單元提升卷06解三角形

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.己知中，a=2,b=2A/3,5=y,則角/的值是（）

,71n71八兀-5兀兀-2兀

A.—B.—C.一或D.一或——

636633

【答案】A

【分析】由正弦定理結(jié)合大邊對大角即可得出答案.

ab

【詳解】由正弦定理可得：/=/，則sin/一.兀，

sin/sin5sm—

3

解得：sin/==，則/=￡或4=程

260

7T

因?yàn)?>>“，所以8>/,所以/=7

6

故選：A.

2.在“BC中，角4瓦。所對的邊分別為。也GB=60。且“的面積為百，若c+〃=6,貝股=（）

A.2芯B.5C.2療D.V30

【答案】A

【分析】利用余弦定理結(jié)合面積公式可求限

【詳解】因?yàn)榈拿娣e為G，故,acsinB=，acx=道，故ac=4,

222

又/=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（Q+c/-3ac=36-12=24,

故b=2顯，

故選：A.

3.在A/BC中，角）,B,C所對的邊分別是a,b,c,若sin?B+sin?C=sin?4-百sinBsinC,則角/的

大小為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合正、余弦定理求出cos/即可得解.

【詳解】在中，由正弦定理進(jìn)行角換邊得〃+c2=a2_?c,

再由余弦定理得cosA='+/-片=/Mbc-Q=一且，

2bc2bc2

而0</〈兀，所以4=±兀.

6

故選：D.

4.已知在△/BC中，角4,8,。的對邊分別是。，b,cos2A-cos2B-cos2C=sinBsinC-1,右

。=1,則小臺(tái)。外接圓的面積是()

1T冗…71

A.—B.—C.乃D.一

324

【答案】A

【分析】由題意，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系、正弦定理可得/+，-/=曲，代入余弦定理可求得角4根

據(jù)正弦定理，可求得外接圓半徑R即可得答案.

【詳解】因?yàn)閏os?A-cos2B-cos2C=sinBsinC-1,

所以(1-sin2Z)-(l-sin25)-(l-sin2C)=sin5sinC-1,

整理得sin?B+sin2C-sin2A=sin5sinC，由正弦定理得〃+c2-a2=bef

jl2__2

由余弦定理得cosA=Pcibe_1

2bc2bc~2

因?yàn)?e(O,萬)，所以4=9，

cna122c

由正弦定理得“BC外接圓的直徑2"一—一一耳一亍

sm§

所以“8C外接圓的面積S=?t&2=y.

故選：A.

5.已知在AABC中，a=x,b=2g,5=30。，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()

A.x>2^/3B.2A/3<x<4A/3C.0<x<2A/3D.2<X<3

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理即可結(jié)合圖形關(guān)系得忸C|>6>|CZ)|oa>2G>；a,即可求解.

【詳解】由NC=b=2g,要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為的圓與胡有兩個(gè)交點(diǎn),

過。作CD_L45,貝1“。回=忸。卜出8=。5畝5=；。,

要使以C為圓心，半徑為2G的圓與A4有兩個(gè)交點(diǎn)，則需要忸C|>6>|C必na〉2C〉；a,

解得a的取值范圍是2c<a<4A/3.

故選：B.

6.已知。BC的內(nèi)角4反。的對邊分別為q/,c,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.若sin/〉sin5,則a>Z>

B.若5=30。）=后,c=2,則符合條件的三角形有2個(gè)

C.若sin2/=sin25,則a=b

D.若A4BC的面積$邛伊+。2一叫,則.J

【答案】c

【分析】對于A,利用正弦定理即可求解；

對于B,利用正弦定理及大邊對大角即可求解；

對于C,利用已知條件及誘導(dǎo)公式即可求解；

對于D,利用余弦定理及三角形的面積公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解.

【詳解】對于A,由sin/>sin5及正弦定理，得三〉二，所以。>人故A正確；

對于B,由題意及正弦定理得工―=二-，所以sinC=Y2，因?yàn)閏>6,所以C>3,所以C=45。或

sin30°sinC2

C=135。，即符合條件的三角形有2個(gè)，故B正確；

TTTT

對于C,由sin24=sin28,得2/=23或2/+28=兀，所以/=3或/+5=—,所以或4+8=—,故

22

C錯(cuò)誤；

對于D,由S=中僅2+02一”2）,得?csin4=/.2Z?ccos4,所以tan/=百，由于力￡（0,兀），所以，弋，

故D正確.

故選：C.

7.08c的三個(gè)內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=2ccos8,ccosB+bcosC=y/2c，則的

形狀是（）

A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】由ccos8+6cosC=J5c利用正弦定理邊角互換可得a=，代入a=2ccosB可得3,然后利用余

弦定理代入q=2ccosB可得b=c,然后可得答案.

/+2_*

【詳解】因?yàn)椤?2ccos5,所以牛=2cx〃十。D,整理得b=c,

2ac

又ccosB+bcosC=V2c，所以sinCcos2+sin3cosC=也sinC，

即sin(B+C)=sin/=V2sinC,即a=41c

/y

又。=2ccos5,所以=2ccos5，得cos5=—

2

TTTTTT

因?yàn)長,所以8="所以c="/=故—等腰直角三角形.

故選：D

8.在銳角三角形/3C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足sin8-6cosc=?二^

，則

labc

的取值范圍為（）.

A.P2B.2，+0°

C.I2JD.t——,+8J

【答案】A

【分析】利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可得sin4=，L,進(jìn)而求得/=m，再把2化為

23。

sin5sin(/+C)sinAcosC+cosAsinC717t

結(jié)合°，即可求解.

sinCsinCsinC652

【詳解】「smB-限。=,...labsinB-2y[3abcosC=出c?-y/3a2,

2absinB=VJc2-y/3a2+2y[3abcosC=^3(^c2-a2+2abcosC^=\/3^c2-a2+a2+b2-c2^

即2absinB=y/3b2,/.2sinAsin2B=sin2B，

sin5w0,，sinA=——

2

Ae\0,—71j,.\A=—,:.cosA=—bsinB_sin（24+C）_sinAcosC+cosAsinCJ3十1

2{232csinCsinCsinC2tanC2

BG

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知。BC的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為。,仇。，已知。=3,6=4,銳角C滿足sinC=姮，貝U()

A.△45C的面棋為3后B.cosC=—

4

C.c-VT9D.cos5=

19

【答案】BC

【分析】由三角形的面積公式，可判定A錯(cuò)誤；由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可判定B正確，由余弦定理,

可判定C正確，D錯(cuò)誤.

【詳解】在中，因?yàn)椤?3,6=4,且sinC=叵，

4

由三角形的面積公式，可得S"c=La6sinC=Lx3x4xY^=豆叵，所以A錯(cuò)誤；

"ABC2242

由C為銳角，>sinC=—,可得cosC=Jl-sin2c=；,所以B正確；

44

由余弦定理得-2a6cosc=9+16-2x3x4x；=19,可得c=M，所以C正確；

.人曰ca~+c--b~9+19—162J19匚口、1卜三十丁人

由余弦定理得cosB=---------------=-----------=-------,所以D不正確.

lac2x3x71919

故選：BC.

10.在。8C中，角42,C的對邊分別是。,仇。，則能確定3為鈍角的是()

A.sin2^4+sin2C<sin25B.AB-BC<Q

c

C.—<cosAD.0<tarUtanC<1

b

【答案】ACD

【分析】選項(xiàng)A,利用正弦定理化角為邊，并結(jié)合余弦定理，可得cos8<0；

選項(xiàng)B,由方?前=-|在川南IcosBcO,可得cos3>0；

選項(xiàng)C,利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡可得cos3<0；

選項(xiàng)D,根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，兩角和的余弦公式，化簡可得cos8<0.

【詳解】選項(xiàng)A,由正弦定理及si/Z+sirCvsi/B,知°2+C2<62,

2,2_72

由余弦定理得，cos8—<0,由340,無)，所以3為鈍角，即選項(xiàng)A正確；

2ac

選項(xiàng)B,~AB-BC^~AB\-\BC\COS(TI-5)=-1181-|SC|cos5<0,則cos8>0,顯然3不可能為鈍角，即選

項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,由正弦定理及：<cos/,得一工<cosZ,

bsiiw

由5￡(0,兀)，sin8>0,所以sinC<sin5cos/,

又sinC=sin(/+8)=siib4cos3+cosZsinB,所以siib4cos5<0,

由/￡(0,兀)，sinA>0,所以cosH<0,由8￡(0,兀)，所以5為鈍角，即選項(xiàng)C正確;

選項(xiàng)D,由0<tan/ltanC<1,知0vsiMsinC<1,

cosAcosC

由幺￡(0㈤,Ce(0,7i),則siMsinC>0,有cosAcosC>0

所以cos/cosC-siiL4sinC>0,即cos(/+C)=-cosB>0,

所以cosBcO,由5￡(0,兀)，所以B為鈍角，即選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

11.記》5。的內(nèi)角力,B,C的對邊分別為Q,b,c,若a,b,c成等比數(shù)列，貝U()

JT

A.5的最小值為§B.cos(^-C)+cos5=1-cos2B

C.，+，=4D.2的取值范圍為(0,與1■

tanAtanCsin8a12J

【答案】BC

【分析】這道題是數(shù)列結(jié)合三角函數(shù)的一道綜合題目，由。，b,c成等比數(shù)列，則可以求得8的取值范圍,

進(jìn)而對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.

【詳解】因?yàn)椤＃琤,c成等比數(shù)列，所以/="c,則COSY"",

laclac2

：.0<B<^,5max=j,A錯(cuò).

對選項(xiàng)B,cos(A-C)+cosB=cosAcosC+sin/sinC-(cosAcosC-sinAsinC)

=2sin^4sinC=2sin2B=1—cos25,B對.

11cosAcosCsinCcosZ+sin/cosCsinB1

對于選項(xiàng)C,----------1----------=---------H----------,C對.

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsin2Bsin5

2

a+aq>aq

bc2

對于選項(xiàng)D,令一=4，則工=4,??b~~aq，c=aq,a+aq>aq,

ab

aq2+aq>a

.-1+Vs<”，D錯(cuò).

2

故選：BC

12.在學(xué)習(xí)了解三角形的知識(shí)后,為了鍛煉實(shí)踐能力，某同學(xué)搞了一次實(shí)地測量活動(dòng)?他位于河?xùn)|岸，在靠

近河岸不遠(yuǎn)處有一小湖，他于點(diǎn)A處測得河對岸點(diǎn)B位于點(diǎn)A的南偏西45。的方向上，由于受到地勢的限制,

他又選了點(diǎn)C,D,E,使點(diǎn)5,C,。共線，點(diǎn)B位于點(diǎn)。的正西方向上，點(diǎn)C位于點(diǎn)。的正東方向上,

測得C〃=CE=100m,/BAD=75。，N/EC=120。，AE=200m,并經(jīng)過計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)，則其中正確

B.△4DC的面積為lOOoGn?

C./8=100&mD.點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏西30。方向上

【答案】AC

【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；

對于A,先求出4408=60。，/4DC=120°,乙8=45°,MtMiSAC2=AE-+CE2-2AE-C￡cosl20°,

AC2=CD2+AD2-2AD-CDcosl20°,即可判斷;

對于B,根據(jù)三角形的面積公式求解即可，即可判斷;

ABAD

對于C,在中，由正弦定理即可判斷;

sinZADBinsB

對于D,過點(diǎn)A作NGLBC于點(diǎn)G,易知ND4G=30。，即可判斷.

【詳解】對于A,因?yàn)?胡。=75。，點(diǎn)B位于點(diǎn)A的南偏西45。的方向上,

所以NB=45°,N4DB=60°,ZADC=120°,

又N4EC=ZADC=12。。,CD=CE=100m,AC=AC,AE=200m,

在△/DC中，AC2=AE2+CE2-2AE-C￡cosHO0,AC2=CD2+AD2-2AD-CZ）cosl20°,所以

AD=AE=200m,故A正確；

對于△的面積為工百（2

B,4DCx4DxCDxsinZADC=-x200xl00x—=5000m故B錯(cuò)誤;

222'

4RAT)

對于C,在中,由正弦定理'得八萬=茄,解得

ADsmAADB200?

AB=---------------=-----j=^-=100V6（m）,故C正確;

sinBy/2

~2

對于D,過點(diǎn)A作/GL5C于點(diǎn)G,易知ZD/G=30。，所以/C/G〉30。，故D錯(cuò)誤,

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在。8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且/=^+c2+?c,則/=

【答案】T57r弓5萬/150。

66

【分析】根據(jù)已知等量關(guān)系，利用余弦定理求得cos/=-立，即可確定角的大小.

2

【詳解】由題設(shè)62+°2-/=-園c,而ss/J+C-M=_g

2bc2

又Ne(0,兀)，則Z=

6

故答案為：?

6

14.如圖，在“BC中，點(diǎn)。在3c邊上，AD的垂直平分線過點(diǎn)/,且滿足=

)/s

cosNCAD=',則的大小為.

5

【分析】根據(jù)題意可得N8=AD，結(jié)合正弦定理與、三角形內(nèi)角和定理與兩角和差余弦公式即可求得

cosNADC,從而得ZADC的大小.

【詳解】因?yàn)樗牡拇怪逼椒志€過點(diǎn)4所以"=皿則。=島屋也所以矍

又因?yàn)樵凇?CD中，Z.CAD€(0,7i),cos/G4Z)=,所以sin/C4。.

55

ADCDrr?/oADsmACADVio

在△4CZ)中，由正弦定理，得，所S以rsmZDCA=------------------

sin/DCAsinZCADCD「而’

3V10

因?yàn)镃￡)>N。，所以/DC/為銳角，所以cosNDCA=Jl-sir?NDCA=

10

則cosNADC=cos(?t-NACD-NCAD)=-cos(ZACD+ACAD)

又/4DCe(0,兀)，所以N4DC=B.

4

故答案為：尸3兀.

4

15.已知△/3C中，角/,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且/=(°-h?+6,若△4BC的面積為，,

則sin4?sin8的取值范圍為.

【答案】(0,；

【分析】由三角形面積公式，由已知條件結(jié)合余弦定理可得cosC=然后由正余弦的平方和為1,可

ab

19?!71

求得ab=2,從而可求得cosC=-^,則可得C=?~,0<A<~,則利用三角函數(shù)恒等變換公式和正弦函

數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍.

【詳解】VS/.AfiC=—absinC=^~,/.absinC=V3,

△AD(^22

Vc2=(fl-M2+6,由余弦定理可得cosC="一+"一廠=約二2

2abab

22

sinC+cosC==1,解得ab=2f

cosC——,

2

?：0<C<兀,C=—,0<A<—,

33

所以

sin/sin8=sin/sin（Z+C）=sin/sin[Z+g=sin^f--sin^+^cos^

22J

1.,y/3...cos2^4-1V3sin2^41.f.兀、1

=——sin2A+——sinAcosA=------------+-------------=—sin2A+———,

22442{6j4

.八,兀兀c/兀5兀1.Ac“兀1八

.0</<一,一<2,AH—<—,—<sin2/—1.

36662（6）

因止匕，sin/sinB=；sin（24+E）-；￡[o,；.

故答案為:（0,1]

16.已知小8。的三個(gè)角A,B,。所對的邊為“，b,c,若NB4C=60°,D為邊3C上一點(diǎn)，且

AD=5,BD:DC=2c:b,則"BC面積的最小值為

【答案】2石

兀兀SARnBD2c

【分析】設(shè)/840=。（0＜。＜?）,則/。40=彳-6,利用面積關(guān)系甘迺=示=父可以得到

33^^ACDD

2sin6?=V3cos6?,從而求得tan。；再利用面積關(guān)系又《°=S“@+S”⑺可以得到bc=2c+6,再利用基本不

等式求出命的取值范圍，再根據(jù)面積公式計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)/胡。=仇0＜。＜5），則/◎。=/一。，

■:AD=布，BD:DC=2c:b,

<-ADBD-sinZADB

、"BD__2_________________BD2c

v1~CD~~b

，A/CZ>-AD?CD-sinZADC

2

—xV?csin。？廠

即"T~\=~T9化簡得2sing=V^cos8,BPtan0=,

lxV7-6-sinP-^b2

又〈t"1"cos。2,解得sin6='^或sin6=-R^（舍去）,

sin2+cos2^=17

所以sinf--—sin,

（3J214

又,AABC~S-BD+，AACD，

I冗11元

所以,bcsin]=/4￡>.csine+2/Z）.6sin（H-。）,

即^-bc=近+近be=2c+b>2y/2cb?

2714

所以6cN8,當(dāng)且僅當(dāng)2c=6=4時(shí)取等號(hào)，

所以Sc=—besin—=^-be>2\/3，即“BC面積的最小值為26.

△yA^BZJC234

故答案為：2班

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.在“8C中，角4鳳。的對邊分別為a,6,c,cos2(ecz-6sinC)-6siiL8cosC=0.

(1)求角5；

⑵若c=2a,“8C的面積為百，求“BC的周長.

【答案】(嗚

(2)372+76

【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等變換化簡已知條件，從而求得反

(2)利用三角形的面積求得這，進(jìn)而求得見。，根據(jù)余弦定理求得6,從而求得“8C的周長.

【詳解】(1)由cos5(百q—bsinC)-加in5cosc=0得，

△acosB-b(sinCcos^+cosCsin5)=0,

/.6〃cosB=bsin(B+C)=bsin/,

由正弦定理得Gsiib4cos5=sin康iih4，

?/sirUw0,/.taaS=,

5G(0,7C),.\B=".

(2)的面積為G，—acsvaB=ac=V3,得ac=4,

24

c=2a,:.2a2=4,

,/a>0,

a=V2,c=2。=2-\/2,

由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB=6，

b>0,:.b=4^，

?e?三角形的周長為〃+6+c=3A/2+V6.

18.在中，角A,B,。的對邊分別是Q,b,。，若siiL4+sinC=psinS(p￡R),且4QC=/.

(1)當(dāng)夕=；,6=1時(shí)，求。，。的值；

⑵若角8為銳角，求實(shí)數(shù)夕的取值范圍.

【答案】(1)Q=1,C=1或Q=J,C=\

44

【分析】(1)利用正弦定理將角化為邊，再結(jié)合已知條件，解方程組，解得即可;

(2)結(jié)合余弦定理與cos5￡(0,1),解不等式即可.

【詳解】(1)因?yàn)閟in4+sinC=〃sin5(，￡R),

由正弦定理可得,

因?yàn)橄?3，b=l,

4

所以Q+C=。，

4

又4ac=b2=l?

所以a=1,。=或a=二,c=1.

44

(2)由(1)知Q+C=pb,且p>0,

22

百A在士詢，曰R(a+c)-2ac-bP2b?一千人?

由余弦定理得cos5=-----=-——、-------=-----p------=2p-3,

2ac2ac_*_^2

2

因?yàn)?為銳角，所以cos2e(0,l),

所以。＜2/一3＜1,解得逅＜0＜后或_行＜”一逅（舍去），

22

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍為，血.

I2）

19.在①（4+c）（sinN-sinC）=6（sinN-sin8）；—--cos^=0；③向量成=與萬=（cosC,sin5）

平行，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面題干中，然后解答問題.已知小8C內(nèi)角4B,C的對邊分別為

a,b,c,且滿足.

⑴求角C；

⑵若為銳角三角形，且。=4,求“8C面積的取值范圍.

【答案】（嗚；

⑵（26,8@.

【分析】（1）先選擇條件，再根據(jù)三角形的正、余弦定理，求出角C；

（2）根據(jù)題（1）在結(jié)合余弦定理以及三角形的三邊關(guān)系，得出b的范圍，進(jìn)而求出“8C面積的取值范圍.

【詳解】（1）若選擇①：由①及正弦定理可得（。+。）（。-。）="。一6）,即/+62-02=成，

由余弦定理得cosC="一+"-X=L,又Ce（0,兀），

lab2

：.C=~.

3

'sin/?—ciriAccq/

若選擇②：由②及正弦定理得-----------------=0,所以2sin8cosC—sin/cosC—cos/sinC=0,

sinCcosC

即sinB（2cosC_1）=0,由sinBw0,

/.cosC=1,又Ce（0,ir）,

故C=g.

若選擇③：由③可得csinS=V3/JCOSC,；?sinCsinS=VJsin5cosC，

*'?tanC=VJ,又。￡（°,兀），C=—.

（2）由已知及余弦定理可得。2=/+16-2b4cos四=〃一必+16,

3

由^ABC為銳角三角形可得〃+ft2-4Z）+16＞16_&16+62-4Z）+16＞Z）2，

解得2<b<8,

所以dBC面積S=；absing=同?℃,8月).

20.某海岸的/哨所在凌晨1點(diǎn)15分發(fā)現(xiàn)哨所北偏東30°方向20nmile處的。點(diǎn)出現(xiàn)可疑船只，因天氣惡

劣能見度低，無法對船只進(jìn)行識(shí)別，所以將該船雷達(dá)特征信號(hào)進(jìn)行標(biāo)記并上報(bào)周圍哨所.早上5點(diǎn)15分位

于/哨所正西方向20nmile的B哨所發(fā)現(xiàn)了該可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60nmile處的E點(diǎn)，并

識(shí)別出其為走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile處C點(diǎn)的我方緝私船前往攔截，已知緝私船速

度大小為30nmile/h.(假設(shè)所有船只均保持勻速直線航行)

(1)求走私船的速度大小；

(2)緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船，并求出截獲走私船的具體時(shí)間.

【答案】⑴106nmile/h

(2)緝私船沿北偏西30°方向行駛，3小時(shí)后即早上8點(diǎn)15分可截獲走私船.

【分析】(1)利用余弦定理即可求解；

(2)設(shè)在尸點(diǎn)處截獲走私船，截獲走私船所需時(shí)間為利用余弦定理即可求解.

【詳解】(1)點(diǎn)位于A哨所北偏東30°方向20nmile處,

.?./以。=90°+30°=120°,AD=20,

■：AB=20,.'.BD=VAD"+AB2-2AD-ABcos120°=2073,

AB=AD,:.ZABD=ZADB=30°,

E點(diǎn)位于5哨所北偏西30°方向60nmile處，

ZDBE=90°-30°+30°=90°,

/.DE=ylBD2+BE2=4073，

40G/T?1小

v=-------=10V3nmile/h,

4

走私船的速度大小為106nmile/h.

(2)設(shè)在尸點(diǎn)處截獲走私船，截獲走私船所需時(shí)間為乙

BE=60,8c=30,NCBE=60",

:.CE=y]BE2+BC2-2BE-BCcos60°=30A/3，

???BE2=BC2+CE2,:.NBCE=90°,NBEC=30°,ZCEF=120°,

???走私船速度為IO。nmile/h,緝私船速度為30nmile/h,

EF=1Qyfit,CF=307,

在尸中，根據(jù)余弦定理，CF2=CE2+EF2-2CE-EFcosnO°,

900產(chǎn)=2700+300?_2x30V3xlo/cos120°,

3

化簡得2r-3t-9=0,舍去），或"3,

此時(shí)CE=EF=30c，ZECF=30°,

?.?緝私船沿北偏西30°方向行駛，3小時(shí)后即早上8點(diǎn)15分可截獲走私船.

jr

21.如圖，在“8C中，已知N8=2,AC=4g,N3/C=.0為8C的中點(diǎn).

(1)求的長；

(2)P是線段/C上的一點(diǎn)，當(dāng)NP為何值時(shí)，AAQP=-.

【答案】(1)屈

⑵電1

6

【分析】(1)解法一：根據(jù)而=;(而+就)，兩邊平方求解;

解法二：利用cos4402+cos//0c=0,再結(jié)合余弦定理求解

(2)在中，先根據(jù)余弦定理求得5C,C0,再在ANC。中，由余弦定理得NQ/C的正余弦，進(jìn)而根據(jù)

內(nèi)角和/。/。+乙4。2+4尸。=萬，結(jié)合兩角和差的正弦公式求解sinN/尸。，最后再在△40P中，由正弦

定理求得/P即可

【詳解】（1）解法一：因?yàn)椤?C的中點(diǎn)，所以而=；（而+就）

所以|而『=^|ZB|2+2AB-AC+1就°=13,即=V13

2[5

解法二：在“Be中，由余弦定理得忸C「=22+（4?）-2X2X4A/2X^--20,

所以3C=2逐，即。。=2。=6

AQ2+BQ2_4。+1

在^ABQ中,根據(jù)余弦定理得cosN/08=

-2AQBQ2VL40

/02+C02_/C2/02_27

在A/C。中，根據(jù)余弦定理得cos/4QC=

2AQ-CQ2面0

An2+1An2-27

因?yàn)閏os//Q8+cos/4℃=0,所以2方.0+女敏=0

解得/。=布.

(2)在“BC中，由余弦定理得忸C『=2?+(4加了一2x2x40x1=20.

所以6c=2逐，即。。=逐

272g

在A/C。中，由余弦定理得cos/Q/C=，。：/50、等

2AQ-AC26

__________疾

所以sinAQAC=7l-cos2AQAC=-—，

26

因?yàn)?"C+/40P+//P0=?,

所以sinZAPQ=sin(/0/C+NAQP)=sin(NQ/C+