成一個元素，

丁、戊兩人有A；種排法，甲、乙內(nèi)部有A；種排法，丙有4個位置可站，

則共有A%A；.A：=16種；

②丁、戊在甲、乙一側(cè)時，丁、戊可選擇甲、乙左側(cè)或右側(cè)，則有A；種排法，

丁、戊排列有A；種排法，甲、乙之間排列也有A；種排法，丙有3個位置可站，

則該種情況共有A；?A；.A〉A(chǔ)；=24種，

則總共有16+24=40種不同安排方法.

故選：C.

題型六：定序問題

【典例6-1］如圖，左車道有2輛汽車，右車道有3輛汽車等待合流，則合流結(jié)束時汽車通過順序共有（）

種.

A.10B.20C.60D.120

【答案】A

【解析】設(shè)左車輛汽車依次為A，4,右車輛汽車依次為耳,與，鳥，

則通過順序的種數(shù)等價于將a，4安排在5個順序中的某兩個位置（保持A，a前后順序不變），

綜當(dāng)，鳥安排在其余3個位置（保持綜鳥,用前后順序不變），綜用W，

所以，合流結(jié)束時汽車通過順序共有C；c；=10.

故選：A.

【典例6-2】滿足占eN*（i=l,2,3,4）,且凡〈尤?<尤3<%<1。的有序數(shù)組（冷冷士，期）共有（）個.

A.C；B.A；C.比D.A：。

【答案】A

【解析】由于x,eN*（i=l,2,3,4）,所以從1到9共9個數(shù)任取4個數(shù)得一個有序數(shù)組，所有個數(shù)為C；.

故選：A.

【變式6-1】已知%e{-2,0,2},（i=l,2「..,〃,〃eN*）,則滿足國+同+聞+…+同=4的有序數(shù)組

（%,%,七，…，斗）共有（）個

W2—W

A.2n2+2nB.2n2-2nC.-------D.n2—n

2

【答案】B

【解析】為€{-2,0,2},。=1,2廣.,","€?/"）所有有序數(shù)組（%1，孫%3，...,王）中，滿足上|+闖+闖+…+聞=4的

有序數(shù)組（公孫凡,…,名）中包含2個0,另外兩個數(shù)在2或-2中選擇，每個位置有2種選擇，由乘法計

數(shù)原理得不同的種數(shù)為C；x2x2=%二^x4=2/一2”.

故選：B.

【變式6-2】六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋友們隨機(jī)排成一列隊伍依次走出幼兒園,

爸爸們也隨機(jī)分兩列隊伍依次排隊站在幼兒園門口的兩側(cè)，每