機動目錄上頁下頁返回結束

積分學定積分二重積分三重積分積分域區間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分第一節一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法機動目錄上頁下頁返回結束對弧長的曲線積分

一、對弧長的曲線積分的概念與性質假設曲線形細長構件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計算此構件的質量,1.引例:

曲線形構件的質量采用機動目錄上頁下頁返回結束設

是空間中一條有限長的光滑曲線,義在

上的一個有界函數,都存在,

上對弧長的曲線積分,記作若通過對

的任意分割局部的任意取點,2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數，

稱為積分弧段.曲線形構件的質量和對機動目錄上頁下頁返回結束如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為機動目錄上頁下頁返回結束思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負.3.性質（k為常數)(

由組成)(l為曲線弧

的長度)機動目錄上頁下頁返回結束二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉化定理:且上的連續函數,證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據定義機動目錄上頁下頁返回結束點設各分點對應參數為對應參數為則機動目錄上頁下頁返回結束說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計算公式相當于“換元法”.因此機動目錄上頁下頁返回結束如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標形式:則推廣:設空間曲線弧的參數方程為則機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算其中L是拋物線與點B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)機動目錄上頁下頁返回結束例2.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉動慣量I(設線密度

=1).解:建立坐標系如圖,則機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算其中L為雙紐線解:在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得機動目錄上頁下頁返回結束例4.計算曲線積分

其中

為螺旋的一段弧.解:

線機動目錄上頁下頁返回結束例5.計算其中

為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結束思考:例5中

改為計算解:

令,則圓

的形心在原點,故,如何機動目錄上頁下頁返回結束例6.計算其中為球面解:化為參數方程則機動目錄上頁下頁返回結束例7.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質量質點的引力.

機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.定義2.性質(l曲線弧

的長度)機動目錄上頁下頁返回結束3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:機動目錄上頁下頁返回結束2.

設均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關于z軸的轉動慣量(2)求它的質心.解:設其密度為

ρ(常數).(2)L的質量而(1)機動目錄上頁下頁返回結束故重心坐標為第二節目錄上頁下頁返回結束第二節目錄上頁下頁返回結束作業備用題1.設C是由極坐標系下曲線及所圍區域的邊界,求提示:分段積分機動目錄上頁下頁返回結束2.

L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個坐標解:如圖所示,交線長度為由對稱性,形心坐標為機動目錄上頁下頁返回結束第二節一、對坐標的曲線積分的概念與性質二、對坐標的曲線積分的計算法三、兩類曲線積分之間的聯系機動目錄上頁下頁返回結束對坐標的曲線積分

一、對坐標的曲線積分的概念與性質1.

引例:變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在xoy平面內從點A沿光滑曲線弧L移動到點B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.機動目錄上頁下頁返回結束1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F沿則用有向線段上任取一點在機動目錄上頁下頁返回結束3)“近似和”4)“取極限”(其中

為n個小弧段的最大長度)機動目錄上頁下頁返回結束2.定義.設L為xoy平面內從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數或第二類曲線積分.其中,L稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數,在L上定義了一個向量函數極限記作機動目錄上頁下頁返回結束若

為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標的曲線積分也可寫作類似地,機動目錄上頁下頁返回結束3.性質(1)若L可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!機動目錄上頁下頁返回結束二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上L的參數方程為則曲線積分有定義且連續,證明:下面先證存在,且有機動目錄上頁下頁返回結束對應參數設分點根據定義由于對應參數因為L為光滑弧,同理可證機動目錄上頁下頁返回結束特別是,如果L的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有定理目錄上頁下頁返回結束例1.計算其中L為沿拋物線解法1取x為參數,則解法2取y為參數,則從點的一段.機動目錄上頁下頁返回結束例2.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(–a,0).解:(1)取L的參數方程為(2)取L的方程為則則機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機動目錄上頁下頁返回結束例4.設在力場作用下,質點由沿

移動到解:(1)(2)

的參數方程為試求力場對質點所作的功.其中

為機動目錄上頁下頁返回結束例5.求其中從z軸正向看為順時針方向.解:取的參數方程機動目錄上頁下頁返回結束三、兩類曲線積分之間的聯系設有向光滑弧L以弧長為參數

的參數方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯系機動目錄上頁下頁返回結束類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯系是令記A在t上的投影為機動目錄上頁下頁返回結束二者夾角為

例6.設曲線段L的長度為s,證明續,證:設說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連機動目錄上頁下頁返回結束例7.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周機動目錄上頁下頁返回結束1.定義2.性質(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內容小結機動目錄上頁下頁返回結束3.計算?對有向光滑弧?對有向光滑弧機動目錄上頁下頁返回結束4.兩類曲線積分的聯系?對空間有向光滑弧

:機動目錄上頁下頁返回結束原點O的距離成正比,思考與練習1.設一個質點在處受恒指向原點,沿橢圓此質點由點沿逆時針移動到提示:(解見P139例5)F的大小與M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若題中F的方向改為與OM垂直且與y軸夾銳角,則機動目錄上頁下頁返回結束2.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:機動目錄上頁下頁返回結束作業第三節目錄上頁下頁返回結束備用題1.解:線移動到向坐標原點,其大小與作用點到xoy面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一質點在力場F作用下由點機動目錄上頁下頁返回結束2.

設曲線C為曲面與曲面從ox軸正向看去為逆時針方向,(1)寫出曲線C的參數方程;(2)計算曲線積分解:(1)機動目錄上頁下頁返回結束(2)原式=令利用“偶倍奇零”機動目錄上頁下頁返回結束第三節一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件機動目錄上頁下頁返回結束格林公式及其應用

區域D分類單連通區域(無“洞”區域)多連通區域(有“洞”區域)域D邊界L的正向:域的內部靠左定理1.設區域D是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數在D上具有連續一階偏導數,或一、格林公式機動目錄上頁下頁返回結束證明:1)若D既是X-型區域,又是

Y-型區域,且則定理1目錄上頁下頁返回結束即同理可證①②①、②兩式相加得:定理1目錄上頁下頁返回結束2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區域,如圖證畢定理1目錄上頁下頁返回結束推論:正向閉曲線L所圍區域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積定理1目錄上頁下頁返回結束例1.設L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:令則利用格林公式,得機動目錄上頁下頁返回結束例2.

計算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點的三角形閉域.解:令,則利用格林公式,有機動目錄上頁下頁返回結束例3.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:令設L所圍區域為D,由格林公式知機動目錄上頁下頁返回結束在D內作圓周取逆時針方向,,對區域應用格記L和lˉ

所圍的區域為林公式,得機動目錄上頁下頁返回結束二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理2.設D是單連通域

,在D內具有一階連續偏導數,(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內每一點都有與路徑無關,只與起止點有關.函數則以下四個條件等價:在D內是某一函數的全微分,即機動目錄上頁下頁返回結束說明:積分與路徑無關時,曲線積分可記為證明(1)(2)設為D內任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據條件(1))定理2目錄上頁下頁返回結束證明(2)(3)在D內取定點因曲線積分則同理可證因此有和任一點B(x,y),與路徑無關,有函數定理2目錄上頁下頁返回結束證明

(3)(4)設存在函數u(x,y)使得則P,Q在D內具有連續的偏導數,從而在D內每一點都有定理2目錄上頁下頁返回結束證明

(4)(1)設L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區域為證畢定理2目錄上頁下頁返回結束說明:根據定理2,若在某區域內則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內的原函數:及動點或則原函數為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;定理2目錄上頁下頁返回結束例4.

計算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區域為D,

則機動目錄上頁下頁返回結束例5.

驗證是某個函數的全微分,并求出這個函數.證:設則由定理2可知,存在函數u(x,y)使。。機動目錄上頁下頁返回結束例6.

驗證在右半平面(x>0)內存在原函數,并求出它.證:

令則由定理2可知存在原函數機動目錄上頁下頁返回結束或機動目錄上頁下頁返回結束例7.設質點在力場作用下沿曲線L:由移動到求力場所作的功W解:令則有可見,在不含原點的單連通區域內積分與路徑無關.機動目錄上頁下頁返回結束思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點的單連通區域內積分與路徑無關!機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.格林公式2.等價條件在D內與路徑無關.在

D

內有對D內任意閉曲線L有在D

內有設P,Q在D內具有一階連續偏導數,則有機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.設且都取正向,問下列計算是否正確?提示:機動目錄上頁下頁返回結束2.設提示:作業P1532(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)第四節目錄上頁下頁返回結束備用題1.

設C為沿從點依逆時針的半圓,計算解:添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點機動目錄上頁下頁返回結束2.

質點M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運動到點B(3,4),到原點的距離,解:

由圖知故所求功為銳角,其方向垂直于OM,且與y

軸正向夾角為求變力F對質點M所作的功.(90考研)

F的大小等于點M在此過程中受力F作用,機動目錄上頁下頁返回結束第四節一、對面積的曲面積分的概念與性質二、對面積的曲面積分的計算法機動目錄上頁下頁返回結束對面積的曲面積分

一、對面積的曲面積分的概念與性質引例:設曲面形構件具有連續面密度類似求平面薄板質量的思想,采用可得求質量M.

“分割,取近似,求和,取極限”

的方法,其中,表示n小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者).機動目錄上頁下頁返回結束定義:設為光滑曲面,局部區域任意取點,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據此定義,曲面形構件的質量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個有界函數,記作或第一類曲面積分.若對做任意分割和則稱此極限為函數f(x,y,z)在曲面上對面積函數,叫做積分曲面.機動目錄上頁下頁返回結束連續,則對面積的曲面積分存在.?對積分域的可加性.則有?線性性質.在光滑曲面

上對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質類似.?積分的存在性.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機動目錄上頁下頁返回結束定理:設有光滑曲面f(x,y,z)在上連續,存在,且有二、對面積的曲面積分的計算法

則曲面積分證明:由定義知機動目錄上頁下頁返回結束而(光滑)機動目錄上頁下頁返回結束說明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為2)若曲面為參數方程,只要求出在參數意義下dS的表達式,也可將對面積的曲面積分轉化為對參數的二重積分.(見本節后面的例4,例5)機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:機動目錄上頁下頁返回結束思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下兩部分,則機動目錄上頁下頁返回結束例2.

計算其中

是由平面坐標面所圍成的四面體的表面.解:設上的部分,則與原式=分別表示

在平面機動目錄上頁下頁返回結束例3.設計算解:錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域為則機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束思考:若例3中被積函數改為計算結果如何?例4.

求半徑為R

的均勻半球殼

的重心.解:設的方程為利用對稱性可知重心的坐標而用球坐標思考題:例3是否可用球面坐標計算?例3目錄上頁下頁返回結束例5.計算解:取球面坐標系,則機動目錄上頁下頁返回結束例6.計算其中

是球面利用對稱性可知解:顯然球心為半徑為利用重心公式機動目錄上頁下頁返回結束例7.計算其中

是介之間的圓柱面分析:若將曲面分為前后(或左右)則解:取曲面面積元素兩片,則計算較繁.機動目錄上頁下頁返回結束于平面例8.

求橢圓柱面位于xoy面上方及平面

z=y下方那部分柱面

的側面積S.解:取機動目錄上頁下頁返回結束例9.

設有一顆地球同步軌道通訊衛星,距地面高度

h=36000km,機動目錄上頁下頁返回結束運行的角速度與地球自轉角速度相同,

試計算該通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑R=6400km)解:建立坐標系如圖,覆蓋曲面的半頂角為

,利用球坐標系,則衛星覆蓋面積為機動目錄上頁下頁返回結束故通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結果可知,衛星覆蓋了地球以上的面積,故使用三顆相隔角度的通訊衛星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說明:此題也可用二重積分求A

(見下冊P109例2).內容小結1.定義:2.計算:設則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧.機動目錄上頁下頁返回結束備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z＝1以上的面密度部分

的質量M.解:

在xoy面上的投影為

故機動目錄上頁下頁返回結束2.

設是四面體面,計算解:在四面體的四個面上同上平面方程投影域機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束第五節一、有向曲面及曲面元素的投影二、對坐標的曲面積分的概念與性質

三、對坐標的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯系機動目錄上頁下頁返回結束對坐標的曲面積分

一、有向曲面及曲面元素的投影?曲面分類雙側曲面單側曲面莫比烏斯帶曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面分左側和右側(單側曲面的典型)機動目錄上頁下頁返回結束其方向用法向量指向方向余弦>0為前側<0為后側封閉曲面>0為右側<0為左側>0為上側<0為下側外側內側側的規定

指定了側的曲面叫有向曲面,表示:機動目錄上頁下頁返回結束二、對坐標的曲面積分的概念與性質

1.引例設穩定流動的不可壓縮流體的速度場為:求單位時間流過有向曲面的流量.分析:若是面積為S的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

機動目錄上頁下頁返回結束對一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩定流動的不可壓縮流體的速度場進行分析可得,則機動目錄上頁下頁返回結束設

在光滑有向曲面

上有界,，任取點記作把

任意分成n塊小曲面總存在，

該點處

的單位法向量為如果當各小塊曲面的直徑的最大值λ0時，對坐標x、y的曲面積分,。2.定義則稱此極限為函數在有向曲面上

，即以上三個積分也稱為第二類曲面積分。

類似地可定義函數

在有向曲面

上對坐標y、z的曲面積分

，及函數

在有向曲面

上對坐標z、x的曲面積分分別為若記

的單位法向量為令則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式機動目錄上頁下頁返回結束3.性質(1)若之間無公共內點,則(2)用

ˉ表示

的反向曲面,則機動目錄上頁下頁返回結束4.對坐標曲面積分的物理意義：則向量場

穿過曲面

向著指定側的流量（通量）為設向量場為。三、對坐標的曲面積分的計算法定理:設光滑曲面取上側,是上的連續函數,則證:∵取上側,機動目錄上頁下頁返回結束

?若則有?若則有(前正后負)(右正左負)說明:如果積分曲面

取下側,則機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算其中是以原點為中心,邊長為

a

的正立方體的整個表面的外側.解:

利用對稱性.原式的頂部取上側的底部取下側機動目錄上頁下頁返回結束解:把分為上下兩部分根據對稱性思考:下述解法是否正確:例2.計算曲面積分其中為球面外側在第一和第八卦限部分.機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例3.設S是球面的外側,計算解:利用輪換對稱性,有機動目錄上頁下頁返回結束四、兩類曲面積分的聯系機動目錄上頁下頁返回結束令向量形式(A在n上的投影)機動目錄上頁下頁返回結束例4.

位于原點電量為q的點電荷產生的電場為解:。求E通過球面:r=R外側的電通量.機動目錄上頁下頁返回結束例5.設是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:機動目錄上頁下頁返回結束例6.

計算曲面積分其中

解:利用兩類曲面積分的聯系,有∴原式=旋轉拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側.機動目錄上頁下頁返回結束原式=機動目錄上頁下頁返回結束內容小結定義:1.兩類曲面積分及其聯系

機動目錄上頁下頁返回結束性質:聯系:思考:的方向有關,上述聯系公式是否矛盾?兩類曲線積分的定義一個與的方向無關,一個與

機動目錄上頁下頁返回結束2.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)二重積分(1)統一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉化機動目錄上頁下頁返回結束當時，（上側取“+”,下側取“

”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉化公式.機動目錄上頁下頁返回結束備用題求取外側.解:注意±號其中機動目錄上頁下頁返回結束利用輪換對稱性機動目錄上頁下頁返回結束第六節Green公式Gauss公式推廣一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件三、通量與散度機動目錄上頁下頁返回結束高斯公式通量與散度

一、高斯(Gauss)公式定理1.設空間閉區域由分片光滑的閉曲上有連續的一階偏導數,下面先證:函數P,Q,R在面所圍成,的方向取外側,則有(Gauss公式)高斯目錄上頁下頁返回結束證明:設為XY型區域,則定理1目錄上頁下頁返回結束所以若

不是XY–型區域,則可引進輔助面將其分割成若干個XY–型區域,故上式仍成立.正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：定理1目錄上頁下頁返回結束例1.用Gauss

公式計算其中為柱面閉域的整個邊界曲面的外側.解:這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標)及平面z=0,z=3

所圍空間思考:

若改為內側,結果有何變化?若

為圓柱側面(取外側),如何計算?機動目錄上頁下頁返回結束例2.利用Gauss公式計算積分其中為錐面解:作輔助面取上側介于z=0及z=h之間部分的下側.所圍區域為

,則機動目錄上頁下頁返回結束利用重心公式,注意機動目錄上頁下頁返回結束例3.設

為曲面取上側,求解:

作取下側的輔助面用柱坐標用極坐標機動目錄上頁下頁返回結束在閉區域上具有一階和二階連續偏導數,證明格林(Green)第一公式例4.設函數其中是整個邊界面的外側.分析:高斯公式機動目錄上頁下頁返回結束證:令由高斯公式得移項即得所證公式.(見P171)機動目錄上頁下頁返回結束*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1.連通區域的類型設有空間區域G,

若G內任一閉曲面所圍成的區域全屬于G,則稱G為空間二維單連通域;

若G內任一閉曲線總可以張一片全屬于G的曲面,則稱G為空間一維單連通域.例如,球面所圍區域環面所圍區域立方體中挖去一個小球所成的區域不是二維單連通區域.既是一維也是二維單連通區域;是二維但不是一維單連通區域;是一維但機動目錄上頁下頁返回結束2.閉曲面積分為零的充要條件定理2.在空間二維單連通域G內具有連續一階偏導數,為G內任一閉曲面,則①證:“充分性”.

根據高斯公式可知②是①的充分條件.的充要條件是:②“必要性”.用反證法.已知①成立,機動目錄上頁下頁返回結束因P,Q,R在G內具有連續一階偏導數,則存則由高斯公式得與①矛盾,故假設不真.因此條件②是必要的.取外側,機動目錄上頁下頁返回結束在鄰域三、通量與散度引例.設穩定流動的不可壓縮流體的密度為1,速度場理意義可知,設為場中任一有向曲面,單位時間通過曲面的流量為則由對坐標的曲面積分的物由兩類曲面積分的關系,流量還可表示為機動目錄上頁下頁返回結束為若為方向向外的閉曲面,

當>0時,說明流入的流體質量少于當<0時,說明流入的流體質量多于則單位時間通過的流量為當=0時,說明流入與流出的流體質量相等.流出的,表明內有泉;流出的,表明內有洞;根據高斯公式,流量也可表為機動目錄上頁下頁返回結束③方向向外的任一閉曲面

,

記所圍域為,設是包含點M且為了揭示場內任意點M處的特性,在③式兩邊同除以的體積V,并令以任意方式縮小至點M則有此式反應了流速場在點M的特點:其值為正,負或0,分別反映在該點有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.機動目錄上頁下頁返回結束定義:設有向量場其中P,Q,R具有連續一階偏導數,是場內的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場A通過有向曲面的通量(流量).在場中點M(x,y,z)處稱為向量場A在點M的散度.記作divergence機動目錄上頁下頁返回結束表明該點處有正源,表明該點處有負源,表明該點處無源,散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場A處處有,則稱A為無源場.例如,勻速場故它是無源場.P16目錄上頁下頁返回結束說明:由引例可知,散度是通量對體積的變化率,且*例5.置于原點,電量為q的點電荷產生的場強為解:

計算結果與僅原點有點電荷的事實相符.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.高斯公式及其應用公式:應用:(1)計算曲面積分(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:機動目錄上頁下頁返回結束2.通量與散度設向量場P,Q,R,在域G內有一階連續偏導數,則向量場通過有向曲面的通量為G內任意點處的散度為機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)為機動目錄上頁下頁返回結束作業第七節目錄上頁下頁返回結束備用題

設是一光滑閉曲面,所圍立體的體積

是外法線向量與點(x,y,z)的向徑試證證:設

的單位外法向量為則的夾角,為V,機動目錄上頁下頁返回結束高斯(1777–1855)德國數學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數學家,他的數學成就遍及各個領域,在數論、級數、復變函數及橢圓函數論等方面均有一系列開創性的貢獻,他還十分重視數學的應用,地測量學和磁學的研究中發明和發展了最小二乘法、曲面論和位勢論等.他在學術上十分謹慎,原則:代數、非歐幾何、微分幾何、超幾何在對天文學、大恪守這樣的“問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”.*二、環流量與旋度斯托克斯公式環流量與旋度第七節一、斯托克斯公式三、空間曲線積分與路徑無關的條件機動目錄上頁下頁返回結束

一、斯托克斯(Stokes)公式

定理1.設光滑曲面的邊界是分段光滑曲線,(斯托克斯公式)個空間域內具有連續一階偏導數,的側與

的正向符合右手法則,在包含在內的一證:情形1

與平行z軸的直線只交于一點,

設其方程為為確定起見,不妨設取上側(如圖).則有簡介目錄上頁下頁返回結束則(利用格林公式)定理1目錄上頁下頁返回結束因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;定理1目錄上頁下頁返回結束情形2曲面與平行z軸的直線交點多于一個,則可通過作輔助線面把

分成與z軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一塊平面區域,則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢定理1目錄上頁下頁返回結束為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:定理1目錄上頁下頁返回結束例1.利用斯托克斯公式計算積分其中

為平面x+y+z=1被三坐標面所截三角形的整個解:記三角形域為,取上側,則邊界,方向如圖所示.利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結束例2.

為柱面與平面y=z的交線,從z

軸正向看為順時針,計算解:設為平面z=y上被

所圍橢圓域,且取下側,利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦公式目錄上頁下頁返回結束二、環流量與旋度斯托克斯公式設曲面的法向量為曲線的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為機動目錄上頁下頁返回結束令,引進一個向量記作向量rotA稱為向量場A的稱為向量場A定義:沿有向閉曲線的環流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.機動目錄上頁下頁返回結束rotation設某剛體繞定軸l轉動,M為剛體上任一點,建立坐標系如圖,則角速度為,點M的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學意義:機動目錄上頁下頁返回結束向量場A產生的旋度場穿過的通量注意與的方向形成右手系!

為向量場A沿的環流量斯托克斯公式①的物理意義:例4.求電場強度的旋度.解:(除原點外)這說明,在除點電荷所在原點外,整個電場無旋.機動目錄上頁下頁返回結束的外法向量,計算解:

例3.設機動目錄上頁下頁返回結束*三、空間曲線積分與路徑無關的條件定理2.設G是空間一維單連通域,具有連續一階偏導數,則下列四個條件相互等價:(1)對G內任一分段光滑閉曲線,有(2)對G內任一分段光滑曲線

,與路徑無關(3)在G內存在某一函數u,使(4)在G內處處有機動目錄上頁下頁返回結束證:由斯托克斯公式可知結論成立;(自證)設函數則定理2目錄上頁下頁返回結束同理可證故有若(3)成立,則必有因P,Q,R一階偏導數連續,故有同理證畢定理2目錄上頁下頁返回結束與路徑無關,并求函數解:

令積分與路徑無關,因此例4.驗證曲線積分定理2目錄上頁下頁返回結束內容小結1.斯托克斯公式機動目錄上頁下頁返回結束2.場論中的三個重要概念設

梯度:機動目錄上頁下頁返回結束散度:旋度:則在內與路徑無關在內處處有在內處處有3.空間曲線積分與路徑無關的充要條件設P,Q,R在內具有一階連續偏導數,則機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習則提示:三式相加即得機動目錄上頁下頁返回結束作業習題課目錄上頁下頁返回結束斯托克斯(1819-1903)英國數學物理學家.他是19世紀英國數學物理學派的重要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解重要數學物理問題的有效且一般的新方法,在1845年他導出了著名的粘性流體運動方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.機動目錄上頁下頁返回結束習題課一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法機動目錄上頁下頁返回結束線面積分的計算

一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標)(1)統一積分變量轉化定積分用參數方程用直角坐標方程用極坐標方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終機動目錄上頁下頁返回結束解答提示:計算其中L為圓周提示:

利用極坐標,原式=說明:若用參數方程計算,則機動目錄上頁下頁返回結束計算其中L為擺線上對應t從0到2的一段弧.提示:機動目錄上頁下頁返回結束

計算其中由平面y=z截球面提示:因在上有故原式=從z軸正向看沿逆時針方向.機動目錄上頁下頁返回結束(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路徑無關的等價條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯系公式.2.基本技巧機動目錄上頁下頁返回結束例1.計算其中

為曲線解:利用輪換對稱性,有利用重心公式知(的重心在原點)機動目錄上頁下頁返回結束例2.計算其中L是沿逆時針方向以原點為中心,解法1令則這說明積分與路徑無關,故a為半徑的上半圓周.機動目錄上頁下頁返回結束