特訓10立體幾何中的截面問題(七大題型)

用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面.此平面與幾何體表面的交集

(交線)叫做截線.

1.作截線與截點的主要根據：

(1)確定平面的條件.

(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線.

(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.

(4)線面平行的性質定理。

(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行.

2.立體幾何圖形中有關截面的做法：

①若已知兩點在同一平面內，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線。

②若面上只有一個已知點，應設法在同一平面上再找出第二個確定的點；

③若兩個已知點分別在相鄰的面上，應找出這兩個相鄰平面的交線與截面的交點。

④面面平行的性質定理。

⑤若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平而找出棱上的交點；

若已知點在體內，則可通過輔助平面找出面上的交點，再找出棱上的交點.

正方體的基本斜截面：

銳角三角形等腰三角形

⑴⑵

等邊三角形梯形

(3)(4)

平行四邊形菱形

(5)(6)

矩形任意五邊形

⑺(8)

任意六邊形正六邊形

(9)(10)

題型歸納49

目錄：

?題型01：三棱柱

?題型02：四棱錐

?題型03：棱臺

?題型04：側棱垂直于底面

?題型05：正方體、長方體

?題型06：其他多面體

?題型07：三棱錐

?題型08:折疊問題

?題型01：棱柱（含正方體）

1.（2023?遼寧撫順?模擬預測）在直四棱柱/BCD-44GA中，底面⑵為平行四邊形，AB=26,

BC=M'"4,-嚕，過點8作平面截四棱柱所得截面為正方形，該平面交棱利于點

MD

跖則麻=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先結合截面為正方形，借助中位線轉化得到的關系，再利用余弦定理分別求解底

面對角線NC,a）,然后由垂直關系及截面正方形，借助長度相等，利用勾股定理建立尸40c的方程組，求

解轉化即得所求比值.

如圖，設截面分別交工4,CG于點尸，Q,

連接尸。，BM,設交點。'，連接NC,AD,設交點。,

由已知截面為正方形，則。是BM,的中點，

底面N5CD為平行四邊形，則。是5。，/C的中點，

又PAHBB\,BBJ/CQ,貝iJP/〃CQ,

則00,是ABDM的中位線，也是四邊形PACQ的中位線.

設尸/=x,CQ=y,

i^MD=200'=PA+CQ=x+y,

^PB-=BQ2,得八8=/+5,

化簡得/+3=/（*）,且x<y,

由直四棱柱ABCD-481GA知，4,，平面ABCD,

又4Cu平面N3CD,則

則四邊形P4C。為直角梯形.

由cosN/8C=-叵，得cosN8CZ）=巫，

1010

在△3CD中，由余弦定理得瓦52=5+8_2x指x2亞*巫=9,

10

解得2D=3,同理可得NC=JI7,

如圖，在直角梯形尸/CQ中，在CQ上取點S,使CS=/P=x,

由=PQ2,^MD-+BD-=PS-+QS2^AC2+QS2,

即（x+y『+9=（y-x『+17,化簡得孫=2,

與（*）聯立，解得x=l,歹=2,

所以〃。=3,則O|M=1,

驗證知，此時四邊形為必生。為正方形，滿足題意.

故選：B.

2.（2023?江西贛州?模擬預測）在直四棱柱23CD-44GA中，底面/2C。是邊長為2的正方形，側棱

44=3,E是5c的中點，尸是棱CG上的點，且CF=gc￡,過4作平面a,使得平面a〃平面/￡凡則

平面二截直四棱柱/BCD-44，所得截面圖形的面積為（）

A.-B.—C.3D.V19

22

【答案】A

【分析】根據四棱柱的幾何性質以及面面平行的判定定理求解.

如圖，取4，G的中點在上取一點使得用H=連接4MH0,4”,如上圖,

則4A斯，4^0/^=M,/片口￡尸=￡,平面4HM,

NE,u平面/斯，.,.平面4EF〃平面4HW；

即過4點平行于平面/斯的平面截四棱柱45。-4與GA的圖形是三角形4府,

其中BM=；BBi=l，AH=#,4M=4i,MH=血,

COS/M4〃="M+4"一皿=3,；.sin/Af4H=3,s=-A,M>A.HsmAMAH=-,

1515s2i112

故選：A.

3.（2024?安徽安慶?三模）在正方體/BCD-44GA中，點E,尸分別為棱/B,4D的中點，過點及尸,G三

點作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱84的交點是棱8片的一個三等分點

C.4CJL平面GE尸

D.平面442〃平面尸

【答案】B

【分析】將線段￡尸向兩邊延長，分別與棱CH的延長線，棱的延長線交于G,H,連C|G，G”分別與棱

BPBG1

BB”DDl交手P,Q,可判斷A；利用相似比可得7^="=”可判斷B；證明4。，平面8CQ即可判斷

C；通過證明4C，平面/耳〃，可判斷D.

【解析】對于A,將線段E尸向兩邊延長，分別與棱磁的延長線，棱CD的延長線交于G,",

連GGG”分別與棱8縱交于尸,0,得到截面多邊形GPE股是五邊形，A錯誤；

對于B,易知△/斯和ABEG全等且都是等腰直角三角形，所以G8=/尸=：8C,

BPBG1BP1

所以Kh=7萬=W，即片■=［，點尸是棱的一個二等分點，B正確；

CrCJn/Jjj

對于C,因為4月，平面BCG4，8C1U平面8CC百，所以

又BCILB?,44nBe=4，4片,4Cu平面4?C，所以8。，平面』4C,

因為4Cu平面430,所以4CL2G，同理可證4CL8。，

因為ADc3G=8,5。,2。U平面8G。，所以4C，平面BQD,

因為平面BCQ與平面GE尸相交，所以4c與平面。山尸不垂直，C錯誤；

對于D,易知BG//AD\,BD//BQ\,所以4c_LAD,,A,C1B,D,,

又cBQ1=A,AD,,BlDluABR,所以4。_L平面AB{D1,

結合C結論，所以平面GE尸與平面/4。不平行，D錯誤.

故選：B.

?題型02：棱錐

4.（2024?重慶渝中?模擬預測）在三棱錐P-N8C中，AC=BC=PC=2,^ACVBC,PCL^ABC,it

點尸作截面分別交NC,8c于點瓦尸，且二面角尸-EF-C的平面角為60。，則所得截面P斯的面積最小值

為（）

482

A.-B.-C.-D.1

333

【答案】B

【分析】由二面角的定義可得PGC=60。，從而尸G=述,CG=2叵，設CE=a,CF=b,由三角形的面積

33

O

相等和基本不等式得到。6w|,再由三角形的面積公式即可求解.

【解析】過P作尸G,所，垂足為G,連接CG,則由三垂線定理可得跖，CG,

.?./PGC即為二面角尸-E尸-C的平面角，

.■.PGC=60°,PC=2,所以PG=*,CG=工,

33

設CE=a,CF=b,則EF=J/+b2，

在三角形CE尸中，ab=^-yla2+b2,

3

又V7F聲，所以abN空顯品=封還,

33

所以M”=6=翌!時等號成立，

33

所以三角形PM的面積為'述x萬壽

233

O

故截面PEF面積的最小值為§.

故選：B.

JT

5.(2024?廣西?模擬預測)在三棱錐憶-4BC中，8廠，平面以C,VA=\,AB=AC=42,ZVAC=-,

點尸為棱上一點，過點廠作三棱錐憶-N2C的截面，使截面平行于直線陽和/C,當該截面面積取得

最大值時，CF=()

VioVn「后Vi3

AA.DR.U.nU.

3423

【答案】C

【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表

示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，結合二次函數性質確定截面面積取得最大值時參數的值，解直

角三角形即可求得答案.

【解析】根據題意，在平面"C內，過點尸作EEC,交水;于點E；

在平面EBC內，過點E作E。B,交BC于點Q；

在平面E48內，過點尸作交4B于點。，連接。0,如圖所示，

因為即〃/C,則△心s△也？，設其相似比為左，即===入

VAVCAC

貝IEF=瓜;

又因為K4=l,AC=V2,cosAC=——，

2

由余弦定理得，KC=^l+2-2xlxV2x^=b貝1」可2+以2=/。2,

即_Lg.

又平面以C,VC,以u平面以C,所以3%J_NC,BVLVA.

又AB=y[i，則8%=1,BC=y[2.

因為ED〃⑵，則則一=—=—,

AVABVB

,AFVA-VF,,八，FDAF,,,

m因A為=-------=\—k,所以==\—k,即nnFD=\—k,

VAVAVBVA

同理可得。￡=1-左，即0￡=即，

因為￡0〃叮，FD//VB,則E0〃FD,

故四邊形跳刀。為平行四邊形；而EQu平面EFD。，KB0平面EFDQ,

故f7?〃平面或明。，同理/C//平面￡7叫。，

即四邊形E尸D。為截面圖形；

又平面以C,斯u平面以C,貝!]8%_L￡F,

又FD//VB,所以9_LEF.

故平行四邊形EED。為矩形，貝IS矩物皿2=￡尸?￡0=夜人（1一左）=一血[左-0+?，

所以當彳=1時，s矩形E加°有最大值?，則沖=%g=5，

在Rt^CEF中，CF=4CV2+VF-=11+-=^-.

V42

故選：C.

【點睛】思路點睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形跳刀。為符合題意的截面圖形，結合線面

平行以及線面垂直說明四邊形E/Z）。為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式,

利用二次函數求出最值得解.

6.（2023?陜西西安?模擬預測）在三棱錐P-48C中，側面PNC是等邊三角形，底面45c是等腰直角三角

形，AB1BC,AC=PB=\Q,點M,N,E分別是棱尸/,PC,的中點，過“，N,E三點的平面。截

三棱錐尸-/8C所得截面為。，給出下列結論：

①截面。的形狀為正方形；

②截面。的面積等于苧；

③異面直線PA與BC所成角的余弦值為叵；

4

④三棱錐P-ABC外接球的表面積等于當7i.

其中所有正確結論的序號是（）

A.①④B.②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】根據三棱錐尸-43C的幾何特征，取2C的中點為e，利用線面垂直的判定定理即可證明截面。的

形狀為正方形，且其面積等于25,即①正確，②錯誤；利用平面向量數量積以及余弦定理可求出異面直線

PN與所成角的余弦值為也，可知③正確；利用垂直關系找出外接球球心位置，計算出半徑即可得④

4

正確.

【解析】取的中點為尸，連接EF,NF,

因為點分別是棱尸4尸。,48的中點，所以MW/NC,EF//AC,可得MN//EF；

又MN==AC=5,EF=1PB=5,gpMN=EF；

22

所以廠四點共面，且四邊形MA好為平行四邊形，

取4C的中點為。，連接尸。,助，如下圖所示：

易知PO_L/C,又。8c是等腰直角三角形，且4BJ.BC,所以=可得8O_L/C；

又PDcBD=D,平面尸5。，所以/C_L平面尸8D；

易知所u平面PAD,可得NC1P8；

又ME//PB,EFIIAC,所以

旦ME=NF=：PB=5,所以四邊形肱V跖為正方形，

即截面。的形狀為正方形，所以①正確；

由正方形面積公式可知，四邊形跖皿的面積為5x5=25,即②錯誤；

設PA=a,PB=b,PC=c,可得2C=c—6，

所以尸/.BC=a-（c-b^=a-c-b-a,

易知。-c=10xl0xcos60°=50，ab=l0W10xcosZAPB，

在△尸45中，PA=10,PB=\0,AB=56,所以cos二4P￡=1°2.°2一［亞）=150=3,可得

2x10x102004

a-b=10x10xcos//尸5=75;

a-c-b-a_50-75_1_后

所以cos（莎?就）

同卡-B「10x5收一2k4

所以異面直線口與2C所成角的余弦值為g即③正確;

易用PD=5區BD=5,尸3=10,所以可得PZ>_L8D；

又尸D_L4C,且8OcNC=。，3D,4Cu平面/8C,

所以PA_L平面/8C,

又尸￡（u平面尸4C,所以平面尸4C_L平面4BC；

所以可得外接球球心。在尸。上，設OD=h,半徑為A,

則小+52=（56一/Z『=R2,解得〃=孚，尺=竽；

所以三棱錐尸-48C外接球的表面積等于4兀笈=等兀，即④正確；

所有正確結論的序號是①③④.

故選：C

【點睛】方法點睛：關于球外接幾何體的問題，首先根據幾何體的結構特征，利用線面垂直判定定理等確

定球心位置，再利用半徑相等列出等量關系即可計算出半徑的大小.

?題型03：棱臺

7.（23-24高三上?河北廊坊?期末）如圖所示，正四棱臺NBC。-44GA中，上底面邊長為3,下底面邊

長為6,體積為電1,點￡在“。上且滿足。￡=2/E,過點E的平面。與平面平行，且與正四棱臺

2

各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（）

A.772B.8拒C.3V3+4V2D.4g+4a

【答案】D

【分析】首先過點4作于點a,結合已知得/〃=逑，由棱臺體積公式得=逑，由勾股

22

定理得說=，4//2+4〃2=3,再求出4A的長，最終根據相似三角形對應邊成比例即可得解.

【解析】如圖所示,

B

過點4作4H1AC于點H,因為4G=3A/2,AC=6C,

則四棱臺的高為4”，則四棱臺的體積為g(32+62+3x6)x45=甘月,

解得4〃=半，所以側棱長為=妙—+4/=3.

過。尸。于點尸，于點G,連接幺口，

6-33

由對稱性可知=/G=《一=,,Gb=42=3,

39

所以4尸=6-彳=彳，

22

而DD]=AAX=3,

所以。/=小二|=孚，

所以皿=科+?=36,同理。|=/0=3石，

分別在棱DC,DDX上取點N,M,使得DN:NC=DM:=2:1,

易得ME=NM=—AD、=25EN=—AC=4近,

33

所以截面多邊形的周長為46+4行.

故選：D.

8.(22-23高三下?浙江紹興?開學考試)在正棱臺/BCD-4耳G2中，N8=24穌44=6,“為棱AG中

點.當四棱臺的體積最大時，平面”3。截該四棱臺的截面面積是()

5>/3

A-￥B.3V2D.672

【答案】c

【分析】根據正四棱臺的體積公式、結合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進行求解即

可.

【解析】設N2=244=4x,上底面和下底面的中心分別為Q,。，該四棱臺的高Q0=〃，A.H1AC.

在上下底面由勾股定理可知，4。=；J(2xp+(2無族=&x,/O=gj(4x)2+(4x)2=2瓜.

在梯形4。。/中，4片+4〃2n3=僅瓜-缶『+/=3一2一,

所以該四棱臺的體積為-=116/+加口？+4/卜=^/人

（X2X2X2

二匚I、lr/2784227278422<784++3-2

所以/=—^―X?X?h=~~g~xx2?（3-2x）

3

當且僅當/=3-2/,即x=l時取等號，止匕時/2=4,44=2,00=1.

取CQ］的中點N,連接NM、ND,顯然有MNHD\B\"DB,MNy平面23CD,

ADu平面48CD,所以初V//平面48CD,因此平面就是截面.

顯然==血,8。=4后，

在直角梯形QME。中，ME=+{OE-OXM^=VT+T=41.

因此在等腰梯形4GC2中，MB=y/ME2+EB2=J2+4=V6，

同理在等腰梯形2GCD中，DN=&,

在等腰梯形M&DN中，設

^\MF=a,BF=4正益=3亞,

所以梯形以汨N的面積為"1、半=乎'

【點睛】關鍵點睛：根據基本不等式求出體積最大值，結合線面平行判定定理判斷截面的形狀是解題的關

鍵.

9.（22-23高二上?湖北荊州?階段練習）用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截得的棱臺上、下底面積

之比為1:4,已知截去的棱錐的頂點到其底面的距離為3,則棱臺的上、下底面的距離為（）

A.12B.9C.6D.3

【答案】D

【分析】

根據棱錐的性質，用平行于棱錐底面的平面截該棱錐，截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，

以此可得棱錐的高，進而得到棱臺的高.

【解析】???截去小棱錐的高為3,設大棱錐的高為〃，

根據截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，

則3,:*=1:4,；.〃=6,

.??棱臺的高是6-3=3,即棱臺的上、下底面的距離為3.

故選：D.

?題型04：圓柱

10.（2022?河南新鄉?三模）已知一個圓柱與一個圓錐的軸截面分別為正方形與正三角形，且正方形與正三

角形的邊長相等，則該圓柱的體積與圓錐的體積的比值為（）

A.V3B.272C.2A/3D.75

【答案】C

【分析】設正方形與正三角形的邊長為2,則可求出圓柱和圓錐的體積，從而可求得答案

【解析】設正方形與正三角形的邊長為2,

則圓柱的體積為萬xFx2=2萬，

圓錐的體積為為/“艮『

所以圓柱的體積與圓錐的體積的比值為26.

故選：C

11.（23-24高二上?遼寧?階段練習）如圖，某圓柱的軸截面/BCD是邊長為2的正方形，P,。分別為線

段8C,/C上的兩個動點，E為標上一點，且BE=1,則尸。+%的最小值為（）

A.3B.空3亞

2

【答案】C

【分析】根據圓柱的結構特征采用將ABCE沿直線2c旋轉到某個位置的方法，將線段和轉化為一條線段的

長度問題，結合求解線段長度即得答案.

【解析】如圖，連接EC,將ABCE沿直線2c旋轉到ABCE'的位置，

且勿在N8的延長線上.則=

7T

由于圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，故NBAC=NBC4=—,AE'=AB+BE'=2+1=3,

4

則PQ+PE=PQ+PE'>E'Q,當Q,P,E'三點共線時取等號,

當中時，￡0最小，最小值為sin.善逑,

42

即尸。+尸￡的最小值為逑，

2

故選：C

12.（23-24高三上?陜西?階段練習）已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形/BCD,在該圓柱的底面內

任取一點則當四棱錐E-A8CD的體積最大時，該四棱錐的側面積為（）

A.1+V2+V5B.1+272+75

C.1+72+275D.72+275

【答案】B

【分析】根據棱錐體積公式以及正方形/BCD的面積為定值確定E點在底面上的位置，求出相關線段長,

根據棱錐側面積公式即可求得答案.

【解析】如圖，設圓柱的底面圓心為。，E為該底面上一點，底面半徑為1,

C

D

四棱錐體積VE_ABCD=|SABCD-d,其中d為￡到ND的距離，

因為正方形48C。的面積為定值2x2=4,

所以當E為石的中點時，連接OE,此時OE為四棱錐的高，高最大，

此時四棱錐￡-ABCD體積最大，

OE=1,AE=DE=母,BE=CE=行+（物?=痛,

設圓柱的另一底面圓心為Q,連接。或，則QELBC,且C\E=?屈7=垂,

此時四棱錐E-/8CD側面積為$=?/E+gcD?〃￡1+；5c-OiE

=-x2xl+-x2xV2+-x2xV2+-x2xV5=1+272+75,

2222

故選：B

?題型05：圓錐

13.（2024?四川綿陽?模擬預測）已知軸截面為正三角形的圓錐W的高與球。的直徑相等，則圓錐

的體積與球O的體積的比值是.

【答案】f

【分析】設圓錐腦口的底面半徑為入球。的半徑為凡由題意可得27?=/!=6廠，結合體積公式運算求解.

【解析】設圓錐W的底面半徑為r,球。的半徑為七

因為圓錐AW的軸截面為正三角形，可知圓錐W的高〃=V3r，

貝！|2尺=力=出廠，即R=±r,

2

可得圓錐MA/'的體積V,=：—xnr2xy/3r=Tir3）

133

44

球。的體積匕=§成3=-7lX

故答案為：g.

14.（22-23高二上?上海浦東新?期中）如圖，圓錐。的軸截面是一個面積為1的等腰直角三角形，C為弧

上的一點，ZCPB=45°,￡為線段所上的動點，則CE+OE的最小值為（）

P

A.V2B.V3C.2?*

【答案】B

【分析】將空間圖形進行翻折變化到同一平面，根據兩點之間線段最短即可求解.

將APBC翻折到平面尸4S內，得到如圖所示平面四邊形OBCP,

因為以=；PAPB=1,所以PA=PB=亞,

所以。尸=OA=OB=1，所以Z8PO=45°,

又因為NCP3=45。，所以翻折后的圖形中NOPC'=90。，

根據兩點之間線段最短可知，CE+OE的最小值為0。=^OP2+PC2=V3,

故選:B.

15.（23-24高二上?北京?期中）已知圓錐的底面半徑為2。，高為2,S為頂點，A,8為底面圓周上的兩

個動點，則下列說法正確的是.

①圓錐的體積為8無；

②圓錐側面展開圖的圓心角大小為百萬；

③圓錐截面SAB面積的最大值為4G!

④若圓錐的頂點和底面上的所有點都在一個球面上，則此球的體積為手兀.

【答案】①②④

【分析】根據題意求出圓錐的母線長，體積，側面展開圖的弧長，軸截面的面積，外接球體積，即可得出

結論.

【解析】??,圓錐的底面半徑『=26,高為〃=2,

，圓錐的母線長SA=SB=yjr2+h2=國+2?=4,

二圓錐的體積/=；兀r%=g兀x（26丫x2=8兀，①正確；

設圓錐側面展開圖的圓心角大小為a,則27tx2VJ=ax4,a=百兀，②正確；

當圓錐截面SAB為圓錐的軸截面時,此時SA=SB=4,AB=4y/i,

貝Ucos/ASB---------------——，/LASBe（0,兀），

2SASB2

2兀

:.ZASB=—,

3

jr

則當乙4sB=/時，圓錐截面S/8面積的最大，

此時~sB=；-S4S4sinN4s5=；x4x4xl=8,故③錯誤；

圓錐的頂點和底面上的所有點都在同一個球面上，即為圓錐的外接球，

設圓錐的外接球半徑為尺,

由球的性質可知R2=小-M+*，即叱=（2-尺y+（2石『，

解得R=4,

所以夕卜接球體積-=9兀把=g兀x4'=等，④正確.

故答案為：①②④.

?題型06：球

16.（2024?江蘇徐州?模擬預測）對球面上的三個點，每兩個點之間用大圓劣弧相連接，所得三弧圍成的球

面部分稱為“球面三角形”，這三個弧叫做球面三角形的邊.若半徑為2的球的球面上有一個各邊長均為兀的

球面三角形，則該球面三角形的面積為（）

A.2兀B.4兀C.叵^D.立工

42

【答案】A

【分析】確定球面三角形與球表面積的關系，可求球面三角形的面積.

【解析】設球面三角形N8C.

因為球的半徑為2,所以大圓周長為4兀，求的表面積為471x2,=16%.

因為球面三角形的各邊長均為兀,所以N/O8=NAOC=NBOC=90°.

以。為球心，建立如圖空間直角坐標系：

則球面三角形4BC的面積就是球面在第一卦限內的部分，根據對稱性，球面三角形4BC的面積為球面面積

的L為1義4兀義22=2兀.

88

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：確定/4。8=//0。=/8。。=90°后，關鍵是弄清楚球面三角形的面積和整個球的

表面積之間的數量關系.

17.（2024?江西宜春?模擬預測）在正六棱柱NBC7）所-40G2用耳中，A4=2AB=2,。為棱441的中

點，則以。為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）

2］兀2+4

A.B.

3J3J

C.卜節尸D.廣節了

【答案】D

【分析】根據題意，作圖，分別求出球面與正六棱柱各個面所交的弧線的長度之和，可計算得到答案.

【解析】因為球。的半徑為2,所以球。不與側而/陰4及側面/鵬4相交，

連接。G，4G，o昂4月.由題得。4=1,4G=4G=道.所以。。=2,

所以球。與側面BCG用交于點G，c,與側面￡叫&交于點為,E.

在正六邊形4月G2&G中，易得4。，CQ,因為cq_L平面44G2耳片，4Gu平面.

所以eq，4G,又G2ncq=c,,QD,,cqu平面CDDG,

所以4G，平面CDAG，即。G1平面CZ)AG，且OG=G，又舟_(a2=1，OH=OCX=OC=2.

所以球。與側面CDRJ的交線為以CG為直徑的半圓，同理可得球0與側面EDD內的交線為以EE,為直徑

的半圓.

TT1

由題易得NE/C=g,則球。與上底面4耳GD0耳及下底面/BOE尸的交線均為二個半徑為百的圓.

36

1(?.

所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為2XTIX1+2XZX2兀x6=2++兀.

613J

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：根據球。的半徑為2,判斷球。只與側而CD2G及側面耳，上底面4402￡百

及下底面ABCDEF相交.

18.(23-24高二上?四川德陽?階段練習)已知正三棱錐/-88的外接球是球。，正三棱錐底邊8c=3,

側棱43=26，點￡在線段5。上，且BE=DE,過點E作球。的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是

()

117L_「cc11“V7L.

A.,3nB.[2兀,3兀]C.,4兀D.~~?4TC

4JLJL4JL4

【答案】D

【分析】設△BCD的中心為。1，球。的半徑為凡在Rt^OOQ中，利用勾股定理求出&,余弦定理求出

O、E,再由勾股定理求出OE,過點￡作球。的截面，當截面與OE垂直時，截面的面積最小，當截面過球

心時，截面面積最大.

【解析】如下圖，設△5CZ）的中心為球。的半徑為R,

連接OQ,OD,O、E,OE,貝lj

OQ=3s嗚<=也,AO]=不AD?-Op=3,

在Rt^OOQ中，叱+（3-R）2,

3

解得R=2,所以氏=1,因為BE=DE,所以。￡=,,

在AOEO]中，0￡=-2xV3xxcos,

所以OE=JoE+OO；=,過點￡作球。的截面，

當截面與OE垂直時，截面的面積最小，

此時截面的半徑為:冒-。5=|,則截面面積為兀=；兀，

當截面過球心時，截面面積最大，最大面積為4兀.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是過點E作球。的截面，當截面與OE垂直時，截面的面積最小，當

截面過球心時，截面面積最大.

?題型07：組合體

19.（21-22高二上?湖南?期中）從一個底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個正四棱錐（以圓柱的上底

面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點）而得到的幾何體如圖所示，今用一個平行于底面且距底

面為1的平面去截這個幾何體，則截面圖形的面積為（）

A.4萬一4B.4〃C.4乃一2D.2萬一2

【答案】c

【分析】先求出截面截圓柱所得的圓面的面積，再求出截面截正四棱錐所得的正方形的面積，從而得出答

案.

【解析】截面圖形應為圓面中挖去一個正方形，且圓的半徑是2,

則截面圓的面積為：4萬

設正四棱錐的底面正方形邊長為。，則2/=16,所以0=2后

正四棱錐的底面正方形的面積為（2亞『=8

由圓錐中截面的性質，可得圓面中挖去一個正方形與正四棱錐的底面正方形相似

設圓面中挖去一個正方形的面積為S,正四棱錐的底面正方形為S

S'S'1

則之二3二2?，從而S'=2

S84

所以截面圖形的面積為4萬-2.

故選：C.

20.（2022?陜西西安?模擬預測）“牟和方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和

諧優美的幾何體，它是由兩個相同的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾

何體（如圖1）.如圖2所示的“四腳帳篷”為“牟和方蓋”的上半部分，點。為四邊形48CD的中心，點尸為“四

腳帳篷”的“上頂點”，OP=1.用平行于平面的平面&去截“四腳帳篷”，當平面口經過OP的中點時，

截面圖形的面積為.

【答案】3

【分析】根據對稱性，可得截面a的形狀為正方形，利用勾股定理得正方形的邊長即可求得面積.

【解析】根據對稱性，可得截面"的形狀為正方形.

取48中點凡CD中點尸，可知截面EP尸為半圓.

截面a與弧￡尸交于點“，與尸。交于點N,N為中點，

所以NO=],同。=尸。=1,由勾股定理可得河=必，

所以截面正方形的邊長為事x2=g,故其面積為（Gy=3.

故答案為：3

21.（2021?全國?模擬預測）如圖，正八面體尸/8CD0的棱長為2,點E,F,〃分別是尸N,PB,8c的

中點，則過E,F,7/三點的平面。截該正八面體所得截面的面積等于.

p

【答案】巫

2

【分析】由EF//4B得EF〃平面4BQ,同理E才〃平面CDP,進而得

到平面a〃平面ABQH平面CDP,結合正八面體的對稱性可知截面是

邊長為1的正六邊形，求出面積即可.

【解析】???￡,F,〃分別是尸/,PB,8C的中點，

EF//AB,又EFa平面ABQ,48u平面ABQ,

EFH平面.同理得FHH平面CDP.

又平面230〃平面CDP,EFHFH=F,

.??平面all平面ABQII平面CDP.

設平面a與C。相交于點貝|田///30,

故M為C0的中點.同理得平面a也過。。，40的中點，

結合正八面體的對稱性，得截面是邊長為1的正六邊形，

其面積S=gxlxlxsin60°]x6=￥.

故答案為：巫

2

【點睛】確定多面體截面的關鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的

兩個截點即可連接成截線，從而求得截面.而截線與截點的主要依據主要有：

(1)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線.

(2)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.

(3)如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條

直線就和交線平行.

（4）如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行.

22.（23-24高三上?云南昆明?階段練習）正方體的棱長為2,“是棱4c上的一個動點

（含端點），則M4+MC的最小值為（）

A.4B.2+V2C.V6+V2D.275

【答案】C

【分析】將繞C4翻折至與ACBG共平面，當A,M,G共線時，M4+MG最小.

【解析】由正方體的性質可得A/C可為等邊三角形，邊長為2行，

ACBG為等腰直角三角形，其直角邊長為2,

將下圖中“CBi繞CB,翻折至與共平面，

因為CA=CB[=AB[=2亞,C￡=4G=2,所以A,M,G共線時，

M4+MG最小，此時M為Cg中點，則M4+MG最小值為0+痛.

23.（2024高三?全國?專題練習）如圖，S-43C是正三棱錐且側棱長為明兩側棱M,SC的夾角為30。,民廠

分別是W,SC上的動點，則三角形8防的周長的最小值為（）

A.亞aB.yj3aC.45aD.y/6a

【答案】A

【分析】通過展開平面以及勾股定理求得正確答案.

【解析】把正三棱錐沿S3剪開并展開，形成三個全等的等腰三角形：△S8C、ASCA、ASAB',

貝!JZB'SA=ZBSC=ZASC=30°,ZBSB'=90°,

連接28',交SC于尸，交1s4于E,

則線段BB'就是4BEF的最小周長，又SB=SB'=a,

根據勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2,■-BB'=yfia.

故選：A

24.（23-24高三下?全國?階段練習）如圖，在三棱錐尸-/8。中,

AB=BC=也,BA工BC,PA=PB=PC=2,WM是棱BC上一動點、,則尸M+M4的取值范圍是（）

A.,6+2互4B.[2+V2,4]

C.D.舊2+后

【答案】A

【分析】把平面P3C展開，判斷出當”與C重合時，PM+M4最大；PM+M4的最小值為4尸，利用余弦

定理即可求解.

【解析】如圖所示，把平面PBC展開，使2、C、P四點共面.

c

當M與5重合時，PM+MA=2+也<4;

當加與。重合時，H+M4=2+2=4最大;

連結NP交5C于M1,由兩點之間直線最短可知，當〃位于Mi時，PM+M4最小.

22f正丫

此時，『2

sinZCBP=-J——―二

2

V14

所以cosZ.ABP=cos5+ZCBP=-sinNCBP=-

~T~

由余弦定理得：AP^yJAB2+BP2-2ABBP-cosZABP

=j6+2"

所以H/+M4的取值范圍為，6+25,4.

故選：A.

25.（2024?福建漳州?一模）如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機械，通常由兩個

圓石做成.磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進入兩層中間，沿著紋理向外運移,

在滾動過兩層面時被磨碎，形成粉末.如果一個石磨近似看作兩個完全相同的圓柱體拼合而成，每個圓柱

體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側面積為64兀，則圓柱底面圓的半徑為（）

A.4B.2C.8D.6

【答案】A

【分析】設圓柱底面圓的半徑為r>0,則圓柱的高為「，結合圓柱的側面積公式運算求解.

【解析】設圓柱底面圓的半徑為廠＞0,則圓柱的高為r,

則石磨的側面積為2x2wxr=64兀，解得廠=4.

故選：A.

26.（21-22高二下?湖南株洲?階段練習）《九章算術》卷第五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形,

一側棱垂真于底面的四棱錐”.現有陽馬S-/8C。，S/_L平面48CQ,4B=1,4D=3,"=2C上有

【答案】D

【分析】通過底面展開轉化為平面圖形，容易找到最小值點E,然后